Funksjonsdrøfting - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:36Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:24Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Mstud: Rettet små skrivefeil

2011-10-24T10:25:23Z

Rettet små skrivefeil

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. okt. 2011 kl. 10:25
Linje 1:		Linje 1:
	Funksjonsdrøfting er analytiske undersøkelser av funksjonen og ender ofte opp med at vi skisserer (tegner) grafen i et koordinatsystem. I en tid med grafiske kalkulatorer og software for alle mulige analyser kan man jo spørre seg om nødvendigheten og viktigheten av å kunne gjøre dette "manuelt"? Svaret, etter vår mening, er at kalkulator og PC kan hjelpe deg til å få en økt forståelse og er glimrende verktøy, men kun en manuell gjennomgang viser om du har forstått emnet. Nedenfor følger en liste over ting du bør få klarhet i før du tegner grafen til funksjonen. ~~enkelte~~ punkter kan det være vanskelig å få oversikten over, da går du videre til neste punkt. Vi kaller funksjonen f.		Funksjonsdrøfting er analytiske undersøkelser av funksjonen og ender ofte opp med at vi skisserer (tegner) grafen i et koordinatsystem. I en tid med grafiske kalkulatorer og software for alle mulige analyser kan man jo spørre seg om nødvendigheten og viktigheten av å kunne gjøre dette "manuelt"? Svaret, etter vår mening, er at kalkulator og PC kan hjelpe deg til å få en økt forståelse og er glimrende verktøy, men kun en manuell gjennomgang viser om du har forstått emnet. Nedenfor følger en liste over ting du bør få klarhet i før du tegner grafen til funksjonen. Enkelte punkter kan det være vanskelig å få oversikten over, da går du videre til neste punkt. Vi kaller funksjonen f.
	<p></p>		<p></p>

Linje 17:		Linje 17:
	Funksjonen er definert for alle x element i R. Dersom du har med rasjonale funksjoner å gjøre må du sjekke for hvilke x verdier nevneren er lik null. Funksjonen vil ikke være definert for x verdier som gir null i nevner. Du må også sjekke for horisontale og vertikale asymptoter. Funksjonen i vårt eksempel har ingen asymptoter. Ofte er det slik at funksjonens definisjonsmengde er gitt.		Funksjonen er definert for alle x element i R. Dersom du har med rasjonale funksjoner å gjøre må du sjekke for hvilke x verdier nevneren er lik null. Funksjonen vil ikke være definert for x verdier som gir null i nevner. Du må også sjekke for horisontale og vertikale asymptoter. Funksjonen i vårt eksempel har ingen asymptoter. Ofte er det slik at funksjonens definisjonsmengde er gitt.

	For å finne funksjonens nullpunkter ( der grafen krysser x aksen) må vi sette funksjonsuttrykket lik null, f(x) = 0. I vårt tilfelle har vi med en tredjegradsligning å gjøre. Disse kan være vanskelige å løse, men i dette tilfelle ser vi at det er mulig å faktorisere.		For å finne funksjonens nullpunkter (der grafen krysser x aksen) må vi sette funksjonsuttrykket lik null, f(x) = 0. I vårt tilfelle har vi med en tredjegradsligning å gjøre. Disse kan være vanskelige å løse, men i dette tilfelle ser vi at det er mulig å faktorisere.

	<tex>f(x) = 0 \\ \frac 12x^3 - 2x^2 + x = 0 \\ ( \frac 12 x^2 - 2x + 1)x =0</tex>		<tex>f(x) = 0 \\ \frac 12x^3 - 2x^2 + x = 0 \\ ( \frac 12 x^2 - 2x + 1)x =0</tex>
Linje 43:		Linje 43:
	[[Bilde:Funksjondroefting2.gif]]		[[Bilde:Funksjondroefting2.gif]]

	Vi begynner a kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.		Vi begynner å kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. Vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.

	<tex>f ''(x) = 3x - 4 \\ f ''(x) = 0 \\ 3x - 4 = 0 \\ x = 4/3 </tex>		<tex>f ''(x) = 3x - 4 \\ f ''(x) = 0 \\ 3x - 4 = 0 \\ x = 4/3 </tex>

Administrator på 4. sep. 2011 kl. 08:04

2011-09-04T08:04:13Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. sep. 2011 kl. 08:04
Linje 11:		Linje 11:
	La oss se på et eksempel:		La oss se på et eksempel:

	Gitt er funksjonen <tex>f(x) = \frac 12 X^3 - 2X^2 + x</tex>		Gitt er funksjonen <tex>f(x) = \frac 12 x^3 - 2x^2 + x</tex>

	Finn eventuelle ekstremalpunkter og tegn grafen i et koordinatsystem.		Finn eventuelle ekstremalpunkter og tegn grafen i et koordinatsystem.

Administrator på 15. aug. 2011 kl. 04:42

2011-08-15T04:42:32Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 15. aug. 2011 kl. 04:42
Linje 31:		Linje 31:
	For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.		For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.

	Det betyr at grafen har ekstremalverdier for x = 0,3 og for x = 0,4. Vi kjenner x verdiene. for å finne y verdiene setter vi inn f(0,3) og f(2,4) og får f(0,3)= 0,13 og f(2,4) = 2,2. Det betyr at punktene (0,3 , 0,13) og (2,4, 2,2) er ekstremalpunkter. Vi må undersøke den deriverte for å finne ut hva som skjer mellom disse punktene. Vi lager et fortegnskjema.		Det betyr at grafen har ekstremalverdier for x = 0,3 og for x = 2,4. Vi kjenner x verdiene. for å finne y verdiene setter vi inn f(0,3) og f(2,4) og får f(0,3)= 0,13 og f(2,4) = 2,2. Det betyr at punktene (0,3 , 0,13) og (2,4, 2,2) er ekstremalpunkter. Vi må undersøke den deriverte for å finne ut hva som skjer mellom disse punktene. Vi lager et fortegnskjema.

	f '(0) = 1		f '(0) = 1

Administrator: /* Den dobbelderiverte f’’(x) */

2011-08-15T04:41:20Z

Den dobbelderiverte f’’(x)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 15. aug. 2011 kl. 04:41
Linje 79:		Linje 79:
	f’’(x) = 0 Løsningen av ligningen gir vendepunktet(ene) til f. Dersom den dobbelderiverte er en konstant har f ingen vendepunkter. Dersom den dobbelderiverte er negativ krummer grafen sin hule side nedover. Er den dobbelderiverte positiv vender grafen sin hule side oppover.		f’’(x) = 0 Løsningen av ligningen gir vendepunktet(ene) til f. Dersom den dobbelderiverte er en konstant har f ingen vendepunkter. Dersom den dobbelderiverte er negativ krummer grafen sin hule side nedover. Er den dobbelderiverte positiv vender grafen sin hule side oppover.
	<br>		<br>
	Eks. 1:		Eks. :

Administrator på 15. aug. 2011 kl. 04:39

2011-08-15T04:39:39Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 15. aug. 2011 kl. 04:39
Linje 5:		Linje 5:
	•Finn eventuelle nullpunkter til f. f(x) = 0<p></p>		•Finn eventuelle nullpunkter til f. f(x) = 0<p></p>
	•Finn punktet der grafen krysser Y aksen. f(0) = ? <p></p>		•Finn punktet der grafen krysser Y aksen. f(0) = ? <p></p>
	•Finn f'(x), finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den deriverte.<p></p>		•Finn <tex>f'(x)</tex>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den deriverte.<p></p>
	•Finn f''(x), finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den dobbelderiverte.<p></p>		•Finn <tex>f''(x)</tex>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den dobbelderiverte.<p></p>
	•Se etter mulig symmetri. <p></p>		•Se etter mulig symmetri. <p></p>

	La oss se på et eksempel:		La oss se på et eksempel:

Linje 26:		Linje 27:
	Vi deriverer funksjonen og får:		Vi deriverer funksjonen og får:

	f '(x) = ~~3/2x2~~ - 4x + 1		<tex>f '(x) = \frac 32 x^2 - 4x + 1</tex>

	For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.		For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.

Administrator: /* Den deriverte f’(x) */

2011-08-14T18:00:04Z

Den deriverte f’(x)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 14. aug. 2011 kl. 18:00
Linje 71:		Linje 71:
	===Den deriverte f’(x)===		===Den deriverte f’(x)===
	<br>		<br>
	f’(x) = 0 Løsningen av ligningen gir x verdiene for maksimums- eller minimumspunkter til f, også kalt ekstremalpunkter. Dersom f’(x) er positiv vokser f(x). Er f’(x) negativ avtar f(x). Grafen til f’(x) viser vekstforløpet til f(x). For å avgjøre om et ekstremalpunkt er et toppunkt eller et bunnpunkt lager man et fortegnsskjema. For å få med alle funksjonens ekstremalpunkter må man også sjekke punkter der funksjonen ikke er deriverbar, som knekkpunkter og endepunkter.		f ’(x) = 0 Løsningen av ligningen gir x verdiene for maksimums- eller minimumspunkter til f, også kalt ekstremalpunkter. Dersom f’(x) er positiv vokser f(x). Er f’(x) negativ avtar f(x). Grafen til f’(x) viser vekstforløpet til f(x). For å avgjøre om et ekstremalpunkt er et toppunkt eller et bunnpunkt lager man et fortegnsskjema. For å få med alle funksjonens ekstremalpunkter må man også sjekke punkter der funksjonen ikke er deriverbar, som knekkpunkter og endepunkter.
	<br>		<br>

	===Den dobbelderiverte f’’(x) ===		===Den dobbelderiverte f’’(x) ===
	<br>		<br>

Administrator på 14. aug. 2011 kl. 17:58

2011-08-14T17:58:22Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 14. aug. 2011 kl. 17:58
Linje 40:		Linje 40:
	Det betyr at den deriverte er voksende (positiv) fra minus uendelig til 0,3. Fra 0,3 til 2,4 er den deriverte avtagende (negativ). Og fra 2,4 til pluss uendelig er den deriverte voksende. Vi får følgende skjema:		Det betyr at den deriverte er voksende (positiv) fra minus uendelig til 0,3. Fra 0,3 til 2,4 er den deriverte avtagende (negativ). Og fra 2,4 til pluss uendelig er den deriverte voksende. Vi får følgende skjema:

			[[Bilde:Funksjondroefting2.gif]]

	Vi begynner a kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.		Vi begynner a kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.

Administrator på 14. aug. 2011 kl. 17:56

2011-08-14T17:56:48Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 14. aug. 2011 kl. 17:56
Linje 44:		Linje 44:
	Vi begynner a kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.		Vi begynner a kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.

	f ''(x) = 3x - 4		<tex>f ''(x) = 3x - 4 \\ f ''(x) = 0 \\ 3x - 4 = 0 \\ x = 4/3 </tex>

	f ''(x) = 0

	3x - 4 = 0

	x = 4/3

	Vi finner hva f(x) er når x = 4/3:		Vi finner hva f(x) er når x = 4/3:

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 5:		Linje 5:
	•Finn eventuelle nullpunkter til f. f(x) = 0<p></p>		•Finn eventuelle nullpunkter til f. f(x) = 0<p></p>
	•Finn punktet der grafen krysser Y aksen. f(0) = ? <p></p>		•Finn punktet der grafen krysser Y aksen. f(0) = ? <p></p>
	•Finn <math>f'(x)</~~tex~~>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den deriverte.<p></p>		•Finn <math>f'(x)</math>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den deriverte.<p></p>
	•Finn <math>f''(x)</~~tex~~>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den dobbelderiverte.<p></p>		•Finn <math>f''(x)</math>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den dobbelderiverte.<p></p>
	•Se etter mulig symmetri. <p></p>		•Se etter mulig symmetri. <p></p>

	La oss se på et eksempel:		La oss se på et eksempel:

	Gitt er funksjonen <math>f(x) = \frac 12 x^3 - 2x^2 + x</~~tex~~>		Gitt er funksjonen <math>f(x) = \frac 12 x^3 - 2x^2 + x</math>

	Finn eventuelle ekstremalpunkter og tegn grafen i et koordinatsystem.		Finn eventuelle ekstremalpunkter og tegn grafen i et koordinatsystem.
Linje 19:		Linje 19:
	For å finne funksjonens nullpunkter (der grafen krysser x aksen) må vi sette funksjonsuttrykket lik null, f(x) = 0. I vårt tilfelle har vi med en tredjegradsligning å gjøre. Disse kan være vanskelige å løse, men i dette tilfelle ser vi at det er mulig å faktorisere.		For å finne funksjonens nullpunkter (der grafen krysser x aksen) må vi sette funksjonsuttrykket lik null, f(x) = 0. I vårt tilfelle har vi med en tredjegradsligning å gjøre. Disse kan være vanskelige å løse, men i dette tilfelle ser vi at det er mulig å faktorisere.

	<math>f(x) = 0 \\ \frac 12x^3 - 2x^2 + x = 0 \\ ( \frac 12 x^2 - 2x + 1)x =0</~~tex~~>		<math>f(x) = 0 \\ \frac 12x^3 - 2x^2 + x = 0 \\ ( \frac 12 x^2 - 2x + 1)x =0</math>

	Hvilket gir x =0 som en løsning. Vi finner røttene av den andre faktoren ved å løse andregradslikningen 1/2X2 - 2X + 1 = 0. Løsningen er 0,59 og 3,41. Det betyr at grafen krysser x aksen tre steder, i punktene (0,0), (0,59, 0) og (3,41, 0).		Hvilket gir x =0 som en løsning. Vi finner røttene av den andre faktoren ved å løse andregradslikningen 1/2X2 - 2X + 1 = 0. Løsningen er 0,59 og 3,41. Det betyr at grafen krysser x aksen tre steder, i punktene (0,0), (0,59, 0) og (3,41, 0).
Linje 27:		Linje 27:
	Vi deriverer funksjonen og får:		Vi deriverer funksjonen og får:

	<math>f '(x) = \frac 32 x^2 - 4x + 1</~~tex~~>		<math>f '(x) = \frac 32 x^2 - 4x + 1</math>

	For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.		For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.
Linje 45:		Linje 45:
	Vi begynner å kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. Vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.		Vi begynner å kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. Vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.

	<math>f ''(x) = 3x - 4 \\ f ''(x) = 0 \\ 3x - 4 = 0 \\ x = 4/3 </~~tex~~>		<math>f ''(x) = 3x - 4 \\ f ''(x) = 0 \\ 3x - 4 = 0 \\ x = 4/3 </math>

	Vi finner hva f(x) er når x = 4/3:		Vi finner hva f(x) er når x = 4/3:

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 5:		Linje 5:
	•Finn eventuelle nullpunkter til f. f(x) = 0<p></p>		•Finn eventuelle nullpunkter til f. f(x) = 0<p></p>
	•Finn punktet der grafen krysser Y aksen. f(0) = ? <p></p>		•Finn punktet der grafen krysser Y aksen. f(0) = ? <p></p>
	•Finn <~~tex~~>f'(x)</tex>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den deriverte.<p></p>		•Finn <math>f'(x)</tex>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den deriverte.<p></p>
	•Finn <~~tex~~>f''(x)</tex>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den dobbelderiverte.<p></p>		•Finn <math>f''(x)</tex>, finn eventuelle nullpunkter og drøft fortegnet til den dobbelderiverte.<p></p>
	•Se etter mulig symmetri. <p></p>		•Se etter mulig symmetri. <p></p>

	La oss se på et eksempel:		La oss se på et eksempel:

	Gitt er funksjonen <~~tex~~>f(x) = \frac 12 x^3 - 2x^2 + x</tex>		Gitt er funksjonen <math>f(x) = \frac 12 x^3 - 2x^2 + x</tex>

	Finn eventuelle ekstremalpunkter og tegn grafen i et koordinatsystem.		Finn eventuelle ekstremalpunkter og tegn grafen i et koordinatsystem.
Linje 19:		Linje 19:
	For å finne funksjonens nullpunkter (der grafen krysser x aksen) må vi sette funksjonsuttrykket lik null, f(x) = 0. I vårt tilfelle har vi med en tredjegradsligning å gjøre. Disse kan være vanskelige å løse, men i dette tilfelle ser vi at det er mulig å faktorisere.		For å finne funksjonens nullpunkter (der grafen krysser x aksen) må vi sette funksjonsuttrykket lik null, f(x) = 0. I vårt tilfelle har vi med en tredjegradsligning å gjøre. Disse kan være vanskelige å løse, men i dette tilfelle ser vi at det er mulig å faktorisere.

	<~~tex~~>f(x) = 0 \\ \frac 12x^3 - 2x^2 + x = 0 \\ ( \frac 12 x^2 - 2x + 1)x =0</tex>		<math>f(x) = 0 \\ \frac 12x^3 - 2x^2 + x = 0 \\ ( \frac 12 x^2 - 2x + 1)x =0</tex>

	Hvilket gir x =0 som en løsning. Vi finner røttene av den andre faktoren ved å løse andregradslikningen 1/2X2 - 2X + 1 = 0. Løsningen er 0,59 og 3,41. Det betyr at grafen krysser x aksen tre steder, i punktene (0,0), (0,59, 0) og (3,41, 0).		Hvilket gir x =0 som en løsning. Vi finner røttene av den andre faktoren ved å løse andregradslikningen 1/2X2 - 2X + 1 = 0. Løsningen er 0,59 og 3,41. Det betyr at grafen krysser x aksen tre steder, i punktene (0,0), (0,59, 0) og (3,41, 0).
Linje 27:		Linje 27:
	Vi deriverer funksjonen og får:		Vi deriverer funksjonen og får:

	<~~tex~~>f '(x) = \frac 32 x^2 - 4x + 1</tex>		<math>f '(x) = \frac 32 x^2 - 4x + 1</tex>

	For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.		For å finne eventuelle nullpunkter setter vi f ' (x) = 0 og får en andregradslikning med følgende løsninger: 0,3 og 2,4.
Linje 45:		Linje 45:
	Vi begynner å kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. Vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.		Vi begynner å kjenne funksjonen ganske godt nå, men det er et viktig punkt vi må finne. Et eller annet sted mellom x =0,3 og x =2,4 har funksjonen et vendepunkt. Vi finner dette ved å finne den dobbelderiverte og sette den lik null.

	<~~tex~~>f ''(x) = 3x - 4 \\ f ''(x) = 0 \\ 3x - 4 = 0 \\ x = 4/3 </tex>		<math>f ''(x) = 3x - 4 \\ f ''(x) = 0 \\ 3x - 4 = 0 \\ x = 4/3 </tex>

	Vi finner hva f(x) er når x = 4/3:		Vi finner hva f(x) er når x = 4/3: