Periodiske funksjoner - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:04Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Linje 1:		Linje 1:
	En periodisk funksjon <math>f(x)</~~tex~~> på et intervall <math>I</~~tex~~> med periode <math>d</~~tex~~> er kjennetegnet ved at <math>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</~~tex~~> (gitt at <math>x+d\in I</~~tex~~>). Da vil også <math>f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}</~~tex~~>.		En periodisk funksjon <math>f(x)</math> på et intervall <math>I</math> med periode <math>d</math> er kjennetegnet ved at <math>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</math> (gitt at <math>x+d\in I</math>). Da vil også <math>f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}</math>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 5:		Linje 5:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:<math>f(x)=\sin(x)</~~tex~~> på <math>\mathbb{R}</~~tex~~> med periode <math>d=2\pi</~~tex~~>. Det er evident at <math>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</~~tex~~>. Vi sier gjerne at <math>\sin(x)</~~tex~~> er <math>2\pi</~~tex~~> -periodisk eller at bølgelengden er <math>2\pi</~~tex~~>.		:<math>f(x)=\sin(x)</math> på <math>\mathbb{R}</math> med periode <math>d=2\pi</math>. Det er evident at <math>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</math>. Vi sier gjerne at <math>\sin(x)</math> er <math>2\pi</math> -periodisk eller at bølgelengden er <math>2\pi</math>.
	</blockquote>		</blockquote>

Linje 14:		Linje 14:
	'''Bevis'''		'''Bevis'''

	:La <math>f(x)</~~tex~~> og <math>g(x)</~~tex~~> være to funksjoner med periode <math>d</~~tex~~> definert på den reelle tallinja. Da er <math>f(x+d)=f(x)</~~tex~~> og <math>g(x+d)=g(x)</~~tex~~> for alle reelle <math>x</~~tex~~>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <math>h(x)=f(x)+g(x)</~~tex~~>, ser vi at <math>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</~~tex~~>, så <math>h(x)</~~tex~~> har egenskapen til en periodisk funksjon.		:La <math>f(x)</math> og <math>g(x)</math> være to funksjoner med periode <math>d</math> definert på den reelle tallinja. Da er <math>f(x+d)=f(x)</math> og <math>g(x+d)=g(x)</math> for alle reelle <math>x</math>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <math>h(x)=f(x)+g(x)</math>, ser vi at <math>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</math>, så <math>h(x)</math> har egenskapen til en periodisk funksjon.
	</blockquote>		</blockquote>


	Perioden til en gitt funksjon <math>f(x)</~~tex~~> er den minste verdien av <math>d</~~tex~~> slik at <math>f(x+d)=f(x)\,\forall x</~~tex~~>.		Perioden til en gitt funksjon <math>f(x)</math> er den minste verdien av <math>d</math> slik at <math>f(x+d)=f(x)\,\forall x</math>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 24:		Linje 24:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:Ser vi på produktet <math>f(x)=\sin(x)\cos(x)</~~tex~~> vil <math>f(x+2\pi)=f(x)</~~tex~~>, men funksjonen vil også oppfylle <math>f(x+\pi)=f(x)</~~tex~~>, så perioden til funksjonen vil være <math>d=\pi</~~tex~~>. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to <math>2\pi</~~tex~~> -periodiske funksjoner har periode <math>2\pi</~~tex~~>.		:Ser vi på produktet <math>f(x)=\sin(x)\cos(x)</math> vil <math>f(x+2\pi)=f(x)</math>, men funksjonen vil også oppfylle <math>f(x+\pi)=f(x)</math>, så perioden til funksjonen vil være <math>d=\pi</math>. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to <math>2\pi</math> -periodiske funksjoner har periode <math>2\pi</math>.

	</blockquote>		</blockquote>
Linje 33:		Linje 33:
	[[Bilde:periodisk1.png\|right\|thumb\|Periodisk utvidelse av f(x)=x]]		[[Bilde:periodisk1.png\|right\|thumb\|Periodisk utvidelse av f(x)=x]]

	Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <math>\mathbb{R}</~~tex~~> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.		Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <math>\mathbb{R}</math> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 39:		Linje 39:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	: Ser vi på restriksjonen av <math>f(x)=x</~~tex~~> på intervallet <math>\langle 0,1]</~~tex~~> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <math>\mathbb{R}</~~tex~~> gjennom å kreve at <math>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</~~tex~~>. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet <math>\langle 0,1]</~~tex~~> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</~~tex~~> blir periodisk.		: Ser vi på restriksjonen av <math>f(x)=x</math> på intervallet <math>\langle 0,1]</math> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <math>\mathbb{R}</math> gjennom å kreve at <math>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</math>. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet <math>\langle 0,1]</math> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> blir periodisk.
	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:48Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 1:		Linje 1:
	En periodisk funksjon <~~tex~~>f(x)</tex> på et intervall <~~tex~~>I</tex> med periode <~~tex~~>d</tex> er kjennetegnet ved at <~~tex~~>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex> (gitt at <~~tex~~>x+d\in I</tex>). Da vil også <~~tex~~>f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}</tex>.		En periodisk funksjon <math>f(x)</tex> på et intervall <math>I</tex> med periode <math>d</tex> er kjennetegnet ved at <math>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex> (gitt at <math>x+d\in I</tex>). Da vil også <math>f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 5:		Linje 5:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:<~~tex~~>f(x)=\sin(x)</tex> på <~~tex~~>\mathbb{R}</tex> med periode <~~tex~~>d=2\pi</tex>. Det er evident at <~~tex~~>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>. Vi sier gjerne at <~~tex~~>\sin(x)</tex> er <~~tex~~>2\pi</tex> -periodisk eller at bølgelengden er <~~tex~~>2\pi</tex>.		:<math>f(x)=\sin(x)</tex> på <math>\mathbb{R}</tex> med periode <math>d=2\pi</tex>. Det er evident at <math>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>. Vi sier gjerne at <math>\sin(x)</tex> er <math>2\pi</tex> -periodisk eller at bølgelengden er <math>2\pi</tex>.
	</blockquote>		</blockquote>

Linje 14:		Linje 14:
	'''Bevis'''		'''Bevis'''

	:La <~~tex~~>f(x)</tex> og <~~tex~~>g(x)</tex> være to funksjoner med periode <~~tex~~>d</tex> definert på den reelle tallinja. Da er <~~tex~~>f(x+d)=f(x)</tex> og <~~tex~~>g(x+d)=g(x)</tex> for alle reelle <~~tex~~>x</tex>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <~~tex~~>h(x)=f(x)+g(x)</tex>, ser vi at <~~tex~~>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</tex>, så <~~tex~~>h(x)</tex> har egenskapen til en periodisk funksjon.		:La <math>f(x)</tex> og <math>g(x)</tex> være to funksjoner med periode <math>d</tex> definert på den reelle tallinja. Da er <math>f(x+d)=f(x)</tex> og <math>g(x+d)=g(x)</tex> for alle reelle <math>x</tex>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <math>h(x)=f(x)+g(x)</tex>, ser vi at <math>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</tex>, så <math>h(x)</tex> har egenskapen til en periodisk funksjon.
	</blockquote>		</blockquote>


	Perioden til en gitt funksjon <~~tex~~>f(x)</tex> er den minste verdien av <~~tex~~>d</tex> slik at <~~tex~~>f(x+d)=f(x)\,\forall x</tex>.		Perioden til en gitt funksjon <math>f(x)</tex> er den minste verdien av <math>d</tex> slik at <math>f(x+d)=f(x)\,\forall x</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 24:		Linje 24:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:Ser vi på produktet <~~tex~~>f(x)=\sin(x)\cos(x)</tex> vil <~~tex~~>f(x+2\pi)=f(x)</tex>, men funksjonen vil også oppfylle <~~tex~~>f(x+\pi)=f(x)</tex>, så perioden til funksjonen vil være <~~tex~~>d=\pi</tex>. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to <~~tex~~>2\pi</tex> -periodiske funksjoner har periode <~~tex~~>2\pi</tex>.		:Ser vi på produktet <math>f(x)=\sin(x)\cos(x)</tex> vil <math>f(x+2\pi)=f(x)</tex>, men funksjonen vil også oppfylle <math>f(x+\pi)=f(x)</tex>, så perioden til funksjonen vil være <math>d=\pi</tex>. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to <math>2\pi</tex> -periodiske funksjoner har periode <math>2\pi</tex>.

	</blockquote>		</blockquote>
Linje 33:		Linje 33:
	[[Bilde:periodisk1.png\|right\|thumb\|Periodisk utvidelse av f(x)=x]]		[[Bilde:periodisk1.png\|right\|thumb\|Periodisk utvidelse av f(x)=x]]

	Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <~~tex~~>\mathbb{R}</tex> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.		Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <math>\mathbb{R}</tex> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 39:		Linje 39:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	: Ser vi på restriksjonen av <~~tex~~>f(x)=x</tex> på intervallet <~~tex~~>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <~~tex~~>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <~~tex~~>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet <~~tex~~>\langle 0,1]</tex> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <~~tex~~>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex> blir periodisk.		: Ser vi på restriksjonen av <math>f(x)=x</tex> på intervallet <math>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <math>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <math>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet <math>\langle 0,1]</tex> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex> blir periodisk.
	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco på 9. feb. 2010 kl. 12:16

2010-02-09T12:16:14Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 9. feb. 2010 kl. 12:16
Linje 30:		Linje 30:

	== Periodisk utvidelse ==		== Periodisk utvidelse ==

			[[Bilde:periodisk1.png\|right\|thumb\|Periodisk utvidelse av f(x)=x]]

	Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <tex>\mathbb{R}</tex> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.		Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <tex>\mathbb{R}</tex> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

212.251.211.77 på 24. jan. 2010 kl. 09:37

2010-01-24T09:37:56Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 09:37
Linje 8:		Linje 8:
	</blockquote>		</blockquote>

	Enhver sum av funksjoner med lik periode er selv periodisk.		Enhver sum av funksjoner med lik periode er selv periodisk med samme periode.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

Plutarco på 24. jan. 2010 kl. 06:00

2010-01-24T06:00:34Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 06:00
Linje 15:		Linje 15:

	:La <tex>f(x)</tex> og <tex>g(x)</tex> være to funksjoner med periode <tex>d</tex> definert på den reelle tallinja. Da er <tex>f(x+d)=f(x)</tex> og <tex>g(x+d)=g(x)</tex> for alle reelle <tex>x</tex>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <tex>h(x)=f(x)+g(x)</tex>, ser vi at <tex>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</tex>, så <tex>h(x)</tex> har egenskapen til en periodisk funksjon.		:La <tex>f(x)</tex> og <tex>g(x)</tex> være to funksjoner med periode <tex>d</tex> definert på den reelle tallinja. Da er <tex>f(x+d)=f(x)</tex> og <tex>g(x+d)=g(x)</tex> for alle reelle <tex>x</tex>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <tex>h(x)=f(x)+g(x)</tex>, ser vi at <tex>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</tex>, så <tex>h(x)</tex> har egenskapen til en periodisk funksjon.
			</blockquote>


			Perioden til en gitt funksjon <tex>f(x)</tex> er den minste verdien av <tex>d</tex> slik at <tex>f(x+d)=f(x)\,\forall x</tex>.

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

			'''Eksempel'''

			:Ser vi på produktet <tex>f(x)=\sin(x)\cos(x)</tex> vil <tex>f(x+2\pi)=f(x)</tex>, men funksjonen vil også oppfylle <tex>f(x+\pi)=f(x)</tex>, så perioden til funksjonen vil være <tex>d=\pi</tex>. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to <tex>2\pi</tex> -periodiske funksjoner har periode <tex>2\pi</tex>.

	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco på 24. jan. 2010 kl. 05:47

2010-01-24T05:47:47Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 05:47
Linje 1:		Linje 1:
	En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex> (gitt at <tex>x+d\in I</tex>).		En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex> (gitt at <tex>x+d\in I</tex>). Da vil også <tex>f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 5:		Linje 5:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:<tex>f(x)=\sin(x)</tex> på <tex>\mathbb{R}</tex> med periode <tex>d=2\pi</tex>. Det er evident at <tex>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>.		:<tex>f(x)=\sin(x)</tex> på <tex>\mathbb{R}</tex> med periode <tex>d=2\pi</tex>. Det er evident at <tex>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>. Vi sier gjerne at <tex>\sin(x)</tex> er <tex>2\pi</tex> -periodisk eller at bølgelengden er <tex>2\pi</tex>.
			</blockquote>

			Enhver sum av funksjoner med lik periode er selv periodisk.

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

			'''Bevis'''

			:La <tex>f(x)</tex> og <tex>g(x)</tex> være to funksjoner med periode <tex>d</tex> definert på den reelle tallinja. Da er <tex>f(x+d)=f(x)</tex> og <tex>g(x+d)=g(x)</tex> for alle reelle <tex>x</tex>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <tex>h(x)=f(x)+g(x)</tex>, ser vi at <tex>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</tex>, så <tex>h(x)</tex> har egenskapen til en periodisk funksjon.
	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco: /* Periodisk utvidelse */

2010-01-19T19:54:28Z

Periodisk utvidelse

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. jan. 2010 kl. 19:54
Linje 18:		Linje 18:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	: Ser vi på restriksjonen av <tex>f(x)=x</tex> på intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <tex>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <tex>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>. Det vi har gjort er å utvide ~~domenen~~ til funksjonen fra det halvåpne intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex> blir periodisk.		: Ser vi på restriksjonen av <tex>f(x)=x</tex> på intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <tex>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <tex>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex> blir periodisk.
	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco på 19. jan. 2010 kl. 17:52

2010-01-19T17:52:05Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. jan. 2010 kl. 17:52
Linje 18:		Linje 18:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	: Ser vi på restriksjonen av <tex>f(x)=x</tex> på intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <tex>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <tex>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>.		: Ser vi på restriksjonen av <tex>f(x)=x</tex> på intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <tex>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <tex>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>. Det vi har gjort er å utvide domenen til funksjonen fra det halvåpne intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex> blir periodisk.
	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco på 19. jan. 2010 kl. 17:43

2010-01-19T17:43:29Z

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex>
+En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex> (gitt at <tex>x+d\in I</tex>).
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
@@ Linje 7: / Linje 7: @@
 :<tex>f(x)=\sin(x)</tex> på <tex>\mathbb{R}</tex> med periode <tex>d=2\pi</tex>. Det er evident at <tex>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>.
 </blockquote>

Plutarco på 19. jan. 2010 kl. 17:20

2010-01-19T17:20:33Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. jan. 2010 kl. 17:20
Linje 1:		Linje 1:
	En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex>		En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex>

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

			'''Eksempel'''

			:<tex>f(x)=\sin(x)</tex> på <tex>\mathbb{R}</tex> med periode <tex>d=2\pi</tex>. Det er evident at <tex>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>.

			</blockquote>