Separable differensiallikninger - Sideversjonshistorikk

Plutarco på 1. mai 2013 kl. 01:59

2013-05-01T01:59:28Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 1. mai 2013 kl. 01:59
Linje 1:		Linje 1:
	En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <math>f^,(x)=g(x)h(f)</math> der <math>g</math> og <math>h</math> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <math>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</math>; vi "jukser" litt ved å betrakte <math>\frac{df}{dx}</math> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)		En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <math>f'(x)=g(x)h(f)</math> der <math>g</math> og <math>h</math> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <math>f'(x)\to \frac{df}{dx}</math>; vi "jukser" litt ved å betrakte <math>\frac{df}{dx}</math> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)


Linje 13:		Linje 13:
	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''<p></p>

	:Vi ser på ligningen <math>f^,=xf^2</math>. Denne er separabel med <math>g(x)=x</math> og <math>h(f)=f^2</math> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <math>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</math>. Integralene blir <math>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</math> og <math>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</math> for konstanter <math>A</math> og <math>B</math>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <math>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</math>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <math>B-A=C</math>, og får <math>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</math>. Løsningen blir dermed <math>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</math>		Vi ser på ligningen <math>f'=xf^2</math>. Denne er separabel med <math>g(x)=x</math> og <math>h(f)=f^2</math> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <math>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</math>. Integralene blir <math>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</math> og <math>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</math> for konstanter <math>A</math> og <math>B</math>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <math>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</math>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <math>B-A=C</math>, og får <math>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</math>. Løsningen blir dermed <math>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</math>



	: Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <math>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</math>.		<p></p>Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <math>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})'=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</math>.
	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:22Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Linje 1:		Linje 1:
	En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <math>f^,(x)=g(x)h(f)</~~tex~~> der <math>g</~~tex~~> og <math>h</~~tex~~> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <math>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</~~tex~~>; vi "jukser" litt ved å betrakte <math>\frac{df}{dx}</~~tex~~> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)		En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <math>f^,(x)=g(x)h(f)</math> der <math>g</math> og <math>h</math> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <math>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</math>; vi "jukser" litt ved å betrakte <math>\frac{df}{dx}</math> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)


Linje 5:		Linje 5:


	:<math>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </~~tex~~>		:<math>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </math>


Linje 15:		Linje 15:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:Vi ser på ligningen <math>f^,=xf^2</~~tex~~>. Denne er separabel med <math>g(x)=x</~~tex~~> og <math>h(f)=f^2</~~tex~~> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <math>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</~~tex~~>. Integralene blir <math>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</~~tex~~> og <math>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</~~tex~~> for konstanter <math>A</~~tex~~> og <math>B</~~tex~~>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <math>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</~~tex~~>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <math>B-A=C</~~tex~~>, og får <math>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</~~tex~~>. Løsningen blir dermed <math>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</~~tex~~>		:Vi ser på ligningen <math>f^,=xf^2</math>. Denne er separabel med <math>g(x)=x</math> og <math>h(f)=f^2</math> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <math>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</math>. Integralene blir <math>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</math> og <math>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</math> for konstanter <math>A</math> og <math>B</math>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <math>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</math>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <math>B-A=C</math>, og får <math>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</math>. Løsningen blir dermed <math>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</math>



	: Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <math>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</~~tex~~>.		: Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <math>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</math>.
	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:59Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 1:		Linje 1:
	En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <~~tex~~>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <~~tex~~>g</tex> og <~~tex~~>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <~~tex~~>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</tex>; vi "jukser" litt ved å betrakte <~~tex~~>\frac{df}{dx}</tex> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)		En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <math>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <math>g</tex> og <math>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <math>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</tex>; vi "jukser" litt ved å betrakte <math>\frac{df}{dx}</tex> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)


Linje 5:		Linje 5:


	:<~~tex~~>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </tex>		:<math>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </tex>


Linje 15:		Linje 15:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:Vi ser på ligningen <~~tex~~>f^,=xf^2</tex>. Denne er separabel med <~~tex~~>g(x)=x</tex> og <~~tex~~>h(f)=f^2</tex> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <~~tex~~>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</tex>. Integralene blir <~~tex~~>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</tex> og <~~tex~~>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</tex> for konstanter <~~tex~~>A</tex> og <~~tex~~>B</tex>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <~~tex~~>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</tex>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <~~tex~~>B-A=C</tex>, og får <~~tex~~>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</tex>. Løsningen blir dermed <~~tex~~>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</tex>		:Vi ser på ligningen <math>f^,=xf^2</tex>. Denne er separabel med <math>g(x)=x</tex> og <math>h(f)=f^2</tex> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <math>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</tex>. Integralene blir <math>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</tex> og <math>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</tex> for konstanter <math>A</tex> og <math>B</tex>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <math>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</tex>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <math>B-A=C</tex>, og får <math>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</tex>. Løsningen blir dermed <math>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</tex>



	: Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <~~tex~~>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</tex>.		: Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <math>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</tex>.
	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco på 5. feb. 2010 kl. 15:33

2010-02-05T15:33:28Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2010 kl. 15:33
Linje 1:		Linje 1:
	En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <tex>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <tex>g</tex> og <tex>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <tex>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</tex>; vi "jukser" litt ved å betrakte <tex>\frac{df}{dx}</tex> som en brøk i tradisjonell forstand.		En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <tex>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <tex>g</tex> og <tex>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <tex>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</tex>; vi "jukser" litt ved å betrakte <tex>\frac{df}{dx}</tex> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)

Plutarco: Ny side: En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen f^,(x)=g(x)h(f) der g og h er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formel...

2010-01-23T09:28:30Z

Ny side: En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <tex>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <tex>g</tex> og <tex>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formel...

Ny side

En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <tex>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <tex>g</tex> og <tex>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <tex>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</tex>; vi "jukser" litt ved å betrakte <tex>\frac{df}{dx}</tex> som en brøk i tradisjonell forstand.

Den generelle løsningsmetoden for separable diff.ligninger blir da:

:<tex>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </tex>

Løser vi integralene har vi i prinsippet løst diff.ligningen.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel'''

:Vi ser på ligningen <tex>f^,=xf^2</tex>. Denne er separabel med <tex>g(x)=x</tex> og <tex>h(f)=f^2</tex> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <tex>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</tex>. Integralene blir <tex>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</tex> og <tex>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</tex> for konstanter <tex>A</tex> og <tex>B</tex>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <tex>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</tex>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <tex>B-A=C</tex>, og får <tex>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</tex>. Løsningen blir dermed <tex>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</tex>

: Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <tex>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</tex>.
</blockquote>