Gruppeteori - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:37Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vis endringer

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:25Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Vis endringer

Espen180: /* Gruppen (Z,+) */

2011-10-04T15:35:11Z

Gruppen (Z,+)

@@ Linje 294: / Linje 294: @@
 ==Gruppen (Z,+)==
 ==Symmetrigruppen på n elementer==
 [[Kategori:Algebra]]

Espen180: /* Senteret til en gruppe */

2011-09-29T19:29:22Z

Senteret til en gruppe

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 19:29
Linje 275:		Linje 275:

	Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <tex>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</tex>.		Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <tex>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</tex>.


			Dersom <tex>G/Z(G)</tex> er syklisk, er <tex>G</tex> en abelsk gruppe, og dermed er <tex>G=Z(G)</tex> og <tex>G/Z(G)</tex> er triviell.

	==Ytre produkter av grupper==		==Ytre produkter av grupper==

Espen180: /* Senteret til en gruppe */

2011-09-29T18:56:48Z

Senteret til en gruppe

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 18:56
Linje 273:		Linje 273:

	Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.		Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.

			Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <tex>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</tex>.

	==Ytre produkter av grupper==		==Ytre produkter av grupper==

Espen180: /* Senteret til en gruppe */

2011-09-29T18:54:22Z

Senteret til en gruppe

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 18:54
Linje 268:		Linje 268:
	Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex>		Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex>

	Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi.		Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <tex>\varphi_a</tex> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <tex>G</tex> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <tex>\text{Inn}(G)</tex>.

	Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til ~~gruppen av automorfier på <tex>G</tex>, også kalt den symmetriske gruppen på~~ <tex>G</tex>.		Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til <tex>\text{Inn}(G)</tex>.

	Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.		Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.

Espen180 på 29. sep. 2011 kl. 16:21

2011-09-29T16:21:03Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 16:21
Linje 264:		Linje 264:
	Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex>		Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex>

	==Senteret til en gruppe==		===Senteret til en gruppe===

	Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex>		Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex>

Espen180: /* Homomorfier */

2011-09-29T16:20:27Z

Homomorfier

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 16:20
Linje 263:		Linje 263:

	Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex>		Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex>

			==Senteret til en gruppe==

			Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex>

			Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi.

			Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til gruppen av automorfier på <tex>G</tex>, også kalt den symmetriske gruppen på <tex>G</tex>.

			Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.

	==Ytre produkter av grupper==		==Ytre produkter av grupper==

Espen180: /* Undergrupper */

2011-09-29T16:10:21Z

Undergrupper

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 16:10
Linje 274:		Linje 274:
	Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.		Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.

	Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>. ~~Vi kan derfor se på kvotientgruppen~~		Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.

	Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.		Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.

Espen180: /* Ytre produkter av grupper */

2011-09-29T16:09:55Z

Ytre produkter av grupper

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 29. sep. 2011 kl. 16:09
Linje 265:		Linje 265:

	==Ytre produkter av grupper==		==Ytre produkter av grupper==

			La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex>

			Med operasjonen <tex></tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.

			===Undergrupper===

			Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.

			Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>. Vi kan derfor se på kvotientgruppen

			Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.

	==Gruppen (Z,+)==		==Gruppen (Z,+)==