Logaritmelikninger - Sideversjonshistorikk

Administrator: Tømmer siden

2010-02-03T17:50:25Z

Tømmer siden

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 3. feb. 2010 kl. 17:50
Linje 1:		Linje 1:
	~~== Innledning ==~~
	~~For å løse logaritmelikningene i 1T kurset må du kunne litt om logaritmer. Nedenfor finner du de du må beherske. Dersom du ønsker å vite mer finner du det i R1 kurset under [[logaritmer]].~~

	~~----~~

	Logaritmen til et tall x med basis b er definert som den inverse funksjonen til <tex>b^x</tex> (b opphøyd i x). En logaritme kan ha forskjellige basiser eller grunntall (større enn null og ikke lik en). Det vanligste grunntallet for en logaritme er 10 og betegnelsen er log eller lg.(Den [[naturlige logaritmen ln]] har [[grunntall e]] og behandles separat.) Dersom andre grunntall brukes er det spesifisert, for eksempel dersom grunntallet er 2 skrives det slik: <tex>log_2 x</tex>.<br><br>
	~~Logaritmer av forskjellige basiser er relatert ved at~~
	~~:<tex>\log_na=\frac{\log_ma}{\log_mn}</tex>~~

	~~Logaritmer med grunntall 10 kalles den briggske logaritmen , etter matematikeren Henry Briggs. Vi har følgende definisjon:<br>~~

	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">~~
	~~<tex>10^{log a} = a </tex><br><br>~~
	~~<tex>log 1000 = 3\qquad \text{fordi} \qquad 10^3 = 1000 </tex><br><br>~~
	~~<tex>log 1 = 0 \qquad \text{fordi} \qquad 10^0 = 1 </tex><br><br>~~
	~~<tex>log 0,01 = -2 \qquad \text{fordi} \qquad 10^{-2} = 0,01 </tex><br><br>~~

	~~Man kan ikke ta logaritmen til et negativt tall.~~
	~~</blockquote>~~




	~~===Logaritmen av en potens===~~



	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">~~
	~~<tex> log a^x = x \cdot log a </tex>~~

	~~</blockquote>~~
	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">~~
	~~<tex> log 100^{24} = 24 \cdot log 100 =24 \cdot 2 = 48 </tex>~~

	~~</blockquote>~~


	~~[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]~~

	~~== Logaritme- og eksponential-likninger ==~~

	~~Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:~~
	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">~~
	~~<tex>m \cdot a^x = n</tex> <br><br>~~
	~~der a, m og n er tall. <br><br>~~

	~~Ligningen løses på følgende måte: <br><br>~~
	~~<tex> a^x = \frac nm</tex> <br><br>~~
	~~<tex> log(a^x) = log(\frac nm)</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x \cdot loga = log(\frac nm)</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x = \frac{log(\frac nm)}{log a}</tex> <br><br>~~
	~~</blockquote>~~


	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">~~

	~~'''Eksempel'''<br><br>~~

	~~<tex>0,23 \cdot 3^x = 5</tex> <br><br>~~
	~~<tex> 3^x = \frac {5}{0,23} </tex> <br><br>~~
	~~<tex> log(3^x) = log(\frac {5}{0,23}) </tex> <br><br>~~
	~~<tex> x \cdot log3 = log 21,74</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x = \frac{log 21,74}{log 3}</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x = \frac{1,34}{0,48}</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x = 2,79</tex> <br><br>~~

	~~</blockquote><br><br>~~

	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">~~

	~~'''Eksempel'''<br><br>~~

	~~Du setter 5000 kroner i banken og får 4 prosent renter per år. Hvor mange år må pengene stå i banken før du har 25000 kroner?<br><br>~~

	~~<tex> 25000 = 5000 \cdot 1,04^x </tex> <br><br>~~
	~~<tex> 1,04^x = \frac{25000}{5000}</tex> <br><br>~~
	~~<tex> 1,04^x = 5</tex> <br><br>~~
	~~<tex> log(1,04^x) = log 5</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x \cdot log 1,04 = log 5</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x = \frac {log 5}{log 1,04}</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x = 41</tex> <br><br>~~
	~~Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.~~
	~~</blockquote>~~

	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">~~

	~~'''Eksempel'''<br><br>~~

	Kari har 20000 kroner. Per har 40000 kroner. Kari setter sine penger i banken og får en rente på 3,5 prosent per år. Per kjøper en bil til 40000 for sine penger. Den taper seg i verdi med 9 prosent per år. Når har Karis sparepenger den samme verdi som Pers bil?<br><br>

	~~<tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex> <br><br>~~
	~~<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}</tex> <br><br>~~
	~~<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>~~
	~~<tex> x log(\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>~~
	~~<tex> x= \frac { log 2}{ log (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>~~
	~~<tex> x= 5,4 </tex> <br><br>~~
	~~Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.~~
	~~</blockquote>~~



	~~[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]~~

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-02-01T10:55:27Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 1. feb. 2010 kl. 10:55
Linje 38:		Linje 38:
	[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]		[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

	== ~~Logaritmelikninger~~ ==		== Logaritme- og eksponential-likninger ==

	Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:		Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T22:18:55Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jan. 2010 kl. 22:18
Linje 93:		Linje 93:
	<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>		<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
	<tex> x log(\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>		<tex> x log(\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>
	<tex> x= \frac { log 2}{ log ~~(\cdot~~ (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>		<tex> x= \frac { log 2}{ log (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>
	<tex> x= 5,4 </tex> <br><br>		<tex> x= 5,4 </tex> <br><br>
	Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.		Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T22:18:21Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jan. 2010 kl. 22:18
Linje 92:		Linje 92:
	<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}</tex> <br><br>		<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}</tex> <br><br>
	<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>		<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
	<tex> x log ~~(\cdot~~ (\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>		<tex> x log(\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>
	<tex> x= \frac { log 2}{ log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>		<tex> x= \frac { log 2}{ log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>
	<tex> x= 5,4 </tex> <br><br>		<tex> x= 5,4 </tex> <br><br>

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T22:17:29Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jan. 2010 kl. 22:17
Linje 93:		Linje 93:
	<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>		<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
	<tex> x log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>		<tex> x log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>
	<tex> x \frac { log 2}{ log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91})= } </tex> <br><br>		<tex> x= \frac { log 2}{ log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>
			<tex> x= 5,4 </tex> <br><br>
			Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T22:13:31Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jan. 2010 kl. 22:13
Linje 93:		Linje 93:
	<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>		<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
	<tex> x log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>		<tex> x log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>
			<tex> x \frac { log 2}{ log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91})= } </tex> <br><br>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T22:11:48Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jan. 2010 kl. 22:11
Linje 90:		Linje 90:

	<tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex> <br><br>		<tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex> <br><br>
	<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}= </tex> <br><br>		<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}</tex> <br><br>
	<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>		<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
	<tex> log(~~1,04^x) = log 5</tex> <br><br>~~		<tex> x log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>
	~~<tex> x~~ \cdot ~~log 1,04 = log 5</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x =~~ \frac {~~log 5~~}{~~log 1~~,04}~~</tex> <br><br>~~
	~~<tex> x~~ = 41</tex> <br><br>
	~~Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.~~
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T22:09:37Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jan. 2010 kl. 22:09
Linje 90:		Linje 90:

	<tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex> <br><br>		<tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex> <br><br>
	<tex> 1,04^x = \frac{~~25000~~}{~~5000~~}</tex> <br><br>		<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}= </tex> <br><br>
	<tex> 1,04^x = 5</tex> <br><br>		<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
	<tex> log(1,04^x) = log 5</tex> <br><br>		<tex> log(1,04^x) = log 5</tex> <br><br>
	<tex> x \cdot log 1,04 = log 5</tex> <br><br>		<tex> x \cdot log 1,04 = log 5</tex> <br><br>

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T22:00:12Z

Logaritmelikninger

@@ Linje 82: / Linje 82: @@
 Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.
 </blockquote>
 [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

Administrator: /* Logaritmelikninger */

2010-01-30T19:47:50Z

Logaritmelikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. jan. 2010 kl. 19:47
Linje 82:		Linje 82:
	Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.		Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.
	</blockquote>		</blockquote>

			[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]