Initialbetingelser: Forskjell mellom sideversjoner
Ny side: En initialbetingelse for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer i løsningen. == Initialverdiprobl... |
Ingen redigeringsforklaring |
||
| (4 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
En initialbetingelse for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer i løsningen. | En initialbetingelse(også kalt startbetingelse) for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen i "startøyeblikket" og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer naturlig i løsningen. | ||
== Initialverdiproblem == | == Initialverdiproblem == | ||
Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. | Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom $f(x)$ er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</math> og <math>f'(0)=\beta</math> etc. for gitte konstanter. | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel''' | '''Eksempel''' <p></p> | ||
La oss se på initialverdiproblemet <math>f'(x)=f(x)</math> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</math>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</math>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</math>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</math>. | |||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Siste sideversjon per 1. mai 2013 kl. 01:56
En initialbetingelse(også kalt startbetingelse) for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen i "startøyeblikket" og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer naturlig i løsningen.
Initialverdiproblem
Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom $f(x)$ er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</math> og <math>f'(0)=\beta</math> etc. for gitte konstanter.
Eksempel
La oss se på initialverdiproblemet <math>f'(x)=f(x)</math> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</math>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</math>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</math>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</math>.