S2 2025 vår LØSNING - Sideversjonshistorikk

Quiz: /* Oppgave 4 */

2025-08-03T13:44:11Z

Oppgave 4

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 3. aug. 2025 kl. 13:44
Linje 258:		Linje 258:
	Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:		Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

	[[File: ~~S2_V25_del2_4b~~.png\|300px]]		[[File: S2_V25_del2_4b2.png\|300px]]

			Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

	~~Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.~~

	===c)===		===c)===

2025-07-05T08:49:08Z

Oppgave 4

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. jul. 2025 kl. 08:49
Linje 94:		Linje 94:
	===a)===		===a)===

	Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2.		Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

	Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.		Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

2025-07-05T08:39:40Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. jul. 2025 kl. 08:39
Linje 30:		Linje 30:

	$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln \|u\|+C = ln \|x^2-x-6\|+C$		$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln \|u\|+C = ln \|x^2-x-6\|+C$

			Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

	==Oppgave 2==		==Oppgave 2==

2025-07-05T08:37:41Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. jul. 2025 kl. 08:37
Linje 21:		Linje 21:
	$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$		$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

	Bruker ~~delbrøkoppspalting~~:		Bruker integrasjon ved variabelskifte:

	$~~\frac{2x-1}{~~x^2-x-6~~}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}~~$		$u=x^2-x-6$

	$2x-1~~=A(x+2)+B(x-3)~~$		$u'=2x-1$

	$~~2x-1~~=~~Ax+2A+Bx-3B~~$		$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

	~~$-1=(A+B-2)x+2A-3B$~~		$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln \|u\|+C = ln \|x^2-x-6\|+C$

	~~Vi får to likninger:~~

	~~$A+B-2=0 \quad \wedge \quad 2A-3B=-1$~~

	~~$A=-B+2 \quad \wedge \quad 2(-B+2)-3B=-1$~~

	~~$A=-B+2 \quad \wedge \quad -5B=-5$~~

	~~$A=1 \quad \wedge \quad B=1$~~

	~~Setter verdiene for A og B inn i det opprinnelige integralet:~~

	$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{A}{~~x-3~~}+\frac{B}{~~x+2~~}~~dx$~~

	~~$=\int~~\frac{1}{~~x-3~~}~~dx+~~\int\frac{1}{~~x+2~~}~~dx$~~

	$=ln~~(x-3)~~+ln(x+2)+C$

	==Oppgave 2==		==Oppgave 2==

2025-07-04T11:00:55Z

Oppgave 5

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2025 kl. 11:00
Linje 294:		Linje 294:
	Integrerer hvert ledd og får:		Integrerer hvert ledd og får:

	$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4=-ln\|x-1\|$		$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln\|x-1\|$

	Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.		Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

2025-07-04T11:00:28Z

Oppgave 5

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2025 kl. 11:00
Linje 296:		Linje 296:
	$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4=-ln\|x-1\|$		$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4=-ln\|x-1\|$

	Jeg har brukt CAS til å integrere $-~~ln\|~~x~~-1\|~~$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.		Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

	[[File: S2_V25_del2_5.png\|~~300px~~]]		[[File: S2_V25_del2_5.png\|100px]]

	Vi har rekken		Vi har rekken

2025-07-04T10:59:53Z

Oppgave 5

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2025 kl. 10:59
Linje 295:		Linje 295:

	$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4=-ln\|x-1\|$		$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4=-ln\|x-1\|$

			Jeg har brukt CAS til å integrere $-ln\|x-1\|$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

			[[File: S2_V25_del2_5.png\|300px]]

	Vi har rekken		Vi har rekken

2025-07-04T10:57:56Z

Oppgave 5

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2025 kl. 10:57
Linje 285:		Linje 285:

	==Oppgave 5==		==Oppgave 5==

			For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

			har vi at

			$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

			Integrerer hvert ledd og får:

			$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4=-ln\|x-1\|$

			Vi har rekken

			$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

			som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

			Summen av denne rekken er altså

			$-ln\|\frac{1}{2}-1\|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

2025-07-04T10:30:15Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2025 kl. 10:30
Linje 283:		Linje 283:

	Nora vil akkurat ikke nå målet sitt (men ikke langt unna).		Nora vil akkurat ikke nå målet sitt (men ikke langt unna).

			==Oppgave 5==

2025-07-04T10:24:44Z

Oppgave 4

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2025 kl. 10:24
Linje 279:		Linje 279:

	===c)===		===c)===

			[[File: S2_V25_del2_4c.png\|300px]]

			Nora vil akkurat ikke nå målet sitt (men ikke langt unna).