Integrerende faktor - Sideversjonshistorikk

Plutarco på 1. mai 2013 kl. 02:03

2013-05-01T02:03:00Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 1. mai 2013 kl. 02:03
Linje 1:		Linje 1:
	En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f^,+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</math>.		En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f'+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</math>.


Linje 8:		Linje 8:


	:<math>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</math>		:<math>f'+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf'+Agf=gB</math>


	Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</math> slik at <math>Ag=g^,</math>, ser vi at ligningen blir:		Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</math> slik at <math>Ag=g'</math>, ser vi at ligningen blir:


	:<math>gf^,+g^,f=gB</math>		:<math>gf'+g'f=gB</math>


	Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)^,</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</math> finner vi enkelt ved å løse ligningen		Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)'</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</math> finner vi enkelt ved å løse ligningen


	:<math>g^,=Ag</math>		:<math>g'=Ag</math>


Linje 31:		Linje 31:
	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

	'''Eksempel'''		'''Eksempel''' <p></p>

	:La oss se på førsteordensligningen <math>f^,+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</math> får vi <math>e^xf^,+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)^,=0</math> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </math>. Da ser vi at <math>e^xf</math> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</math>. Ganger vi med <math>e^{-x}</math> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </math>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.		La oss se på førsteordensligningen <math>f'+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</math> får vi <math>e^xf'+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)'=0</math> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </math>. Da ser vi at <math>e^xf</math> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</math>. Ganger vi med <math>e^{-x}</math> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </math>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.

	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:53Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 1:		Linje 1:
	En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f^,+A(x)f=B(x)</~~tex~~> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</~~tex~~>.		En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f^,+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</math>.


Linje 5:		Linje 5:


	Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <math>g=g(x)</~~tex~~>: (Her betyr <math>A=A(x)</~~tex~~>, <math>B=B(x)</~~tex~~> etc.)		Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <math>g=g(x)</math>: (Her betyr <math>A=A(x)</math>, <math>B=B(x)</math> etc.)


	:<math>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</~~tex~~>		:<math>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</math>


	Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</~~tex~~> slik at <math>Ag=g^,</~~tex~~>, ser vi at ligningen blir:		Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</math> slik at <math>Ag=g^,</math>, ser vi at ligningen blir:


	:<math>gf^,+g^,f=gB</~~tex~~>		:<math>gf^,+g^,f=gB</math>


	Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)^,</~~tex~~> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</~~tex~~> finner vi enkelt ved å løse ligningen		Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)^,</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</math> finner vi enkelt ved å løse ligningen


	:<math>g^,=Ag</~~tex~~>		:<math>g^,=Ag</math>


	Dette er en separabel ligning med løsning <math>g=e^{\int A\,dx}</~~tex~~>. Vi har altså funnet integrerende faktor.		Dette er en separabel ligning med løsning <math>g=e^{\int A\,dx}</math>. Vi har altså funnet integrerende faktor.


Linje 33:		Linje 33:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:La oss se på førsteordensligningen <math>f^,+f=0</~~tex~~>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</~~tex~~> får vi <math>e^xf^,+e^xf=0</~~tex~~>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)^,=0</~~tex~~> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </~~tex~~>. Da ser vi at <math>e^xf</~~tex~~> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</~~tex~~>. Ganger vi med <math>e^{-x}</~~tex~~> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </~~tex~~>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.		:La oss se på førsteordensligningen <math>f^,+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</math> får vi <math>e^xf^,+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)^,=0</math> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </math>. Da ser vi at <math>e^xf</math> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</math>. Ganger vi med <math>e^{-x}</math> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </math>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.

	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:36Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 1:		Linje 1:
	En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <~~tex~~>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <~~tex~~>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.		En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.


Linje 5:		Linje 5:


	Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <~~tex~~>g=g(x)</tex>: (Her betyr <~~tex~~>A=A(x)</tex>, <~~tex~~>B=B(x)</tex> etc.)		Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <math>g=g(x)</tex>: (Her betyr <math>A=A(x)</tex>, <math>B=B(x)</tex> etc.)


	:<~~tex~~>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</tex>		:<math>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</tex>


	Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <~~tex~~>g</tex> slik at <~~tex~~>Ag=g^,</tex>, ser vi at ligningen blir:		Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</tex> slik at <math>Ag=g^,</tex>, ser vi at ligningen blir:


	:<~~tex~~>gf^,+g^,f=gB</tex>		:<math>gf^,+g^,f=gB</tex>


	Da gjenkjenner vi venstresida som <~~tex~~>(gf)^,</tex> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <~~tex~~>g</tex> finner vi enkelt ved å løse ligningen		Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)^,</tex> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</tex> finner vi enkelt ved å løse ligningen


	:<~~tex~~>g^,=Ag</tex>		:<math>g^,=Ag</tex>


	Dette er en separabel ligning med løsning <~~tex~~>g=e^{\int A\,dx}</tex>. Vi har altså funnet integrerende faktor.		Dette er en separabel ligning med løsning <math>g=e^{\int A\,dx}</tex>. Vi har altså funnet integrerende faktor.


Linje 33:		Linje 33:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:La oss se på førsteordensligningen <~~tex~~>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <~~tex~~>e^x</tex> får vi <~~tex~~>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <~~tex~~>(e^xf)^,=0</tex> eller ekvivalent <~~tex~~>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Da ser vi at <~~tex~~>e^xf</tex> må være konstant, i.e. <~~tex~~>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <~~tex~~>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <~~tex~~>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.		:La oss se på førsteordensligningen <math>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</tex> får vi <math>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)^,=0</tex> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Da ser vi at <math>e^xf</tex> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <math>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.

	</blockquote>		</blockquote>

90.149.36.143 på 9. feb. 2010 kl. 19:08

2010-02-09T19:08:08Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 9. feb. 2010 kl. 19:08
Linje 17:		Linje 17:


	Da ~~blir~~ venstresida <tex>(gf)^,</tex> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <tex>g</tex> finner vi enkelt ved å løse ligningen		Da gjenkjenner vi venstresida som <tex>(gf)^,</tex> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <tex>g</tex> finner vi enkelt ved å løse ligningen

Plutarco: /* Eksempler */

2010-02-06T16:47:23Z

Eksempler

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 6. feb. 2010 kl. 16:47
Linje 33:		Linje 33:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:La oss se på førsteordensligningen <tex>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <tex>e^x</tex> får vi <tex>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <tex>(e^xf)^,=0</tex>~~. Bruker vi Leibniz' notasjon kan vi skrive dette som~~ <tex>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Så vi ~~må ha~~ at <tex>e^xf</tex> er konstant, i.e. <tex>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <tex>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <tex>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.		:La oss se på førsteordensligningen <tex>f^,+f=0</tex>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <tex>e^x</tex> får vi <tex>e^xf^,+e^xf=0</tex>. Ligningen kan nå omskrives til <tex>(e^xf)^,=0</tex> eller ekvivalent <tex>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </tex>. Da ser vi at <tex>e^xf</tex> må være konstant, i.e. <tex>e^xf=c</tex>. Ganger vi med <tex>e^{-x}</tex> får vi at løsningen er <tex>f(x)=ce^{-x}. </tex>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.

	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco på 6. feb. 2010 kl. 14:54

2010-02-06T14:54:42Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 6. feb. 2010 kl. 14:54
Linje 2:		Linje 2:


	== Generell utledning ~~av integrerende faktor~~==		== Generell utledning ==

Plutarco på 6. feb. 2010 kl. 14:53

2010-02-06T14:53:46Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 6. feb. 2010 kl. 14:53
Linje 15:		Linje 15:

	:<tex>gf^,+g^,f=gB</tex>		:<tex>gf^,+g^,f=gB</tex>


			Da blir venstresida <tex>(gf)^,</tex> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <tex>g</tex> finner vi enkelt ved å løse ligningen


			:<tex>g^,=Ag</tex>


			Dette er en separabel ligning med løsning <tex>g=e^{\int A\,dx}</tex>. Vi har altså funnet integrerende faktor.

Plutarco på 6. feb. 2010 kl. 14:45

2010-02-06T14:45:42Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 6. feb. 2010 kl. 14:45
Linje 1:		Linje 1:
	En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>. ~~En generell utledning er betimelig:~~		En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <tex>f^,+A(x)f=B(x)</tex> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>.


	~~Vi starter med å gange ligningen med <tex>e^{\int A(x)\,dx}</tex>:~~		== Generell utledning av integrerende faktor==


	:<tex>~~f^,+A(x)f~~=B(x)~~\,\, \Rightarrow \,\, e^{\int A~~(~~x)\,dx}\, f^,\, +\,~~A~~(x)e^{\int~~ A(x)~~\,dx}\, f\~~, =\, B(x)~~e^{\int A(x)\,dx}~~</tex>		Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <tex>g=g(x)</tex>: (Her betyr <tex>A=A(x)</tex>, <tex>B=B(x)</tex> etc.)


	~~Merk at~~ <tex>~~A(x)e~~^~~{\int A(x)~~\,~~dx}~~\,\,\, ~~= \left (e^{\int A(x)~~\,~~dx}\right )~~^, ~~</tex>. For enkelhets skyld lar vi <tex>g~~=~~e^{\int A(x)\,dx}~~</tex>~~. Da blir ligningen~~		:<tex>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</tex>


	: <tex>~~gf^,+~~g^,~~f=Bg~~</tex>		Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <tex>g</tex> slik at <tex>Ag=g^,</tex>, ser vi at ligningen blir:


	~~Venstresida er nå lik~~ <tex>(gf)^,</tex> ~~der vi har brukt produktregelen for derivasjon.~~		:<tex>gf^,+g^,f=gB</tex>


			== Eksempler ==

Plutarco på 6. feb. 2010 kl. 14:31

2010-02-06T14:31:17Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 6. feb. 2010 kl. 14:31
Linje 14:		Linje 14:


	Venstresida er nå lik <tex>(gf)~~^,=g^,f+gf~~^,</tex>.		Venstresida er nå lik <tex>(gf)^,</tex> der vi har brukt produktregelen for derivasjon.

Plutarco på 6. feb. 2010 kl. 14:30

2010-02-06T14:30:32Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 6. feb. 2010 kl. 14:30
Linje 8:		Linje 8:


	~~Nå observerer~~ vi ~~at venstresida kan omskrives ved hjelp av produktregelen for derivasjon:~~		Merk at <tex>A(x)e^{\int A(x)\,dx}\,\,\, = \left (e^{\int A(x)\,dx}\right )^, </tex>. For enkelhets skyld lar vi <tex>g=e^{\int A(x)\,dx}</tex>. Da blir ligningen


	:		: <tex>gf^,+g^,f=Bg</tex>


			Venstresida er nå lik <tex>(gf)^,=g^,f+gf^,</tex>.