Integrasjonsregler - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:53Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 3:		Linje 3:
	Å integrere er det samme som å antiderivere funksjonen. Integrasjon er den motsatte regneoperasjonen av derivasjon, nesten:		Å integrere er det samme som å antiderivere funksjonen. Integrasjon er den motsatte regneoperasjonen av derivasjon, nesten:

	<math> \int f(x)dx = F(x) + C \\ (F(x)+C)' = F'(x) = f(x)</~~tex~~>		<math> \int f(x)dx = F(x) + C \\ (F(x)+C)' = F'(x) = f(x)</math>

	Vi kaller <math> \int f(x)dx </~~tex~~>for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. <math> \int</~~tex~~> er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).		Vi kaller <math> \int f(x)dx </math>for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. <math> \int</math> er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).


Linje 17:		Linje 17:

	<tr>		<tr>
	<td> <math>\int kdx = kx + C</~~tex~~> </td>		<td> <math>\int kdx = kx + C</math> </td>
	<td> <math>\int 2dx = 2x + C</~~tex~~> </td>		<td> <math>\int 2dx = 2x + C</math> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <math>\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1} + C</~~tex~~> </td>		<td> <math>\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1} + C</math> </td>
	<td> <math>\int x^7 dx = \frac 18 x^{8} + C</~~tex~~> </td>		<td> <math>\int x^7 dx = \frac 18 x^{8} + C</math> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <math>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</~~tex~~> </td>		<td> <math>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</math> </td>
	<td> <math>\int 5x^2 dx = 5 \frac 13 x^3 + C = \frac 53 x^3 + C</~~tex~~> </td>		<td> <math>\int 5x^2 dx = 5 \frac 13 x^3 + C = \frac 53 x^3 + C</math> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td><math>\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x)dx + \int g(x)</~~tex~~> </td>		<td><math>\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x)dx + \int g(x)</math> </td>


Linje 51:		Linje 51:
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <math>\int sin(x)dx = -cos(x) + C </~~tex~~> </td>		<td> <math>\int sin(x)dx = -cos(x) + C </math> </td>

	<td> </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <math>\int cos(x)dx = sin(x) + C </~~tex~~> </td>		<td> <math>\int cos(x)dx = sin(x) + C </math> </td>
	<td> </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:36Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 3:		Linje 3:
	Å integrere er det samme som å antiderivere funksjonen. Integrasjon er den motsatte regneoperasjonen av derivasjon, nesten:		Å integrere er det samme som å antiderivere funksjonen. Integrasjon er den motsatte regneoperasjonen av derivasjon, nesten:

	<~~tex~~> \int f(x)dx = F(x) + C \\ (F(x)+C)' = F'(x) = f(x)</tex>		<math> \int f(x)dx = F(x) + C \\ (F(x)+C)' = F'(x) = f(x)</tex>

	Vi kaller <~~tex~~> \int f(x)dx </tex>for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. <~~tex~~> \int</tex> er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).		Vi kaller <math> \int f(x)dx </tex>for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. <math> \int</tex> er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).


Linje 17:		Linje 17:

	<tr>		<tr>
	<td> <~~tex~~>\int kdx = kx + C</tex> </td>		<td> <math>\int kdx = kx + C</tex> </td>
	<td> <~~tex~~>\int 2dx = 2x + C</tex> </td>		<td> <math>\int 2dx = 2x + C</tex> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <~~tex~~>\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1} + C</tex> </td>		<td> <math>\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1} + C</tex> </td>
	<td> <~~tex~~>\int x^7 dx = \frac 18 x^{8} + C</tex> </td>		<td> <math>\int x^7 dx = \frac 18 x^{8} + C</tex> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <~~tex~~>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</tex> </td>		<td> <math>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</tex> </td>
	<td> <~~tex~~>\int 5x^2 dx = 5 \frac 13 x^3 + C = \frac 53 x^3 + C</tex> </td>		<td> <math>\int 5x^2 dx = 5 \frac 13 x^3 + C = \frac 53 x^3 + C</tex> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td><~~tex~~>\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x)dx + \int g(x)</tex> </td>		<td><math>\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x)dx + \int g(x)</tex> </td>


Linje 51:		Linje 51:
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <~~tex~~>\int sin(x)dx = -cos(x) + C </tex> </td>		<td> <math>\int sin(x)dx = -cos(x) + C </tex> </td>

	<td> </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> <~~tex~~>\int cos(x)dx = sin(x) + C </tex> </td>		<td> <math>\int cos(x)dx = sin(x) + C </tex> </td>
	<td> </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>

Administrator på 22. aug. 2011 kl. 07:51

2011-08-22T07:51:17Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. aug. 2011 kl. 07:51
Linje 5:		Linje 5:
	<tex> \int f(x)dx = F(x) + C \\ (F(x)+C)' = F'(x) = f(x)</tex>		<tex> \int f(x)dx = F(x) + C \\ (F(x)+C)' = F'(x) = f(x)</tex>

	Vi kaller for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).		Vi kaller <tex> \int f(x)dx </tex>for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. <tex> \int</tex> er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).

Administrator på 22. aug. 2011 kl. 07:49

2011-08-22T07:49:01Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. aug. 2011 kl. 07:49
Linje 3:		Linje 3:
	Å integrere er det samme som å antiderivere funksjonen. Integrasjon er den motsatte regneoperasjonen av derivasjon, nesten:		Å integrere er det samme som å antiderivere funksjonen. Integrasjon er den motsatte regneoperasjonen av derivasjon, nesten:

			<tex> \int f(x)dx = F(x) + C \\ (F(x)+C)' = F'(x) = f(x)</tex>

	Vi kaller for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).		Vi kaller for et ubestemt integral og funksjonsutrykket f(x) for integranden. er integrasjonstegnet og C er en konstant. Siden den deriverte av en konstant er null finnes det uendelig mange antideriverte til f(x). Det er derfor ikke helt riktig å si at derivasjon og integrasjon er omvendte regneoperasjoner (men vi gjør det ofte likevel).

Administrator på 4. jul. 2011 kl. 05:34

2011-07-04T05:34:57Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2011 kl. 05:34
Linje 51:		Linje 51:
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> </td>		<td> <tex>\int sin(x)dx = -cos(x) + C </tex> </td>

	<td> </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> </td>		<td> <tex>\int cos(x)dx = sin(x) + C </tex> </td>
	<td> </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>

Administrator på 4. jul. 2011 kl. 05:30

2011-07-04T05:30:23Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2011 kl. 05:30
Linje 29:		Linje 29:
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> </td>		<td><tex>\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x)dx + \int g(x)</tex> </td>

Administrator på 4. jul. 2011 kl. 05:28

2011-07-04T05:28:00Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2011 kl. 05:28
Linje 29:		Linje 29:
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td>~~Polynom~~</td>		<td> </td>


	<td>~~<tex>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</tex>~~</td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td~~> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup~~> </td>		<td> </td>
	<td~~> f (x) = a<sup>x</sup~~></td>		<td> </td>

	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> ~~Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup>~~ </td>		<td> </td>
	<td> ~~f (x) = e<sup>x</sup>~~</td>		<td> </td>

	</tr>		</tr>

	<tr>		<tr>
	<td>~~Produkt<br>[[Bevis]]<br>[[Eksempel på derivasjon med produktregelen\|Eksempel]]~~</td>		<td> </td>
	<td> ~~f(x)<tex>\cdot</tex>g(x)~~ </td>		<td> </td>

	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> ~~[[Sinus]]~~ </td>		<td> </td>

	<td>~~f'(x) = cos x~~ </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> ~~Cosinus~~ </td>		<td> </td>
	<td>~~f'(x) = -sin x~~ </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> ~~Tangens~~ </td>		<td> </td>
	<td~~> <tex>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</tex> eller <tex> f ' (x)= 1 + tan^2x </tex~~> </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> ~~Kvotient~~ </td>		<td> </td>
	<td> ~~f (x)=<tex>\frac{g(x)}{h(x)}</tex>~~ </td>		<td> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td>~~Kjerneregel~~ </td>		<td> </td>
	<td>~~y = g(u)<br>u er en funksjon av x~~ </td>		<td></td>
	</tr>		</tr>

Administrator på 4. jul. 2011 kl. 05:23

2011-07-04T05:23:51Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2011 kl. 05:23
Linje 26:		Linje 26:
	<tr>		<tr>
	<td> <tex>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</tex> </td>		<td> <tex>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</tex> </td>
	<td> f(x)= C </td>		<td> <tex>\int 5x^2 dx = 5 \frac 13 x^3 + C = \frac 53 x^3 + C</tex> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>

Administrator på 4. jul. 2011 kl. 05:12

2011-07-04T05:12:55Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2011 kl. 05:12
Linje 25:		Linje 25:
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td>~~Konstant~~</td>		<td> <tex>\int kf(x)dx = k \int f(x)dx + C</tex> </td>
	<td> f(x)= C </td>		<td> f(x)= C </td>
	~~<td> C' = 0</td>~~		</tr>
	~~<td> (5)' = 0</td>~~
	</tr>
	<tr>		<tr>
	<td>Polynom</td>		<td>Polynom</td>
	~~<td> f(x) = g(x)+ h(x) +... </td>~~
	~~<td> f '(x) = g'(x) + h'(x) +... </td>~~
	<td><tex>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</tex></td>		<td><tex>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</tex></td>
	</tr>		</tr>
Linje 39:		Linje 37:
	<td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup> </td>		<td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup> </td>
	<td> f (x) = a<sup>x</sup></td>		<td> f (x) = a<sup>x</sup></td>
	~~<td> f '(x) = a<sup>x</sup>ln a</td>~~
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup> </td>		<td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup> </td>
	<td> f (x) = e<sup>x</sup></td>		<td> f (x) = e<sup>x</sup></td>
	~~<td> f '(x) = e<sup>x</sup></td>~~
	</tr>		</tr>

Linje 50:		Linje 48:
	<td>Produkt<br>[[Bevis]]<br>[[Eksempel på derivasjon med produktregelen\|Eksempel]]</td>		<td>Produkt<br>[[Bevis]]<br>[[Eksempel på derivasjon med produktregelen\|Eksempel]]</td>
	<td> f(x)<tex>\cdot</tex>g(x) </td>		<td> f(x)<tex>\cdot</tex>g(x) </td>
	~~<td> [f(x)<tex>\cdot</tex>g(x)]'= f '(x)<tex>\cdot</tex>g(x)+ f(x)<tex>\cdot</tex>g '(x) </td>~~
	~~<td> <tex>(4x^3cos(x))'= 12x^2cos(x)-4x^3sin(x) \\ = 4x^2(3cos(x)-xsin(x))</tex> </td>~~
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> [[Sinus]] </td>		<td> [[Sinus]] </td>
	~~<td> f(x) = sin x</td>~~
	<td>f'(x) = cos x </td>		<td>f'(x) = cos x </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> Cosinus </td>		<td> Cosinus </td>
	~~<td> f(x) = cos x</td>~~		<td>f'(x) = -sin x </td>
	<td>f'(x) = -sin x </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> Tangens </td>		<td> Tangens </td>
	~~<td> f (x) = tan x</td>~~		<td> <tex>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</tex> eller <tex> f ' (x)= 1 + tan^2x </tex> </td>
	<td> <tex>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</tex> eller <tex> f ' (x)= 1 + tan^2x </tex> </td>
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> Kvotient </td>		<td> Kvotient </td>
	<td> f (x)=<tex>\frac{g(x)}{h(x)}</tex> </td>		<td> f (x)=<tex>\frac{g(x)}{h(x)}</tex> </td>
	~~<td> f ' (x)=<tex>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</tex> </td>~~		</tr>
	~~<td><tex>( \frac{sin x}{2x^3})' \\ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}</tex> </td>~~
	</tr>
	<tr>		<tr>
	<td>Kjerneregel </td>		<td>Kjerneregel </td>
	<td>y = g(u)<br>u er en funksjon av x </td>		<td>y = g(u)<br>u er en funksjon av x </td>
	~~<td>y ' = g ' (u)∙u' </td>~~		</tr>
	~~<td><tex>(sin(x^2))' = 2x cos(x^2)</tex> </td>~~
	</tr>

Administrator på 4. jul. 2011 kl. 05:06

2011-07-04T05:06:56Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. jul. 2011 kl. 05:06
Linje 9:		Linje 9:

	Nedenfor følger en del integrasjonsregler med tilhørende eksempler.		Nedenfor følger en del integrasjonsregler med tilhørende eksempler.
			<table border="1" cellpadding="10">
			<tr>
			<td>'''REGEL'''</td>
			<td>'''EKSEMPEL''' </td>
			</tr>


			<tr>
			<td> <tex>\int kdx = kx + C</tex> </td>
			<td> <tex>\int 2dx = 2x + C</tex> </td>
			</tr>
			<tr>
			<td> <tex>\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1} + C</tex> </td>
			<td> <tex>\int x^7 dx = \frac 18 x^{8} + C</tex> </td>
			</tr>
			<tr>
			<td>Konstant</td>
			<td> f(x)= C </td>
			<td> C' = 0</td>
			<td> (5)' = 0</td>
			</tr>
			<tr>
			<td>Polynom</td>
			<td> f(x) = g(x)+ h(x) +... </td>
			<td> f '(x) = g'(x) + h'(x) +... </td>
			<td><tex>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</tex></td>
			</tr>
			<tr>
			<td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup> </td>
			<td> f (x) = a<sup>x</sup></td>
			<td> f '(x) = a<sup>x</sup>ln a</td>
			</tr>
			<tr>
			<td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup> </td>
			<td> f (x) = e<sup>x</sup></td>
			<td> f '(x) = e<sup>x</sup></td>
			</tr>

			<tr>
			<td>Produkt<br>[[Bevis]]<br>[[Eksempel på derivasjon med produktregelen\|Eksempel]]</td>
			<td> f(x)<tex>\cdot</tex>g(x) </td>
			<td> [f(x)<tex>\cdot</tex>g(x)]'= f '(x)<tex>\cdot</tex>g(x)+ f(x)<tex>\cdot</tex>g '(x) </td>
			<td> <tex>(4x^3cos(x))'= 12x^2cos(x)-4x^3sin(x) \\ = 4x^2(3cos(x)-xsin(x))</tex> </td>
			</tr>
			<tr>
			<td> [[Sinus]] </td>
			<td> f(x) = sin x</td>
			<td>f'(x) = cos x </td>
			</tr>
			<tr>
			<td> Cosinus </td>
			<td> f(x) = cos x</td>
			<td>f'(x) = -sin x </td>
			</tr>
			<tr>
			<td> Tangens </td>
			<td> f (x) = tan x</td>
			<td> <tex>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</tex> eller <tex> f ' (x)= 1 + tan^2x </tex> </td>
			</tr>
			<tr>
			<td> Kvotient </td>
			<td> f (x)=<tex>\frac{g(x)}{h(x)}</tex> </td>
			<td> f ' (x)=<tex>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</tex> </td>
			<td><tex>( \frac{sin x}{2x^3})' \\ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}</tex> </td>
			</tr>
			<tr>
			<td>Kjerneregel </td>
			<td>y = g(u)<br>u er en funksjon av x </td>
			<td>y ' = g ' (u)∙u' </td>
			<td><tex>(sin(x^2))' = 2x cos(x^2)</tex> </td>
			</tr>



			</table>