Integrasjon - Sideversjonshistorikk

Administrator: /* Delbrøkoppspalting= */

2025-02-19T11:29:37Z

Delbrøkoppspalting=

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. feb. 2025 kl. 11:29
Linje 604:		Linje 604:
	</div>		</div>

	===Delbrøkoppspalting====		====Delbrøkoppspalting====

Administrator på 19. feb. 2025 kl. 10:38

2025-02-19T10:38:29Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. feb. 2025 kl. 10:38
Linje 164:		Linje 164:
	Eller man kan gjøre som en professor jeg kjente. Han brukte saks, tykt papir og en nøyaktig vekt. Ved å klippe ut arealet under grafen og sammenligne det med et kjent areal, ved veiing, kom han fram til tilnærminger gode nok for de fleste ingeniørformål.		Eller man kan gjøre som en professor jeg kjente. Han brukte saks, tykt papir og en nøyaktig vekt. Ved å klippe ut arealet under grafen og sammenligne det med et kjent areal, ved veiing, kom han fram til tilnærminger gode nok for de fleste ingeniørformål.

	==Integrasjon==		====Integrasjon====
	Vi ser litt nærmere på integrasjon, teorien rundt og på en del integrasjonsformler.		Vi ser litt nærmere på integrasjon, teorien rundt og på en del integrasjonsformler.

	==Det bestemte integralet==		====Det bestemte integralet====

	Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <math>x</math>-aksen og linjene <math>x=a</math> og <math>x=b</math>. ''"Det bestemte integralet av <math>f(x)</math> fra <math>a</math> til <math>b</math>" '' skriver vi som		Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <math>x</math>-aksen og linjene <math>x=a</math> og <math>x=b</math>. ''"Det bestemte integralet av <math>f(x)</math> fra <math>a</math> til <math>b</math>" '' skriver vi som
Linje 174:		Linje 174:


	===Bestemt integral som grenseverdi===		====Bestemt integral som grenseverdi====

	Vi kan se for oss arealet under en graf som en sum av rektangler, der antallet rektangler angir nøyaktigheten av integralet.		Vi kan se for oss arealet under en graf som en sum av rektangler, der antallet rektangler angir nøyaktigheten av integralet.
Linje 186:		Linje 186:
	<math>\int_a^b f(x)\rm{d}x=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</math>		<math>\int_a^b f(x)\rm{d}x=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</math>

	==Ubestemt integrasjon==		====Ubestemt integrasjon====

	I analysen (engelsk: Calculus) finnes et fundamentalteorem som relaterer operasjonene integrasjon og derivasjon med hverandre. Dette gjør det mulig å finne integralet av funksjoner uten å regne ut kompliserte summer som ovenfor. Teoremet er delt inn i to deler, som ofte kalles analysens første og andre fundamentalteorem.		I analysen (engelsk: Calculus) finnes et fundamentalteorem som relaterer operasjonene integrasjon og derivasjon med hverandre. Dette gjør det mulig å finne integralet av funksjoner uten å regne ut kompliserte summer som ovenfor. Teoremet er delt inn i to deler, som ofte kalles analysens første og andre fundamentalteorem.
Linje 236:		Linje 236:
	Når vi antideriverer en funksjon, dvs at vi tar det ubestemte integralet av funksjonen, får vi altså funksjonen <math>F(x)</math> som inngår i fundamentalteoremet.		Når vi antideriverer en funksjon, dvs at vi tar det ubestemte integralet av funksjonen, får vi altså funksjonen <math>F(x)</math> som inngår i fundamentalteoremet.

	===Formler for integrasjon===		====Formler for integrasjon====

	Her er noen nyttige formler for integrasjonen av sentrale funksjoner. Med metodene i de neste seksjonene vil vi også kunne integrere funksjoner sammensatt av disse. Denne tabellen må læres utenat.		Her er noen nyttige formler for integrasjonen av sentrale funksjoner. Med metodene i de neste seksjonene vil vi også kunne integrere funksjoner sammensatt av disse. Denne tabellen må læres utenat.
Linje 306:		Linje 306:
	$\int\limits_a^b (f(x)+g(x))dx= \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^bg(x)dx$		$\int\limits_a^b (f(x)+g(x))dx= \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^bg(x)dx$

	===Integrasjonskonstanten===		====Integrasjonskonstanten====

	Ettersom den deriverte av en konstant funksjon er lik null, må vi legge til en vilkårlig konstant til den integrerte av en funksjon.		Ettersom den deriverte av en konstant funksjon er lik null, må vi legge til en vilkårlig konstant til den integrerte av en funksjon.
Linje 326:		Linje 326:
	Merk at integrasjonskonstanten blir kansellert når <math>F(x)</math> brukes i sammenheng med det bestemte integralet. Det viser at verdien til <math>C</math> er vilkårlig.		Merk at integrasjonskonstanten blir kansellert når <math>F(x)</math> brukes i sammenheng med det bestemte integralet. Det viser at verdien til <math>C</math> er vilkårlig.

	==Integrasjonsmetoder==		====Integrasjonsmetoder====

	Det er ikke alltid åpenbart hvilken metode man skal bruke. Av og til kan man bruke både variabelskifte og delvis integrasjon, andre ganger må man prøve seg fram. Man må tørre å feile, nullstille og prøve på nytt.		Det er ikke alltid åpenbart hvilken metode man skal bruke. Av og til kan man bruke både variabelskifte og delvis integrasjon, andre ganger må man prøve seg fram. Man må tørre å feile, nullstille og prøve på nytt.

	===Variabelskifte===		====Variabelskifte====

	I derivasjon sier kjerneregelen at		I derivasjon sier kjerneregelen at
Linje 489:		Linje 489:
	</div>		</div>

	===Delvis integrasjon===		====Delvis integrasjon====

	Vi kjenner allerede produktregelen fra dervasjon:		Vi kjenner allerede produktregelen fra dervasjon:
Linje 604:		Linje 604:
	</div>		</div>

	===Delbrøkoppspalting===		===Delbrøkoppspalting====


Linje 759:		Linje 759:
	----		----

	==Utvalgte integraler==		====Utvalgte integraler====

	Nedenfor følger en del sentrale ubestemte integraler som er aktuelle for VG 3 - R2. Legg gjerne til integraler du tenker bør være med. Det er ofte forskjellige metoder for løsning og det nyttig å se forskjellige løsningsvarianter av samme oppgave.		Nedenfor følger en del sentrale ubestemte integraler som er aktuelle for VG 3 - R2. Legg gjerne til integraler du tenker bør være med. Det er ofte forskjellige metoder for løsning og det nyttig å se forskjellige løsningsvarianter av samme oppgave.

Administrator: /* Det bestemte integralet */

2025-02-19T10:29:21Z

Det bestemte integralet

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. feb. 2025 kl. 10:29
Linje 169:		Linje 169:
	==Det bestemte integralet==		==Det bestemte integralet==

	Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <math>x</math>-aksen og linjene <math>x=a</math> og <math>x=b</math>. "Det bestemte integralet av <math>f(x)</math> fra <math>a</math> til <math>b</math>" skriver vi som		Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <math>x</math>-aksen og linjene <math>x=a</math> og <math>x=b</math>. ''"Det bestemte integralet av <math>f(x)</math> fra <math>a</math> til <math>b</math>" '' skriver vi som

	<math>\int_a^b f(x)\rm{d}x</math>		<math>\int_a^b f(x)\rm{d}x</math>

Administrator: /* Når grafen krummer... */

2025-02-19T10:26:44Z

Når grafen krummer...

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. feb. 2025 kl. 10:26
Linje 95:		Linje 95:
	Du lurer kanskje på hva som skjedde med C? Dersom vi ser på høyre side av likhetstegnet ser vi at		Du lurer kanskje på hva som skjedde med C? Dersom vi ser på høyre side av likhetstegnet ser vi at

	F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a)		$F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

	Altså forsvinner C.		Altså forsvinner C.

Administrator: /* Innledning til integrasjon */

2025-02-19T10:25:23Z

Innledning til integrasjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. feb. 2025 kl. 10:25
Linje 1:		Linje 1:

	===Innledning til integrasjon===		====Innledning til integrasjon====

	Her prøver vi å gi en enkel framstilling av hva integraler ~~kan være~~ og hva integralregning kan brukes til.		Her prøver vi å gi en enkel framstilling av hva integraler er og hva integralregning kan brukes til.

	====Moped nr. 1====		====Moped nr. 1====
Linje 163:		Linje 163:

	Eller man kan gjøre som en professor jeg kjente. Han brukte saks, tykt papir og en nøyaktig vekt. Ved å klippe ut arealet under grafen og sammenligne det med et kjent areal, ved veiing, kom han fram til tilnærminger gode nok for de fleste ingeniørformål.		Eller man kan gjøre som en professor jeg kjente. Han brukte saks, tykt papir og en nøyaktig vekt. Ved å klippe ut arealet under grafen og sammenligne det med et kjent areal, ved veiing, kom han fram til tilnærminger gode nok for de fleste ingeniørformål.


	==Integrasjon==		==Integrasjon==

Administrator: /* Formler for integrasjon */

2024-07-16T04:55:26Z

Formler for integrasjon

@@ Linje 292: / Linje 292: @@
     <td> </td>
 </tr>
 </table>
 Bestemte integgraler

Administrator: /* Formler for integrasjon */

2024-07-16T04:52:31Z

Formler for integrasjon

@@ Linje 279: / Linje 279: @@
 <tr>
-   <td> </td>
+   <td>$ \int \frac 1x =ln x + C \quad$ x er positiv </td>
-  <td>  </td>
+   <td>  </td>
 </tr>
@@ Linje 310: / Linje 310: @@
 Bestemte integgraler

Administrator: /* Formler for integrasjon */

2024-07-16T04:47:59Z

Formler for integrasjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 16. jul. 2024 kl. 04:47
Linje 268:		Linje 268:
	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> </td>		<td>$\int a^x =\frac{1}{ln a} a^x + C$ </td>
	<td> </td>		<td> </td>

	</tr>		</tr>
	<tr>		<tr>
	<td> </td>		<td>$\int e^x = e^x +C $ </td>
	<td> </td>		<td> </td>

Administrator: /* Når grafen krummer... */

2024-07-15T19:06:39Z

Når grafen krummer...

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 15. jul. 2024 kl. 19:06
Linje 51:		Linje 51:

	[[File:riemann.png\|500px]]		[[File:riemann.png\|500px]]

			''Den lille "a" i hver enkelt figur representerer summen av arealene av de små rektangelene. I figur A2 og B2 er rektanglene mye smalere enn i A1 og B1, det gjør at summen av rektanglene nærmer seg arealet under grafen. Vi ser at A nærmer seg ovenfra, og B nedenfra. Det ser ut som om de nærmer seg 0,7.''

	Vi observerer følgende:		Vi observerer følgende:

Administrator: /* Delbrøkoppspalting */

2024-07-15T14:29:40Z

Delbrøkoppspalting

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 15. jul. 2024 kl. 14:29
Linje 707:		Linje 707:


	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #~~F8ADB6~~;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	$\int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx $		$\int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx $