Relasjoner - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:20Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:58Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 3:		Linje 3:
	==Definisjoner==		==Definisjoner==

	La <~~tex~~>X</tex> være en mengde, og la <~~tex~~>a,b,c\in X</tex>. Vi noterer en relasjone mellom <~~tex~~>a</tex> og <~~tex~~>b</tex> ved å skrive <~~tex~~>a\sim b</tex>. La oss se på følgende egenskaper en relasjon kan tenkes å ha:		La <math>X</tex> være en mengde, og la <math>a,b,c\in X</tex>. Vi noterer en relasjone mellom <math>a</tex> og <math>b</tex> ved å skrive <math>a\sim b</tex>. La oss se på følgende egenskaper en relasjon kan tenkes å ha:


	1. <~~tex~~>a\sim a</tex> (Refleksivitet)		1. <math>a\sim a</tex> (Refleksivitet)

	2. <~~tex~~>a\sim b \, \Leftrightarrow \, b\sim a</tex> (Symmetri)		2. <math>a\sim b \, \Leftrightarrow \, b\sim a</tex> (Symmetri)

	3. Hvis <~~tex~~>a\sim b</tex> og <~~tex~~>b\sim a</tex>, så er <~~tex~~>a=b</tex> (Antisymmetri)		3. Hvis <math>a\sim b</tex> og <math>b\sim a</tex>, så er <math>a=b</tex> (Antisymmetri)

	4. Hvis <~~tex~~>a\sim b</tex> og <~~tex~~>b\sim c</tex>, så er <~~tex~~>a\sim c</tex> (Transitivitet)		4. Hvis <math>a\sim b</tex> og <math>b\sim c</tex>, så er <math>a\sim c</tex> (Transitivitet)


	==Ordningsrelasjoner==		==Ordningsrelasjoner==

	En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <~~tex~~>X</tex>. I dette tilfellet kan vi skrive <~~tex~~>\sim</tex> som <~~tex~~>\leq</tex>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <~~tex~~>a,b\in X</tex> har enten <~~tex~~>a\leq b</tex> eller <~~tex~~>b\leq a</tex>. En mengde med en partiell (total) ordning kalles en partiellt (totalt) ordnet mengde.		En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <math>X</tex>. I dette tilfellet kan vi skrive <math>\sim</tex> som <math>\leq</tex>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <math>a,b\in X</tex> har enten <math>a\leq b</tex> eller <math>b\leq a</tex>. En mengde med en partiell (total) ordning kalles en partiellt (totalt) ordnet mengde.

	===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===		===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===

	La <~~tex~~>X</tex> være en mengde med en partiell ordningsrelasjon. Da sier Hausdorffs maksimalitetsprinsipp an enhver totalt ordnet undermengde av <~~tex~~>X</tex> er inkludert i en maksimal totalt ordnet undermengde.		La <math>X</tex> være en mengde med en partiell ordningsrelasjon. Da sier Hausdorffs maksimalitetsprinsipp an enhver totalt ordnet undermengde av <math>X</tex> er inkludert i en maksimal totalt ordnet undermengde.

	Utsagnet er ekvivalent med Zorns lemma, som sier at enhver totalt ordnet undermengde har en øvre grense i <~~tex~~>X</tex>.		Utsagnet er ekvivalent med Zorns lemma, som sier at enhver totalt ordnet undermengde har en øvre grense i <math>X</tex>.

	Det er også et av mange utsagn som er ekvivalent til utvalgsaksiomet i mengdelære.		Det er også et av mange utsagn som er ekvivalent til utvalgsaksiomet i mengdelære.
Linje 29:		Linje 29:
	==Ekvivalensrelasjoner==		==Ekvivalensrelasjoner==

	En relasjon som oppfyller 1., 2. og 4. kalles en ekvivalensrelasjon på <~~tex~~>X</tex>.		En relasjon som oppfyller 1., 2. og 4. kalles en ekvivalensrelasjon på <math>X</tex>.

	For en gitt ekvivalensrelasjon på <~~tex~~>X</tex> kan vi definere ekvivalensklassen til et element <~~tex~~>a</tex> som		For en gitt ekvivalensrelasjon på <math>X</tex> kan vi definere ekvivalensklassen til et element <math>a</tex> som

	<~~tex~~>[a]=\{ b \in X \| a\sim b\}</tex>		<math>[a]=\{ b \in X \| a\sim b\}</tex>


	Noen elementære egenskaper til ekvivalensklasser er		Noen elementære egenskaper til ekvivalensklasser er

	1. <~~tex~~>a\sim b \, \Rightarrow \, [a]=[b]</tex>		1. <math>a\sim b \, \Rightarrow \, [a]=[b]</tex>

	2. Hvis <~~tex~~>A</tex> og <~~tex~~>B</tex> er ekvivalensklasser, har vi <~~tex~~>A\cap B \neq \emptyset \, \Rightarrow \, A=B</tex>		2. Hvis <math>A</tex> og <math>B</tex> er ekvivalensklasser, har vi <math>A\cap B \neq \emptyset \, \Rightarrow \, A=B</tex>

	3. Enhver <~~tex~~>a\in X</tex> er et medlem av én og bare én ekvivalensklasse.		3. Enhver <math>a\in X</tex> er et medlem av én og bare én ekvivalensklasse.

	===Partisjoner===		===Partisjoner===

	Definer en partisjon av <~~tex~~>X</tex> som en samling av disjunkte undermengder av <~~tex~~>X</tex> hvis union er <~~tex~~>X</tex>. Da følger det umiddelbart at enhver <~~tex~~>a\in X</tex> er et element i én og kun én av disse undermengdene. Definer <~~tex~~>a\sim b</tex> hvis og bare hvis <~~tex~~>a</tex> og <~~tex~~>b</tex> er medlemmer av samme undermengde i en gitt partisjon. Da er <~~tex~~>\sim</tex> en ekvivalensrelasjon, og ekvivalensklassene er undermengdene i partisjonen.		Definer en partisjon av <math>X</tex> som en samling av disjunkte undermengder av <math>X</tex> hvis union er <math>X</tex>. Da følger det umiddelbart at enhver <math>a\in X</tex> er et element i én og kun én av disse undermengdene. Definer <math>a\sim b</tex> hvis og bare hvis <math>a</tex> og <math>b</tex> er medlemmer av samme undermengde i en gitt partisjon. Da er <math>\sim</tex> en ekvivalensrelasjon, og ekvivalensklassene er undermengdene i partisjonen.

	På den andre siden kan vi la <~~tex~~>\sim</tex> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <~~tex~~>X</tex>.		På den andre siden kan vi la <math>\sim</tex> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <math>X</tex>.

	Vi har dermed en naturlig sammenheng mellom partisjoner av <~~tex~~>X</tex> på den ene siden, og ekvivalensrelasjoner på <~~tex~~>X</tex> på den andre.		Vi har dermed en naturlig sammenheng mellom partisjoner av <math>X</tex> på den ene siden, og ekvivalensrelasjoner på <math>X</tex> på den andre.

	[[Kategori:Logikk og mengdelære]]		[[Kategori:Logikk og mengdelære]]

Espen180: /* Partisjoner */

2011-09-21T19:26:35Z

Partisjoner

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. sep. 2011 kl. 19:26
Linje 49:		Linje 49:

	På den andre siden kan vi la <tex>\sim</tex> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <tex>X</tex>.		På den andre siden kan vi la <tex>\sim</tex> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <tex>X</tex>.

			Vi har dermed en naturlig sammenheng mellom partisjoner av <tex>X</tex> på den ene siden, og ekvivalensrelasjoner på <tex>X</tex> på den andre.

	[[Kategori:Logikk og mengdelære]]		[[Kategori:Logikk og mengdelære]]

Espen180 på 21. sep. 2011 kl. 19:09

2011-09-21T19:09:57Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. sep. 2011 kl. 19:09
Linje 49:		Linje 49:

	På den andre siden kan vi la <tex>\sim</tex> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <tex>X</tex>.		På den andre siden kan vi la <tex>\sim</tex> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <tex>X</tex>.

			[[Kategori:Logikk og mengdelære]]

Espen180 på 21. sep. 2011 kl. 19:08

2011-09-21T19:08:23Z

@@ Linje 17: / Linje 17: @@
 ==Ordningsrelasjoner==
-En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <tex>X</tex>. I dette tilfellet kan vi skrive <tex>\sim</tex> som <tex>\leq</tex>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <tex>a,b\in X</tex> har enten <tex>a\leq b</tex> eller <tex>b\leq a</tex>.
+En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <tex>X</tex>. I dette tilfellet kan vi skrive <tex>\sim</tex> som <tex>\leq</tex>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <tex>a,b\in X</tex> har enten <tex>a\leq b</tex> eller <tex>b\leq a</tex>. En mengde med en partiell (total) ordning kalles en partiellt (totalt) ordnet mengde.
 ===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===
@@ Linje 28: / Linje 28: @@
 ==Ekvivalensrelasjoner==

Espen180: /* Hausdorffs maksimalitetsprinsipp */

2011-09-21T18:53:28Z

Hausdorffs maksimalitetsprinsipp

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. sep. 2011 kl. 18:53
Linje 20:		Linje 20:

	===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===		===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===

			La <tex>X</tex> være en mengde med en partiell ordningsrelasjon. Da sier Hausdorffs maksimalitetsprinsipp an enhver totalt ordnet undermengde av <tex>X</tex> er inkludert i en maksimal totalt ordnet undermengde.

			Utsagnet er ekvivalent med Zorns lemma, som sier at enhver totalt ordnet undermengde har en øvre grense i <tex>X</tex>.

			Det er også et av mange utsagn som er ekvivalent til utvalgsaksiomet i mengdelære.

	==Ekvivalensrelasjoner==		==Ekvivalensrelasjoner==

Espen180 på 21. sep. 2011 kl. 18:21

2011-09-21T18:21:07Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. sep. 2011 kl. 18:21
Linje 18:		Linje 18:

	En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <tex>X</tex>. I dette tilfellet kan vi skrive <tex>\sim</tex> som <tex>\leq</tex>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <tex>a,b\in X</tex> har enten <tex>a\leq b</tex> eller <tex>b\leq a</tex>.		En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <tex>X</tex>. I dette tilfellet kan vi skrive <tex>\sim</tex> som <tex>\leq</tex>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <tex>a,b\in X</tex> har enten <tex>a\leq b</tex> eller <tex>b\leq a</tex>.

			===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===

			==Ekvivalensrelasjoner==

Espen180: Ny side: Relasjoner er sammenhenger som eksisterer mellom elementer i en mengde. ==Definisjoner== La X være en mengde, og la a,b,c\in X. Vi noterer en relasjone mellom ...

2011-09-21T18:18:13Z

Ny side: Relasjoner er sammenhenger som eksisterer mellom elementer i en mengde. ==Definisjoner== La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>a,b,c\in X</tex>. Vi noterer en relasjone mellom <tex>...

Ny side

Relasjoner er sammenhenger som eksisterer mellom elementer i en mengde.

==Definisjoner==

La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>a,b,c\in X</tex>. Vi noterer en relasjone mellom <tex>a</tex> og <tex>b</tex> ved å skrive <tex>a\sim b</tex>. La oss se på følgende egenskaper en relasjon kan tenkes å ha:

1. <tex>a\sim a</tex> (Refleksivitet)

2. <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, b\sim a</tex> (Symmetri)

3. Hvis <tex>a\sim b</tex> og <tex>b\sim a</tex>, så er <tex>a=b</tex> (Antisymmetri)

4. Hvis <tex>a\sim b</tex> og <tex>b\sim c</tex>, så er <tex>a\sim c</tex> (Transitivitet)

==Ordningsrelasjoner==

En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <tex>X</tex>. I dette tilfellet kan vi skrive <tex>\sim</tex> som <tex>\leq</tex>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <tex>a,b\in X</tex> har enten <tex>a\leq b</tex> eller <tex>b\leq a</tex>.

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Linje 3:		Linje 3:
	==Definisjoner==		==Definisjoner==

	La <math>X</~~tex~~> være en mengde, og la <math>a,b,c\in X</~~tex~~>. Vi noterer en relasjone mellom <math>a</~~tex~~> og <math>b</~~tex~~> ved å skrive <math>a\sim b</~~tex~~>. La oss se på følgende egenskaper en relasjon kan tenkes å ha:		La <math>X</math> være en mengde, og la <math>a,b,c\in X</math>. Vi noterer en relasjone mellom <math>a</math> og <math>b</math> ved å skrive <math>a\sim b</math>. La oss se på følgende egenskaper en relasjon kan tenkes å ha:


	1. <math>a\sim a</~~tex~~> (Refleksivitet)		1. <math>a\sim a</math> (Refleksivitet)

	2. <math>a\sim b \, \Leftrightarrow \, b\sim a</~~tex~~> (Symmetri)		2. <math>a\sim b \, \Leftrightarrow \, b\sim a</math> (Symmetri)

	3. Hvis <math>a\sim b</~~tex~~> og <math>b\sim a</~~tex~~>, så er <math>a=b</~~tex~~> (Antisymmetri)		3. Hvis <math>a\sim b</math> og <math>b\sim a</math>, så er <math>a=b</math> (Antisymmetri)

	4. Hvis <math>a\sim b</~~tex~~> og <math>b\sim c</~~tex~~>, så er <math>a\sim c</~~tex~~> (Transitivitet)		4. Hvis <math>a\sim b</math> og <math>b\sim c</math>, så er <math>a\sim c</math> (Transitivitet)


	==Ordningsrelasjoner==		==Ordningsrelasjoner==

	En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <math>X</~~tex~~>. I dette tilfellet kan vi skrive <math>\sim</~~tex~~> som <math>\leq</~~tex~~>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <math>a,b\in X</~~tex~~> har enten <math>a\leq b</~~tex~~> eller <math>b\leq a</~~tex~~>. En mengde med en partiell (total) ordning kalles en partiellt (totalt) ordnet mengde.		En relasjon som oppfyller 1., 3. og 4. kalles en partiell ordningsrelasjon på <math>X</math>. I dette tilfellet kan vi skrive <math>\sim</math> som <math>\leq</math>. En ordning er total (evt. lineær eller enkel), hvis vi for hvert par <math>a,b\in X</math> har enten <math>a\leq b</math> eller <math>b\leq a</math>. En mengde med en partiell (total) ordning kalles en partiellt (totalt) ordnet mengde.

	===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===		===Hausdorffs maksimalitetsprinsipp===

	La <math>X</~~tex~~> være en mengde med en partiell ordningsrelasjon. Da sier Hausdorffs maksimalitetsprinsipp an enhver totalt ordnet undermengde av <math>X</~~tex~~> er inkludert i en maksimal totalt ordnet undermengde.		La <math>X</math> være en mengde med en partiell ordningsrelasjon. Da sier Hausdorffs maksimalitetsprinsipp an enhver totalt ordnet undermengde av <math>X</math> er inkludert i en maksimal totalt ordnet undermengde.

	Utsagnet er ekvivalent med Zorns lemma, som sier at enhver totalt ordnet undermengde har en øvre grense i <math>X</~~tex~~>.		Utsagnet er ekvivalent med Zorns lemma, som sier at enhver totalt ordnet undermengde har en øvre grense i <math>X</math>.

	Det er også et av mange utsagn som er ekvivalent til utvalgsaksiomet i mengdelære.		Det er også et av mange utsagn som er ekvivalent til utvalgsaksiomet i mengdelære.
Linje 29:		Linje 29:
	==Ekvivalensrelasjoner==		==Ekvivalensrelasjoner==

	En relasjon som oppfyller 1., 2. og 4. kalles en ekvivalensrelasjon på <math>X</~~tex~~>.		En relasjon som oppfyller 1., 2. og 4. kalles en ekvivalensrelasjon på <math>X</math>.

	For en gitt ekvivalensrelasjon på <math>X</~~tex~~> kan vi definere ekvivalensklassen til et element <math>a</~~tex~~> som		For en gitt ekvivalensrelasjon på <math>X</math> kan vi definere ekvivalensklassen til et element <math>a</math> som

	<math>[a]=\{ b \in X \| a\sim b\}</~~tex~~>		<math>[a]=\{ b \in X \| a\sim b\}</math>


	Noen elementære egenskaper til ekvivalensklasser er		Noen elementære egenskaper til ekvivalensklasser er

	1. <math>a\sim b \, \Rightarrow \, [a]=[b]</~~tex~~>		1. <math>a\sim b \, \Rightarrow \, [a]=[b]</math>

	2. Hvis <math>A</~~tex~~> og <math>B</~~tex~~> er ekvivalensklasser, har vi <math>A\cap B \neq \emptyset \, \Rightarrow \, A=B</~~tex~~>		2. Hvis <math>A</math> og <math>B</math> er ekvivalensklasser, har vi <math>A\cap B \neq \emptyset \, \Rightarrow \, A=B</math>

	3. Enhver <math>a\in X</~~tex~~> er et medlem av én og bare én ekvivalensklasse.		3. Enhver <math>a\in X</math> er et medlem av én og bare én ekvivalensklasse.

	===Partisjoner===		===Partisjoner===

	Definer en partisjon av <math>X</~~tex~~> som en samling av disjunkte undermengder av <math>X</~~tex~~> hvis union er <math>X</~~tex~~>. Da følger det umiddelbart at enhver <math>a\in X</~~tex~~> er et element i én og kun én av disse undermengdene. Definer <math>a\sim b</~~tex~~> hvis og bare hvis <math>a</~~tex~~> og <math>b</~~tex~~> er medlemmer av samme undermengde i en gitt partisjon. Da er <math>\sim</~~tex~~> en ekvivalensrelasjon, og ekvivalensklassene er undermengdene i partisjonen.		Definer en partisjon av <math>X</math> som en samling av disjunkte undermengder av <math>X</math> hvis union er <math>X</math>. Da følger det umiddelbart at enhver <math>a\in X</math> er et element i én og kun én av disse undermengdene. Definer <math>a\sim b</math> hvis og bare hvis <math>a</math> og <math>b</math> er medlemmer av samme undermengde i en gitt partisjon. Da er <math>\sim</math> en ekvivalensrelasjon, og ekvivalensklassene er undermengdene i partisjonen.

	På den andre siden kan vi la <math>\sim</~~tex~~> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <math>X</~~tex~~>.		På den andre siden kan vi la <math>\sim</math> være en ekvivalensrelasjon, og av egenskapene til ekvivalensklassene over kan vi fastslå at ekvivalensklassene partisjonerer <math>X</math>.

	Vi har dermed en naturlig sammenheng mellom partisjoner av <math>X</~~tex~~> på den ene siden, og ekvivalensrelasjoner på <math>X</~~tex~~> på den andre.		Vi har dermed en naturlig sammenheng mellom partisjoner av <math>X</math> på den ene siden, og ekvivalensrelasjoner på <math>X</math> på den andre.

	[[Kategori:Logikk og mengdelære]]		[[Kategori:Logikk og mengdelære]]