Andre ordens differensiallikninger - Sideversjonshistorikk

Administrator: /* Komplekse løsninger av karakteristisk ligning */

2017-01-28T17:44:42Z

Komplekse løsninger av karakteristisk ligning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. jan. 2017 kl. 17:44
Linje 100:		Linje 100:
	den generelle løsningen		den generelle løsningen

	$$		$ y = e ^{px} (C_1 sinqx + C_2 cos qx)$
	</div>		</div>

Administrator: /* Komplekse løsninger av karakteristisk ligning */

2017-01-28T17:19:36Z

Komplekse løsninger av karakteristisk ligning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. jan. 2017 kl. 17:19
Linje 96:		Linje 96:
	Har differensiallikningen		Har differensiallikningen

	$y'' + ~~by1~~ +cy=0$		$ y' ' + by' +cy=0$

	den generelle løsningen		den generelle løsningen

Administrator: /* Komplekse løsninger av karakteristisk ligning */

2017-01-28T17:18:38Z

Komplekse løsninger av karakteristisk ligning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. jan. 2017 kl. 17:18
Linje 94:		Linje 94:
	$r_1 = p +qi \wedge r_2 = p-qi$		$r_1 = p +qi \wedge r_2 = p-qi$

	Har differensiallikningen $y'' + by1 +cy=0$		Har differensiallikningen

			$y'' + by1 +cy=0$

	den generelle løsningen		den generelle løsningen

Administrator: /* Komplekse løsninger av karakteristisk ligning */

2017-01-28T17:10:55Z

Komplekse løsninger av karakteristisk ligning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. jan. 2017 kl. 17:10
Linje 81:		Linje 81:

	:<math>e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta </math>,		:<math>e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta </math>,

			kan vi skrive om løsningen slik at vi slipper komplekse tall i eksponentene i løsningen.


	~~kan vi skrive om løsningen slik at vi slipper komplekse tall i eksponentene i løsningen.~~

			<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	$r^2+br+c=0$		$r^2+br+c=0$
Linje 91:		Linje 93:

	$r_1 = p +qi \wedge r_2 = p-qi$		$r_1 = p +qi \wedge r_2 = p-qi$

			Har differensiallikningen $y'' + by1 +cy=0$

			den generelle løsningen

			$$
			</div>

	=== Bestemme konstantene ===		=== Bestemme konstantene ===

	For å bestemme konstantene <math>A</math> og <math>B</math> til løsningene over trenger vi to initialbetingelser, f.eks. må <math>f(0)</math> og <math>f'(0)</math> være gitt. Vi får dermed to ligninger med to ukjente (<math>A</math> og <math>B</math>) som må bestemmes for å løse initialverdiproblemet.		For å bestemme konstantene <math>A</math> og <math>B</math> til løsningene over trenger vi to initialbetingelser, f.eks. må <math>f(0)</math> og <math>f'(0)</math> være gitt. Vi får dermed to ligninger med to ukjente (<math>A</math> og <math>B</math>) som må bestemmes for å løse initialverdiproblemet.

Administrator: /* Komplekse løsninger av karakteristisk ligning */

2017-01-28T17:04:17Z

Komplekse løsninger av karakteristisk ligning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 28. jan. 2017 kl. 17:04
Linje 83:		Linje 83:


	kan vi skrive om løsningen slik at vi slipper komplekse tall i eksponentene i løsningen. ~~Teknikken vises i eksempler under.~~		kan vi skrive om løsningen slik at vi slipper komplekse tall i eksponentene i løsningen.


			$r^2+br+c=0$

			Dersom to komplekse løsninger

			$r_1 = p +qi \wedge r_2 = p-qi$

	=== Bestemme konstantene ===		=== Bestemme konstantene ===

	For å bestemme konstantene <math>A</math> og <math>B</math> til løsningene over trenger vi to initialbetingelser, f.eks. må <math>f(0)</math> og <math>f'(0)</math> være gitt. Vi får dermed to ligninger med to ukjente (<math>A</math> og <math>B</math>) som må bestemmes for å løse initialverdiproblemet.		For å bestemme konstantene <math>A</math> og <math>B</math> til løsningene over trenger vi to initialbetingelser, f.eks. må <math>f(0)</math> og <math>f'(0)</math> være gitt. Vi får dermed to ligninger med to ukjente (<math>A</math> og <math>B</math>) som må bestemmes for å løse initialverdiproblemet.

Administrator: /* Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter */

2017-01-27T16:42:13Z

Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 27. jan. 2017 kl. 16:42
Linje 50:		Linje 50:

	Når løsningene av den karakteristiske ligninga er reelle og ulike er løsningen på diff.ligningen		Når løsningene av den karakteristiske ligninga er reelle og ulike er løsningen på diff.ligningen

			<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	: <math>f(x)=Ae^{\lambda_1x}+Be^{\lambda_2x}</math>		: <math>f(x)=Ae^{\lambda_1x}+Be^{\lambda_2x}</math>

			</div>
	=== Én reell løsning av karakteristisk ligning ===		=== Én reell løsning av karakteristisk ligning ===

Linje 58:		Linje 61:
	Når løsningen <math>\lambda</math> av karakteristisk ligning har multiplisitet <math>2</math> er løsningen på diff.ligningen		Når løsningen <math>\lambda</math> av karakteristisk ligning har multiplisitet <math>2</math> er løsningen på diff.ligningen

			<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	: <math>f(x)=Ae^{\lambda x}+Bxe^{\lambda x}</math>		: <math>f(x)=Ae^{\lambda x}+Bxe^{\lambda x}</math>

			</div>

Administrator: /* Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter */

2017-01-27T16:39:22Z

Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 27. jan. 2017 kl. 16:39
Linje 50:		Linje 50:

	Når løsningene av den karakteristiske ligninga er reelle og ulike er løsningen på diff.ligningen		Når løsningene av den karakteristiske ligninga er reelle og ulike er løsningen på diff.ligningen


	: <math>f(x)=Ae^{\lambda_1x}+Be^{\lambda_2x}</math>		: <math>f(x)=Ae^{\lambda_1x}+Be^{\lambda_2x}</math>

Administrator: /* Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter */

2017-01-27T16:38:11Z

Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 27. jan. 2017 kl. 16:38
Linje 29:		Linje 29:

	<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">		<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
			Diferensiallikningen

			:<math>f^{\prime\prime}+af'+bf=0</math>

			har karakteristisk løsning

	:<math>\lambda^2+a\lambda+b=0</math>,		:<math>\lambda^2+a\lambda+b=0</math>,
			</div>

	~~</div>~~

	som vi løser med f.eks. abc-formelen eller ved fullføring av kvadratet.		som vi løser med f.eks. abc-formelen eller ved fullføring av kvadratet.

Administrator: /* Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter */

2017-01-27T16:36:35Z

Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 27. jan. 2017 kl. 16:36
Linje 28:		Linje 28:
	Her ser vi at vi kan dele med <math>e^{\lambda x}</math> slik at vi får en andreordens ligning for <math>\lambda</math>, kalt karakteristisk ligning. Denne blir i dette tilfellet		Her ser vi at vi kan dele med <math>e^{\lambda x}</math> slik at vi får en andreordens ligning for <math>\lambda</math>, kalt karakteristisk ligning. Denne blir i dette tilfellet

			<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

	:<math>\lambda^2+a\lambda+b=0</math>,		:<math>\lambda^2+a\lambda+b=0</math>,

			</div>

	som vi ~~enkelt~~ løser med f.eks. abc-formelen eller ved fullføring av kvadratet.		som vi løser med f.eks. abc-formelen eller ved fullføring av kvadratet.

Plutarco: /* Komplekse løsninger av karakteristisk ligning */

2013-05-01T02:09:10Z

Komplekse løsninger av karakteristisk ligning

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 1. mai 2013 kl. 02:09
Linje 68:		Linje 68:


	:<math>e^{\theta i}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)</math>,		:<math>e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta </math>,


	kan vi skrive om løsningen slik at vi slipper komplekse tall i eksponentene i løsningen. Teknikken vises i eksempler under.		kan vi skrive om løsningen slik at vi slipper komplekse tall i eksponentene i løsningen. Teknikken vises i eksempler under.


	=== Bestemme konstantene ===		=== Bestemme konstantene ===

	For å bestemme konstantene <math>A</math> og <math>B</math> til løsningene over trenger vi to initialbetingelser, f.eks. må <math>f(0)</math> og <math>f'(0)</math> være gitt. Vi får dermed to ligninger med to ukjente (<math>A</math> og <math>B</math>) som må bestemmes for å løse initialverdiproblemet.		For å bestemme konstantene <math>A</math> og <math>B</math> til løsningene over trenger vi to initialbetingelser, f.eks. må <math>f(0)</math> og <math>f'(0)</math> være gitt. Vi får dermed to ligninger med to ukjente (<math>A</math> og <math>B</math>) som må bestemmes for å løse initialverdiproblemet.