Delbarhet og faktorisering - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:22Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vis endringer

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:56:45Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Vis endringer

Vektormannen: /* Faktorer og delelighet */

2012-08-31T13:20:44Z

Faktorer og delelighet

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 31. aug. 2012 kl. 13:20
Linje 3:		Linje 3:

	== Faktorer og delelighet ==		== Faktorer og delelighet ==

			Når vi bare arbeider med hele tall, er det ikke alltid vi kan dele et tall på et annet og få et nytt helt tall. Hvis vi for eksempel har en klasse med 23 elever, er det ikke så lett å dele denne i to like store grupper -- tallet 23 ''er ikke delelig på 2''.

	Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b \| a</tex> og <tex>c \| a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a \| b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:		Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b \| a</tex> og <tex>c \| a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a \| b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

Vektormannen på 31. aug. 2012 kl. 13:13

2012-08-31T13:13:34Z

Vektormannen på 24. sep. 2011 kl. 15:19

2011-09-24T15:19:53Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. sep. 2011 kl. 15:19
Linje 64:		Linje 64:

	Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.		Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

			== Primtallsfaktorisering ==

			Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
			:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

			:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.<br /><br />

			:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning\|Bevis]]
			</blockquote>

			Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.) Aritmetikkens fundamentalsetning sier ingenting om ''hvordan'' vi gjør dette, bare at det alltid går an. Å utføre selve faktoriseringen gjør vi ved å finne hvilke primfaktorer tallet vi skal faktorisere er delelig med. Når vi deler på denne faktoren får vi de resterende faktorene i tallet. Dette kan vi gjenta helt til vi står igjen med et primtall. Dette er best vist ved et eksempel:

			<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
			:'''Eksempel:'''
			:Faktoriser tallet 162 til et produkt av primtall.

			:Vi prøver først å dele på 2. Divisjonen går opp og vi får 81. Da har vi at
			::<tex>2 \| 162</tex>.
			:Vi fortsetter med tallet 81. Vi prøver å dele på 2, men det går ikke. Neste primtall er da 3. Deler vi 81 på 3 får vi 27, så
			::<tex>3 \| 81</tex>.
			:Vi fortsetter med 27 og prøver igjen å dele på 3. Dette går opp, og vi får 9.
			::<tex>3 \| 27</tex>.
			:Vi fortsetter med 9 og prøver igjen å dele på 3. Nå får vi 3, så
			::<tex>3 \| 9</tex>.
			:Vi fortsetter med 3 og prøver enda en gang å dele på 3. Da får vi 1, så
			::<tex>3 \| 3</tex>.
			:Nå står vi igjen med tallet 1, som ikke er et sammensatt tall. Da er vi ferdige. I hver linje ovenfor vil tallet til venstre være en faktor i 162. Vi har altså funnet at
			::<tex>162 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3</tex>.

			: Aritmetikkens fundamentalsetning garanterer oss at dette også er den eneste måten vi kan faktorisere tallet på, hvis vi ser borti fra hvilken rekkefølge faktorene står i.
			</blockquote>

Vektormannen på 24. sep. 2011 kl. 14:44

2011-09-24T14:44:23Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. sep. 2011 kl. 14:44
Linje 63:		Linje 63:
	De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!		De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!

	Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.		Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

	~~== Primtallsfaktorisering ==~~

	Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">~~
	~~:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''~~

	~~:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.<br /><br />~~

	~~:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning\|Bevis]]~~
	~~</blockquote>~~

	Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)

	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">~~
	~~:'''Eksempel:'''~~
	~~:Vi har at~~

	~~::<tex>21 = 3 \cdot 7</tex>~~

	~~::<tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>~~

	~~::<tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>~~


	: De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor ''entydige''. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.
	~~</blockquote>~~

Vektormannen: Primtall og faktorisering flyttet til Delbarhet og faktorisering

2011-09-24T14:20:32Z

Primtall og faktorisering flyttet til Delbarhet og faktorisering

← Eldre sideversjon	Sideversjonen fra 24. sep. 2011 kl. 14:20
(Ingen forskjell)

Vektormannen på 21. sep. 2011 kl. 21:11

2011-09-21T21:11:53Z

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-== Faktorer ==
+Det kanskje viktigste grunnlaget i tallteorien er hvordan de hele tallene kan ''faktoriseres'' og uttrykkes som produkter av primtall. Mange av de største resultatene i tallteoripensumet i Matematikk X kommer blant annet i fra det vi her skal finne ut om faktorisering og primtall.
-Dersom <tex>a | b</tex> så er dette ekvivalent med at <tex>a \cdot k = b</tex> for et tall <tex>k</tex>. Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>.
+== Faktorer og delelighet ==
-Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet. De fleste bør være kjent:
+Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a | b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
-'''Grunnleggende regler for delelighet'''
+:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''
 :For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:
@@ Linje 17: / Linje 58: @@
 ::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
 </blockquote>
 Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

Vektormannen: Ny side: == Faktorer == Hvis et tall a kan skrives som et produkt a = bc så sier vi at b og c er ''faktorer'' i a. En kortere skrivemåte for...

2011-09-17T14:55:55Z

Ny side: == Faktorer == Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for...

Ny side

== Faktorer ==

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Dette kan vi også lese som "b deler a" og "c deler a".

Dersom <tex>a | b</tex> så er dette ekvivalent med at <tex>a \cdot k = b</tex> for et tall <tex>k</tex>. Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>.

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet. De fleste bør være kjent:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Grunnleggende regler for delelighet'''
:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

::* <tex>1 | a</tex>
::* <tex>a | a </tex>
::* <tex>a | 0</tex>
::* Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
</blockquote>

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.<br /><br />

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel:'''
:Vi har at

::<tex>21 = 3 \cdot 7</tex>

::<tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>

::<tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>

: De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor ''entydige''. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.
</blockquote>

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 31. aug. 2012 kl. 13:13
Linje 6:		Linje 6:
	Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b \| a</tex> og <tex>c \| a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a \| b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:		Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b \| a</tex> og <tex>c \| a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a \| b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
	:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''		:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''

Linje 17:		Linje 17:
	De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen ''betyr det samme''. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?		De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen ''betyr det samme''. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
	:'''Delelighet'''		:'''Delelighet'''

Linje 23:		Linje 23:
	</blockquote>		</blockquote>

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
	:'''Eksempel'''		:'''Eksempel'''

Linje 31:		Linje 31:
	Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:		Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
	: Dersom <tex>a \| b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at		: Dersom <tex>a \| b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at

Linje 39:		Linje 39:
	Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.		Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
	:'''Eksempel'''		:'''Eksempel'''
	: <tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som		: <tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som
Linje 48:		Linje 48:
	Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:		Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
	:'''Grunnleggende regler for delelighet'''		:'''Grunnleggende regler for delelighet'''
	:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:		:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:
Linje 69:		Linje 69:
	Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:		Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
	:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''		:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

Linje 79:		Linje 79:
	Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.) Aritmetikkens fundamentalsetning sier ingenting om ''hvordan'' vi gjør dette, bare at det alltid går an. Å utføre selve faktoriseringen gjør vi ved å finne hvilke primfaktorer tallet vi skal faktorisere er delelig med. Når vi deler på denne faktoren får vi de resterende faktorene i tallet. Dette kan vi gjenta helt til vi står igjen med et primtall. Dette er best vist ved et eksempel:		Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.) Aritmetikkens fundamentalsetning sier ingenting om ''hvordan'' vi gjør dette, bare at det alltid går an. Å utføre selve faktoriseringen gjør vi ved å finne hvilke primfaktorer tallet vi skal faktorisere er delelig med. Når vi deler på denne faktoren får vi de resterende faktorene i tallet. Dette kan vi gjenta helt til vi står igjen med et primtall. Dette er best vist ved et eksempel:

	<blockquote style="padding: 1em; border: ~~3px dotted~~ red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
	:'''Eksempel:'''		:'''Eksempel:'''
	:Faktoriser tallet 162 til et produkt av primtall.		:Faktoriser tallet 162 til et produkt av primtall.