Aritmetriske rekker - Sideversjonshistorikk

Quiz: /* Aritmetisk rekke (sum) */

2020-07-05T10:00:36Z

Aritmetisk rekke (sum)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. jul. 2020 kl. 10:00
Linje 26:		Linje 26:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>		:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math> Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>
	</blockquote>		</blockquote>

Quiz: /* Aritmetisk rekke (sum) */

2020-07-05T10:00:02Z

Aritmetisk rekke (sum)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. jul. 2020 kl. 10:00
Linje 26:		Linje 26:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 ~~= \frac{110}{2}~~=55</math>		:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>
	</blockquote>		</blockquote>

Quiz: /* Aritmetisk rekke (sum) */

2020-07-05T09:59:12Z

Aritmetisk rekke (sum)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. jul. 2020 kl. 09:59
Linje 26:		Linje 26:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</math>		La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = \frac{110}{2}=55</math>
	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco: /* Aritmetisk progresjon */

2013-04-30T04:32:43Z

Aritmetisk progresjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 30. apr. 2013 kl. 04:32
Linje 1:		Linje 1:
	== Aritmetisk progresjon ==		== Aritmetisk progresjon ==
	En aritmetisk følge er en tallfølge, ~~<math>~~\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}~~</math>~~ (~~<math>~~\mathbb{N}=\{1,2,3,...}~~</math>~~), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.		En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 6:		Linje 6:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	: Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv.		:Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv.
	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:58:19Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Linje 1:		Linje 1:
	== Aritmetisk progresjon ==		== Aritmetisk progresjon ==
	En aritmetisk følge er en tallfølge, <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</~~tex~~> (<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...}</~~tex~~>), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</~~tex~~>.		En aritmetisk følge er en tallfølge, <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> (<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...}</math>), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 6:		Linje 6:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	: Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</~~tex~~>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</~~tex~~>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</~~tex~~> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</~~tex~~>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</~~tex~~>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</~~tex~~>, så <math>a_3=2+5=7</~~tex~~> osv.		: Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv.
	</blockquote>		</blockquote>

Linje 14:		Linje 14:

	== Aritmetisk rekke (sum) ==		== Aritmetisk rekke (sum) ==
	En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</~~tex~~> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</~~tex~~> med et endelig antall ledd <math>N</~~tex~~>. Den <math>n</~~tex~~>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</~~tex~~> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</~~tex~~>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</~~tex~~> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</~~tex~~> ledd:		En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</math> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> med et endelig antall ledd <math>N</math>. Den <math>n</math>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</math> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</math>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</math> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</math> ledd:

	<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</~~tex~~>		<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</math>

	Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</~~tex~~> og den konstante differansen <math>d</~~tex~~>.		Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</math> og den konstante differansen <math>d</math>.

	Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</~~tex~~>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</~~tex~~>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</~~tex~~>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</~~tex~~>.		Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</math>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</math>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 26:		Linje 26:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</~~tex~~>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</~~tex~~>		:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</math>
	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:54:26Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:54
Linje 1:		Linje 1:
	== Aritmetisk progresjon ==		== Aritmetisk progresjon ==
	En aritmetisk følge er en tallfølge, <~~tex~~>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> (<~~tex~~>\mathbb{N}=\{1,2,3,...}</tex>), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <~~tex~~>a_{i+1}-a_i=d</tex>.		En aritmetisk følge er en tallfølge, <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> (<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...}</tex>), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 6:		Linje 6:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	: Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <~~tex~~>a_{i+1}-a_i=2</tex>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <~~tex~~>a_1=3</tex>. Følgen <~~tex~~>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <~~tex~~>a_2-a_1=a_2-3=2</tex>. Dette gir at <~~tex~~>a_2=2+3=5</tex>. Videre er <~~tex~~>a_3-a_2=a_3-5=2</tex>, så <~~tex~~>a_3=2+5=7</tex> osv.		: Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</tex>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</tex>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</tex>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</tex>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</tex>, så <math>a_3=2+5=7</tex> osv.
	</blockquote>		</blockquote>

Linje 14:		Linje 14:

	== Aritmetisk rekke (sum) ==		== Aritmetisk rekke (sum) ==
	En aritmetisk rekke er summen av leddene <~~tex~~>a_i</tex> i en aritmetisk progresjon <~~tex~~>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> med et endelig antall ledd <~~tex~~>N</tex>. Den <~~tex~~>n</tex>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <~~tex~~>n\leq N</tex> første leddene i rekken og kan defineres ved at <~~tex~~>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</tex>. Siden <~~tex~~>a_{i+1}=d+a_i</tex> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <~~tex~~>n</tex> ledd:		En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</tex> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> med et endelig antall ledd <math>N</tex>. Den <math>n</tex>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</tex> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</tex>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</tex> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</tex> ledd:

	<~~tex~~>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</tex>		<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</tex>

	Merk at formelen kun avhenger av startverdien <~~tex~~>a_1</tex> og den konstante differansen <~~tex~~>d</tex>.		Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</tex> og den konstante differansen <math>d</tex>.

	Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <~~tex~~>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <~~tex~~>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <~~tex~~>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>, blir summen <~~tex~~>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</tex>.		Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Linje 26:		Linje 26:
	'''Eksempel'''		'''Eksempel'''

	:La oss se på den endelige følgen <~~tex~~>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</tex>. Da blir summen <~~tex~~>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</tex>		:La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</tex>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</tex>
	</blockquote>		</blockquote>

Plutarco: /* Aritmetisk progresjon */

2011-04-11T23:27:41Z

Aritmetisk progresjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. apr. 2011 kl. 23:27
Linje 1:		Linje 1:
	== Aritmetisk progresjon ==		== Aritmetisk progresjon ==
	En aritmetisk følge er en tallfølge, <tex>(a_i)_{i\in\mathbb{N}}</tex>, slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <tex>a_{i+1}-a_i=d</tex>.		En aritmetisk følge er en tallfølge, <tex>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> (<tex>\mathbb{N}=\{1,2,3,...}</tex>), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <tex>a_{i+1}-a_i=d</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

Plutarco: /* Aritmetisk rekke (sum) */

2011-04-11T23:25:21Z

Aritmetisk rekke (sum)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. apr. 2011 kl. 23:25
Linje 20:		Linje 20:
	Merk at formelen kun avhenger av startverdien <tex>a_1</tex> og den konstante differansen <tex>d</tex>.		Merk at formelen kun avhenger av startverdien <tex>a_1</tex> og den konstante differansen <tex>d</tex>.

	Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <tex>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>.		Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <tex>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <tex>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <tex>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>, blir summen <tex>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

Plutarco: /* Aritmetisk rekke (sum) */

2011-04-11T23:19:27Z

Aritmetisk rekke (sum)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. apr. 2011 kl. 23:19
Linje 20:		Linje 20:
	Merk at formelen kun avhenger av startverdien <tex>a_1</tex> og den konstante differansen <tex>d</tex>.		Merk at formelen kun avhenger av startverdien <tex>a_1</tex> og den konstante differansen <tex>d</tex>.

	Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <tex>S_n=\sum_{i}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>.		Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <tex>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

Plutarco: /* Aritmetisk rekke (sum) */

2011-04-11T23:18:08Z

Aritmetisk rekke (sum)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 11. apr. 2011 kl. 23:18
Linje 14:		Linje 14:

	== Aritmetisk rekke (sum) ==		== Aritmetisk rekke (sum) ==
	En aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk progresjon; Den n-te partialsummen er <tex>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</tex>.		En aritmetisk rekke er summen av leddene <tex>a_i</tex> i en aritmetisk progresjon <tex>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> med et endelig antall ledd <tex>N</tex>. Den <tex>n</tex>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <tex>n\leq N</tex> første leddene i rekken og kan defineres ved at <tex>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</tex>. Siden <tex>a_{i+1}=d+a_i</tex> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <tex>n</tex> ledd:

	~~For en aritmetisk rekke er~~ <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i =\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>		<tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</tex>

			Merk at formelen kun avhenger av startverdien <tex>a_1</tex> og den konstante differansen <tex>d</tex>.

			Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <tex>S_n=\sum_{i}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">