Geometriske rekker - Sideversjonshistorikk

Quiz: /* Uendelige geometriske rekker */

2019-03-23T20:18:11Z

Uendelige geometriske rekker

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 23. mar. 2019 kl. 20:18
Linje 27:		Linje 27:
	==Uendelige geometriske rekker==		==Uendelige geometriske rekker==

	Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge ~~<math>~~a_n=a_1k^{n-1}~~</math>~~ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.		Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

	I slike tilfeller er ~~<math>~~\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}~~</math>~~		I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$

Plutarco: /* Uendelige geometriske rekker */

2013-04-30T04:30:09Z

Uendelige geometriske rekker

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. apr. 2013 kl. 04:30
Linje 27:		Linje 27:
	==Uendelige geometriske rekker==		==Uendelige geometriske rekker==

	Dersom ~~<math>~~-1<k<1~~</math>~~ i en geometrisk tallfølge <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.		Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

	I slike tilfeller er <math>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</math>		I slike tilfeller er <math>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</math>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:36Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:25Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Svinepels på 30. sep. 2011 kl. 23:07

2011-09-30T23:07:32Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. sep. 2011 kl. 23:07
Linje 13:		Linje 13:

	For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>		For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>

			===Bevis for summeformel===
			Betrakt tallet <tex>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</tex>. Ganger vi ut parentesene, får vi <tex>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>. Men dersom

			<tex>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>

			kan vi dele med faktoren <tex>(k-1)</tex> på begge sider og få

			<tex>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </tex>

			Multipliserer vi så med <tex>a_1</tex> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.

	==Uendelige geometriske rekker==		==Uendelige geometriske rekker==

Administrator: /* Uendelige geometriske rekker */

2011-01-25T12:30:43Z

Uendelige geometriske rekker

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. jan. 2011 kl. 12:30
Linje 19:		Linje 19:

	I slike tilfeller er <tex>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex>		I slike tilfeller er <tex>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex>


			----
			[[R2 Hovedside\|Tilbake til R2 Hovedside]]


			[[Kategori:Algebra]]
			[[Kategori:R2]]
			[[Kategori:S2]]
			[[Kategori:Ped]]

Administrator: /* Geometrisk progresjon */

2010-12-22T08:00:48Z

Geometrisk progresjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 22. des. 2010 kl. 08:00
Linje 4:		Linje 4:

	Slike tallfølger kan skrives på formen <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex>		Slike tallfølger kan skrives på formen <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex>


			[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=9FB%2B9FC%2B9FD%2B9FE%2B9FF%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

	==Geometrisk rekke==		==Geometrisk rekke==

Plutarco på 5. feb. 2010 kl. 22:15

2010-02-05T22:15:01Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2010 kl. 22:15
Linje 1:		Linje 1:
	==Geometrisk progresjon==		==Geometrisk progresjon==

	En ~~geometriskprogresjon~~ <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</tex>.		En geometrisk progresjon <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</tex>.

	Slike tallfølger kan skrives på formen <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex>		Slike tallfølger kan skrives på formen <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex>

Espen180 på 18. jan. 2010 kl. 11:56

2010-01-18T11:56:36Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 18. jan. 2010 kl. 11:56
Linje 10:		Linje 10:

	For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>		For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>

			==Uendelige geometriske rekker==

			Dersom <tex>-1<k<1</tex> i en geometrisk tallfølge <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

			I slike tilfeller er <tex>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex>

Espen180: Ny side: ==Geometrisk progresjon== En geometriskprogresjon (a_n)_{n\in\mathbb{N}} er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs \frac{a_{n+1}}{a_n}=k<...

2010-01-18T11:53:14Z

Ny side: ==Geometrisk progresjon== En geometriskprogresjon <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k<...

Ny side

==Geometrisk progresjon==

En geometriskprogresjon <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</tex>.

Slike tallfølger kan skrives på formen <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex>

==Geometrisk rekke==

En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.

For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 1:		Linje 1:
	==Geometrisk progresjon==		==Geometrisk progresjon==

	En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</~~tex~~> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</~~tex~~>.		En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</math>.

	Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</~~tex~~>		Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</math>


Linje 12:		Linje 12:
	En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.		En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.

	For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</~~tex~~> er <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</~~tex~~>		For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> er <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</math>

	===Bevis for summeformel===		===Bevis for summeformel===
	Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</~~tex~~>. Ganger vi ut parentesene, får vi <math>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</~~tex~~>. Men dersom		Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</math>. Ganger vi ut parentesene, får vi <math>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>. Men dersom

	<math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</~~tex~~>		<math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>

	kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</~~tex~~> på begge sider og få		kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</math> på begge sider og få

	<math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </~~tex~~>		<math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </math>

	Multipliserer vi så med <math>a_1</~~tex~~> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.		Multipliserer vi så med <math>a_1</math> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.

	==Uendelige geometriske rekker==		==Uendelige geometriske rekker==

	Dersom <math>-1<k<1</~~tex~~> i en geometrisk tallfølge <math>a_n=a_1k^{n-1}</~~tex~~> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.		Dersom <math>-1<k<1</math> i en geometrisk tallfølge <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

	I slike tilfeller er <math>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</~~tex~~>		I slike tilfeller er <math>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</math>

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 1:		Linje 1:
	==Geometrisk progresjon==		==Geometrisk progresjon==

	En geometrisk progresjon <~~tex~~>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <~~tex~~>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</tex>.		En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</tex>.

	Slike tallfølger kan skrives på formen <~~tex~~>a_n=a_1k^{n-1}</tex>		Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</tex>


Linje 12:		Linje 12:
	En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.		En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.

	For geometriske rekker <~~tex~~>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <~~tex~~>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>		For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>

	===Bevis for summeformel===		===Bevis for summeformel===
	Betrakt tallet <~~tex~~>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</tex>. Ganger vi ut parentesene, får vi <~~tex~~>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>. Men dersom		Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</tex>. Ganger vi ut parentesene, får vi <math>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>. Men dersom

	<~~tex~~>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>		<math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</tex>

	kan vi dele med faktoren <~~tex~~>(k-1)</tex> på begge sider og få		kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</tex> på begge sider og få

	<~~tex~~>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </tex>		<math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </tex>

	Multipliserer vi så med <~~tex~~>a_1</tex> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.		Multipliserer vi så med <math>a_1</tex> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.

	==Uendelige geometriske rekker==		==Uendelige geometriske rekker==

	Dersom <~~tex~~>-1<k<1</tex> i en geometrisk tallfølge <~~tex~~>a_n=a_1k^{n-1}</tex> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.		Dersom <math>-1<k<1</tex> i en geometrisk tallfølge <math>a_n=a_1k^{n-1}</tex> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

	I slike tilfeller er <~~tex~~>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex>		I slike tilfeller er <math>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex>