Praktiske problemer der differensiallikninger er løsningen - Sideversjonshistorikk

Administrator: /* Logistisk vekst */

2024-07-20T10:46:54Z

Logistisk vekst

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 20. jul. 2024 kl. 10:46
Linje 208:		Linje 208:
	<math>N(t) = \frac{BN_0}{N_0 +(B-N_0)e^{-aBt}} </math><p></p>		<math>N(t) = \frac{BN_0}{N_0 +(B-N_0)e^{-aBt}} </math><p></p>

	( Utregning: $ \quad \frac{N}{B-N}= \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} (B-N) \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} - \frac{N \cdot N_0e^{aBt}}{B-N_0}\\ N (1+ \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0})= \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}}{(B-N_0) (1+ \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} )} \\ N = \frac{BN_0e^{aBt}}{B+ \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} - N_0 - \frac{N_0 \cdot N_0e^{aBt}}{B-N_0} } \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0)+ BN_0e^{aBt} - N_0 (B-N_0) - N_0 \cdot N_0e^{aBt}} \\ N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0) - N_0 (B-N_0)+ BN_0e^{aBt} - N_0 \cdot N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{(B - N_0 )(B-N_0)+ (B - N_0) N_0e^{aBt}} \\ N = \frac{BN_0e^{aBt}}{(B-N_0)+ N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0}{(B-N_0)e^{-aBt}+ N_0} $		( Utregning: $ \quad \frac{N}{B-N}= \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} (B-N) \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} - \frac{N \cdot N_0e^{aBt}}{B-N_0}$

			$N (1+ \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0})= \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}}{(B-N_0) (1+ \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} )}$

			$N = \frac{BN_0e^{aBt}}{B+ \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} - N_0 - \frac{N_0 \cdot N_0e^{aBt}}{B-N_0} } \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0)+ BN_0e^{aBt} - N_0 (B-N_0) - N_0 \cdot N_0e^{aBt}}$

			$N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0) - N_0 (B-N_0)+ BN_0e^{aBt} - N_0 \cdot N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{(B - N_0 )(B-N_0)+ (B - N_0) N_0e^{aBt}} $

			$N = \frac{BN_0e^{aBt}}{(B-N_0)+ N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0}{(B-N_0)e^{-aBt}+ N_0} $

	og vi er i mål.)		og vi er i mål.)

Administrator: /* Logistisk vekst */

2024-07-20T10:44:00Z

Logistisk vekst

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 20. jul. 2024 kl. 10:44
Linje 189:		Linje 189:


	$\int \frac{1}{N(B-N)} dN= \int a dt \Leftrightarrow \frac1B \int(\frac1N + \frac{1}{B-N})dN = \int a dt \\		$\int \frac{1}{N(B-N)} dN= \int a dt \Leftrightarrow \frac1B \int(\frac1N + \frac{1}{B-N})dN = \int a dt $
	\frac1B (ln\|N\|- ln\|B-N\|)= at + C_1 \Leftrightarrow ln\|N\| - ln\|B-N\| = aBt + C, \quad C = C_1B \\
	ln\|\frac{N}{B-N}\|= aBt + C \\		$\frac1B (ln\|N\|- ln\|B-N\|)= at + C_1 \Leftrightarrow ln\|N\| - ln\|B-N\| = aBt + C, \quad C = C_1B $
	\frac{N}{B-N} = Ke^{aBt}, \quad \quad K = \pm e^C
			$ln\|\frac{N}{B-N}\|= aBt + C $

			$\frac{N}{B-N} = Ke^{aBt}, \quad \quad K = \pm e^C
	$		$

Administrator: /* Frie svingninger uten dempning */

2021-10-13T03:02:13Z

Frie svingninger uten dempning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. okt. 2021 kl. 03:02
Linje 67:		Linje 67:
	Vi har $y(t) = C_1 sin t + C_2 cos t$ og deriver og dobbeltderiverer for å kunne bruke initialbetingelsene til å finne den spesielle likningen.		Vi har $y(t) = C_1 sin t + C_2 cos t$ og deriver og dobbeltderiverer for å kunne bruke initialbetingelsene til å finne den spesielle likningen.

	$y'(t)= C_1cos t - C_2sin t \\ y' '(t) = -C_1 sin t - C_2 cos t$		$y'(t)= C_1cos t - C_2sin t $ $ y' '(t) = -C_1 sin t - C_2 cos t$

	$y(0) = 0,3 \\ y(0)=C_1sin(0) + C_2cos(0)\\ C_2=0,3 \\ y'(0)=0 \\ 0= C_1cos(0) -C_2sin(0) \\ C_1=0 $		$y(0) = 0,3 S S y(0)=C_1sin(0) + C_2cos(0)$

			$ C_2=0,3 $ $ y'(0)=0 $
			$ 0= C_1cos(0) -C_2sin(0) $
			$ C_1=0 $

	Funksjonen blir da: $y(t) = 0,3 cos(t)$		Funksjonen blir da: $y(t) = 0,3 cos(t)$

Administrator: /* Frie svingninger uten dempning */

2021-10-13T02:55:06Z

Frie svingninger uten dempning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. okt. 2021 kl. 02:55
Linje 41:		Linje 41:
	Vi ser bort fra friksjonen og har harmoniske svingninger.		Vi ser bort fra friksjonen og har harmoniske svingninger.

	$ x' ' + \omega^2x = 0 \\ r^2 +\omega ^2=0 \\ r^2 = -\omega^2 \\ r = \pm \sqrt {- \omega^2} \\ r = \pm \omega i $ ~~<p></p>~~		$ x' ' + \omega^2x = 0 $


			$ r^2 +\omega ^2=0 $

			$ r^2 = -\omega^2 $

			$ r = \pm \sqrt {- \omega^2} $

			$ r = \pm \omega i $

	Det gir oss følgende generelle løsning:		Det gir oss følgende generelle løsning:

Administrator: /* Svingninger */

2021-10-13T02:48:40Z

Svingninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 13. okt. 2021 kl. 02:48
Linje 10:		Linje 10:
	Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akselerasjon.<p>		Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akselerasjon.<p>
	</p>		</p>
	$\sum F = ma$~~<p></p>~~		$\sum F = ma$

	Hooks lov sier at:~~<p></p>~~		Hooks lov sier at:
	F = kx~~<p></p>~~k er fjærkonstanten. Siden kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet, setter vi F = -kx<p></p>		$ F = kx $, k er fjærkonstanten. Siden kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet, setter vi F = -kx<p></p>
	Vi får:<p></p>		Vi får:<p></p>
	$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx $		$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx $

Administrator: /* Svingninger */

2021-10-12T12:02:17Z

Svingninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 12:02
Linje 41:		Linje 41:
	Vi ser bort fra friksjonen og har harmoniske svingninger.		Vi ser bort fra friksjonen og har harmoniske svingninger.

	$x' ' + \omega^2x = 0 \\ r^2 +\omega ^2=0 \\ r^2 = -\omega^2 \\ r = \pm \sqrt {- \omega^2} \\ r = \pm \omega i $ <p></p>		$ x' ' + \omega^2x = 0 \\ r^2 +\omega ^2=0 \\ r^2 = -\omega^2 \\ r = \pm \sqrt {- \omega^2} \\ r = \pm \omega i $ <p></p>

	Det gir oss følgende generelle løsning:		Det gir oss følgende generelle løsning:

Administrator: /* Svingninger */

2021-10-12T12:00:59Z

Svingninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 12:00
Linje 6:		Linje 6:
	:[[Bilde:kloss.png]]		:[[Bilde:kloss.png]]

	En kloss ligger på et friksjonsfritt underlag. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er ~~<math>~~x_0~~</math>~~. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).		En kloss ligger på et friksjonsfritt underlag. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er $x_0$. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).

	Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akselerasjon.<p>		Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akselerasjon.<p>
	</p>		</p>
	~~<math>~~\sum F = ma~~</math>~~<p></p>		$\sum F = ma$<p></p>

	Hooks lov sier at:<p></p>		Hooks lov sier at:<p></p>
	F = kx<p></p>k er fjærkonstanten. Siden kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet, setter vi F = -kx<p></p>		F = kx<p></p>k er fjærkonstanten. Siden kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet, setter vi F = -kx<p></p>
	Vi får:<p></p>		Vi får:<p></p>
	~~<math>~~m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx ~~</math>~~		$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx $
	som gir		som gir
	~~<math>~~\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0~~</math>~~		$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0 $
	Ved å innføre		Ved å innføre
	$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$		$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
	får vi		får vi
	~~<math>~~\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0~~</math>~~		$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0 $
	<p></p> som er identisk med<p></p>		<p></p> som er identisk med<p></p>
	~~<math>~~x' ' + \omega^2x = 0~~</math>~~<p></p>		$ x' ' + \omega^2x = 0 $<p></p>

	Her finner du hvordan disse likningene løses:		Her finner du hvordan disse likningene løses:

Administrator: /* Det gir Newtons lov for avkjøling: */

2021-10-12T11:48:27Z

Det gir Newtons lov for avkjøling:

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:48
Linje 263:		Linje 263:
	Newtons lov for avkjøling sier:<p></p>		Newtons lov for avkjøling sier:<p></p>
	$ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg}) $ <p></p>		$ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg}) $ <p></p>
	I dette tilfellet gir det:~~<p></p>~~		I dette tilfellet gir det:


	$ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 30) \\		$\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 30)\\ \frac{dT}{dt} = k(30 - T(t))\\ \int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt\\ - ln \|30 - T(t)\| = kt + C \\
	\frac{dT}{dt} = k(30 - T(t)) \\
	\int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt \\
	- ln \|30 - T(t)\| = kt + C \\
	30 - T(t) = e^{-(kt + C)}$		30 - T(t) = e^{-(kt + C)}$

Administrator: /* Det gir Newtons lov for avkjøling: */

2021-10-12T11:44:01Z

Det gir Newtons lov for avkjøling:

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:44
Linje 267:		Linje 267:

	$ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 30) \\		$ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 30) \\
	\frac{dT}{dt} = k(30 - T(t))\\		\frac{dT}{dt} = k(30 - T(t)) \\
	\int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt \\		\int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt \\
	- ln \|30 - T(t)\| = kt + C \\		- ln \|30 - T(t)\| = kt + C \\

Administrator: /* Det gir Newtons lov for avkjøling: */

2021-10-12T11:40:05Z

Det gir Newtons lov for avkjøling:

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:40
Linje 270:		Linje 270:
	\int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt \\		\int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt \\
	- ln \|30 - T(t)\| = kt + C \\		- ln \|30 - T(t)\| = kt + C \\
	30 - T(t) = e^{-(kt + C)} $ <p></p>		30 - T(t) = e^{-(kt + C)}$
	~~<math>~~30 - T(t) = C_2e^{-kt } \\ \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C \\
	T(t) = 30 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} ~~</math>~~<p></p>		<p></p>
			$ 30 - T(t) = C_2e^{-kt } \\ \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C \\
			T(t) = 30 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} $

			<p></p>


	Man har oppgitt:<p></p>		Man har oppgitt:<p></p>
	~~<math>~~
			$
	T(0) = 500C \\		T(0) = 500C \\
	30 - 500 = C_2 \\		30 - 500 = C_2 \\
	C_2 = -470 \\		C_2 = -470 \\
	T(t) = 30 + 470 e^{-kt} \\~~</math>~~		T(t) = 30 + 470 e^{-kt} \\ $
	Hva er k?<p></p>		Hva er k?<p></p>
	k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,		k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,