Eksponentiell vekst - halvering - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:33Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 1:		Linje 1:
	Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :		Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :

	<math>Y = k^t</~~tex~~>		<math>Y = k^t</math>

	t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.		t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.
Linje 17:		Linje 17:
	Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.		Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.

	Dersom vi har pengesummen <math>Y_0</~~tex~~> som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.		Dersom vi har pengesummen <math>Y_0</math> som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.



	<math>Y = Y_0k^t</~~tex~~>		<math>Y = Y_0k^t</math>

	Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. <math>Y_0</~~tex~~> representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.		Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. <math>Y_0</math> representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.

	Vi har sett hvordan formelen <math>Y = Y_0k^t</~~tex~~> kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon.		Vi har sett hvordan formelen <math>Y = Y_0k^t</math> kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon.


Linje 35:		Linje 35:
	C-14 har en halveringstid på 5730 år. Et organisk stoff består alltid av en gitt mengde C-14 atomer. Når organismen dør avtar mengden C-14 atomer. Når det har gått 5730 år består det organiske stoffet av halvparten så mange C-14 atomer som når stoffet var en del av noe levende. Vi setter opp		C-14 har en halveringstid på 5730 år. Et organisk stoff består alltid av en gitt mengde C-14 atomer. Når organismen dør avtar mengden C-14 atomer. Når det har gått 5730 år består det organiske stoffet av halvparten så mange C-14 atomer som når stoffet var en del av noe levende. Vi setter opp

	<math>N(t) = N_0(\frac12)^t</~~tex~~>		<math>N(t) = N_0(\frac12)^t</math>

	<math>N_0</~~tex~~> er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t.		<math>N_0</math> er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t.

	Vi er interessert i forholdet <math> \frac{N(t)}{N_0} </~~tex~~>		Vi er interessert i forholdet <math> \frac{N(t)}{N_0} </math>

	som gir		som gir


	<math> (\frac 12)^t = \frac{N(t)}{N_0} </~~tex~~>		<math> (\frac 12)^t = \frac{N(t)}{N_0} </math>

	Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:<p></p>		Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:<p></p>
	<math> (\frac 12)^t = 0,6 </~~tex~~>		<math> (\frac 12)^t = 0,6 </math>


	t log0,5 = log0,6		t log0,5 = log0,6

	<math>t= \frac{log 0,6}{log 0,5}= 0,737</~~tex~~>		<math>t= \frac{log 0,6}{log 0,5}= 0,737</math>

	Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>		Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>
Linje 60:		Linje 60:
	Figuren viser halveringskurven til 10 kg av et stoff med halveringstid 20 år.		Figuren viser halveringskurven til 10 kg av et stoff med halveringstid 20 år.
	Funksjonsuttrykket er:<p></p>		Funksjonsuttrykket er:<p></p>
	<math> N(t) =10 \cdot (\frac 12)^{\frac{t}{20}}</~~tex~~>		<math> N(t) =10 \cdot (\frac 12)^{\frac{t}{20}}</math>
	----		----
	[[kategori:lex]]		[[kategori:lex]]

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:22Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 1:		Linje 1:
	Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :		Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :

	<~~tex~~>Y = k^t</tex>		<math>Y = k^t</tex>

	t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.		t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.
Linje 17:		Linje 17:
	Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.		Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.

	Dersom vi har pengesummen <~~tex~~>Y_0</tex> som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.		Dersom vi har pengesummen <math>Y_0</tex> som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.



	<~~tex~~>Y = Y_0k^t</tex>		<math>Y = Y_0k^t</tex>

	Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. <~~tex~~>Y_0</tex> representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.		Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. <math>Y_0</tex> representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.

	Vi har sett hvordan formelen <~~tex~~>Y = Y_0k^t</tex> kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon.		Vi har sett hvordan formelen <math>Y = Y_0k^t</tex> kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon.


Linje 35:		Linje 35:
	C-14 har en halveringstid på 5730 år. Et organisk stoff består alltid av en gitt mengde C-14 atomer. Når organismen dør avtar mengden C-14 atomer. Når det har gått 5730 år består det organiske stoffet av halvparten så mange C-14 atomer som når stoffet var en del av noe levende. Vi setter opp		C-14 har en halveringstid på 5730 år. Et organisk stoff består alltid av en gitt mengde C-14 atomer. Når organismen dør avtar mengden C-14 atomer. Når det har gått 5730 år består det organiske stoffet av halvparten så mange C-14 atomer som når stoffet var en del av noe levende. Vi setter opp

	<~~tex~~>N(t) = N_0(\frac12)^t</tex>		<math>N(t) = N_0(\frac12)^t</tex>

	<~~tex~~>N_0</tex> er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t.		<math>N_0</tex> er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t.

	Vi er interessert i forholdet <~~tex~~> \frac{N(t)}{N_0} </tex>		Vi er interessert i forholdet <math> \frac{N(t)}{N_0} </tex>

	som gir		som gir


	<~~tex~~> (\frac 12)^t = \frac{N(t)}{N_0} </tex>		<math> (\frac 12)^t = \frac{N(t)}{N_0} </tex>

	Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:<p></p>		Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:<p></p>
	<~~tex~~> (\frac 12)^t = 0,6 </tex>		<math> (\frac 12)^t = 0,6 </tex>


	t log0,5 = log0,6		t log0,5 = log0,6

	<~~tex~~>t= \frac{log 0,6}{log 0,5}= 0,737</tex>		<math>t= \frac{log 0,6}{log 0,5}= 0,737</tex>

	Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>		Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>
Linje 60:		Linje 60:
	Figuren viser halveringskurven til 10 kg av et stoff med halveringstid 20 år.		Figuren viser halveringskurven til 10 kg av et stoff med halveringstid 20 år.
	Funksjonsuttrykket er:<p></p>		Funksjonsuttrykket er:<p></p>
	<~~tex~~> N(t) =10 \cdot (\frac 12)^{\frac{t}{20}}</tex>		<math> N(t) =10 \cdot (\frac 12)^{\frac{t}{20}}</tex>
	----		----
	[[kategori:lex]]		[[kategori:lex]]

Administrator: /* C-14 metoden */

2011-07-11T12:24:35Z

C-14 metoden

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 12:24
Linje 46:		Linje 46:
	<tex> (\frac 12)^t = \frac{N(t)}{N_0} </tex>		<tex> (\frac 12)^t = \frac{N(t)}{N_0} </tex>

	Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:		Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:<p></p>
	<tex> (\frac 12)^t = 0,6 </tex>		<tex> (\frac 12)^t = 0,6 </tex>

Administrator på 11. jul. 2011 kl. 12:24

2011-07-11T12:24:00Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 12:24
Linje 52:		Linje 52:
	t log0,5 = log0,6		t log0,5 = log0,6

	<tex>t= \frac{log 0,6}{log 0,5}= 0,737		<tex>t= \frac{log 0,6}{log 0,5}= 0,737</tex>

	Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>		Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>

Administrator: /* C-14 metoden */

2011-07-11T12:23:36Z

C-14 metoden

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 12:23
Linje 47:		Linje 47:

	Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:		Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:
			<tex> (\frac 12)^t = 0,6 </tex>

	~~(1/2)t = 0,6~~

	t log0,5 = log0,6		t log0,5 = log0,6

	t = ~~log0~~,6~~/log0~~,5 = 0,737		<tex>t= \frac{log 0,6}{log 0,5}= 0,737

	Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>		Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>

Administrator på 11. jul. 2011 kl. 12:21

2011-07-11T12:21:28Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 12:21
Linje 23:		Linje 23:
	<tex>Y = Y_0k^t</tex>		<tex>Y = Y_0k^t</tex>

	Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. Y0 representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.		Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. <tex>Y_0</tex> representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.

	Vi har sett hvordan formelen Y = ~~Y0xt~~ kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon.		Vi har sett hvordan formelen <tex>Y = Y_0k^t</tex> kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon.

Administrator på 11. jul. 2011 kl. 12:19

2011-07-11T12:19:39Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 12:19
Linje 1:		Linje 1:
	Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :		Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :

	<tex>Y = x^t</tex>		<tex>Y = k^t</tex>

	t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.		t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.

	Dersom x = 1 har vi en konstant stabil tilstand.		Dersom k = 1 har vi en konstant stabil tilstand.

	Dersom x > 1 har vi en tilstand med vekst.		Dersom k > 1 har vi en tilstand med vekst.

	Dersom x < 1 har vi en tilstand der noe minker.		Dersom k < 1 har vi en tilstand der noe minker.

	Dersom x = 1,1 og t symboliserer tidsenheter betyr det at vi har en vekst på 10% per tidsenhet. Grafen ser slik ut:		Dersom k = 1,1 og t symboliserer tidsenheter betyr det at vi har en vekst på 10% per tidsenhet. Grafen ser slik ut:

	[[Bilde:Ekspgraf.png]]		[[Bilde:Ekspgraf.png]]
Linje 17:		Linje 17:
	Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.		Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.

	Dersom vi har pengesummen Y0 som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.		Dersom vi har pengesummen <tex>Y_0</tex> som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.



	Y = ~~Y0xt~~		<tex>Y = Y_0k^t</tex>

	Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. Y0 representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.		Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. Y0 representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.

Administrator på 11. jul. 2011 kl. 12:16

2011-07-11T12:16:57Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 12:16
Linje 1:		Linje 1:
	Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :		Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :

	Y = xt		<tex>Y = x^t</tex>

	t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.		t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.
Linje 13:		Linje 13:
	Dersom x = 1,1 og t symboliserer tidsenheter betyr det at vi har en vekst på 10% per tidsenhet. Grafen ser slik ut:		Dersom x = 1,1 og t symboliserer tidsenheter betyr det at vi har en vekst på 10% per tidsenhet. Grafen ser slik ut:

			[[Bilde:Ekspgraf.png]]

	Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.		Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.

Administrator: /* C-14 metoden */

2011-07-11T09:48:47Z

C-14 metoden

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 09:48
Linje 39:		Linje 39:
	<tex>N_0</tex> er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t.		<tex>N_0</tex> er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t.

	Vi er interessert i forholdet N(t)/N0		Vi er interessert i forholdet <tex> \frac{N(t)}{N_0} </tex>

	som gir		som gir


	(~~1/2~~)t = N(t)/N0		<tex> (\frac 12)^t = \frac{N(t)}{N_0} </tex>

	Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:		Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:

Administrator: /* C-14 metoden */

2011-07-11T09:31:14Z

C-14 metoden

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. jul. 2011 kl. 09:31
Linje 54:		Linje 54:
	t = log0,6/log0,5 = 0,737		t = log0,6/log0,5 = 0,737

	Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.		Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.<p></p>

	[[Bilde:Halvkurve.png]]		[[Bilde:Halvkurve.png]]
			<p></p>
			Figuren viser halveringskurven til 10 kg av et stoff med halveringstid 20 år.
			Funksjonsuttrykket er:<p></p>
			<tex> N(t) =10 \cdot (\frac 12)^{\frac{t}{20}}</tex>
	----		----
	[[kategori:lex]]		[[kategori:lex]]