Initialbetingelser: Forskjell mellom sideversjoner
Fra Matematikk.net
Ingen redigeringsforklaring |
m Teksterstatting – «<tex>» til «<math>» |
||
| Linje 4: | Linje 4: | ||
== Initialverdiproblem == | == Initialverdiproblem == | ||
Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom f(x) er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen < | Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom f(x) er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</tex> og <math>f^,(0)=\beta</tex> etc. for gitte konstanter. | ||
| Linje 11: | Linje 11: | ||
'''Eksempel''' | '''Eksempel''' | ||
:La oss se på initialverdiproblemet < | :La oss se på initialverdiproblemet <math>f^,(x)=f(x)</tex> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</tex>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</tex>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</tex>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</tex>. | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
En initialbetingelse(også kalt startbetingelse) for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen i "startøyeblikket" og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer naturlig i løsningen.
Initialverdiproblem
Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom f(x) er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</tex> og <math>f^,(0)=\beta</tex> etc. for gitte konstanter.
Eksempel
- La oss se på initialverdiproblemet <math>f^,(x)=f(x)</tex> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</tex>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</tex>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</tex>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</tex>.