R1 2025 Vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på Matteprat
Del 1
Oppgave 1
Vi skal derivere funksjonen:
$$ f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi $$
Deriver ledd for ledd:
- $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
- $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
- $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.
Svar: $$ f'(x) = -2e^{-2x} + x^4 $$
Oppgave 2
Funksjonen er gitt som:
$$ g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 $$
a) Nullpunkter
Vi setter $g(x) = 0$:
$$ \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0 $$
Siden $e^x \neq 0$, må:
$$ (2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} $$
Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$
b)
$$ g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) $$
Løsningsskisse (produktregel):
La:
- $u(x) = \frac{1}{2} e^x$
- $v(x) = (2x - 1)^2$
Da:
$$ g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ $$ = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2 $$
$$ = \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right) $$
Utvid og faktoriser uttrykket:
$$ (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3) $$
Bekreftet.
c) Topp- og bunnpunkter
Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:
$$ \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0 $$
Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$
Finn $g(x)$-verdiene:
- $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$
- $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$
Svar:
- Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$
- Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$
Oppgave 3
a)
$$ 3^{3x + 2} - 5 = 76$$ $$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$ $$ 3x + 2 = 4 $$ $$ x = \frac{2}{3} $$
b)
$$ 3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2 $$
Bruk logaritmeregler:
- $\lg x^2 = 2 \lg x$
- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$
Da får vi:
$$ 3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$ $$ -2 \lg x = 2 $$ $$ \lg x = -1 $$ $$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}} $$
Oppgave 4
a)
Direkte innsetting gir:
$$ \frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0} $$
Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.
Når $x \to 3^-$:
- Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$
- $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$
Når $x \to 3^+$:
- Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$
- $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$
Grenseverdien eksistere ikke.
b)
$$ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$
Bruk konjugatsetning med $x-4$: $$ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } + 2)} $$ $$ \lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} $$ $$ =\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}} $$
Oppgave 5
Funksjon gitt som:
$$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & x < 0 \\ 2e^x, & x \geq 0 \end{cases} $$
a) Kontinuitet
Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:
- Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
- Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$
Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.
b) Deriverbarhet
Venstrederivert:
$$ \lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0 $$
Høyrederivert:
$$ \lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2 $$
Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$
Oppgave 6
a) Avstand mellom Nils og Ahmad
$$ \vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1] $$ $$ |\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 } $$
b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$
La $P=(-1,a)$
- $\vec{NA} = (2, -1)$
- $\vec{JP} = (-1, a)$
Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$
$$ t[2,1]=[-1,a] $$ $$ 2t=-1 \vee -t=a $$ $$ t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}} $$
c) Finn punkt $M$
Finn punkt $M$ slik at:
- $|JM| = \sqrt{10}$
- $\angle MAJ = 90^\circ$
Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$
La $M = (x, y)$.
Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$
- $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
- $\vec{JA} = (1, 1)$
$$ \vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0 $$ $$ x + y = 2 \Rightarrow y=2-x $$
Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:
$$ x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0 $$
Løs:
$$ x = 3 \Rightarrow y = -1 \\ x = -1 \Rightarrow y = 3 $$
Svar: Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$
Del 2
Oppgave 1
a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet?
Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.
- Linje 1: Funksjonen $S$ defineres som:
$$ S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}} $$
- Linje 2: Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:
$$ t \approx 97.8 $$
Dette betyr at det vil ta omtrent 97,8 uker før halvparten av husstandene har batteriet.
Alternativ fremgangsmåte:
- Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.
b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning
- Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:
$$ S'(52) \approx 4872.76 $$
Tolkning: Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent 4873 husstander per uke.
c) Finn en justert logistisk modell
Vi skal finne en ny modell på formen:
$$ F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}} $$
Gitt:
- $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
- $F(0) = 500$
- Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$
Trinn 1: Bestem $a$
- Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på linje 5
- På linje 6 settes $F(0) = 500$:
$$ \frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999 $$
Trinn 2: Bestem $k$
- I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på linje 5 blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:
$$ F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1} $$
- På linje 6, settes $F(60) = 750\,000$ og løses:
$$ \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133 $$
Alternativ metode
- I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F(60) = 0$ for å løse ut $k$.
- Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.
Endelig modell:
$$ \underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}} $$
Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.
Oppgave 2
a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$
Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$. Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.
Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:
- Linje 1: Funksjonen $f$ er definert.
- Linje 2: Kommandoen
Ekstremalpunkt(f)finner topp- og bunnpunkt:
$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$
Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.
Svar: $$ \underline{\underline{I = [0, 4]}} $$
b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$
Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.
Vi finner $f'(3)$ i CAS:
Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:
$$ g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3} $$
Svar: Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$
Alternativ metode:
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (Tangent kommandoen) og bruk kommandoen Invers for å finne den inverse linjen.
c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b)
Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$
Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:
$$ \frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3 $$
- Linje 3+4: Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$ x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3 $$
Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
- Linje 5: Det andre punktet er:
$$ x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3} $$
Dermed er punktet på $f$: $$ (1,\ -\frac{8}{3}) $$
På grafen til $g$ blir dette punktet: $$ \left(-\frac{8}{3},\ 1\right) $$
Svar: $$ \underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}} $$