Trigonometri R2 - Sideversjonshistorikk

Administrator: Endret beskyttelsesnivå for «Trigonometri R2» (‎[move=sysop] (ubestemt))

2019-10-21T12:46:38Z

Endret beskyttelsesnivå for «Trigonometri R2» (‎[move=sysop] (ubestemt))

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. okt. 2019 kl. 12:46
(Ingen forskjell)

Administrator: /* Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x på tabellform */

2018-10-09T03:03:13Z

Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x på tabellform

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 9. okt. 2018 kl. 03:03
Linje 66:		Linje 66:

	[[Bilde:Trigverdier.png]]		[[Bilde:Trigverdier.png]]


			===Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x i enhetssirkelen (1. kvadrant)===


	[[Bilde:forste-kvadrant-1.png]]		[[Bilde:forste-kvadrant-1.png]]

Administrator: /* Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x */

2018-10-09T03:02:10Z

Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 9. okt. 2018 kl. 03:02
Linje 61:		Linje 61:
	Hvis du kan disse diagrammene utanat, vil du kunne vurdere hvilke løsninger du forventer til trigonometriske ligninger. Det vil bli lettere å vurdere om løsningene stemmer.		Hvis du kan disse diagrammene utanat, vil du kunne vurdere hvilke løsninger du forventer til trigonometriske ligninger. Det vil bli lettere å vurdere om løsningene stemmer.

	===Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x===		===Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x på tabellform===

	Verdiene i tabellen under bør du memorisere. Å kunne disse utenat vil være til stor hjelp i løsingen av trigonometriske ligninger.		Verdiene i tabellen under bør du memorisere. Å kunne disse utenat vil være til stor hjelp i løsingen av trigonometriske ligninger.

Administrator: /* Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x */

2018-10-09T02:59:23Z

Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 9. okt. 2018 kl. 02:59
Linje 66:		Linje 66:

	[[Bilde:Trigverdier.png]]		[[Bilde:Trigverdier.png]]
			[[Bilde:forste-kvadrant-1.png]]

	===Viktige trigonometriske identiteter===		===Viktige trigonometriske identiteter===

Administrator: /* Definisjon av sin x og cos x */

2018-10-09T02:57:05Z

Definisjon av sin x og cos x

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 9. okt. 2018 kl. 02:57
Linje 20:		Linje 20:

	De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens, som er et produkt av sinus og cosinus. Sinus er den viktigste trigonometriske funksjonen, siden alle de andre trigonometriske funksjonene kan utledes fra denne.		De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens, som er et produkt av sinus og cosinus. Sinus er den viktigste trigonometriske funksjonen, siden alle de andre trigonometriske funksjonene kan utledes fra denne.

			==Enhetssirkelen==

			Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.

	===Definisjon av sin x og cos x===		===Definisjon av sin x og cos x===

Administrator: /* Trigonometriske grunnligninger */

2016-10-01T12:40:55Z

Trigonometriske grunnligninger

@@ Linje 154: / Linje 154: @@
 :'''OBS!'''
 :Regelen om 2 løsninger per syklus gjelder bare hvis vi kan uttrykke ligningen ved én enkelt trigonometrisk funksjon, og denne ikke har sin største eller minste verdi. Som vi skal se senere kan funksjonen over beskrives på formen <math>f(x)=A\sin(x+\phi)+d</math>.
 </div>

Administrator: /* Trigonometriske grunnligninger */

2016-09-30T14:17:48Z

Trigonometriske grunnligninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. sep. 2016 kl. 14:17
Linje 181:		Linje 181:

	</div>		</div>



	~~[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8FA%2B8FB%2B8FC%2B8FD%2B8FE%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]~~

	==Derivasjon av trigonometriske funksjoner==		==Derivasjon av trigonometriske funksjoner==

Administrator: /* Eksempel: Omforming */

2016-09-30T14:17:15Z

Eksempel: Omforming

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. sep. 2016 kl. 14:17
Linje 185:		Linje 185:

	[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8FA%2B8FB%2B8FC%2B8FD%2B8FE%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]		[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8FA%2B8FB%2B8FC%2B8FD%2B8FE%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

	~~==='''Eksempel:''' Omforming===~~

	:Når vi får en ligning hender det ofte at det ikke finnes noen umiddelbar løsning. De trigonometriske funksjonene lar seg ikke faktorisere, og de er ikke på polynomform. Likevel kan det finnes transformasjoner eller identiteter som lar oss få ligningen over i en slik form. Det kan lære lurt å repetere [[Trigonometri#Viktige_trigonometriske_identiteter\|trigonometriske identiteter]] og [[Trigonometri#Sumformelen_for_sin_x_og_cos_x\|sumformlene]] på dette tidspunktet. Her skal vi vise to eksempler:


	~~</div>~~

	==Derivasjon av trigonometriske funksjoner==		==Derivasjon av trigonometriske funksjoner==

Administrator: /* Eksempel 2: */

2016-09-30T14:16:34Z

Eksempel 2:

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. sep. 2016 kl. 14:16
Linje 192:		Linje 192:

	</div>		</div>

	~~==='''Eksempel 2:'''===~~

	~~:::<math>\tan\,x+\sin\,2x=0\,,\,x\in[0,4\pi></math>~~

	:: Her har vi trigonometriske funksjoner av forskjellige perioder i samme likning. Det er en ganske sikkert hint om at vi kommer til å få bruk for sumformlene. Vi begynner med å skrive om <math>\tan\,x</math> ved hjelp av definisjonen av tangens:

	~~:::<math>\frac{\sin\,x}{\cos\,x}+\sin\,2x=0</math>~~

	~~::Nå kan vi trekke <math>\sin\,2x</math> fra begge sider av likhets tegnet.~~

	~~:::<math>\frac{\sin\,x}{\cos\,x}=-\sin\,2x</math>~~

	~~::Ettersom vi har <math>\cos\,x</math> i nevneren er det underforstådt at <math>\cos\,x\neq0</math>, så vi kan multiplisere begge sider av likhetstegnet med <math>\cos\,x</math>. Nå har vi~~

	~~:::<math>\sin\,x=-\sin\,2x\,\cos\,x</math>~~

	~~::Hvis vi nå begynner oss av sumformelen <math>\sin\,2x=2\sin\,x\,\cos\,x</math>, kan vi omforme ligningen til~~

	~~:::<math>\sin\,x=-\sin\,x\,\cos^2x</math>~~

	~~::Hvis vi nå legger til <math>\sin\,x\,\cos^2x</math> på hver side av likhetstegnet, får vi~~

	~~:::<math>\sin\,x\,\cos^2x+\sin\,x=0</math>~~

	~~::Og nå ser vi at vi kan faktorisere uttrykket og få noen trigonometriske grunnligninger:~~

	~~:::<math>\sin\,x\,\left( \cos^2\,x+1\right)=0 \,\Leftrightarrow\, \sin\,x\,\sin^2\,x=0\,\Leftrightarrow\,\sin^3x=0 \,\Leftrightarrow \sin\,x=0</math>~~

	~~:::<math>\sin\,x=0\,\Rightarrow x=k\cdot\pi\,,\,k\in\mathbb{Z}</math>~~

	::De tre <math>k</math>-verdiene som gjør at <math>x</math> faller innenfor definisjonsmengden <math>[0,4\pi></math> er <math>k=0</math>, <math>k=1</math>, <math>k=2</math> og <math>k=3</math>. Altså får vi løsningsmengden

	~~:::<math>L:\left{0,\pi,2\pi,3\pi}\,,\,x\in L</math>~~
	~~</blockquote>~~


	~~<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">~~
	~~Likninger av typen asinx + bcosx = 0 <p></p>~~

	~~Løses ved å dividerer begge sider av likningen med cosx~~

	~~</div>~~


	~~<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">~~
	~~'''Eksempel'''<p></p>~~
	~~Likninger av typen asinx + bcosx = 0 <p></p>~~

	~~Løses ved å dividerer begge sider av likningen med cosx~~

	~~</div>~~


	~~[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8FA%2B8FB%2B8FC%2B8FD%2B8FE%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]~~


	~~===Likninger av typen<p></p>~~
	~~''':::<math>a\sin^2x + bsinxcosx + ccos^2x = 0</math>'''=== <p></p>~~

	~~Løses ved å dividerer begge sider av likningen med: <p></p>~~
	~~:::<math> cos^2x</math>~~


	~~</div>~~


	~~[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8FA%2B8FB%2B8FC%2B8FD%2B8FE%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]~~

	~~<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">~~
	~~Likninger av typen<p></p>~~
	~~:::<math>a\sin^2x + bsinxcosx + ccos^2x = d</math> <p></p>~~

	~~Løses ved å sette: <p></p>~~
	~~:::<math> d\cdot 1 = d \cdot(cos^2x + sin^2x)</math>~~




	~~</div>~~


	~~<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">~~
	~~:'''Eksempel:'''<p></p>~~
	~~<math>sin x + cos x = 1</math> <p></p>~~
	~~<math> A=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt 2 \\ a = b = 1 </math><p></p>~~
	~~Vinkelen <math>\varphi</math> ligger i første kvadrant, <math>\varphi =tan^{-1}(1)= \frac {\pi}{4} </math>~~
	~~[[Bilde:phi.PNG]]~~
	~~<p></p>Vi får<p></p>~~
	~~<math>\sqrt 2 sin(x + \frac \pi 4) = 1</math> <p></p>~~

	~~[[Bilde:sincos.png]]~~

	~~</div>~~

	~~[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8FA%2B8FB%2B8FC%2B8FD%2B8FE%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]~~

	==Derivasjon av trigonometriske funksjoner==		==Derivasjon av trigonometriske funksjoner==

Administrator: /* Eksempel 2: */

2016-09-30T13:02:46Z

Eksempel 2:

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. sep. 2016 kl. 13:02
Linje 269:		Linje 269:


	~~Likninger av typen<p></p>~~
	~~:::<math>a\sin cx + bcos cx = d</math> <p></p>~~

	~~Løses ved å skrive om til: <p></p>~~
	~~:::<math> Asin (cx + \varphi)=d</math> der <math>A=\sqrt{a^2+b^2}</math> og <math>\varphi</math> er gitt ved<math>\varphi = \frac ba</math> og <math>\varphi</math>ligger i samme kvadrant som (a,b).~~

	</div>		</div>