Introduksjon til differensiallikninger - Sideversjonshistorikk

Administrator: /* Retningsdiagram */

2021-10-12T11:25:00Z

Retningsdiagram

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:25
Linje 276:		Linje 276:
	På engelsk er betegnelsen "slope field".<p></p> Utfra retningsdiagrammet får vi også et bilde av hvordan ulike integralkurver ser ut.		På engelsk er betegnelsen "slope field".<p></p> Utfra retningsdiagrammet får vi også et bilde av hvordan ulike integralkurver ser ut.

	<~~blockquote~~ style="padding: 1em; border: ~~3px dotted red~~;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
	'''Eksempel: Retningsdiagram'''		'''Eksempel: Retningsdiagram'''
	<p></p>		<p></p>
Linje 292:		Linje 292:
	Vi ser nå at retningsdiagrammet stemmer: $C$ skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken $x$ eller $y$ har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for $y = 2x + 1$		Vi ser nå at retningsdiagrammet stemmer: $C$ skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken $x$ eller $y$ har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for $y = 2x + 1$

	</~~blockquote~~>		</div>
	<~~blockquote~~ style="padding: 1em; border: ~~3px dotted red~~;">


			<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
	'''Eksempel: Retningsdiagram'''		'''Eksempel: Retningsdiagram'''

Linje 312:		Linje 315:
	Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i $x = -1$.		Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i $x = -1$.

	</~~blockquote~~>		</div>

	----		----

Administrator: /* Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter */

2021-10-12T11:20:03Z

Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:20
Linje 218:		Linje 218:
	<math>y(x) = e^{ax}\left (C_1 \cos(bx) + C_2 \sin (bx)\right )</math></div>		<math>y(x) = e^{ax}\left (C_1 \cos(bx) + C_2 \sin (bx)\right )</math></div>
	<p></p>		<p></p>


	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
	'''Eksempel: To komplekse røtter''' <p></p>		'''Eksempel: To komplekse røtter''' <p></p>

Administrator: /* Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter */

2021-10-12T11:18:48Z

Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:18
Linje 196:		Linje 196:


	<~~blockquote~~ style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	Dersom ligningen har én reell rot blir løsningen på formen<p></p>		Dersom ligningen har én reell rot blir løsningen på formen<p></p>
	<math>y(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}</math><p></p></~~blockquote~~>		<math>y(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}</math><p></p></div>


	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

Linje 211:		Linje 213:
	[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A22%2BA23%2BA24%2BA25%2BA26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]		[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A22%2BA23%2BA24%2BA25%2BA26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

	<~~blockquote~~ style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	Dersom ligningen har to komplekse røtter, <math>r_1 = a + ib</math> og <math>r_2 = a - ib</math>, blir løsningen		Dersom ligningen har to komplekse røtter, <math>r_1 = a + ib</math> og <math>r_2 = a - ib</math>, blir løsningen
	<math>y(x) = e^{ax}\left (C_1 \cos(bx) + C_2 \sin (bx)\right )</math></~~blockquote~~>		<math>y(x) = e^{ax}\left (C_1 \cos(bx) + C_2 \sin (bx)\right )</math></div>
	<p></p>		<p></p>
	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

Administrator: /* Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter */

2021-10-12T11:16:35Z

Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:16
Linje 174:		Linje 174:
	* To komplekse røtter		* To komplekse røtter

	<~~blockquote~~ style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	Dersom ligningen har to reelle røtter gir det generell løsning<p></p>		Dersom ligningen har to reelle røtter gir det generell løsning<p></p>
	<math>y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}</math>		<math>y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}</math>
	</~~blockquote~~>		</div>


	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

Administrator: /* Integrerende faktor */

2021-10-12T11:11:43Z

Integrerende faktor

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:11
Linje 71:		Linje 71:
	=== [[Integrerende faktor]] ===		=== [[Integrerende faktor]] ===

	Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er $e^{ax}$ der a er a'en i		Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er $e^{ax}$ der a er a'en i $y' + ax = b$

	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

Administrator: /* Integrerende faktor */

2021-10-12T11:10:43Z

Integrerende faktor

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 11:10
Linje 71:		Linje 71:
	=== [[Integrerende faktor]] ===		=== [[Integrerende faktor]] ===

	Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt.		Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er $e^{ax}$ der a er a'en i

	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

Administrator: /* Integrerende faktor */

2021-10-12T04:14:48Z

Integrerende faktor

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 04:14
Linje 70:		Linje 70:

	=== [[Integrerende faktor]] ===		=== [[Integrerende faktor]] ===

			Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt.

	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

Administrator: /* Førsteordens lineære ligninger */

2021-10-12T04:12:36Z

Førsteordens lineære ligninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 04:12
Linje 48:		Linje 48:
	y' + ay = b		y' + ay = b
	\end{equation}		\end{equation}
	<\div>		</div>

	Her er $a$ og $b$ enten gitte konstanter, eller funksjoner av $x$. At en ligning er av ''første orden'' betyr at den inneholder den førstederiverte, $y'$, men ikke deriverte av høyere orden ($y^{\prime\prime}$, $y^{(3)}$ etc.). At en ligning er ''lineær'' betyr at $y$ og $y'$ inngår som lineære faktorer i leddene. Ligningen $y'+y^2=3$ vil f.eks. ikke være lineær siden vi har et ledd med $y^2$.		Her er $a$ og $b$ enten gitte konstanter, eller funksjoner av $x$. At en ligning er av ''første orden'' betyr at den inneholder den førstederiverte, $y'$, men ikke deriverte av høyere orden ($y^{\prime\prime}$, $y^{(3)}$ etc.). At en ligning er ''lineær'' betyr at $y$ og $y'$ inngår som lineære faktorer i leddene. Ligningen $y'+y^2=3$ vil f.eks. ikke være lineær siden vi har et ledd med $y^2$.

Administrator: /* Førsteordens lineære ligninger */

2021-10-12T04:09:11Z

Førsteordens lineære ligninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 04:09
Linje 43:		Linje 43:
	Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen		Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen

			<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
	\begin{equation}		\begin{equation}
	\label{linearEqFirstOrder}		\label{linearEqFirstOrder}
	y' + ay = b		y' + ay = b
	\end{equation}		\end{equation}
			<\div>

	Her er $a$ og $b$ enten gitte konstanter, eller funksjoner av $x$. At en ligning er av ''første orden'' betyr at den inneholder den førstederiverte, $y'$, men ikke deriverte av høyere orden ($y^{\prime\prime}$, $y^{(3)}$ etc.). At en ligning er ''lineær'' betyr at $y$ og $y'$ inngår som lineære faktorer i leddene. Ligningen $y'+y^2=3$ vil f.eks. ikke være lineær siden vi har et ledd med $y^2$.		Her er $a$ og $b$ enten gitte konstanter, eller funksjoner av $x$. At en ligning er av ''første orden'' betyr at den inneholder den førstederiverte, $y'$, men ikke deriverte av høyere orden ($y^{\prime\prime}$, $y^{(3)}$ etc.). At en ligning er ''lineær'' betyr at $y$ og $y'$ inngår som lineære faktorer i leddene. Ligningen $y'+y^2=3$ vil f.eks. ikke være lineær siden vi har et ledd med $y^2$.

Administrator: /* Homogene og inhomogene førsteordens diff.ligninger */

2021-10-12T03:58:42Z

Homogene og inhomogene førsteordens diff.ligninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. okt. 2021 kl. 03:58
Linje 54:		Linje 54:


	Dersom $b\neq 0 $ i ligning ~~\ref{linearEqFirstOrder}~~ kalles den ''inhomogen''. Dersom $b = 0$ kalles diff.ligningen ''homogen''. En homogen, lineær diff.ligning av første orden er altså på formen		Dersom $b\neq 0 $ i ligning kalles den ''inhomogen''. Dersom $b = 0$ kalles diff.ligningen ''homogen''. En homogen, lineær diff.ligning av første orden er altså på formen

	\begin{equation}		\begin{equation}