Introduksjon til komplekse tall - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:54Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 3:		Linje 3:
	==Introduksjon==		==Introduksjon==

	Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <math>P(a,b)</~~tex~~> og <math>Q(c,d)</~~tex~~> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er		Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <math>P(a,b)</math> og <math>Q(c,d)</math> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er

	<math>P+Q=(a+c,b+d)</~~tex~~>		<math>P+Q=(a+c,b+d)</math>

	Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <math>(0,0)</~~tex~~>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <math>PQ=(ac,bd)</~~tex~~>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <math>(a,0)</~~tex~~> eller <math>(0,b)</~~tex~~>.		Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <math>(0,0)</math>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <math>PQ=(ac,bd)</math>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <math>(a,0)</math> eller <math>(0,b)</math>.


	Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <math>(a,b)=\< r,\theta \></~~tex~~> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.		Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <math>(a,b)=\< r,\theta \></math> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.

	Gitt <math>(x,y)=\<r,\theta\></~~tex~~>, har vi at		Gitt <math>(x,y)=\<r,\theta\></math>, har vi at

	<math>r=\sqrt{x^2+y^2}</~~tex~~> og <math>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</~~tex~~>, med <math>\theta</~~tex~~> i samme kvadrant som <math>(x,y)</~~tex~~>.		<math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math> og <math>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</math>, med <math>\theta</math> i samme kvadrant som <math>(x,y)</math>.

	Motsatt vei har vi		Motsatt vei har vi

	<math>x=r\cos \, \theta</~~tex~~> og <math>y=r\sin\,\theta</~~tex~~>		<math>x=r\cos \, \theta</math> og <math>y=r\sin\,\theta</math>


	Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da		Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da

	<math>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></~~tex~~>		<math>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></math>

	På polar form er det eneste punktet med <math>r=0</~~tex~~> punktet <math>(0,0)</~~tex~~>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.		På polar form er det eneste punktet med <math>r=0</math> punktet <math>(0,0)</math>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.

	==Elementære egenskaper==		==Elementære egenskaper==

	Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <math>P,Q</~~tex~~> har vi <math>PQ=QP</~~tex~~>, la oss se på uttrykket <math>P(Q+R)</~~tex~~>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <math>PQ+PR</~~tex~~> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.		Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <math>P,Q</math> har vi <math>PQ=QP</math>, la oss se på uttrykket <math>P(Q+R)</math>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <math>PQ+PR</math> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.

	Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.		Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.


	Vi vet altså at <math>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</~~tex~~>, <math>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</~~tex~~>, <math>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</~~tex~~> og <math>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</~~tex~~>. Da får vi at produket av <math>(a,b)</~~tex~~> og <math>(c,d)</~~tex~~> på polar form er gitt ved		Vi vet altså at <math>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</math>, <math>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</math>, <math>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</math> og <math>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</math>. Da får vi at produket av <math>(a,b)</math> og <math>(c,d)</math> på polar form er gitt ved

	<math>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</~~tex~~> og <math>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</~~tex~~>		<math>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</math> og <math>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</math>

	Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:		Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:

	<math>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</~~tex~~>		<math>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</math>

	og		og

	<math>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</~~tex~~>		<math>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</math>

	Så vi får som resultat at		Så vi får som resultat at

	<math>x=r\cos\,\theta=ac-bd</~~tex~~>		<math>x=r\cos\,\theta=ac-bd</math>

	og		og

	<math>y=r\sin\,\theta=ad+bc</~~tex~~>		<math>y=r\sin\,\theta=ad+bc</math>

	Så vi har statfestet at dersom <math>P=(a,b)</~~tex~~> og <math>Q=(c,d)</~~tex~~>, så er		Så vi har statfestet at dersom <math>P=(a,b)</math> og <math>Q=(c,d)</math>, så er

	<math>PQ=(ac-bd,ad+bc)</~~tex~~>		<math>PQ=(ac-bd,ad+bc)</math>

	==Sammenheng med komplekse tall==		==Sammenheng med komplekse tall==
Linje 62:		Linje 62:

	Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at		Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at
	:1) <math>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</~~tex~~>		:1) <math>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</math>
	:2) <math>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</~~tex~~>		:2) <math>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</math>
	:3) <math>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</~~tex~~>		:3) <math>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</math>


	Ettersom vi har at <math>AB=BA</~~tex~~> og <math>A(B+C)=AB+AC</~~tex~~> for alle punkter <math>A,B,C</~~tex~~>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.		Ettersom vi har at <math>AB=BA</math> og <math>A(B+C)=AB+AC</math> for alle punkter <math>A,B,C</math>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.

	Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <math>(1,0)</~~tex~~> for <math>1</~~tex~~> og <math>(0,1)</~~tex~~> for <math>i</~~tex~~>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <math>a+bi</~~tex~~> for tall <math>a</~~tex~~> og <math>b</~~tex~~>, og vi har		Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <math>(1,0)</math> for <math>1</math> og <math>(0,1)</math> for <math>i</math>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <math>a+bi</math> for tall <math>a</math> og <math>b</math>, og vi har

	<math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</~~tex~~>		<math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math>

	og		og

	<math>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</~~tex~~>		<math>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:36Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 3:		Linje 3:
	==Introduksjon==		==Introduksjon==

	Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <~~tex~~>P(a,b)</tex> og <~~tex~~>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er		Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <math>P(a,b)</tex> og <math>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er

	<~~tex~~>P+Q=(a+c,b+d)</tex>		<math>P+Q=(a+c,b+d)</tex>

	Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <~~tex~~>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <~~tex~~>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <~~tex~~>(a,0)</tex> eller <~~tex~~>(0,b)</tex>.		Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <math>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <math>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <math>(a,0)</tex> eller <math>(0,b)</tex>.


	Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <~~tex~~>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.		Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <math>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.

	Gitt <~~tex~~>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at		Gitt <math>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at

	<~~tex~~>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <~~tex~~>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <~~tex~~>\theta</tex> i samme kvadrant som <~~tex~~>(x,y)</tex>.		<math>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <math>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <math>\theta</tex> i samme kvadrant som <math>(x,y)</tex>.

	Motsatt vei har vi		Motsatt vei har vi

	<~~tex~~>x=r\cos \, \theta</tex> og <~~tex~~>y=r\sin\,\theta</tex>		<math>x=r\cos \, \theta</tex> og <math>y=r\sin\,\theta</tex>


	Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da		Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da

	<~~tex~~>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex>		<math>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex>

	På polar form er det eneste punktet med <~~tex~~>r=0</tex> punktet <~~tex~~>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.		På polar form er det eneste punktet med <math>r=0</tex> punktet <math>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.

	==Elementære egenskaper==		==Elementære egenskaper==

	Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <~~tex~~>P,Q</tex> har vi <~~tex~~>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <~~tex~~>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <~~tex~~>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.		Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <math>P,Q</tex> har vi <math>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <math>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <math>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.

	Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.		Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.


	Vi vet altså at <~~tex~~>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <~~tex~~>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <~~tex~~>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <~~tex~~>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <~~tex~~>(a,b)</tex> og <~~tex~~>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved		Vi vet altså at <math>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <math>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <math>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <math>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <math>(a,b)</tex> og <math>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved

	<~~tex~~>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <~~tex~~>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex>		<math>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <math>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex>

	Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:		Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:

	<~~tex~~>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>		<math>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>

	og		og

	<~~tex~~>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>		<math>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>

	Så vi får som resultat at		Så vi får som resultat at

	<~~tex~~>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex>		<math>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex>

	og		og

	<~~tex~~>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex>		<math>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex>

	Så vi har statfestet at dersom <~~tex~~>P=(a,b)</tex> og <~~tex~~>Q=(c,d)</tex>, så er		Så vi har statfestet at dersom <math>P=(a,b)</tex> og <math>Q=(c,d)</tex>, så er

	<~~tex~~>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex>		<math>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex>

	==Sammenheng med komplekse tall==		==Sammenheng med komplekse tall==
Linje 62:		Linje 62:

	Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at		Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at
	:1) <~~tex~~>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex>		:1) <math>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex>
	:2) <~~tex~~>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex>		:2) <math>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex>
	:3) <~~tex~~>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</tex>		:3) <math>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</tex>


	Ettersom vi har at <~~tex~~>AB=BA</tex> og <~~tex~~>A(B+C)=AB+AC</tex> for alle punkter <~~tex~~>A,B,C</tex>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.		Ettersom vi har at <math>AB=BA</tex> og <math>A(B+C)=AB+AC</tex> for alle punkter <math>A,B,C</tex>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.

	Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <~~tex~~>(1,0)</tex> for <~~tex~~>1</tex> og <~~tex~~>(0,1)</tex> for <~~tex~~>i</tex>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <~~tex~~>a+bi</tex> for tall <~~tex~~>a</tex> og <~~tex~~>b</tex>, og vi har		Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <math>(1,0)</tex> for <math>1</tex> og <math>(0,1)</tex> for <math>i</tex>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <math>a+bi</tex> for tall <math>a</tex> og <math>b</tex>, og vi har

	<~~tex~~>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</tex>		<math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</tex>

	og		og

	<~~tex~~>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</tex>		<math>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</tex>

Espen180: /* Sammenheng med komplekse tall */

2011-09-30T19:06:54Z

Sammenheng med komplekse tall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. sep. 2011 kl. 19:06
Linje 61:		Linje 61:


	Det følger ~~ganske~~ smertefritt fra diskusjonen ovenfor at		Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at
	:1) <tex>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex>		:1) <tex>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex>
	:2) <tex>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex>		:2) <tex>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex>

Espen180: /* Sammenheng med komplekse tall */

2011-09-30T19:06:42Z

Sammenheng med komplekse tall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. sep. 2011 kl. 19:06
Linje 61:		Linje 61:


	~~Vi har allerede sett~~ at ~~hvis~~ <tex>r=0</tex> ~~har vi~~ <tex>\<r,~~\theta\>~~=(0,0)</tex> ~~for alle valg av~~ <tex>\~~theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r~~=1</tex>.		Det følger ganske smertefritt fra diskusjonen ovenfor at
			:1) <tex>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex>
			:2) <tex>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex>
			:3) <tex>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</tex>

	Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.

	~~Se så på punktet~~ <tex>B=\<~~1,\pi\~~>=(~~-1,0~~)</tex>~~. Da får vi~~ <tex>~~BB=\<1~~,~~2\pi\>=\<1~~,~~0\>=(1,0)=A~~</tex>.		Ettersom vi har at <tex>AB=BA</tex> og <tex>A(B+C)=AB+AC</tex> for alle punkter <tex>A,B,C</tex>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.

	~~Se nå på~~ <tex>~~C=\~~<1~~,\frac{\pi}{2}\~~>=(0,1)</tex>. ~~Dette punktet~~ har ~~egenskapen~~ <tex>CC=\<1,\~~pi\>~~=(-~~1,0~~)=B</tex>.		Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <tex>(1,0)</tex> for <tex>1</tex> og <tex>(0,1)</tex> for <tex>i</tex>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <tex>a+bi</tex> for tall <tex>a</tex> og <tex>b</tex>, og vi har

			<tex>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</tex>

			og

			<tex>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</tex>


			Disse er de vanlige regnereglene for komplekse tall, og vi har dermed vist at regning med komplekse tall ikke er noe mer enn regning med punkter i planet, med en bestemt type multiplikasjon.

			Herfra følger dermed alle resultater som gjelder for komplekse tall.

Espen180 på 29. sep. 2011 kl. 18:47

2011-09-29T18:47:46Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 18:47
Linje 1:		Linje 1:
	Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet.		Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. Den tar sikte på å gi konseptet om komplekse tall et konkret rammeverk, heller enn å utvikle avledede konsepter.

	==Introduksjon==		==Introduksjon==

Espen180: /* Elementære egenskaper */

2011-09-28T09:29:14Z

Elementære egenskaper

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. sep. 2011 kl. 09:29
Linje 44:		Linje 44:
	og		og

	<tex>\sin^2\theta=~~\frac{~~\tan^2\theta~~}{1+~~\~~tan~~^2\theta}=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>		<tex>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>

	Så vi får som resultat at		Så vi får som resultat at

Espen180: /* Spesielle punkter */

2011-09-28T09:27:43Z

Spesielle punkter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. sep. 2011 kl. 09:27
Linje 58:		Linje 58:
	<tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex>		<tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex>

	==~~Spesielle punkter~~==		==Sammenheng med komplekse tall==


Linje 66:		Linje 66:

	Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.		Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.

			Se nå på <tex>C=\<1,\frac{\pi}{2}\>=(0,1)</tex>. Dette punktet har egenskapen <tex>CC=\<1,\pi\>=(-1,0)=B</tex>.

Espen180: /* Elementære egenskaper */

2011-09-28T09:24:49Z

Elementære egenskaper

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. sep. 2011 kl. 09:24
Linje 53:		Linje 53:

	<tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex>		<tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex>

			Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er

			<tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex>

	==Spesielle punkter==		==Spesielle punkter==

Espen180: /* Elementære egenskaper */

2011-09-28T09:23:22Z

Elementære egenskaper

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. sep. 2011 kl. 09:23
Linje 29:		Linje 29:
	==Elementære egenskaper==		==Elementære egenskaper==

	Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.		Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.

			Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.


	Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved		Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved

	<tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1+\frac{bd}{ac}}\~~right~~)</tex>		<tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex>

			Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:

			<tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>

			og

			<tex>\sin^2\theta=\frac{\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>

			Så vi får som resultat at

			<tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex>

			og

			<tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex>

	==Spesielle punkter==		==Spesielle punkter==

Espen180: Ny side: Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. ==Introduksjon== Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregn...

2011-09-28T09:05:49Z

Ny side: Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. ==Introduksjon== Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregn...

Ny side

Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet.

==Introduksjon==

Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er

<tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex>

Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.

Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.

Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at

<tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.

Motsatt vei har vi

<tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex>

Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da

<tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex>

På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.

==Elementære egenskaper==

Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.

Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved

<tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1+\frac{bd}{ac}}\right)</tex>

==Spesielle punkter==

Vi har allerede sett at hvis <tex>r=0</tex> har vi <tex>\<r,\theta\>=(0,0)</tex> for alle valg av <tex>\theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r=1</tex>.

Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.

Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.