Polynom - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:05Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Linje 1:		Linje 1:
	Et polymon er en funksjon på formen		Et polymon er en funksjon på formen

	<math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</~~tex~~>		<math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</math>

	der <math>a_i</~~tex~~> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</~~tex~~> kalles funksjonens grad.		der <math>a_i</math> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</math> kalles funksjonens grad.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	'''Eksempel 1:'''<br><br>		'''Eksempel 1:'''<br><br>

	<math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</~~tex~~> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.		<math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</math> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.

	</blockquote>		</blockquote>
Linje 16:		Linje 16:
	Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen		Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen

	<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</~~tex~~>		<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</math>

	Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.		Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.
Linje 24:		Linje 24:
	==Faktorisering==		==Faktorisering==

	Et polynom <math>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</~~tex~~> kan faktoriseres til et produkt		Et polynom <math>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</math> kan faktoriseres til et produkt

	<math>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</~~tex~~>		<math>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</math>

	der <math>x_k</~~tex~~> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen		der <math>x_k</math> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen

	<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</~~tex~~>		<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</math>

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	'''Eksempel 1:'''<br><br>		'''Eksempel 1:'''<br><br>

	<math>P(x)=2x^2+2x-4</~~tex~~>		<math>P(x)=2x^2+2x-4</math>

	Løsningene til likningen <math>2x^2+2x-4=0</~~tex~~> er <math>x=1</~~tex~~> og <math>x=-2</~~tex~~>		Løsningene til likningen <math>2x^2+2x-4=0</math> er <math>x=1</math> og <math>x=-2</math>

	.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til		.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til

	<math>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</~~tex~~>		<math>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</math>

	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:49Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 1:		Linje 1:
	Et polymon er en funksjon på formen		Et polymon er en funksjon på formen

	<~~tex~~>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex>		<math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex>

	der <~~tex~~>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <~~tex~~>n</tex> kalles funksjonens grad.		der <math>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</tex> kalles funksjonens grad.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	'''Eksempel 1:'''<br><br>		'''Eksempel 1:'''<br><br>

	<~~tex~~>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</tex> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.		<math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</tex> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.

	</blockquote>		</blockquote>
Linje 16:		Linje 16:
	Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen		Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen

	<~~tex~~>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>		<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>

	Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.		Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.
Linje 24:		Linje 24:
	==Faktorisering==		==Faktorisering==

	Et polynom <~~tex~~>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</tex> kan faktoriseres til et produkt		Et polynom <math>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</tex> kan faktoriseres til et produkt

	<~~tex~~>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</tex>		<math>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</tex>

	der <~~tex~~>x_k</tex> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen		der <math>x_k</tex> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen

	<~~tex~~>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>		<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	'''Eksempel 1:'''<br><br>		'''Eksempel 1:'''<br><br>

	<~~tex~~>P(x)=2x^2+2x-4</tex>		<math>P(x)=2x^2+2x-4</tex>

	Løsningene til likningen <~~tex~~>2x^2+2x-4=0</tex> er <~~tex~~>x=1</tex> og <~~tex~~>x=-2</tex>		Løsningene til likningen <math>2x^2+2x-4=0</tex> er <math>x=1</tex> og <math>x=-2</tex>

	.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til		.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til

	<~~tex~~>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</tex>		<math>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</tex>

	</blockquote>		</blockquote>

Espen180 på 16. jan. 2010 kl. 16:09

2010-01-16T16:09:36Z

@@ Linje 18: / Linje 18: @@
 <tex>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>
-Generelle løsninger for polynomligninger finnes for ligninger av grad 1 til 4.
+Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.
 Et tilfelle av polynomligninger er [[andregradslikninger]].

Espen180: Ny side: Et polymon er en funksjon på formen f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0 der a_i kalles koeffisientene til funksjonen og n...

2010-01-16T12:47:46Z

Ny side: Et polymon er en funksjon på formen <tex>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex> der <tex>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <tex>n...

Ny side

Et polymon er en funksjon på formen

<tex>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex>

der <tex>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <tex>n</tex> kalles funksjonens grad.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel 1:'''<br><br>

<tex>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</tex> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.

</blockquote>

==Polynomligninger==

Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen

<tex>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</tex>

Generelle løsninger for polynomligninger finnes for ligninger av grad 1 til 4.

Et tilfelle av polynomligninger er [[andregradslikninger]].