R2 2012 vår LØSNING - Sideversjonshistorikk

Vaktmester på 24. mai 2015 kl. 08:50

2015-05-24T08:50:43Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. mai 2015 kl. 08:50
Linje 2:		Linje 2:
	*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2012V_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Vurderingsskjema]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2012V_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Vurderingsskjema]
	*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2012V_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Sensorveiledning]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2012V_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Sensorveiledning]
			*[http://www.ulven.biz/r2/eksamen/R2_V12_ls.pdf Alternativt løsningsforslag fra H-P Ulven]
	}}		}}
	= Del 1 =		= Del 1 =

Vaktmester: /* b) */

2015-05-23T21:35:19Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 23. mai 2015 kl. 21:35
Linje 71:		Linje 71:
	=== b) ===		=== b) ===

	Ekstremalpunkter er gitt ved å nullstille den deriverte, altså løse $f'(x)=(x+1)e^x=0$. Siden eksponentialfunksjonen aldri er $0$, må $x+1=0$, som gir bunnpunkt i $x=-1$ siden den dobbeltderiverte er positiv i $x=-1$. ~~I bunnpunktet er~~ $f(-1)=0$. Vendepunkter finner vi fra nullpunktene til $f^{\prime\prime}(x)$, altså må vi løse $(x+2)e^x=0$, som har løsning $x=-2$. Koordinatet til vendepunktet blir derfor $(-2,f(-2))=(-2,-2 e^{-2})$.		Ekstremalpunkter er gitt ved å nullstille den deriverte, altså løse $f'(x)=(x+1)e^x=0$. Siden eksponentialfunksjonen aldri er $0$, må $x+1=0$, som gir bunnpunkt i $x=-1$ siden den dobbeltderiverte er positiv i $x=-1$.Koordinatet til vendepunktet blir $(-1, f(-1)) =(-1, -e^{-1})$. Vendepunkter finner vi fra nullpunktene til $f^{\prime\prime}(x)$, altså må vi løse $(x+2)e^x=0$, som har løsning $x=-2$. Koordinatet til vendepunktet blir derfor $(-2,f(-2))=(-2,-2 e^{-2})$.

	=== c) ===		=== c) ===

Vaktmester: /* b) */

2015-05-23T21:30:48Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 23. mai 2015 kl. 21:30
Linje 71:		Linje 71:
	=== b) ===		=== b) ===

	Ekstremalpunkter er gitt ved å nullstille den deriverte, altså løse $f'(x)=(x+1)e^x=0$. Siden eksponentialfunksjonen aldri er $0$, må $x+1=0$, som gir bunnpunkt i $x=-1$ siden den dobbeltderiverte er positiv i $x=-1$. I bunnpunktet er $f(-1)=0$. Vendepunkter finner vi fra nullpunktene til $f^{\prime\prime}(x)$, altså må vi løse $(x+2)e^x=0$, som har løsning $x=-2$. Koordinatet til vendepunktet blir derfor $(-2,f(-2))=(-2,-e^{-2})$.		Ekstremalpunkter er gitt ved å nullstille den deriverte, altså løse $f'(x)=(x+1)e^x=0$. Siden eksponentialfunksjonen aldri er $0$, må $x+1=0$, som gir bunnpunkt i $x=-1$ siden den dobbeltderiverte er positiv i $x=-1$. I bunnpunktet er $f(-1)=0$. Vendepunkter finner vi fra nullpunktene til $f^{\prime\prime}(x)$, altså må vi løse $(x+2)e^x=0$, som har løsning $x=-2$. Koordinatet til vendepunktet blir derfor $(-2,f(-2))=(-2,-2 e^{-2})$.

	=== c) ===		=== c) ===

Vaktmester: /* a) */

2015-05-23T21:25:56Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 23. mai 2015 kl. 21:25
Linje 19:		Linje 19:


	''' 3) ''' $k(x) = 5\cos(\frac{\pi}{12}x-2)+7 \\ k'(x) = - \frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{13}x-2)$		''' 3) ''' $k(x) = 5\cos(\frac{\pi}{12}x-2)+7 \\ k'(x) = - \frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{12}x-2)$



	=== b) ===		=== b) ===

Vaktmester: Teksterstatting – «/ressurser/eksamen/» til «/res/eksamen/»

2014-10-19T17:08:44Z

Teksterstatting – «/ressurser/eksamen/» til «/res/eksamen/»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. okt. 2014 kl. 17:08
Linje 1:		Linje 1:
	{{EksLenker\|1=		{{EksLenker\|1=
	*[http://www.matematikk.net/~~ressurser~~/eksamen/R2/sensur/2012V_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Vurderingsskjema]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2012V_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Vurderingsskjema]
	*[http://www.matematikk.net/~~ressurser~~/eksamen/R2/sensur/2012V_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Sensorveiledning]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2012V_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Sensorveiledning]
	}}		}}
	= Del 1 =		= Del 1 =

Vaktmester på 23. sep. 2014 kl. 21:31

2014-09-23T21:31:56Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 23. sep. 2014 kl. 21:31
Linje 1:		Linje 1:
			{{EksLenker\|1=
			*[http://www.matematikk.net/ressurser/eksamen/R2/sensur/2012V_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Vurderingsskjema]
			*[http://www.matematikk.net/ressurser/eksamen/R2/sensur/2012V_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_V12.pdf Sensorveiledning]
			}}
	= Del 1 =		= Del 1 =

Plutarco: /* b) */

2013-04-24T21:24:37Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. apr. 2013 kl. 21:24
Linje 120:		Linje 120:
	=== b) ===		=== b) ===

			\begin{align*}
	~~<math>~~ f(x) = \tan \alpha = \tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v} \\ = \frac{ \frac 4x - \frac 1x}{1 + \frac 4x \cdot \frac 1x} = \frac{4x-x}{x^2 + 4} = \frac{3x}{x^2 +4}~~</math>~~		f(x) & = \tan \alpha \\
			&= \tan (u - v) \\
			&= \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v} \\
			&= \frac{ \frac 4x - \frac 1x}{1 + \frac 4x \cdot \frac 1x} \\
			&= \frac{4x-x}{x^2 + 4} \\
			&= \frac{3x}{x^2 +4}
			\end{align*}

	=== c) ===		=== c) ===

Plutarco: /* a) */

2013-04-24T21:21:47Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. apr. 2013 kl. 21:21
Linje 111:		Linje 111:
	=== a) ===		=== a) ===

			\begin{align*}
	~~<math>~~ \tan(u-v) = \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)}\\ = \frac{\sin u \cdot \cos v - \cos u\cdot \sin v }{\cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v} \\ = \frac{ \frac {\sin u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} - \frac {\cos u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v} }{ \frac {\cos u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} + \frac{\sin u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v}} \\ = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}~~</math>~~		\tan(u-v) & = \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)} \\
			& = \frac{\sin u \cdot \cos v - \cos u\cdot \sin v }{\cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v} \\
			& = \frac{ \frac {\sin u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} - \frac {\cos u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v} }{ \frac {\cos u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} + \frac{\sin u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v}} \\
			& = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}
			\end{align*}

	=== b) ===		=== b) ===

Plutarco: /* Oppgave 4 */

2013-04-24T21:16:35Z

Oppgave 4

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. apr. 2013 kl. 21:16
Linje 84:		Linje 84:
	=== a) ===		=== a) ===

	$ f(t) = ~~19 -4\cos(\frac{\pi \cdot t}{180}) \\~~ f(85) = 19 -4\cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) = 18,65 $		25.mars svarer til dag $85$ etter nyttår. Altså er $t=85$. Vi har at $f(85) = 19 -4\cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) \approx 18,65 $. Altså begynner det å mørkne ca. kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, ifølge modellen.
	~~<p></p> Det~~ begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, ~~i følge~~ modellen.
	~~Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)~~

	=== b) ===		=== b) ===

	[[Fil:2012-r2-4b.png]]		[[Fil:2012-r2-4b.png]]
	~~<p></p> Likevektslinjen~~ er 19.~~<p></p> Amplitude:~~ Den største ~~verdi~~ f kan ha er 23, ~~da er~~ amplituden 4. ~~Det~~ kan ~~leses~~ fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren ~~i "cosinus" leddet~~.
	~~<p></p>~~
	Perioden er $360$.		Grafisk ser vi at likevektslinjen er $19$. Den største verdien $f(t)$ kan ha er $23$, så amplituden blir $23-19=4$. Amplituden kan også finnes direkte fra funksjonsuttrykket som absoluttverdien til faktoren foran $\cos$. Perioden er $360=12\cdot 30$. Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.
	~~<p></p>~~ Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.

	=== c) ===		=== c) ===

	Dette kan leses direkte fra grafen. ~~Man observerer~~ at det er to løsninger. ~~Man~~ kan ~~også regne det~~ ut:		Dette kan leses direkte fra grafen. Vi ser fra grafen over at det er to løsninger. Disse kan regnes ut, slik:
	~~<p></p>~~		\begin{align*}
	~~<math>~~ f(t) = 18 \\ 19 - 4\cos( \frac{\pi \cdot t}{180}) = 18 \\ t=76 \quad \vee \quad t= 256~~</math>~~		f(t) & = 18 \\
	~~<p></p>~~		19 - 4\cos( \frac{\pi \cdot t}{180}) & = 18 \\
	Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.		t & =76 \quad \vee \quad t= 256
			\end{align*}
			Lyset slåes på kl. 18:00 16. mars og 16. september.

	=== d) ===		=== d) ===

			Dagslyset varer lengst i toppunktet til $f(t)$. Det svarer til at $\cos (\frac{\pi}{180}t)=-1$, altså når $\frac{\pi}{180}t = \pi$. Da er $t=180$, så dagslyset varer lengt midt i året, 30.juni.

	== Oppgave 5 ==		== Oppgave 5 ==

Plutarco: /* d) */

2013-04-24T20:53:44Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. apr. 2013 kl. 20:53
Linje 209:		Linje 209:
	=== d) ===		=== d) ===

	$D$ ligger i planet $\alpha$, så vi må finne en $t$ slik at $(5+2t,-1-2t,4+t)$ tilfredsstiller ligningen for planet: $2x-2y+z+2=0$. Setter vi inn koordinatene i ligningen får vi at		$D$ ligger i planet $\alpha$, så vi må finne en $t$ slik at $(5+2t,-1-2t,4+t)$ tilfredsstiller ligningen for planet $\alpha$: $2x-2y+z+2=0$. Setter vi inn koordinatene i ligningen får vi at

	\begin{align*}		\begin{align*}