R2 2025 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Lektor Seland

Løsningsforslag som video laget av UDL.no

DEL 1

Oppgave 1

a)

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

b)

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

Oppgave 2

Vi har at

• $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

• $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

Oppgave 3

a)

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

b)

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

c)

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

Oppgave 4

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

a)

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

b)

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

c)

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

DEL 2

Oppgave 2

a)

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

b)

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

Oppgave 4

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$