R1 2025 Vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på Matteprat

Del 1

Oppgave 1

Vi skal derivere funksjonen:

$$ f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi $$

Deriver ledd for ledd:

• $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
• $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
• $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar: $$ f'(x) = -2e^{-2x} + x^4 $$

Oppgave 2

Funksjonen er gitt som:

$$ g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 $$

a) Nullpunkter

Vi setter $g(x) = 0$:

$$ \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0 $$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$ (2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} $$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

b)

$$ g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) $$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

• $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

• $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$ g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ $$ = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2 $$

$$ = \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right) $$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$ (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3) $$

Bekreftet.

c) Topp- og bunnpunkter

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$ \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0 $$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

• $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

• $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

• Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

• Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

Oppgave 3

a)

$$ 3^{3x + 2} - 5 = 76$$ $$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$ $$ 3x + 2 = 4 $$ $$ x = \frac{2}{3} $$

b)

$$ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2 $$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$ 3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$ $$ -2 \lg x = 2 $$ $$ \lg x = -1 $$ $$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}} $$

Oppgave 4

a)

Direkte innsetting gir:

$$ \frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0} $$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

• Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

• $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

• Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

• $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

b)

$$ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$

Bruk konjugatsetning med $x-4$: $$ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } + 2)} $$ $$ \lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} $$ $$ =\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}} $$

Oppgave 5

Funksjon gitt som:

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & x < 0 \\ 2e^x, & x \geq 0 \end{cases} $$

a) Kontinuitet

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

• Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
• Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

b) Deriverbarhet

Venstrederivert:

$$ \lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0 $$

Høyrederivert:

$$ \lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2 $$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

Oppgave 6

a) Avstand mellom Nils og Ahmad

$$ \vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1] $$ $$ |\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 } $$

b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$

La $P=(-1,a)$

• $\vec{NA} = (2, -1)$
• $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$ t[2,1]=[-1,a] $$ $$ 2t=-1 \vee -t=a $$ $$ t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}} $$

c) Finn punkt $M$

Finn punkt $M$ slik at:

• $|JM| = \sqrt{10}$
• $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

• $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
• $\vec{JA} = (1, 1)$

$$ \vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0 $$ $$ x + y = 2 \Rightarrow y=2-x $$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$ x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0 $$

Løs:

$$ x = 3 \Rightarrow y = -1 \\ x = -1 \Rightarrow y = 3 $$

Svar: Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

Del 2

Oppgave 1

a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet?

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

• Linje 1: Funksjonen $S$ defineres som:

$$ S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}} $$

• Linje 2: Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$ t \approx 97.8 $$

Dette betyr at det vil ta omtrent 97,8 uker før halvparten av husstandene har batteriet.

Alternativ fremgangsmåte:

• Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning

• Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$ S'(52) \approx 4872.76 $$

Tolkning: Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent 4873 husstander per uke.

c) Finn en justert logistisk modell

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$ F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}} $$

Gitt:

• $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
• $F(0) = 500$
• Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

Trinn 1: Bestem $a$

• Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på linje 5
• På linje 6 settes $F(0) = 500$:

$$ \frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999 $$

Trinn 2: Bestem $k$

• I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på linje 5 blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$ F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1} $$

• På linje 6, settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$ \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133 $$

Alternativ metode

• I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F(60) = 0$ for å løse ut $k$.
• Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

Endelig modell:

$$ \underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}} $$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

Oppgave 2

a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$. Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

• Linje 1: Funksjonen $f$ er definert.
• Linje 2: Kommandoen Ekstremalpunkt(f) finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

Svar: $$ \underline{\underline{I = [0, 4]}} $$

b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$ g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3} $$

Svar: Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

Alternativ metode: Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (Tangent kommandoen) og bruk kommandoen Invers for å finne den inverse linjen.

c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b)

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$ \frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3 $$

• Linje 3+4: Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:

$$ x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3 $$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.

• Linje 5: Det andre punktet er:

$$ x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3} $$

Dermed er punktet på $f$: $$ (1,\ -\frac{8}{3}) $$

På grafen til $g$ blir dette punktet: $$ \left(-\frac{8}{3},\ 1\right) $$

Svar: $$ \underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}} $$

Oppgave 3

Løsemåte i CAS:

Forklaring

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$ f(x) = \begin{cases} p(x), & x \leq -2 \\ q(x), & -2 < x < 1 \\ r(x), & x \geq 1 \end{cases} $$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$ q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

• Linje 1-3: Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

For $x = -2$:

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$ Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

• Linje 4: $p(-2) = q(-2)$
  • Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

• Linje 5: $p'(-2) = q'(-2)$

For $x = 1$:

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$ Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

• Linje 6: $q(1) = r(1)$
• Linje 7: $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

• Linje 8: Løsning til likningssystemet:

$$ \begin{aligned} a &= -\frac{13}{27} \\ b &= \frac{7}{9} \\ c &= -\frac{1}{9} \\ d &= -\frac{113}{27} \end{aligned} $$

---

Svar

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$ q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1 $$

Oppgave 4

a) Bestem farten til fiskebåten i knop

Vi har posisjonsvektoren:

$$ \vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t) $$

• Linje 1: Posisjon uttrykkes som vektor
• Linje 2: Farten finnes som den deriverte:

$$ \vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8) $$

• Linje 3: Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43 $$

• Linje 4: Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:

$$ \frac{9.43}{1.852} \approx 5.09 $$

Svar: Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

• Linje 2: Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
• Linje 3: Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:

$$ d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2} $$

CAS forenkler dette til: $$ d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18} $$

• Linje 4: Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:

$$ d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter} $$

Svar: Minste avstand er 954 meter

c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$. Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$ q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t) $$

Fremgangsmåte i CAS:

• Linje 5: Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
• Linje 6: Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
  • Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
• Linje 7: Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:

$$ t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23} $$

Dette viser at de befinner seg i samme punkt, men på forskjellige tidspunkt.

Svar: Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en ukjent skalar faktor $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$ p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt) $$

CAS-løsning:

• Linje 1–2: Definerer $q(t)$ og $p(t)$
• Linje 3–4: Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er: $$ t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2} $$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$ |\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}| $$

Ved utregning i CAS (linje 5):

Farten til fiskebåten blir:

$$ v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817 $$

Svar: Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

Oppgave 5

a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B

Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

• Linje 2: Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

$$ f(e) = 1 $$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC

Eller:

Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando

Svar: $$ \text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} $$