Bevisføring - Sideversjonshistorikk

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:20Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:56:27Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

Administrator på 24. mar. 2009 kl. 12:24

2009-03-24T12:24:47Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. mar. 2009 kl. 12:24
Linje 40:		Linje 40:
	'''3)''' Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>		'''3)''' Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>
	[[Category:Bevis]]		[[Category:Bevis]]
			[[Category:ped]]
			[[Category:r1]]
			[[Category:r2]]

Administrator på 21. mar. 2009 kl. 09:54

2009-03-21T09:54:31Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 21. mar. 2009 kl. 09:54
Linje 39:		Linje 39:
	'''2)''' Bevis at produktet av to oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>		'''2)''' Bevis at produktet av to oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>
	'''3)''' Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>		'''3)''' Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>
			[[Category:Bevis]]

Markonan på 18. mar. 2009 kl. 00:07

2009-03-18T00:07:20Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 18. mar. 2009 kl. 00:07
Linje 36:		Linje 36:

	==Oppgaver==		==Oppgaver==
	'''1)''' Motbevis hypotesen. ''Summen av to partall blir et oddetall''. [[Bevisføring_fasit]].<br>		'''1)''' Motbevis hypotesen. ''Summen av to partall blir et oddetall''. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>
	'''2)''' Bevis at produktet av to oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit]].<br>		'''2)''' Bevis at produktet av to oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>
	'''3)''' Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit]].<br>		'''3)''' Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit\|Løsning]].<br>

Markonan: Ny side: Når noe skal bevises i matematikk, starter man med en setning som ofte kalles hypotesen. Denne setningen skal enten bevises eller motbevises. ==Bevis== Vi illustrerer noen av idéene bak ...

2009-03-18T00:04:08Z

Ny side: Når noe skal bevises i matematikk, starter man med en setning som ofte kalles hypotesen. Denne setningen skal enten bevises eller motbevises. ==Bevis== Vi illustrerer noen av idéene bak ...

Ny side

Når noe skal bevises i matematikk, starter man med en setning som ofte kalles hypotesen. Denne setningen skal enten bevises eller motbevises.

==Bevis==
Vi illustrerer noen av idéene bak bevisføring med et ganske enkelt eksempel.

'''Hypotese''': ''Produktet av et partall og et oddetall blir et partall''.

Vi kan starte med å regne litt for å se om det virker sannsynlig. Velger bare noen tilfeldige oddetall og partall og ganger de sammen.

<tex>2\cdot3 = 6</tex>, <tex>4\cdot5 = 20</tex>, <tex>3\cdot8 = 24</tex>.

Dette ser ut til å stemme ganske bra, men dette teller ikke som bevis. Bevis må alltid vises for det generelle tilfellet.

I beviset trenger vi en definisjon på hva oddetall og partall er.

Et oddetall er et tall som kan skrives på formen <tex>2k + 1</tex> for alle ikke-negative, hele tall <tex>k</tex>.

Setter vi <tex>k=1</tex> får vi <tex>2(1) + 1 = 3</tex>. Setter vi <tex>k=5</tex> får vi <tex>2(5) + 1 = 11</tex>, og sånn kan vi finne frem til alle mulige oddetall. Vi har en lignende definisjon for partall.

Et partall er et tall som kan skrives på formen <tex>2n</tex> for alle positive, hele tall <tex>n</tex>.

Vi kan nå se på produktet av et partall og et oddetall i det generelle tilfellet.

For to tilfeldige, positive, hele tall <tex>k</tex>, <tex>n</tex> har vi et oddetall <tex>2k+1</tex> og et partall <tex>2n</tex>.

Vi multipliserer sammen tallene. <tex>2n\cdot(2k+1) \;=\; 4kn + 2n \;=\; 2(2kn + n) \;=\; 2m</tex> der <tex>m = 2kn + n</tex>.

Etter vi ganget sammen partallet og oddetallet, endte vi opp med et tall på formen <tex>2m</tex>. Fra definisjonene over ser vi at dette tallet er på formen til et partall, og beviset er fullført.

==Motbevis==
Motbevis kan være ganske mye enklere. For at en setning eller en hypotese skal gjelde, skal det kunne føres et ordentlig bevis som gjelder generelt. Hvis vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder, har vi motbevist setningen.

'''Hypotese''': ''Summen av to oddetall blir et oddetall''.

Dette motbevises dersom vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder. <tex>3 + 5 = 8</tex>. Vi har lagt sammen de to oddetallene <tex>3</tex> og <tex>5</tex>. Resultatet av addisjonen er <tex>8</tex> som er et partall. Vi har motbevist hypotesen.

==Oppgaver==
'''1)''' Motbevis hypotesen. ''Summen av to partall blir et oddetall''. [[Bevisføring_fasit]].<br>
'''2)''' Bevis at produktet av to oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit]].<br>
'''3)''' Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. [[Bevisføring_fasit]].<br>

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 8:		Linje 8:
	Vi kan starte med å regne litt for å se om det virker sannsynlig. Velger bare noen tilfeldige oddetall og partall og ganger de sammen.		Vi kan starte med å regne litt for å se om det virker sannsynlig. Velger bare noen tilfeldige oddetall og partall og ganger de sammen.

	<math>2\cdot3 = 6</~~tex~~>, <math>4\cdot5 = 20</~~tex~~>, <math>3\cdot8 = 24</~~tex~~>.		<math>2\cdot3 = 6</math>, <math>4\cdot5 = 20</math>, <math>3\cdot8 = 24</math>.

	Dette ser ut til å stemme ganske bra, men dette teller ikke som bevis. Bevis må alltid vises for det generelle tilfellet.		Dette ser ut til å stemme ganske bra, men dette teller ikke som bevis. Bevis må alltid vises for det generelle tilfellet.
Linje 14:		Linje 14:
	I beviset trenger vi en definisjon på hva oddetall og partall er.		I beviset trenger vi en definisjon på hva oddetall og partall er.

	Et oddetall er et tall som kan skrives på formen <math>2k + 1</~~tex~~> for alle ikke-negative, hele tall <math>k</~~tex~~>.		Et oddetall er et tall som kan skrives på formen <math>2k + 1</math> for alle ikke-negative, hele tall <math>k</math>.

	Setter vi <math>k=1</~~tex~~> får vi <math>2(1) + 1 = 3</~~tex~~>. Setter vi <math>k=5</~~tex~~> får vi <math>2(5) + 1 = 11</~~tex~~>, og sånn kan vi finne frem til alle mulige oddetall. Vi har en lignende definisjon for partall.		Setter vi <math>k=1</math> får vi <math>2(1) + 1 = 3</math>. Setter vi <math>k=5</math> får vi <math>2(5) + 1 = 11</math>, og sånn kan vi finne frem til alle mulige oddetall. Vi har en lignende definisjon for partall.

	Et partall er et tall som kan skrives på formen <math>2n</~~tex~~> for alle positive, hele tall <math>n</~~tex~~>.		Et partall er et tall som kan skrives på formen <math>2n</math> for alle positive, hele tall <math>n</math>.

	Vi kan nå se på produktet av et partall og et oddetall i det generelle tilfellet.		Vi kan nå se på produktet av et partall og et oddetall i det generelle tilfellet.

	For to tilfeldige, positive, hele tall <math>k</~~tex~~>, <math>n</~~tex~~> har vi et oddetall <math>2k+1</~~tex~~> og et partall <math>2n</~~tex~~>.		For to tilfeldige, positive, hele tall <math>k</math>, <math>n</math> har vi et oddetall <math>2k+1</math> og et partall <math>2n</math>.

	Vi multipliserer sammen tallene. <math>2n\cdot(2k+1) \;=\; 4kn + 2n \;=\; 2(2kn + n) \;=\; 2m</~~tex~~> der <math>m = 2kn + n</~~tex~~>.		Vi multipliserer sammen tallene. <math>2n\cdot(2k+1) \;=\; 4kn + 2n \;=\; 2(2kn + n) \;=\; 2m</math> der <math>m = 2kn + n</math>.

	Etter vi ganget sammen partallet og oddetallet, endte vi opp med et tall på formen <math>2m</~~tex~~>. Fra definisjonene over ser vi at dette tallet er på formen til et partall, og beviset er fullført.		Etter vi ganget sammen partallet og oddetallet, endte vi opp med et tall på formen <math>2m</math>. Fra definisjonene over ser vi at dette tallet er på formen til et partall, og beviset er fullført.

	==Motbevis==		==Motbevis==
Linje 33:		Linje 33:
	'''Hypotese''': ''Summen av to oddetall blir et oddetall''.		'''Hypotese''': ''Summen av to oddetall blir et oddetall''.

	Dette motbevises dersom vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder. <math>3 + 5 = 8</~~tex~~>. Vi har lagt sammen de to oddetallene <math>3</~~tex~~> og <math>5</~~tex~~>. Resultatet av addisjonen er <math>8</~~tex~~> som er et partall. Vi har motbevist hypotesen.		Dette motbevises dersom vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder. <math>3 + 5 = 8</math>. Vi har lagt sammen de to oddetallene <math>3</math> og <math>5</math>. Resultatet av addisjonen er <math>8</math> som er et partall. Vi har motbevist hypotesen.

	==Oppgaver==		==Oppgaver==

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:56
Linje 8:		Linje 8:
	Vi kan starte med å regne litt for å se om det virker sannsynlig. Velger bare noen tilfeldige oddetall og partall og ganger de sammen.		Vi kan starte med å regne litt for å se om det virker sannsynlig. Velger bare noen tilfeldige oddetall og partall og ganger de sammen.

	<~~tex~~>2\cdot3 = 6</tex>, <~~tex~~>4\cdot5 = 20</tex>, <~~tex~~>3\cdot8 = 24</tex>.		<math>2\cdot3 = 6</tex>, <math>4\cdot5 = 20</tex>, <math>3\cdot8 = 24</tex>.

	Dette ser ut til å stemme ganske bra, men dette teller ikke som bevis. Bevis må alltid vises for det generelle tilfellet.		Dette ser ut til å stemme ganske bra, men dette teller ikke som bevis. Bevis må alltid vises for det generelle tilfellet.
Linje 14:		Linje 14:
	I beviset trenger vi en definisjon på hva oddetall og partall er.		I beviset trenger vi en definisjon på hva oddetall og partall er.

	Et oddetall er et tall som kan skrives på formen <~~tex~~>2k + 1</tex> for alle ikke-negative, hele tall <~~tex~~>k</tex>.		Et oddetall er et tall som kan skrives på formen <math>2k + 1</tex> for alle ikke-negative, hele tall <math>k</tex>.

	Setter vi <~~tex~~>k=1</tex> får vi <~~tex~~>2(1) + 1 = 3</tex>. Setter vi <~~tex~~>k=5</tex> får vi <~~tex~~>2(5) + 1 = 11</tex>, og sånn kan vi finne frem til alle mulige oddetall. Vi har en lignende definisjon for partall.		Setter vi <math>k=1</tex> får vi <math>2(1) + 1 = 3</tex>. Setter vi <math>k=5</tex> får vi <math>2(5) + 1 = 11</tex>, og sånn kan vi finne frem til alle mulige oddetall. Vi har en lignende definisjon for partall.

	Et partall er et tall som kan skrives på formen <~~tex~~>2n</tex> for alle positive, hele tall <~~tex~~>n</tex>.		Et partall er et tall som kan skrives på formen <math>2n</tex> for alle positive, hele tall <math>n</tex>.

	Vi kan nå se på produktet av et partall og et oddetall i det generelle tilfellet.		Vi kan nå se på produktet av et partall og et oddetall i det generelle tilfellet.

	For to tilfeldige, positive, hele tall <~~tex~~>k</tex>, <~~tex~~>n</tex> har vi et oddetall <~~tex~~>2k+1</tex> og et partall <~~tex~~>2n</tex>.		For to tilfeldige, positive, hele tall <math>k</tex>, <math>n</tex> har vi et oddetall <math>2k+1</tex> og et partall <math>2n</tex>.

	Vi multipliserer sammen tallene. <~~tex~~>2n\cdot(2k+1) \;=\; 4kn + 2n \;=\; 2(2kn + n) \;=\; 2m</tex> der <~~tex~~>m = 2kn + n</tex>.		Vi multipliserer sammen tallene. <math>2n\cdot(2k+1) \;=\; 4kn + 2n \;=\; 2(2kn + n) \;=\; 2m</tex> der <math>m = 2kn + n</tex>.

	Etter vi ganget sammen partallet og oddetallet, endte vi opp med et tall på formen <~~tex~~>2m</tex>. Fra definisjonene over ser vi at dette tallet er på formen til et partall, og beviset er fullført.		Etter vi ganget sammen partallet og oddetallet, endte vi opp med et tall på formen <math>2m</tex>. Fra definisjonene over ser vi at dette tallet er på formen til et partall, og beviset er fullført.

	==Motbevis==		==Motbevis==
Linje 33:		Linje 33:
	'''Hypotese''': ''Summen av to oddetall blir et oddetall''.		'''Hypotese''': ''Summen av to oddetall blir et oddetall''.

	Dette motbevises dersom vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder. <~~tex~~>3 + 5 = 8</tex>. Vi har lagt sammen de to oddetallene <~~tex~~>3</tex> og <~~tex~~>5</tex>. Resultatet av addisjonen er <~~tex~~>8</tex> som er et partall. Vi har motbevist hypotesen.		Dette motbevises dersom vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder. <math>3 + 5 = 8</tex>. Vi har lagt sammen de to oddetallene <math>3</tex> og <math>5</tex>. Resultatet av addisjonen er <math>8</tex> som er et partall. Vi har motbevist hypotesen.

	==Oppgaver==		==Oppgaver==