R2 2010 vår LØSNING - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: /* e) */

2013-05-16T18:49:37Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 16. mai 2013 kl. 18:49
Linje 83:		Linje 83:

	=== e) ===		=== e) ===
			Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det $\frac{21}{2}\|t+2\| = 42$ som gir

	~~Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det~~ $~~\frac{21}{~~2}\|t+2\| = 42$ ~~som gir~~		$t + 2 = 4$ eller $t + 2 = -4$

	~~t + 2 = 4 eller t + 2 = -4 <p></p>~~
	<math>t = -6</math> eller <math>t = 2</math><p></p>		<math>t = -6</math> eller <math>t = 2</math><p></p>

	Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:		Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:

Vaktmester på 16. mai 2013 kl. 18:48

2013-05-16T18:48:31Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 16. mai 2013 kl. 18:48
Linje 84:		Linje 84:
	=== e) ===		=== e) ===

	Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det \|5t+12\|= 18 som gir~~<p></p>~~		Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det $\frac{21}{2}\|t+2\| = 42$ som gir

	5t + 12 = 18 eller 5t + 12 = -18 <p></p>		t + 2 = 4 eller t + 2 = -4 <p></p>
	<math>t = ~~\frac{~~6~~}{5}~~</math> eller <math>t = 6</math><p></p>		<math>t = -6</math> eller <math>t = 2</math><p></p>
	Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:		Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:
	~~<p></p>~~
	<math> Q= ( ~~\frac{37}{5}~~, ~~\frac{32}{5}~~, ~~\frac{26}{5}~~)</math> eller $Q = (-7, -8, - 2)$.		<math> Q= ( 9, 8, 6)</math> eller $Q = (-7, -8, - 2)$.

	= Del 2 =		= Del 2 =

Vaktmester: /* d) */

2013-05-16T18:41:24Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 16. mai 2013 kl. 18:41
Linje 74:		Linje 74:
	Et vilkårlig punkt Q på linjen l er gitt ved parameterfremstillingen for l. Man får:<p></p>		Et vilkårlig punkt Q på linjen l er gitt ved parameterfremstillingen for l. Man får:<p></p>
	<math> V_{ABCQ} = \frac16\|(\vec{AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec{AQ}\|</math>		<math> V_{ABCQ} = \frac16\|(\vec{AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec{AQ}\|</math>
	~~<p></p>~~

	<math> \vec{AQ}= [5+2t-3, 4+2t-0, 4+t+2] = [2t+2, 2t+4, t+6] </math>		<math> \vec{AQ}= [5+2t-3, 4+2t-0, 4+t+2] = [2t+2, 2t+4, t+6] </math>
	innsatt i likningen over gir det:~~<p></p>~~		innsatt i likningen over gir det:
	<math> V_{ABCQ} = \frac16\|[14, 14, 7] \cdot [2t+2, 2t+4, t+6] \| = \~~frac73~~\|5t+12\|</math>
	~~<p></p~~>
			<math> V_{ABCQ} = \frac16\|[14, 14, 7] \cdot [2t+2, 2t+4, t+6] \| = \frac{21}{2}\|t+2\|</math>

	=== e) ===		=== e) ===

Plutarco: /* Oppgave 5 */

2013-04-22T02:29:59Z

Oppgave 5

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:29
Linje 156:		Linje 156:
	=== a) ===		=== a) ===

	Eksponentialfunksjonen er alltid positiv, så for å finne nullpunktene må vi løse ligningen ~~<math>~~\sin(x)+\cos(x)=0~~</math>~~. Denne kan omskrives til ~~<math>~~\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)=-1~~</math>~~, så ~~<math>~~x=\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}+n\pi=\frac{3\pi}{4}+(n-1)\pi\approx 2.356+(n-1)\pi~~</math>~~		Eksponentialfunksjonen er alltid positiv, så for å finne nullpunktene må vi løse ligningen $\sin x +\cos x =0$. Denne kan omskrives til $\frac{\sin x }{\cos x }=\tan x =-1$, så $x=\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}+n\pi=\frac{3\pi}{4}+(n-1)\pi\approx 2.356+(n-1)\pi$

	=== b) ===		=== b) ===

	Nullpunktene danner en aritmetisk progresjon på formen ~~<math>~~a_n=a_1+(n-1)d~~</math>~~. Dersom ~~<math>~~n=10~~</math>~~ er ~~<math>~~x_{10}=2.356+9\pi\approx 30.63~~</math>~~, så vi må ha at ~~<math>~~1\leq n\leq 9~~</math>~~. Altså er det ~~<math>~~9~~</math>~~ nullpunkt i intervallet ~~<math>~~x\in\langle 0,30\rangle~~</math>~~		Nullpunktene danner en aritmetisk progresjon på formen $a_n=a_1+(n-1)d$. Dersom $n=10$ er $x_{10}=2.356+9\pi\approx 30.63$, så vi må ha at $1\leq n\leq 9$. Altså er det $9$ nullpunkt i intervallet $x\in\langle 0,30\rangle$

	=== c) ===		=== c) ===

	Toppunktene kan skrives ~~<math>~~5e^{-0.2x}, 5e^{-0.2(x+2\pi)}, 5e^{-0.2(x+4\pi)}~~</math>~~, altså på formen ~~<math>~~ak^n=5e^{-0.2x}(e^{-0.4\pi})^n~~</math>~~, der ~~<math>~~a=5e^{-0.4x}=6.164~~</math>~~ og ~~<math>~~n=0,1,2~~</math>~~. Det neste leddet i følgen blir dermed ~~<math>~~6.164 (e^{-0.4\pi})^3\approx 0.142~~</math>~~.		Toppunktene kan skrives $5e^{-0.2x}, 5e^{-0.2(x+2\pi)}, 5e^{-0.2(x+4\pi)}$, altså på formen $ak^n=5e^{-0.2x}(e^{-0.4\pi})^n$, der $a=5e^{-0.4x}=6.164$ og $n=0,1,2$. Det neste leddet i følgen blir dermed $6.164 (e^{-0.4\pi})^3\approx 0.142$.

	=== d) ===		=== d) ===

	Vi får rekka ~~<math>~~\sum_{n=0}^{\infty} 6.164(e^{-0.4\pi})^n~~</math>~~. Siden ~~<math>~~\|e^{-0.4\pi}\|\approx 0.285<1~~</math>~~ vil rekka konvergere.		Vi får rekka $\sum_{n=0}^{\infty} 6.164(e^{-0.4\pi})^n$. Siden $\|e^{-0.4\pi}\|\approx 0.285<1$ vil rekka konvergere.


	Summeformelen for geometriske rekker gir at ~~<math>~~\sum_{n=0}^{\infty} 6.164(e^{-0.4\pi})^n\approx 6.164\lim_{n\to\infty}\frac{1-0.285^n}{1-0.285}\approx 8.62~~</math>~~		Summeformelen for geometriske rekker gir at $\sum_{n=0}^{\infty} 6.164(e^{-0.4\pi})^n\approx 6.164\lim_{n\to\infty}\frac{1-0.285^n}{1-0.285}\approx 8.62$

	== Oppgave 6 ==		== Oppgave 6 ==

Plutarco: /* Oppgave 3 */

2013-04-22T02:22:25Z

Oppgave 3

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:22
Linje 97:		Linje 97:
	=== a) ===		=== a) ===

	Karakteristisk ligning er ~~<math>~~\lambda^2+\frac25\lambda+\frac{26}{25}=(\lambda+\frac15-i)(\lambda+\frac15+i)=0~~</math>~~. Generell løsning på differensialligninga blir derfor ~~<math>~~y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}		Karakteristisk ligning er $\lambda^2+\frac25\lambda+\frac{26}{25}=(\lambda+\frac15-i)(\lambda+\frac15+i)=0$. Generell løsning på differensialligninga blir derfor $y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}
	~~</math>~~. Eulers formel gir at ~~<math>~~e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x~~)</math>~~ og ~~<math>~~e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x~~)</math>~~, så ~~<math>~~y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}=Ae^{-\frac15x}(\cos(x)-i\sin(x))+Be^{-\frac15 x}(\cos(x)+i\sin(x))=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x)~~)</math>~~		$. Eulers formel gir at $e^{-ix}=\cos x -i\sin x $ og $e^{ix}=\cos x +i\sin x $, så $y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}=Ae^{-\frac15x}(\cos x -i\sin x )+Be^{-\frac15 x}(\cos x +i\sin x )=e^{-0.2x}(C\sin x +D\cos x )$.


	=== b) ===		=== b) ===

	~~<math>~~y(0)=5=C\sin(0)+D\cos(0)=D~~</math>~~ og ~~<math>~~y(\frac{3\pi}{4})=0=e^{-0.2\cdot \frac{3\pi}{4}}(C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4}))~~</math>~~. Eksponentialfunksjonen er positiv, så ~~<math>~~C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4})= C\frac{\sqrt{2}}{2}-5\frac{\sqrt{2}}{2}=0~~</math>~~. Altså er ~~<math>~~C=5~~</math>~~, og ~~<math>~~y(x)=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x))=5e^{-0.2x}(\sin(x)+\cos(x)~~)</math>~~		$y(0)=5=C\sin 0 +D\cos 0 =D$ og $y(\frac{3\pi}{4})=0=e^{-0.2\cdot \frac{3\pi}{4}}(C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4}))$. Eksponentialfunksjonen er positiv, så $C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4})= C\frac{\sqrt{2}}{2}-5\frac{\sqrt{2}}{2}=0$. Altså er $C=5$, og $y(x)=e^{-0.2x}(C\sin x +D\cos x )=5e^{-0.2x}(\sin x +\cos x)$.



	== Oppgave 4 ==		== Oppgave 4 ==

Plutarco: /* b) */

2013-04-22T02:15:14Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:15
Linje 186:		Linje 186:
	==== b) ====		==== b) ====

	Med ~~<math>~~b=1~~</math>~~, ~~<math>~~k=2.6~~</math>~~ og ~~<math>~~m=2.5~~</math>~~ blir ligningen		Med $b=1$, $k=2.6$ og $m=2.5$ blir ligningen


	~~<math>~~y''+\frac{1}{2.5}y'+\frac{2.6}{2.5}y=y''+\frac{2}{5}y'+\frac{26}{25}y=0~~</math>~~		$y^{\prime \prime}+\frac{1}{2.5}y'+\frac{2.6}{2.5}y=y^{\prime\prime}+\frac{2}{5}y'+\frac{26}{25}y=0$


	Fra '''3b)''' vet vi at løsningen på startverdiproblemet er ~~<math>~~y(t)=5e^{-0.2t}(\sin(t)+\cos(t)~~)</math>~~		Fra '''3b)''' vet vi at løsningen på startverdiproblemet er $y(t)=5e^{-0.2t}(\sin t +\cos t )$

	==== c) ====		==== c) ====

Plutarco: /* Oppgave 4 */

2013-04-22T02:12:24Z

Oppgave 4

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:12
Linje 109:		Linje 109:
	== Oppgave 4 ==		== Oppgave 4 ==

	$f(x)=5e^{-0,2x}\cdot(\sin(x)+\cos(x))$ der $x\in\langle 0,15\rangle $		$f(x)=5e^{-0,2x}\cdot(\sin x +\cos x )$ der $x\in\langle 0,15\rangle $

	=== a) ===		=== a) ===
Linje 125:		Linje 125:
	<math>f(x)=0</math> <p></p>		<math>f(x)=0</math> <p></p>
	<math> 5e^{-0,2x}</math> kan aldri bli null. Man får <p></p>		<math> 5e^{-0,2x}</math> kan aldri bli null. Man får <p></p>
	<math>\sin(x) + \cos(x) =0 \\		<math>\sin x + \cos x =0 \\
	\tan(x) = -1\\		\tan x = -1\\
	x= \frac{3\pi}{4} + n \cdot \pi\\ x \in \Big(( \frac{3\pi}{4},0), (\frac{7\pi}{4},0),(\frac{11\pi}{4},0),(\frac{15\pi}{4},0),(\frac{19\pi}{4},0)\Big)</math>		x= \frac{3\pi}{4} + n \cdot \pi\\ x \in \Big(( \frac{3\pi}{4},0), (\frac{7\pi}{4},0),(\frac{11\pi}{4},0),(\frac{15\pi}{4},0),(\frac{19\pi}{4},0)\Big)</math>
	<p></p>		<p></p>

Plutarco på 22. apr. 2013 kl. 02:10

2013-04-22T02:10:16Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 02:10
Linje 5:		Linje 5:
	=== a) ===		=== a) ===

	~~<math>~~f(x)=x^2\cdot \cos(3x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\cos(3x)+x^2(\cos(3x))'=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)~~</math>~~		$f(x)=x^2\cdot \cos(3x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\cos(3x)+x^2(\cos(3x))'=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)$

	=== b) ===		=== b) ===


	''' 1) ''' Delvis integrasjon gir at ~~<math>~~\int 5x\cdot e^{2x}\,dx=5\int x\cdot e^{2x}\,dx=5[\frac{1}{2}xe^{2x}]-\frac{5}{2}\int e^{2x}\,dx=\frac{5}{4}(2x-1)e^{2x}+C~~</math>~~		''' 1) ''' Delvis integrasjon gir at $\int 5x\cdot e^{2x}\,dx=5\int x\cdot e^{2x}\,dx=5[\frac{1}{2}xe^{2x}]-\frac{5}{2}\int e^{2x}\,dx=\frac{5}{4}(2x-1)e^{2x}+C$


	''' 2) ''' La ~~<math>~~u=x^2-1~~</math>~~ så ~~<math>~~du=2xdx~~</math>~~, og ~~<math>~~\int \frac{6x}{x^2-1}\,dx=\int \frac{3}{u}\,du=3\ln\|u\|+C=3\ln(\|x^2-1\|)+C~~</math>~~		''' 2) ''' La $u=x^2-1$ så $du=2xdx$, og $\int \frac{6x}{x^2-1}\,dx=\int \frac{3}{u}\,du=3\ln\|u\|+C=3\ln(\|x^2-1\|)+C$


Linje 23:		Linje 23:


	''' 1) ''' <math>\frac12\left(\cos(u-v)+\cos(u+v)\right)=\frac12\left(\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)+\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)\right)=\cos(u)\cos(v)</math>		''' 1) ''' <math>\frac12\left(\cos(u-v)+\cos(u+v)\right)=\frac12\left(\cos u \cos v +\sin u \sin v +\cos u \cos v -\sin u \sin v \right)=\cos u \cos v </math>


	''' 2) ''' <math>(\cos(x))^2=\cos(x)\cos(x)=\frac12 \left(\cos(x-x)+\cos(x+x)\right)=\frac12(1+\cos(2x))</math>. Videre er <math>\int (\cos(x))^2\,dx=\int \frac12 (1+\cos(2x))\,dx=\frac12\int 1\,dx+\int \frac12 \cos(2x)\,dx=\frac12 x+\frac14\sin(2x)+C</math>		''' 2) ''' <math>(\cos x)^2=\cos x \cos x =\frac12 \left(\cos(x-x)+\cos(x+x)\right)=\frac12(1+\cos(2x))</math>. Videre er <math>\int (\cos x)^2\,dx=\int \frac12 (1+\cos(2x))\,dx=\frac12\int 1\,dx+\int \frac12 \cos(2x)\,dx=\frac12 x+\frac14\sin(2x)+C</math>

	=== e) ===		=== e) ===

Plutarco: /* Oppgave 4 */

2013-04-22T01:34:25Z

Oppgave 4

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 01:34
Linje 109:		Linje 109:
	== Oppgave 4 ==		== Oppgave 4 ==

	~~<math>~~f(x)=5e^{-0,2x}\cdot(\sin(x)+\cos(x))~~</math>~~ der ~~<math>~~x\in\langle 0,15\rangle~~</math>~~		$f(x)=5e^{-0,2x}\cdot(\sin(x)+\cos(x))$ der $x\in\langle 0,15\rangle $

	=== a) ===		=== a) ===
Linje 133:		Linje 133:
	=== c) ===		=== c) ===

	<math> \begin{align} f^{\prime}(x) &= 5(-0,2)e^{-0,2x} \cdot (sin x + cos x)+5e^{-0,2x} \cdot (cos x -sin x)		<math> \begin{align} f^{\prime}(x) &= 5(-0,2)e^{-0,2x} \cdot (\sin x + \cos x)+5e^{-0,2x} \cdot (\cos x -\sin x)
	\\ &= -e^{-0,2x} \cdot sin x -e^{-0,2x} \cdot cos x +5e^{-0,2x} \cdot cos x - 5e^{-0,2x} \cdot sin x \\ &=		\\ &= -e^{-0,2x} \cdot \sin x -e^{-0,2x} \cdot \cos x +5e^{-0,2x} \cdot \cos x - 5e^{-0,2x} \cdot \sin x \\ &=
	4e^{-0,2x} \cdot cos x - 6e^{-0,2x} \cdot sin x \\ &=2e^{-0,2x} \cdot (~~2cos~~ x-~~3sin~~ x) \end{align} </math>		4e^{-0,2x} \cdot \cos x - 6e^{-0,2x} \cdot \sin x \\ &=2e^{-0,2x} \cdot (2\cos x-3\sin x) \end{align} </math>

	=== d) ===		=== d) ===
Linje 144:		Linje 144:


	<math> A= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt2</math> Punktet <math>(1,1)</math> ligger i første kvadrant.<math> \tan\phi = 1</math> Man får da:<p></p>		<math> A= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt2</math> Punktet <math>(1,1)</math> ligger i første kvadrant. <math> \tan\phi = 1</math>. Man får da:<p></p>
	<math> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot \sqrt2\cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) = 5\sqrt2e^{-0,2x} \cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) </math>		<math> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot \sqrt2\cdot \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 5\sqrt2e^{-0,2x} \cdot \sin(x + \frac{\pi}{4}) </math>

	=== f) ===		=== f) ===

	<math>sin(x + \frac{\pi}{4}) </math> varierer i verdi mellom <math>-1</math> og <math>1</math>, avhengig av <math>x</math>. Derfor ligger f mellom q og p, altså i området		<math>\sin(x + \frac{\pi}{4})</math> varierer i verdi mellom <math>-1</math> og <math>1</math>, avhengig av <math>x</math>. Derfor ligger $f(x)$ mellom $q$ og $p$, altså i området
	<math> \~~pm5~~\~~sqrt2e~~^{-0,2x}</math>		<math> \pm 5\sqrt{2}e^{-0,2x}</math>

	[[bilde:4f.png]]		[[bilde:4f.png]]

Plutarco: /* d) */

2013-04-21T17:11:30Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. apr. 2013 kl. 17:11
Linje 202:		Linje 202:


	Forholdet mellom to påfølgende maksimale utslag er <math>\frac{5e^{-0.2(t+2\pi)}}{5e^{-0.2t}}=e^{-0.4\pi}\approx 0.285</math>, så det maksimale utslaget minker med <math>1-0.285=0.715=71.5\~~percent~~</math>		Forholdet mellom to påfølgende maksimale utslag er <math>\frac{5e^{-0.2(t+2\pi)}}{5e^{-0.2t}}=e^{-0.4\pi}\approx 0.285</math>, så det maksimale utslaget minker med <math>1-0.285=0.715=71.5\%</math>


	=== Alternativ II ===		=== Alternativ II ===