Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

2P 2016 høst LØSNING

2016-12-19T20:07:08Z

Zludr: /* c) */

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første interval er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første interval. Kummulativ i andre interval er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kummulativ frekv. i interval tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamateriealet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stillner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogeam per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a.

[[File:2p-h2016-2-5c.png]]

30 timer etter første tablett er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 0,6 mikrogram per mililiter.

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vannskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2016-12-19T20:06:05Z

Zludr: /* b) */

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første interval er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første interval. Kummulativ i andre interval er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kummulativ frekv. i interval tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamateriealet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stillner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogeam per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a.

[[File:2p-h2016-2-5c.png]]

30 timer etter første tablett er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet 0,6 mikrogram per mililiter.

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vannskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+3 = 1000 \\3n^2-3n - 997 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +3 = 921$

For Figur nr 18 trengs det 921 klosser. Da blir det 79 igjen.