R2 2011 høst LØSNING - Sideversjonshistorikk

Vaktmester på 24. mai 2015 kl. 08:52

2015-05-24T08:52:53Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. mai 2015 kl. 08:52
Linje 2:		Linje 2:
	*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2011H_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Vurderingsskjema]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2011H_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Vurderingsskjema]
	*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2011H_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Sensorveiledning]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2011H_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Sensorveiledning]
			*[http://www.ulven.biz/r2/eksamen/R2_H11_ls.pdf Alternativt løsningsforslag fra H-P Ulven]
	}}		}}
	= Del 1 =		= Del 1 =

2014-10-19T17:08:33Z

Teksterstatting – «/ressurser/eksamen/» til «/res/eksamen/»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. okt. 2014 kl. 17:08
Linje 1:		Linje 1:
	{{EksLenker\|1=		{{EksLenker\|1=
	*[http://www.matematikk.net/~~ressurser~~/eksamen/R2/sensur/2011H_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Vurderingsskjema]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2011H_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Vurderingsskjema]
	*[http://www.matematikk.net/~~ressurser~~/eksamen/R2/sensur/2011H_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Sensorveiledning]		*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R2/sensur/2011H_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Sensorveiledning]
	}}		}}
	= Del 1 =		= Del 1 =

2014-09-23T21:33:37Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 23. sep. 2014 kl. 21:33
Linje 1:		Linje 1:
			{{EksLenker\|1=
			*[http://www.matematikk.net/ressurser/eksamen/R2/sensur/2011H_Vurderingsskjema_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Vurderingsskjema]
			*[http://www.matematikk.net/ressurser/eksamen/R2/sensur/2011H_Sensorveiledning_REA3024_Matematikk_R2_H11.pdf Sensorveiledning]
			}}
	= Del 1 =		= Del 1 =

2013-04-25T01:44:01Z

Oppgave 6

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. apr. 2013 kl. 01:44
Linje 171:		Linje 171:

	$y(0)=h=\frac14 C^2$, så én løsning er at $C= 2\sqrt{h}$. Da er $y(10)=\frac14 (-10k+2\sqrt{h})^2=\frac{h}{4}$. Løser vi denne for $k$ og tar rota av begge sider, får vi at $-10k+2\sqrt{h}=\sqrt{h}$. Så $\sqrt{h}=10k$ som er det samme som $k=\frac{1}{10}\sqrt{h}$.		$y(0)=h=\frac14 C^2$, så én løsning er at $C= 2\sqrt{h}$. Da er $y(10)=\frac14 (-10k+2\sqrt{h})^2=\frac{h}{4}$. Løser vi denne for $k$ og tar rota av begge sider, får vi at $-10k+2\sqrt{h}=\sqrt{h}$. Så $\sqrt{h}=10k$ som er det samme som $k=\frac{1}{10}\sqrt{h}$.

			Tanken er tom når vannhøyden er $0$, altså når $y(t)=0$. Da må $-kt+2\sqrt{h}=0$, så $t=\frac{2\sqrt{h}}{k}=\frac{2\sqrt{h}}{\frac{1}{10}\sqrt{h}}=20$

2013-04-25T01:34:27Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. apr. 2013 kl. 01:34
Linje 156:		Linje 156:

	Ligningene for planet gjennom punktet $(0,-7,-1)$ er gitt ved at $([x,y,z]-[0,-7,-1])\cdot [2,4,4]=0$, altså $2x+4y+28+4z+4=0$, som kan omskrives til $x+2y+2z+16=0$. Ligningene for planet gjennom punktet $(4,1,7)$ er gitt ved at $([x,y,z]-[4,1,7])\cdot [2,4,4]=0$, altså $2x-8+4y-4+4z-28=0$, som kan omskrives til $x+2y+2z-20=0$.		Ligningene for planet gjennom punktet $(0,-7,-1)$ er gitt ved at $([x,y,z]-[0,-7,-1])\cdot [2,4,4]=0$, altså $2x+4y+28+4z+4=0$, som kan omskrives til $x+2y+2z+16=0$. Ligningene for planet gjennom punktet $(4,1,7)$ er gitt ved at $([x,y,z]-[4,1,7])\cdot [2,4,4]=0$, altså $2x-8+4y-4+4z-28=0$, som kan omskrives til $x+2y+2z-20=0$.

			== Oppgave 6 ==

			=== a) ===

			$y'$ er hastigheten for endringen av vannhøyden. Torricellis lov sier at hastigheten synker propsjonal med rota av vannhøyden $\sqrt{y}$, altså må $y' = -k\sqrt{y}$ for en proposjonalitetskonstant $k>0$.

			=== b) ===

			Vi får at $\int \frac{dy}{\sqrt{y}} = \int-k\,dt $. Integrerer vi får vi at $2\sqrt{y}=-kt+C$. Altså blir $y=\frac14(-kt+C)^2$


			=== c) ===

			$y(0)=h=\frac14 C^2$, så én løsning er at $C= 2\sqrt{h}$. Da er $y(10)=\frac14 (-10k+2\sqrt{h})^2=\frac{h}{4}$. Løser vi denne for $k$ og tar rota av begge sider, får vi at $-10k+2\sqrt{h}=\sqrt{h}$. Så $\sqrt{h}=10k$ som er det samme som $k=\frac{1}{10}\sqrt{h}$.

2013-04-25T01:20:48Z

Oppgave 5

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. apr. 2013 kl. 01:20
Linje 144:		Linje 144:
	=== b) ===		=== b) ===

	En parametrisert linje er gitt ved $\vec{r}(t)=[2+2t, -3+4t, 3+4t]$.		En parametrisert linje er gitt ved $\vec{r}(t)=[2+2t, -3+4t, 3+4t]$. Setter vi inn koordinatene i kuleligningen og løser for $t$ finner vi skjæringspunktene mellom linja og kula. Vi får at

			\begin{equation*}
			(2t)^2+(4t)^2+(4t)^2=36
			\end{equation*}

			Altså er $36t^2 = 36$, som betyr at de to skjæringspunktene forekommer for $t=\pm 1$. De tilhørende koordinatene er derfor $\vec{r}(-1)=(0,-7,-1)$ og $\vec{r}(1)=(4,1,7)$.


			=== c) ===

			Ligningene for planet gjennom punktet $(0,-7,-1)$ er gitt ved at $([x,y,z]-[0,-7,-1])\cdot [2,4,4]=0$, altså $2x+4y+28+4z+4=0$, som kan omskrives til $x+2y+2z+16=0$. Ligningene for planet gjennom punktet $(4,1,7)$ er gitt ved at $([x,y,z]-[4,1,7])\cdot [2,4,4]=0$, altså $2x-8+4y-4+4z-28=0$, som kan omskrives til $x+2y+2z-20=0$.

2013-04-25T00:59:37Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. apr. 2013 kl. 00:59
Linje 121:		Linje 121:

	Arealene er $\int_0^{\sqrt{c}}cx-x^3\,dx$ og $\int_{-\sqrt{c}}^0 x^3-cx\,dx $. Foretar vi et variabelskifte i det siste integralet der vi lar $y=-x$, får vi at $\int_{-\sqrt{c}}^0 x^3-cx\,dx =\int_{\sqrt{c}}^0 y^3-cy\,dy=\int_0^{\sqrt{c}} -y^3+cy\,dy$. Altså er arealene like store.		Arealene er $\int_0^{\sqrt{c}}cx-x^3\,dx$ og $\int_{-\sqrt{c}}^0 x^3-cx\,dx $. Foretar vi et variabelskifte i det siste integralet der vi lar $y=-x$, får vi at $\int_{-\sqrt{c}}^0 x^3-cx\,dx =\int_{\sqrt{c}}^0 y^3-cy\,dy=\int_0^{\sqrt{c}} -y^3+cy\,dy$. Altså er arealene like store.

			== Oppgave 5 ==

			=== a) ===

			Fullføring av kvadrater gir at

			\begin{align*}
			x^2-4x &= x^2-4x+4-4 &= (x-2)^2 - 4 \\
			y^2+6y &= y^2+6y+ 9-9 &= (y+3)^2-9 \\
			z^2-6z &= z^2-6z+9-9 &= (z-3)^2-9
			\end{align*}

			Ligningen for kula kan derfor skrives

			\begin{equation*}
			(x-2)^2 + (y+3)^2+(z-3)^2 = 6^2
			\end{equation*}

			Altså har kula sentrum i $(2,-3,3)$, med radius $6$.

			=== b) ===

			En parametrisert linje er gitt ved $\vec{r}(t)=[2+2t, -3+4t, 3+4t]$.

2013-04-25T00:48:25Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. apr. 2013 kl. 00:48
Linje 110:		Linje 110:

	=== b) ===		=== b) ===

			Vi må løse ligningen $x^2+3 = -x^3+x^2+4x+3$. Altså er $x^3-4x=x(x^2-4)=0$, som gir at $x=0$ eller $x=\pm 2$. Ufra grafen ser vi at dette stemmer.

			=== c) ===

			Arealene er like store pga. symmetrier. Arealet til høyre blir $\int_0^2 -x^3+4x\,dx = [2x^2-\frac14x^4]_0^2=8-4=4$.


			=== d) ===

			Arealene er $\int_0^{\sqrt{c}}cx-x^3\,dx$ og $\int_{-\sqrt{c}}^0 x^3-cx\,dx $. Foretar vi et variabelskifte i det siste integralet der vi lar $y=-x$, får vi at $\int_{-\sqrt{c}}^0 x^3-cx\,dx =\int_{\sqrt{c}}^0 y^3-cy\,dy=\int_0^{\sqrt{c}} -y^3+cy\,dy$. Altså er arealene like store.

2013-04-25T00:35:18Z

2013-04-25T00:34:20Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. apr. 2013 kl. 00:34
Linje 101:		Linje 101:

	$S(x)=-1 = \frac{2x}{x-1}$ gir at $1-x=2x$, så $x=\frac13$. $S(x)=3=\frac{2x}{x-1}$ gir at $3x-3=2x$, så $x=3$.		$S(x)=-1 = \frac{2x}{x-1}$ gir at $1-x=2x$, så $x=\frac13$. $S(x)=3=\frac{2x}{x-1}$ gir at $3x-3=2x$, så $x=3$.


			== Oppgave 4 ==

			=== a) ===

			=== b) ===