Vektorer i rommet - Sideversjonshistorikk

Administrator på 22. apr. 2019 kl. 10:06

2019-04-22T10:06:24Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2019 kl. 10:06
Linje 1:		Linje 1:
	En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <math>\mathbb{R^3}</math>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <math>\vec{r}=(x,y,z)</math>, <math>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</math> eller <math>\vec{r}=[x,y,z]</math>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <math>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</math> der <math>\vec{e_i}</math> er enhetsvektor langs aksen <math>i\in [x,y,z]</math>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. Strengt tatt burde vi skrevet <math>\vec{r}=(x,y,z)_{\mathcal{B}}</math>, der <math>\mathcal{B}</math> angir hvilken basis vi uttrykker vektoren i, men her mener vi alltid standardbasisen, altså <math>\mathcal{B}= \left {(1,0,0)\,,(0,1,0)\,,(0,0,1) \right}</math>		En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <math>\mathbb{R^3}</math>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <math>\vec{r}=(x,y,z)</math>, <math>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</math> eller <math>\vec{r}=[x,y,z]</math>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <math>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</math> der <math>\vec{e_i}</math> er enhetsvektor langs aksen <math>i\in [x,y,z]</math>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen.

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:28Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vis endringer

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:58:10Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Vis endringer

Administrator: /* Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum) */

2011-01-25T12:34:27Z

Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. jan. 2011 kl. 12:34
Linje 121:		Linje 121:

	9. For alle <tex>u</tex> fins en <tex>w</tex> slik at <tex>u+w=0</tex>		9. For alle <tex>u</tex> fins en <tex>w</tex> slik at <tex>u+w=0</tex>


			----
			[[R2 Hovedside\|Tilbake til R2 Hovedside]]


			[[Kategori:Algebra]]
			[[Kategori:R2]]
			[[Kategori:Ped]]

80.202.166.109: /* Enhetsvektorer */

2010-02-17T15:51:01Z

Enhetsvektorer

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 15:51
Linje 80:		Linje 80:


	En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. ~~kula~~ med radius=1 og sentrum i origo).		En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).

	== Dekomposisjon av romlige vektorer ==		== Dekomposisjon av romlige vektorer ==

Plutarco: /* Enhetsvektorer */

2010-02-11T22:52:13Z

Enhetsvektorer

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. feb. 2010 kl. 22:52
Linje 80:		Linje 80:


	En enhetsvektor i rommet et essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. kula med radius=1 og sentrum i origo).		En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. kula med radius=1 og sentrum i origo).



	== Dekomposisjon av romlige vektorer ==		== Dekomposisjon av romlige vektorer ==

Plutarco på 11. feb. 2010 kl. 13:34

2010-02-11T13:34:22Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. feb. 2010 kl. 13:34
Linje 74:		Linje 74:

	Vi ser da at <tex>\|\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}\|=1</tex>.		Vi ser da at <tex>\|\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}\|=1</tex>.



			== Enhetsvektorer ==


			En enhetsvektor i rommet et essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. kula med radius=1 og sentrum i origo).



			== Dekomposisjon av romlige vektorer ==


			Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.

193.157.195.151 på 9. feb. 2010 kl. 18:22

2010-02-09T18:22:51Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 9. feb. 2010 kl. 18:22
Linje 61:		Linje 61:

	Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er <tex>\theta=0</tex>, og da er <tex>\cos(\theta)=\cos(0)=1</tex>.		Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er <tex>\theta=0</tex>, og da er <tex>\cos(\theta)=\cos(0)=1</tex>.



			== Normalisering ==


			Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. <tex>\vec{v}=(x,y,z)</tex> og deler med lengden får vi


			:<tex>\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)</tex>.


			Vi ser da at <tex>\|\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}\|=1</tex>.

Plutarco: /* Trekantulikheten */

2010-02-07T11:20:13Z

Trekantulikheten

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 7. feb. 2010 kl. 11:20
Linje 72:		Linje 72:


	~~Ulikheten~~ er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.		Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.

	== Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)==		== Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)==

Plutarco: /* Trekantulikheten for vektorer i rommet */

2010-02-07T11:19:24Z

Trekantulikheten for vektorer i rommet

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 7. feb. 2010 kl. 11:19
Linje 64:		Linje 64:


	== Trekantulikheten ~~for vektorer i rommet~~ ==		== Trekantulikheten ==

	Trekantulikheten sier at for vektorer <tex>\vec{u}</tex> og <tex>\vec{v}</tex> gjelder alltid		Trekantulikheten sier at for vektorer <tex>\vec{u}</tex> og <tex>\vec{v}</tex> gjelder alltid
Linje 72:		Linje 72:


	Ulikheten er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk er stemmer.		Ulikheten er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.



	== Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)==		== Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)==