Parabel - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:04Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Linje 7:		Linje 7:
	En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:		En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:

	<math>f(x) = ax^2 + bx + c</~~tex~~>		<math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>

	Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.		Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.
Linje 23:		Linje 23:
	Symmetrilinjen er gitt ved:		Symmetrilinjen er gitt ved:

	<math>x= \frac{-b}{2a} </~~tex~~>		<math>x= \frac{-b}{2a} </math>

	Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.		Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.
Linje 37:		Linje 37:
	[[Bilde:Parabel3.gif]]		[[Bilde:Parabel3.gif]]

	Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <math> \frac p2</~~tex~~>. Et vilkårlig punkt på parabelen kan da uttrykkes ved:		Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <math> \frac p2</math>. Et vilkårlig punkt på parabelen kan da uttrykkes ved:

	avstand fra styrelinje = avstand fra brennpunkt<p></p>		avstand fra styrelinje = avstand fra brennpunkt<p></p>
	<math> \frac p2 + x = \sqrt{(x- \frac p2)^2 + y^2}</~~tex~~><p></p>		<math> \frac p2 + x = \sqrt{(x- \frac p2)^2 + y^2}</math><p></p>
	som ordnet gir<p></p>		som ordnet gir<p></p>
	<math> y^2 = 2px</~~tex~~>		<math> y^2 = 2px</math>

	(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)		(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)
Linje 64:		Linje 64:
	Fra figuren ser vi at:		Fra figuren ser vi at:

	<math> \frac {d1'}{d1} = \frac {d2'}{d2} = \frac {d3'}{d3} = 1</~~tex~~>		<math> \frac {d1'}{d1} = \frac {d2'}{d2} = \frac {d3'}{d3} = 1</math>

	'''EKSEMPEL'''		'''EKSEMPEL'''
Linje 70:		Linje 70:
	La oss ta utgangspunkt i funksjonen		La oss ta utgangspunkt i funksjonen

	<math>f(x) = -0,2x^2</~~tex~~>		<math>f(x) = -0,2x^2</math>

	Vi bytter f (x) med y og får		Vi bytter f (x) med y og får


	<math>y = -0,2x^2</~~tex~~>		<math>y = -0,2x^2</math>

	som gir:		som gir:

	<math>x^2 = -5y</~~tex~~>		<math>x^2 = -5y</math>

	Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:		Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:

	<math>x^2 = 2(- \frac 52)y</~~tex~~>		<math>x^2 = 2(- \frac 52)y</math>

	<math> \frac p2</~~tex~~> er altså <math> \frac{-5}{4}</~~tex~~> hvilket betyr at koordinatene til F er <math>(0, \frac{-5}{4})</~~tex~~> som betyr at parabelen har sin åpning nedover.		<math> \frac p2</math> er altså <math> \frac{-5}{4}</math> hvilket betyr at koordinatene til F er <math>(0, \frac{-5}{4})</math> som betyr at parabelen har sin åpning nedover.

	Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet <math>y = \frac 54</~~tex~~>.<p></p>		Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet <math>y = \frac 54</math>.<p></p>
	[[Bilde:Parabel5.gif]]		[[Bilde:Parabel5.gif]]

Linje 93:		Linje 93:
	Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:		Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:

	<math>y^2 = -5x \\ y^2 = 2(- \frac 52)x</~~tex~~>		<math>y^2 = -5x \\ y^2 = 2(- \frac 52)x</math>


Linje 105:		Linje 105:
	Da gjelder følgende sammenheng:		Da gjelder følgende sammenheng:

	<math> (y - k)^2 = 2p(x - h)</~~tex~~><p></p>		<math> (y - k)^2 = 2p(x - h)</math><p></p>
	(finnes ved samme resonement som over, bare at toppunktet nå ikke ligger i origo)		(finnes ved samme resonement som over, bare at toppunktet nå ikke ligger i origo)

	Eksempel.		Eksempel.

	Vi undersøker grafen til ligningen: <math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</~~tex~~> <p></p>		Vi undersøker grafen til ligningen: <math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</math> <p></p>
	<math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 -12y = 8x - 1 \\y^2 -3y = 2x - \frac 14 \\ y^2 -3y + ( \frac 32)^2 =2x +( \frac 32)^2 - \frac 14 \\		<math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 -12y = 8x - 1 \\y^2 -3y = 2x - \frac 14 \\ y^2 -3y + ( \frac 32)^2 =2x +( \frac 32)^2 - \frac 14 \\
	(y- \frac 32)^2 = 2 \cdot 1 \cdot (x+1) </~~tex~~>		(y- \frac 32)^2 = 2 \cdot 1 \cdot (x+1) </math>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:48Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 7:		Linje 7:
	En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:		En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:

	<~~tex~~>f(x) = ax^2 + bx + c</tex>		<math>f(x) = ax^2 + bx + c</tex>

	Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.		Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.
Linje 23:		Linje 23:
	Symmetrilinjen er gitt ved:		Symmetrilinjen er gitt ved:

	<~~tex~~>x= \frac{-b}{2a} </tex>		<math>x= \frac{-b}{2a} </tex>

	Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.		Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.
Linje 37:		Linje 37:
	[[Bilde:Parabel3.gif]]		[[Bilde:Parabel3.gif]]

	Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <~~tex~~> \frac p2</tex>. Et vilkårlig punkt på parabelen kan da uttrykkes ved:		Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <math> \frac p2</tex>. Et vilkårlig punkt på parabelen kan da uttrykkes ved:

	avstand fra styrelinje = avstand fra brennpunkt<p></p>		avstand fra styrelinje = avstand fra brennpunkt<p></p>
	<~~tex~~> \frac p2 + x = \sqrt{(x- \frac p2)^2 + y^2}</tex><p></p>		<math> \frac p2 + x = \sqrt{(x- \frac p2)^2 + y^2}</tex><p></p>
	som ordnet gir<p></p>		som ordnet gir<p></p>
	<~~tex~~> y^2 = 2px</tex>		<math> y^2 = 2px</tex>

	(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)		(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)
Linje 64:		Linje 64:
	Fra figuren ser vi at:		Fra figuren ser vi at:

	<~~tex~~> \frac {d1'}{d1} = \frac {d2'}{d2} = \frac {d3'}{d3} = 1</tex>		<math> \frac {d1'}{d1} = \frac {d2'}{d2} = \frac {d3'}{d3} = 1</tex>

	'''EKSEMPEL'''		'''EKSEMPEL'''
Linje 70:		Linje 70:
	La oss ta utgangspunkt i funksjonen		La oss ta utgangspunkt i funksjonen

	<~~tex~~>f(x) = -0,2x^2</tex>		<math>f(x) = -0,2x^2</tex>

	Vi bytter f (x) med y og får		Vi bytter f (x) med y og får


	<~~tex~~>y = -0,2x^2</tex>		<math>y = -0,2x^2</tex>

	som gir:		som gir:

	<~~tex~~>x^2 = -5y</tex>		<math>x^2 = -5y</tex>

	Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:		Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:

	<~~tex~~>x^2 = 2(- \frac 52)y</tex>		<math>x^2 = 2(- \frac 52)y</tex>

	<~~tex~~> \frac p2</tex> er altså <~~tex~~> \frac{-5}{4}</tex> hvilket betyr at koordinatene til F er <~~tex~~>(0, \frac{-5}{4})</tex> som betyr at parabelen har sin åpning nedover.		<math> \frac p2</tex> er altså <math> \frac{-5}{4}</tex> hvilket betyr at koordinatene til F er <math>(0, \frac{-5}{4})</tex> som betyr at parabelen har sin åpning nedover.

	Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet <~~tex~~>y = \frac 54</tex>.<p></p>		Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet <math>y = \frac 54</tex>.<p></p>
	[[Bilde:Parabel5.gif]]		[[Bilde:Parabel5.gif]]

Linje 93:		Linje 93:
	Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:		Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:

	<~~tex~~>y^2 = -5x \\ y^2 = 2(- \frac 52)x</tex>		<math>y^2 = -5x \\ y^2 = 2(- \frac 52)x</tex>


Linje 105:		Linje 105:
	Da gjelder følgende sammenheng:		Da gjelder følgende sammenheng:

	<~~tex~~> (y - k)^2 = 2p(x - h)</tex><p></p>		<math> (y - k)^2 = 2p(x - h)</tex><p></p>
	(finnes ved samme resonement som over, bare at toppunktet nå ikke ligger i origo)		(finnes ved samme resonement som over, bare at toppunktet nå ikke ligger i origo)

	Eksempel.		Eksempel.

	Vi undersøker grafen til ligningen: <~~tex~~>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</tex> <p></p>		Vi undersøker grafen til ligningen: <math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</tex> <p></p>
	<~~tex~~>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 -12y = 8x - 1 \\y^2 -3y = 2x - \frac 14 \\ y^2 -3y + ( \frac 32)^2 =2x +( \frac 32)^2 - \frac 14 \\		<math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 -12y = 8x - 1 \\y^2 -3y = 2x - \frac 14 \\ y^2 -3y + ( \frac 32)^2 =2x +( \frac 32)^2 - \frac 14 \\
	(y- \frac 32)^2 = 2 \cdot 1 \cdot (x+1) </tex>		(y- \frac 32)^2 = 2 \cdot 1 \cdot (x+1) </tex>

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-09-25T12:34:27Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. sep. 2011 kl. 12:34
Linje 111:		Linje 111:

	Vi undersøker grafen til ligningen: <tex>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</tex> <p></p>		Vi undersøker grafen til ligningen: <tex>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</tex> <p></p>
	<tex>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 </tex>		<tex>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 -12y = 8x - 1 \\y^2 -3y = 2x - \frac 14 \\ y^2 -3y + ( \frac 32)^2 =2x +( \frac 32)^2 - \frac 14 \\
			(y- \frac 32)^2 = 2 \cdot 1 \cdot (x+1) </tex>

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-09-25T11:43:03Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. sep. 2011 kl. 11:43
Linje 110:		Linje 110:
	Eksempel.		Eksempel.

	Vi undersøker grafen til ligningen: ~~4y2~~ - 8x - 12y + 1 = 0		Vi undersøker grafen til ligningen: <tex>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</tex> <p></p>
			<tex>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 </tex>

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-09-25T10:53:35Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. sep. 2011 kl. 10:53
Linje 101:		Linje 101:


	Så langt har parablene hatt toppunktet i origo. En mer generell sammenheng finner vi om parabelen har toppunktet i et vilkårlig punkt, P(h,k)		Så langt har parablene hatt toppunktet i origo.<p></p> En mer generell sammenheng finner vi om parabelen har toppunktet i et vilkårlig punkt, P(h,k)

	Da gjelder følgende sammenheng:		Da gjelder følgende sammenheng:

	<tex> (y - k)^2 = 2p(x - h)</tex>		<tex> (y - k)^2 = 2p(x - h)</tex><p></p>
			(finnes ved samme resonement som over, bare at toppunktet nå ikke ligger i origo)

	Eksempel Vi undersøker grafen til ligningen: 4y2 - 8x - 12y + 1 = 0		Eksempel.

			Vi undersøker grafen til ligningen: 4y2 - 8x - 12y + 1 = 0

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-09-21T11:43:18Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. sep. 2011 kl. 11:43
Linje 105:		Linje 105:
	Da gjelder følgende sammenheng:		Da gjelder følgende sammenheng:

	~~(2)~~ (y - k)2 = 2p(x - h)		<tex> (y - k)^2 = 2p(x - h)</tex>

	Eksempel Vi undersøker grafen til ligningen: 4y2 - 8x - 12y + 1 = 0		Eksempel Vi undersøker grafen til ligningen: 4y2 - 8x - 12y + 1 = 0

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-09-21T11:06:54Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. sep. 2011 kl. 11:06
Linje 37:		Linje 37:
	[[Bilde:Parabel3.gif]]		[[Bilde:Parabel3.gif]]

	Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <tex> \frac p2</tex>. ~~Parabelen~~ kan da uttrykkes ved:		Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <tex> \frac p2</tex>. Et vilkårlig punkt på parabelen kan da uttrykkes ved:

			avstand fra styrelinje = avstand fra brennpunkt<p></p>
			<tex> \frac p2 + x = \sqrt{(x- \frac p2)^2 + y^2}</tex><p></p>
			som ordnet gir<p></p>
	<tex> y^2 = 2px</tex>		<tex> y^2 = 2px</tex>

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-09-21T11:00:12Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. sep. 2011 kl. 11:00
Linje 37:		Linje 37:
	[[Bilde:Parabel3.gif]]		[[Bilde:Parabel3.gif]]

	Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, p/2. Parabelen kan da uttrykkes ved:		Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <tex> \frac p2</tex>. Parabelen kan da uttrykkes ved:

	<tex> y^2 = 2px</tex>		<tex> y^2 = 2px</tex>

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-07-30T13:26:06Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jul. 2011 kl. 13:26
Linje 90:		Linje 90:
	Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:		Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:

	<tex>y2 = -5Y</tex>		<tex>y^2 = -5x \\ y^2 = 2(- \frac 52)x</tex>


	~~y2 = 2(-5/2)x~~

	Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:<p></p>		Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:<p></p>

Administrator: /* Geometrisk sted */

2011-07-30T13:22:50Z

Geometrisk sted

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jul. 2011 kl. 13:22
Linje 84:		Linje 84:
	<tex> \frac p2</tex> er altså <tex> \frac{-5}{4}</tex> hvilket betyr at koordinatene til F er <tex>(0, \frac{-5}{4})</tex> som betyr at parabelen har sin åpning nedover.		<tex> \frac p2</tex> er altså <tex> \frac{-5}{4}</tex> hvilket betyr at koordinatene til F er <tex>(0, \frac{-5}{4})</tex> som betyr at parabelen har sin åpning nedover.

	Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet <tex>y = \frac 54</tex>.		Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet <tex>y = \frac 54</tex>.<p></p>
			[[Bilde:Parabel5.gif]]


Linje 94:		Linje 94:
	y2 = 2(-5/2)x		y2 = 2(-5/2)x

	Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:		Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:<p></p>
			[[Bilde:Parabel6.gif]]