Linjer i rommet - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:57Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 4:		Linje 4:


	:<math>a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2</~~tex~~>		:<math>a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2</math>


Linje 15:		Linje 15:


	: <math>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_1}t+\vec{r_0}</~~tex~~>,		: <math>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_1}t+\vec{r_0}</math>,


	der <math>\vec{r_1}</~~tex~~> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <math>\vec{r_0}</~~tex~~> er et punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <math>\vec{r_0}</~~tex~~>. Deretter legger vi til en vektor <math>\vec{r_1}t</~~tex~~> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <math>t</~~tex~~> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.		der <math>\vec{r_1}</math> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <math>\vec{r_0}</math> er et punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <math>\vec{r_0}</math>. Deretter legger vi til en vektor <math>\vec{r_1}t</math> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <math>t</math> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:39Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 4:		Linje 4:


	:<~~tex~~>a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2</tex>		:<math>a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2</tex>


Linje 15:		Linje 15:


	: <~~tex~~>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_1}t+\vec{r_0}</tex>,		: <math>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_1}t+\vec{r_0}</tex>,


	der <~~tex~~>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <~~tex~~>\vec{r_0}</tex> er et punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <~~tex~~>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <~~tex~~>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <~~tex~~>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.		der <math>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <math>\vec{r_0}</tex> er et punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <math>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <math>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <math>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.

80.202.166.109: /* Parameterfremstilling av linjer i rommet */

2010-02-18T08:14:05Z

Parameterfremstilling av linjer i rommet

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 18. feb. 2010 kl. 08:14
Linje 18:		Linje 18:


	der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> ~~beskriver punkter~~ på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.		der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> er et punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.

80.202.166.109: /* Linjer som skjæringen mellom to plan */

2010-02-18T08:12:17Z

Linjer som skjæringen mellom to plan

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 18. feb. 2010 kl. 08:12
Linje 1:		Linje 1:
	==Linjer som skjæringen mellom to plan==		==Linjer som skjæringen mellom to plan==

	Vi kan ~~definere~~ en linje i rommet som skjæringen mellom to ikkeparallelle plan. En linje vil derfor være ~~definert som alle~~ punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet		Vi kan beskrive en linje i rommet som skjæringen mellom to ikkeparallelle plan. En linje vil derfor være mengden av punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet

Plutarco: /* Linjer som skjæringen mellom to plan */

2010-02-17T19:01:48Z

Linjer som skjæringen mellom to plan

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 19:01
Linje 7:		Linje 7:


	Her ser vi at vi kan eliminere en av variablene slik at vi får én ligning med to ukjente.F.eks. kan vi eliminere z slik at vi får en ligning på formen g(x,y)=0. Finner vi punkter x og y som ~~tildfredsstiller~~ denne, kan vi substituere ~~tilbake~~ i en av de to opprinnelige ligningene for å finne z verdien.		Her ser vi at vi kan eliminere én av variablene slik at vi får én ligning med to ukjente. F.eks. kan vi eliminere z slik at vi får en ligning på formen g(x,y)=0. Finner vi punkter x og y som tilfredsstiller denne, kan vi substituere x og y inn i en av de to opprinnelige ligningene for å finne den korresponderende z-verdien.

	==Parameterfremstilling av linjer i rommet==		==Parameterfremstilling av linjer i rommet==

Plutarco: /* Linjer som skjæringen mellom to plan */

2010-02-17T19:00:42Z

Linjer som skjæringen mellom to plan

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 19:00
Linje 5:		Linje 5:

	:<tex>a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2</tex>		:<tex>a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2</tex>


			Her ser vi at vi kan eliminere en av variablene slik at vi får én ligning med to ukjente.F.eks. kan vi eliminere z slik at vi får en ligning på formen g(x,y)=0. Finner vi punkter x og y som tildfredsstiller denne, kan vi substituere tilbake i en av de to opprinnelige ligningene for å finne z verdien.

	==Parameterfremstilling av linjer i rommet==		==Parameterfremstilling av linjer i rommet==

Plutarco på 17. feb. 2010 kl. 18:57

2010-02-17T18:57:15Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 18:57
Linje 16:		Linje 16:

	der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> beskriver punkter på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.		der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> beskriver punkter på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.

	~~== Vinkelen mellom linjer i rommet ==~~


	Vi kan definere vinkelen <tex>\theta</tex> mellom to romlige linjer som vinkelen mellom vektorene som er parallelle med linjene. Merk at to generelle linjer i rommet ikke nødvendigvis skjærer hverandre. Dersom <tex>\vec{p}</tex> er parallell med den ene linja og <tex>\vec{q}</tex> er parallell med den andre, kan vi bruke definisjonen av skalarproduktet


	~~:<tex>\vec{p}\cdot \vec{q} =\|\vec{p}\|\|\vec{q}\|\cos(\theta)</tex>~~


	~~til å bestemme vinkelen mellom linjene.~~

Plutarco: /* Parameterfremstilling av linjer i rommet */

2010-02-17T18:55:34Z

Parameterfremstilling av linjer i rommet

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 18:55
Linje 9:		Linje 9:


	En annen måte å beskrive linjer i rommet på, er via ~~vektornotasjon~~. Da trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen		En annen måte å beskrive linjer i rommet på er via parameterfremstillinger. Da trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen

Plutarco: /* Parameterfremstilling av linjer i rommet */

2010-02-17T18:54:35Z

Parameterfremstilling av linjer i rommet

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 18:54
Linje 9:		Linje 9:


	~~For~~ å ~~finne et uttrykk for en linje~~ i rommet trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen		En annen måte å beskrive linjer i rommet på, er via vektornotasjon. Da trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen


	: <tex>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{~~r_0~~}t+~~\vec{r_1}</tex>,~~		: <tex>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_1}t+\vec{r_0}</tex>,


	~~der <tex>~~\vec{r_0}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_1}</tex> beskriver et eller annet punkt på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_1}</tex> på linja. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_0}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, ~~slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.~~


			der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> beskriver punkter på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.

	== Vinkelen mellom linjer i rommet ==		== Vinkelen mellom linjer i rommet ==

Plutarco: /* Linjer som skjæringen mellom to plan */

2010-02-17T18:52:42Z

Linjer som skjæringen mellom to plan

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 18:52
Linje 1:		Linje 1:
	==Linjer som skjæringen mellom to plan==		==Linjer som skjæringen mellom to plan==

	Vi kan definere en linje i rommet som skjæringen mellom to plan. En linje vil derfor være definert som alle punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet		Vi kan definere en linje i rommet som skjæringen mellom to ikkeparallelle plan. En linje vil derfor være definert som alle punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet