Logaritme- og eksponential-likninger - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:57Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vis endringer

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:39Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Vis endringer

Administrator: /* Logaritme-likninger */

2010-02-07T14:32:36Z

Logaritme-likninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 7. feb. 2010 kl. 14:32
Linje 113:		Linje 113:
	<tex>x = 10^2 </tex><br><br>		<tex>x = 10^2 </tex><br><br>
	<tex>x = 100 </tex>		<tex>x = 100 </tex>
			</blockquote>


			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
			'''Eksempel:'''<br><br>
			<tex>log (x^2 - 21) = 2 </tex>
			<br><br>
			<tex>x^2 - 21 = 100 </tex><br><br>
			<tex>x = \pm 11 </tex>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Logaritme-likninger */

2010-02-07T13:55:51Z

Logaritme-likninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 7. feb. 2010 kl. 13:55
Linje 108:		Linje 108:
	</blockquote>		</blockquote>
	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
			'''Eksempel:'''<br><br>
	<tex>5 \cdot log x = 10 </tex>		<tex>5 \cdot log x = 10 </tex>
	<br><br>		<br><br>
	<tex>x = 10^2 </tex>		<tex>x = 10^2 </tex><br><br>
	<tex>x = 100 </tex>		<tex>x = 100 </tex>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Logaritme-likninger */

2010-02-07T13:54:57Z

Logaritme-likninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 7. feb. 2010 kl. 13:54
Linje 106:		Linje 106:
	<tex>x = 10^a </tex>		<tex>x = 10^a </tex>

			</blockquote>
			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

			<tex>5 \cdot log x = 10 </tex>
			<br><br>
			<tex>x = 10^2 </tex>
			<tex>x = 100 </tex>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Logaritme-likninger */

2010-02-07T13:51:12Z

Logaritme-likninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 7. feb. 2010 kl. 13:51
Linje 102:		Linje 102:
	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

	<tex>log x = a /tex>		<tex>log x = a </tex>
			<br><br>
	<tex>x = 10^a /tex>		<tex>x = 10^a </tex>

	</blockquote>		</blockquote>

Administrator på 7. feb. 2010 kl. 13:49

2010-02-07T13:49:51Z

@@ Linje 96: / Linje 96: @@
 <tex> x= 5,4 </tex> <br><br>
 Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.
 </blockquote>

Administrator: /* Logaritme- og eksponential-likninger */

2010-02-07T13:46:30Z

Logaritme- og eksponential-likninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 7. feb. 2010 kl. 13:46
Linje 38:		Linje 38:
	[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]		[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

	== ~~Logaritme- og eksponential~~-likninger ==		== Eksponential-likninger ==

	Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:		Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:

Administrator på 3. feb. 2010 kl. 17:48

2010-02-03T17:48:26Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 3. feb. 2010 kl. 17:48
Linje 1:		Linje 1:
	xx		== Innledning ==
			For å løse logaritmelikningene i 1T kurset må du kunne litt om logaritmer. Nedenfor finner du de du må beherske. Dersom du ønsker å vite mer finner du det i R1 kurset under [[logaritmer]].

			----

			Logaritmen til et tall x med basis b er definert som den inverse funksjonen til <tex>b^x</tex> (b opphøyd i x). En logaritme kan ha forskjellige basiser eller grunntall (større enn null og ikke lik en). Det vanligste grunntallet for en logaritme er 10 og betegnelsen er log eller lg.(Den [[naturlige logaritmen ln]] har [[grunntall e]] og behandles separat.) Dersom andre grunntall brukes er det spesifisert, for eksempel dersom grunntallet er 2 skrives det slik: <tex>log_2 x</tex>.<br><br>
			Logaritmer av forskjellige basiser er relatert ved at
			:<tex>\log_na=\frac{\log_ma}{\log_mn}</tex>

			Logaritmer med grunntall 10 kalles den briggske logaritmen , etter matematikeren Henry Briggs. Vi har følgende definisjon:<br>

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
			<tex>10^{log a} = a </tex><br><br>
			<tex>log 1000 = 3\qquad \text{fordi} \qquad 10^3 = 1000 </tex><br><br>
			<tex>log 1 = 0 \qquad \text{fordi} \qquad 10^0 = 1 </tex><br><br>
			<tex>log 0,01 = -2 \qquad \text{fordi} \qquad 10^{-2} = 0,01 </tex><br><br>

			Man kan ikke ta logaritmen til et negativt tall.
			</blockquote>




			===Logaritmen av en potens===



			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
			<tex> log a^x = x \cdot log a </tex>

			</blockquote>
			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
			<tex> log 100^{24} = 24 \cdot log 100 =24 \cdot 2 = 48 </tex>

			</blockquote>


			[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

			== Logaritme- og eksponential-likninger ==

			Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:
			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
			<tex>m \cdot a^x = n</tex> <br><br>
			der a, m og n er tall. <br><br>

			Ligningen løses på følgende måte: <br><br>
			<tex> a^x = \frac nm</tex> <br><br>
			<tex> log(a^x) = log(\frac nm)</tex> <br><br>
			<tex> x \cdot loga = log(\frac nm)</tex> <br><br>
			<tex> x = \frac{log(\frac nm)}{log a}</tex> <br><br>
			</blockquote>


			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

			'''Eksempel'''<br><br>

			<tex>0,23 \cdot 3^x = 5</tex> <br><br>
			<tex> 3^x = \frac {5}{0,23} </tex> <br><br>
			<tex> log(3^x) = log(\frac {5}{0,23}) </tex> <br><br>
			<tex> x \cdot log3 = log 21,74</tex> <br><br>
			<tex> x = \frac{log 21,74}{log 3}</tex> <br><br>
			<tex> x = \frac{1,34}{0,48}</tex> <br><br>
			<tex> x = 2,79</tex> <br><br>

			</blockquote><br><br>

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

			'''Eksempel'''<br><br>

			Du setter 5000 kroner i banken og får 4 prosent renter per år. Hvor mange år må pengene stå i banken før du har 25000 kroner?<br><br>

			<tex> 25000 = 5000 \cdot 1,04^x </tex> <br><br>
			<tex> 1,04^x = \frac{25000}{5000}</tex> <br><br>
			<tex> 1,04^x = 5</tex> <br><br>
			<tex> log(1,04^x) = log 5</tex> <br><br>
			<tex> x \cdot log 1,04 = log 5</tex> <br><br>
			<tex> x = \frac {log 5}{log 1,04}</tex> <br><br>
			<tex> x = 41</tex> <br><br>
			Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.
			</blockquote>

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

			'''Eksempel'''<br><br>

			Kari har 20000 kroner. Per har 40000 kroner. Kari setter sine penger i banken og får en rente på 3,5 prosent per år. Per kjøper en bil til 40000 for sine penger. Den taper seg i verdi med 9 prosent per år. Når har Karis sparepenger den samme verdi som Pers bil?<br><br>

			<tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex> <br><br>
			<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}</tex> <br><br>
			<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
			<tex> x log(\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>
			<tex> x= \frac { log 2}{ log (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>
			<tex> x= 5,4 </tex> <br><br>
			Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.
			</blockquote>



			[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

Administrator: Ny side: xx

2010-02-03T17:47:39Z

Ny side: xx

Ny side