R2 2009 høst LØSNING - Sideversjonshistorikk

Vaktmester på 2. nov. 2013 kl. 18:37

2013-11-02T18:37:55Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 2. nov. 2013 kl. 18:37
Linje 1:		Linje 1:
			== Ekstern løsning ==
			[http://ndla.no/nb/node/122085?fag=98361 Løsning fra NDLA]

	= Del 1 =		= Del 1 =

Plutarco: /* a) */

2013-04-22T00:34:01Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 00:34
Linje 77:		Linje 77:

	Pytagoras gir		Pytagoras gir
	<math> a^2 + b^2 = c^2</math> der <math> c= \frac{ab}h </math> (fra ~~injene~~ over)<p></p>		<math> a^2 + b^2 = c^2</math> der <math> c= \frac{ab}h </math> (fra linjene over)<p></p>

	Det gir:<p></p>		Det gir:<p></p>
Linje 88:		Linje 88:
	<math> \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} =\frac{1}{h^2} </math>		<math> \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} =\frac{1}{h^2} </math>
	Hvilket skulle vises.		Hvilket skulle vises.


	=== b) ===		=== b) ===

Plutarco: /* Oppgave 3 */

2013-04-22T00:33:29Z

Oppgave 3

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. apr. 2013 kl. 00:33
Linje 77:		Linje 77:

	Pytagoras gir		Pytagoras gir
	<math> a^2 + b^2 = c^2</math> der <math> c= \frac{ab}h </math> (fra injene over)<p></p>		<math> a^2 + b^2 = c^2</math> der <math> c= \frac{ab}h </math> (fra injene over)<p></p>

	Det gir:<p></p>		Det gir:<p></p>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:18Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vis endringer

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:57Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Vis endringer

Plutarco på 13. jan. 2012 kl. 02:07

2012-01-13T02:07:08Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. jan. 2012 kl. 02:07
Linje 132:		Linje 132:
	=== Alternativ I ===		=== Alternativ I ===

	~~==== Oppgave 1 ====~~

	===== a) =====		==== a) ====

	Avstanden langs x-aksen mellom påfølgende topp- og bunnpunkt er konstant, altså er det toppunkt i <tex>x=5</tex>. Funksjonen har toppunkt i <tex>(1,6)</tex> og bunnpunkt i <tex>(3,-1)</tex> og <tex>(7,-1)</tex>. La <tex>f(x)=a\cos(cx-\varphi)+d</tex>. Vi kan anta at <tex>a>0</tex> (Hvis <tex>a<0</tex> kan vi skrive <tex>a\cos(\theta)=-a\cos(\pi-\theta)</tex> ): I toppunktet er <tex>\cos=1</tex> og i bunnpunktet <tex>\cos=-1</tex>, så vi må ha at <tex>6=a+d</tex> og <tex>-1=-a+d</tex>. Det følger at <tex>a=\frac72</tex> og <tex>d=\frac52</tex>. Vi må også ha at <tex>\cos(c-\varphi)=1</tex> og <tex>\cos(3c-\varphi)=-1</tex>, så <tex>c-\varphi=0</tex> og <tex>3c-\varphi=\pi</tex>, så <tex>2c=\pi</tex> og <tex>2\varphi=\pi</tex>. Vi får altså at <tex>f(x)=\frac{7}{2}\cos(\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2})+\frac52=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52</tex>		Avstanden langs x-aksen mellom påfølgende topp- og bunnpunkt er konstant, altså er det toppunkt i <tex>x=5</tex>. Funksjonen har toppunkt i <tex>(1,6)</tex> og bunnpunkt i <tex>(3,-1)</tex> og <tex>(7,-1)</tex>. La <tex>f(x)=a\cos(cx-\varphi)+d</tex>. Vi kan anta at <tex>a>0</tex> (Hvis <tex>a<0</tex> kan vi skrive <tex>a\cos(\theta)=-a\cos(\pi-\theta)</tex> ): I toppunktet er <tex>\cos=1</tex> og i bunnpunktet <tex>\cos=-1</tex>, så vi må ha at <tex>6=a+d</tex> og <tex>-1=-a+d</tex>. Det følger at <tex>a=\frac72</tex> og <tex>d=\frac52</tex>. Vi må også ha at <tex>\cos(c-\varphi)=1</tex> og <tex>\cos(3c-\varphi)=-1</tex>, så <tex>c-\varphi=0</tex> og <tex>3c-\varphi=\pi</tex>, så <tex>2c=\pi</tex> og <tex>2\varphi=\pi</tex>. Vi får altså at <tex>f(x)=\frac{7}{2}\cos(\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2})+\frac52=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52</tex>

	===== b) =====		==== b) ====

	Løser vi ligningen <tex>f''(x)=0</tex> blir <tex>x=2n,\,n\in \{1,2,3,4,5\}</tex>. <tex>f'(x)</tex> har bunnpunkt i <tex>x=2</tex>, <tex>x=6</tex> og <tex>x=10</tex>, og der avtar <tex>f(x)</tex> raskest.		Løser vi ligningen <tex>f''(x)=0</tex> blir <tex>x=2n,\,n\in \{1,2,3,4,5\}</tex>. <tex>f'(x)</tex> har bunnpunkt i <tex>x=2</tex>, <tex>x=6</tex> og <tex>x=10</tex>, og der avtar <tex>f(x)</tex> raskest.

	===== c) =====		==== c) ====

	Vi løser <tex>\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=0</tex>, og får løsningene <tex>x=\frac{2(2\pi n-\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> og <tex>x=\frac{2(2\pi n+\pi+\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> for <tex>n\in\mathbb{Z}</tex>. I intervallet <tex>\langle 0,12\rangle</tex> er nullpunktene tilnærmet <tex>2.51</tex>, <tex>3.49</tex>, <tex>6.51</tex>, <tex>7.49</tex>, <tex>10.51</tex>, og <tex>11.49</tex>		Vi løser <tex>\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=0</tex>, og får løsningene <tex>x=\frac{2(2\pi n-\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> og <tex>x=\frac{2(2\pi n+\pi+\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> for <tex>n\in\mathbb{Z}</tex>. I intervallet <tex>\langle 0,12\rangle</tex> er nullpunktene tilnærmet <tex>2.51</tex>, <tex>3.49</tex>, <tex>6.51</tex>, <tex>7.49</tex>, <tex>10.51</tex>, og <tex>11.49</tex>

	===== d) =====		==== d) ====

	[[Bilde:Screen_shot_2012-01-13_at_02.22.12.png\|500px\|]]		[[Bilde:Screen_shot_2012-01-13_at_02.22.12.png\|500px\|]]

Plutarco på 13. jan. 2012 kl. 02:03

2012-01-13T02:03:52Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. jan. 2012 kl. 02:03
Linje 171:		Linje 171:
	==== d) ====		==== d) ====

	Vi nullstiller den deriverte <tex>V'(k)=9\pi(2k-4)=0</tex>. <tex>V''(k)</tex> er positiv, så <tex>V</tex> har et bunnpunkt i <tex>k=2</tex>.		Vi nullstiller den deriverte <tex>V'(k)=9\pi(2k-4)=0\Rightarrow k=2</tex>. <tex>V''(k)</tex> er positiv, så <tex>V(k)</tex> har et bunnpunkt i <tex>k=2</tex>.

	== Oppgave 5 ==		== Oppgave 5 ==

Plutarco på 13. jan. 2012 kl. 02:01

2012-01-13T02:01:29Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. jan. 2012 kl. 02:01
Linje 152:		Linje 152:

	Vi må først finne skjæringspunktene mellom <tex>f(x)</tex>(rød) og linja(blå) <tex>y=5</tex>. Altså må vi løse ligningen <tex>f(x)=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=5</tex>. De to første løsningene er tilnærmet <tex>x=0.51</tex> og <tex>x=1.49</tex>. Det samlede arealet av områdene avgrenset av kurvene, over <tex>y=5</tex>, blir dermed <tex>3\int_{0.51}^{1.49} \frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52-5\,dx\approx 1.95</tex>.		Vi må først finne skjæringspunktene mellom <tex>f(x)</tex>(rød) og linja(blå) <tex>y=5</tex>. Altså må vi løse ligningen <tex>f(x)=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=5</tex>. De to første løsningene er tilnærmet <tex>x=0.51</tex> og <tex>x=1.49</tex>. Det samlede arealet av områdene avgrenset av kurvene, over <tex>y=5</tex>, blir dermed <tex>3\int_{0.51}^{1.49} \frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52-5\,dx\approx 1.95</tex>.


			=== Alternativ II ===

			==== a) ====

			Volumet <tex>V=\int_0^9\pi f(x)^2\,dx=\pi\int_0^9 x\,dx=\frac{\pi}{2} [x^2]_0^9=\frac{81\pi}{2}</tex>


			==== b) ====

			Radius til omdreiningslegemet er <tex>\|f(x)-k\|=\|x^{\frac12}-k\|</tex>. Volumet blir følgelig <tex>V(k)=\int_0^9\pi(x^{\frac12}-k)^2\,dx</tex>

			==== c) ====

			Vi har at <tex>(x^{\frac12}-k)^2=x-2kx^{\frac12}+k^2</tex>, så <tex>V(k)=\int_0^9\pi(x^{\frac12}-k)^2\,dx=\pi\int_0^9 x-2kx^{\frac12}+k^2\,dx=\pi[\frac12 x^2-\frac{4k}{3}x^{\frac32}+k^2x]_0^9=9\pi(\frac{9}{2}-4k+k^2)</tex>

			==== d) ====

			Vi nullstiller den deriverte <tex>V'(k)=9\pi(2k-4)=0</tex>. <tex>V''(k)</tex> er positiv, så <tex>V</tex> har et bunnpunkt i <tex>k=2</tex>.

	== Oppgave 5 ==		== Oppgave 5 ==

Plutarco på 13. jan. 2012 kl. 01:34

2012-01-13T01:34:33Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. jan. 2012 kl. 01:34
Linje 146:		Linje 146:
	Vi løser <tex>\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=0</tex>, og får løsningene <tex>x=\frac{2(2\pi n-\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> og <tex>x=\frac{2(2\pi n+\pi+\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> for <tex>n\in\mathbb{Z}</tex>. I intervallet <tex>\langle 0,12\rangle</tex> er nullpunktene tilnærmet <tex>2.51</tex>, <tex>3.49</tex>, <tex>6.51</tex>, <tex>7.49</tex>, <tex>10.51</tex>, og <tex>11.49</tex>		Vi løser <tex>\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=0</tex>, og får løsningene <tex>x=\frac{2(2\pi n-\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> og <tex>x=\frac{2(2\pi n+\pi+\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> for <tex>n\in\mathbb{Z}</tex>. I intervallet <tex>\langle 0,12\rangle</tex> er nullpunktene tilnærmet <tex>2.51</tex>, <tex>3.49</tex>, <tex>6.51</tex>, <tex>7.49</tex>, <tex>10.51</tex>, og <tex>11.49</tex>

			===== d) =====

			[[Bilde:Screen_shot_2012-01-13_at_02.22.12.png\|500px\|]]


			Vi må først finne skjæringspunktene mellom <tex>f(x)</tex>(rød) og linja(blå) <tex>y=5</tex>. Altså må vi løse ligningen <tex>f(x)=\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=5</tex>. De to første løsningene er tilnærmet <tex>x=0.51</tex> og <tex>x=1.49</tex>. Det samlede arealet av områdene avgrenset av kurvene, over <tex>y=5</tex>, blir dermed <tex>3\int_{0.51}^{1.49} \frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52-5\,dx\approx 1.95</tex>.

	== Oppgave 5 ==		== Oppgave 5 ==

Plutarco på 13. jan. 2012 kl. 01:16

2012-01-13T01:16:57Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. jan. 2012 kl. 01:16
Linje 140:		Linje 140:
	===== b) =====		===== b) =====

	Løser vi ligningen <tex>f''(x)=0</tex> blir ~~løsningene~~ <tex>x=2n,\,n\in \{1,2,3,4,5\}</tex>. <tex>f'(x)</tex> har bunnpunkt i <tex>x=2</tex>, <tex>x=6</tex> og <tex>x=10</tex>, og der avtar <tex>f</tex> raskest.		Løser vi ligningen <tex>f''(x)=0</tex> blir <tex>x=2n,\,n\in \{1,2,3,4,5\}</tex>. <tex>f'(x)</tex> har bunnpunkt i <tex>x=2</tex>, <tex>x=6</tex> og <tex>x=10</tex>, og der avtar <tex>f(x)</tex> raskest.

	===== c) =====		===== c) =====

			Vi løser <tex>\frac{7}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)+\frac52=0</tex>, og får løsningene <tex>x=\frac{2(2\pi n-\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> og <tex>x=\frac{2(2\pi n+\pi+\arcsin(\frac57))}{\pi}</tex> for <tex>n\in\mathbb{Z}</tex>. I intervallet <tex>\langle 0,12\rangle</tex> er nullpunktene tilnærmet <tex>2.51</tex>, <tex>3.49</tex>, <tex>6.51</tex>, <tex>7.49</tex>, <tex>10.51</tex>, og <tex>11.49</tex>


	== Oppgave 5 ==		== Oppgave 5 ==