Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

R1 2012 høst LØSNING

2013-05-28T10:46:40Z

Vektormannen: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===
$f(x)=(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$

Da er

<math>f^\prime(x)=8x-4</math>

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med $2x-1$ som kjerne. Vi får da

$f^\prime(x) = 2(2x-1) \cdot (2x-1)^\prime = 2 \cdot (2x-1) \cdot 2 = 8x - 4$.

=== b) ===

<math>g(x)=\sqrt{x^2-2x}</math>

Vi bruker kjerneregelen med <math>x^2 - 2x</math> som kjerne. Da har vi

<math>\begin{eqnarray*}
g(x) &=&\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x-2) \\
&=& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{eqnarray*}</math>

=== c) ===

Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av $x$. Da benytter vi produktregelen. For å derivere $e^{3x}$ bruker vi også kjerneregelen. Vi får

$h^\prime(x) = (x^3)^\prime \cdot e^{2x} + x^3 \cdot (e^{2x})^\prime = 3x^2 e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x} = x^2e^{2x}(3x+2).$

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

En polynomdivisjon $p(x) : (x-a)$ går opp kun dersom $p(a) = 0$. Her får vi da at $f(3)$ nå være 0. Det gir oss ligningen

$f(3) = 0 \ \Leftrightarrow \ 3^3 - 3 \cdot 3^2 + k \cdot 3 + 3 = 0 \ \Leftrightarrow \ 3k + 3 = 0 \ \Leftrightarrow \ k = -1.$

=== b) ===

Svaret på polynomdivisjon = <math>x^2-1</math>

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

== Oppgave 3==

=== a) ===
Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her

<math>f(x)=x^3-3x^2-x+3</math>

<math>f^\prime(x)=3x^2-6x-1</math>

<math>f^{\prime\prime}(x)=6x-6 = 6(x-1)</math>

Den dobbeltderiverte ser vi da er lik 0 og skifter fortegn i $x = 1$. Da er $x - 1$ et vendepunkt for funksjonen.

=== b) ===

== Oppgave 4==

=== a) ===

Det eleven har gjort feil er at han ikke har løst opp parentesen før han stryker på begge sider, noe som ikke er lov. Her må du først løse opp parentesen.

=== b) ===

For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$

$(x-1)(x-3)=x-1$

<math>x^2-4x+3=x-1</math> => <math>x^2-5x+4=0</math>, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$

For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi.
$f(4)=(4-1)(4-3)$
$f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$

$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.

Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

<math>3^{4x}+7=34</math>
<math>3^{4x}=27</math>

For å løse opp potensene, så må man bruke logaritme.

<math>lg3^{4x}=lg27</math>, så kan man flytte bed 4x. da står man igjen med; 4xlg3=lg27, så deler man på lg 3 på begge sider for å få x alene. Da får vi 4x=3

<math>x=\frac{3}{4}</math>

=== b) ===

lgx+lg(x-1)=lg2, her må vi løse opp parentesen først.

lgx+lgx-lg1=lg2, vi vet at lg1=0. => 2lgx=lg2. For å fjerne logaritmetegnene, kan man opphøye de i 10.

Da får vi <math>2*10^{lg}=10^{lg2}</math>

x=1

R1 2012 høst LØSNING

2013-05-28T10:41:47Z

Vektormannen: /* a) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===
$f(x)=(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$

Da er

<math>f^\prime(x)=8x-4</math>

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med $2x-1$ som kjerne. Vi får da

$f^\prime(x) = 2(2x-1) \cdot (2x-1)^\prime = 2 \cdot (2x-1) \cdot 2 = 8x - 4$.

=== b) ===

<math>g(x)=\sqrt{x^2-2x}</math>

Vi bruker kjerneregelen med <math>x^2 - 2x</math> som kjerne. Da har vi

<math>\begin{eqnarray*}
g(x) &=&\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x-2) \\
&=& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{eqnarray*}</math>

=== c) ===

Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av $x$. Da benytter vi produktregelen. For å derivere $e^{3x}$ bruker vi også kjerneregelen. Vi får

$h^\prime(x) = (x^3)^\prime \cdot e^{3x} + x^3 \cdot (e^{3x})^\prime = 3x^2 e^{3x} + x^3 \cdot 3e^{3x} = x^2e^{3x}(x+3).$

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

En polynomdivisjon $p(x) : (x-a)$ går opp kun dersom $p(a) = 0$. Her får vi da at $f(3)$ nå være 0. Det gir oss ligningen

$f(3) = 0 \ \Leftrightarrow \ 3^3 - 3 \cdot 3^2 + k \cdot 3 + 3 = 0 \ \Leftrightarrow \ 3k + 3 = 0 \ \Leftrightarrow \ k = -1.$

=== b) ===

Svaret på polynomdivisjon = <math>x^2-1</math>

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

== Oppgave 3==

=== a) ===
Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her

<math>f(x)=x^3-3x^2-x+3</math>

<math>f^\prime(x)=3x^2-6x-1</math>

<math>f^{\prime\prime}(x)=6x-6 = 6(x-1)</math>

Den dobbeltderiverte ser vi da er lik 0 og skifter fortegn i $x = 1$. Da er $x - 1$ et vendepunkt for funksjonen.

=== b) ===

== Oppgave 4==

=== a) ===

Det eleven har gjort feil er at han ikke har løst opp parentesen før han stryker på begge sider, noe som ikke er lov. Her må du først løse opp parentesen.

=== b) ===

For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$

$(x-1)(x-3)=x-1$

<math>x^2-4x+3=x-1</math> => <math>x^2-5x+4=0</math>, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$

For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi.
$f(4)=(4-1)(4-3)$
$f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$

$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.

Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

<math>3^{4x}+7=34</math>
<math>3^{4x}=27</math>

For å løse opp potensene, så må man bruke logaritme.

<math>lg3^{4x}=lg27</math>, så kan man flytte bed 4x. da står man igjen med; 4xlg3=lg27, så deler man på lg 3 på begge sider for å få x alene. Da får vi 4x=3

<math>x=\frac{3}{4}</math>

=== b) ===

lgx+lg(x-1)=lg2, her må vi løse opp parentesen først.

lgx+lgx-lg1=lg2, vi vet at lg1=0. => 2lgx=lg2. For å fjerne logaritmetegnene, kan man opphøye de i 10.

Da får vi <math>2*10^{lg}=10^{lg2}</math>

x=1

R1 2012 høst LØSNING

2013-05-28T10:37:32Z

Vektormannen: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===
$f(x)=(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$

Da er

<math>f^\prime(x)=8x-4</math>

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med $2x-1$ som kjerne. Vi får da

$f^\prime(x) = 2(2x-1) \cdot (2x-1)^\prime = 2 \cdot (2x-1) \cdot 2 = 8x - 4$.

=== b) ===

<math>g(x)=\sqrt{x^2-2x}</math>

Vi bruker kjerneregelen med <math>x^2 - 2x</math> som kjerne. Da har vi

<math>\begin{eqnarray*}
g(x) &=&\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x-2) \\
&=& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{eqnarray*}</math>

=== c) ===

Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av $x$. Da benytter vi produktregelen. For å derivere $e^{3x}$ bruker vi også kjerneregelen. Vi får

$h^\prime(x) = (x^3)^\prime \cdot e^{3x} + x^3 \cdot (e^{3x})^\prime = 3x^2 e^{3x} + x^3 \cdot 3e^{3x} = x^2e^{3x}(x+3).$

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

Setter x=3 og løser med hensyn på k. Da får vi k=-1

=== b) ===

Svaret på polynomdivisjon = <math>x^2-1</math>

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

== Oppgave 3==

=== a) ===
Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her

<math>f(x)=x^3-3x^2-x+3</math>

<math>f^\prime(x)=3x^2-6x-1</math>

<math>f^{\prime\prime}(x)=6x-6 = 6(x-1)</math>

Den dobbeltderiverte ser vi da er lik 0 og skifter fortegn i $x = 1$. Da er $x - 1$ et vendepunkt for funksjonen.

=== b) ===

== Oppgave 4==

=== a) ===

Det eleven har gjort feil er at han ikke har løst opp parentesen før han stryker på begge sider, noe som ikke er lov. Her må du først løse opp parentesen.

=== b) ===

For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$

$(x-1)(x-3)=x-1$

<math>x^2-4x+3=x-1</math> => <math>x^2-5x+4=0</math>, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$

For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi.
$f(4)=(4-1)(4-3)$
$f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$

$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.

Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

<math>3^{4x}+7=34</math>
<math>3^{4x}=27</math>

For å løse opp potensene, så må man bruke logaritme.

<math>lg3^{4x}=lg27</math>, så kan man flytte bed 4x. da står man igjen med; 4xlg3=lg27, så deler man på lg 3 på begge sider for å få x alene. Da får vi 4x=3

<math>x=\frac{3}{4}</math>

=== b) ===

lgx+lg(x-1)=lg2, her må vi løse opp parentesen først.

lgx+lgx-lg1=lg2, vi vet at lg1=0. => 2lgx=lg2. For å fjerne logaritmetegnene, kan man opphøye de i 10.

Da får vi <math>2*10^{lg}=10^{lg2}</math>

x=1

R1 2012 høst LØSNING

2013-05-28T10:30:26Z

Vektormannen: /* a) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===
$f(x)=(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$

Da er

<math>f^\prime(x)=8x-4</math>

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med $2x-1$ som kjerne. Vi får da

$f^\prime(x) = 2(2x-1) \cdot (2x-1)^\prime = 2 \cdot (2x-1) \cdot 2 = 8x - 4$.

=== b) ===

<math>g(x)=\sqrt{x^2-2x}</math>

Vi bruker kjerneregelen med <math>x^2 - 2x</math> som kjerne. Da har vi

<math>\begin{eqnarray*}
g(x) &=&\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x-2) \\
&=& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{eqnarray*}</math>

=== c) ===

Bruke kjerneregel.

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

Setter x=3 og løser med hensyn på k. Da får vi k=-1

=== b) ===

Svaret på polynomdivisjon = <math>x^2-1</math>

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

== Oppgave 3==

=== a) ===
Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her

<math>f(x)=x^3-3x^2-x+3</math>

<math>f^\prime(x)=3x^2-6x-1</math>

<math>f^{\prime\prime}(x)=6x-6 = 6(x-1)</math>

Den dobbeltderiverte ser vi da er lik 0 og skifter fortegn i $x = 1$. Da er $x - 1$ et vendepunkt for funksjonen.

=== b) ===

== Oppgave 4==

=== a) ===

Det eleven har gjort feil er at han ikke har løst opp parentesen før han stryker på begge sider, noe som ikke er lov. Her må du først løse opp parentesen.

=== b) ===

For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$

$(x-1)(x-3)=x-1$

<math>x^2-4x+3=x-1</math> => <math>x^2-5x+4=0</math>, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$

For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi.
$f(4)=(4-1)(4-3)$
$f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$

$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.

Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

<math>3^{4x}+7=34</math>
<math>3^{4x}=27</math>

For å løse opp potensene, så må man bruke logaritme.

<math>lg3^{4x}=lg27</math>, så kan man flytte bed 4x. da står man igjen med; 4xlg3=lg27, så deler man på lg 3 på begge sider for å få x alene. Da får vi 4x=3

<math>x=\frac{3}{4}</math>

=== b) ===

lgx+lg(x-1)=lg2, her må vi løse opp parentesen først.

lgx+lgx-lg1=lg2, vi vet at lg1=0. => 2lgx=lg2. For å fjerne logaritmetegnene, kan man opphøye de i 10.

Da får vi <math>2*10^{lg}=10^{lg2}</math>

x=1

R1 2012 høst LØSNING

2013-05-28T10:28:14Z

Vektormannen: /* a) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===
$f(x)=(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$

Da er

<math>f^\prime(x)=8x-4</math>

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med $2x-1$ som kjerne. Vi får da

$f^\prime(x) = 2(2x-1) \cdot (2x-1)^\prime = 2 \cdot (2x-1) \cdot 2 = 8x - 4$.

=== b) ===

<math>g(x)=\sqrt{x^2-2x}</math>

Vi bruker kjerneregelen med <math>x^2 - 2x</math> som kjerne. Da har vi

<math>\begin{eqnarray*}
g(x) &=&\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x-2) \\
&=& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{eqnarray*}</math>

=== c) ===

Bruke kjerneregel.

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

Setter x=3 og løser med hensyn på k. Da får vi k=-1

=== b) ===

Svaret på polynomdivisjon = <math>x^2-1</math>

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

== Oppgave 3==

=== a) ===
Vendepunkt er det samme som den dobbeltderiverte.
<math>f(x)=x^3-3x^2-x+3</math>
<math>f`(x)=3x^2-6x-1</math>
<math>f``(x)=6x-6</math>

=== b) ===

== Oppgave 4==

=== a) ===

Det eleven har gjort feil er at han ikke har løst opp parentesen før han stryker på begge sider, noe som ikke er lov. Her må du først løse opp parentesen.

=== b) ===

For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$

$(x-1)(x-3)=x-1$

<math>x^2-4x+3=x-1</math> => <math>x^2-5x+4=0</math>, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$

For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi.
$f(4)=(4-1)(4-3)$
$f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$

$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.

Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

<math>3^{4x}+7=34</math>
<math>3^{4x}=27</math>

For å løse opp potensene, så må man bruke logaritme.

<math>lg3^{4x}=lg27</math>, så kan man flytte bed 4x. da står man igjen med; 4xlg3=lg27, så deler man på lg 3 på begge sider for å få x alene. Da får vi 4x=3

<math>x=\frac{3}{4}</math>

=== b) ===

lgx+lg(x-1)=lg2, her må vi løse opp parentesen først.

lgx+lgx-lg1=lg2, vi vet at lg1=0. => 2lgx=lg2. For å fjerne logaritmetegnene, kan man opphøye de i 10.

Da får vi <math>2*10^{lg}=10^{lg2}</math>

x=1

R1 2012 høst LØSNING

2013-05-28T10:24:19Z

Vektormannen: /* b) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===
$f(x)=(2x-1)^2$ => <math>f(x)=4x^-4x+1</math>

<math>f`(x)=8x-4</math>

=== b) ===

<math>g(x)=\sqrt{x^2-2x}</math>

Vi bruker kjerneregelen med <math>x^2 - 2x</math> som kjerne. Da har vi

<math>\begin{eqnarray*}
g(x) &=&\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x-2) \\
&=& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{eqnarray*}</math>

=== c) ===

Bruke kjerneregel.

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

Setter x=3 og løser med hensyn på k. Da får vi k=-1

=== b) ===

Svaret på polynomdivisjon = <math>x^2-1</math>

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

== Oppgave 3==

=== a) ===
Vendepunkt er det samme som den dobbeltderiverte.
<math>f(x)=x^3-3x^2-x+3</math>
<math>f`(x)=3x^2-6x-1</math>
<math>f``(x)=6x-6</math>

=== b) ===

== Oppgave 4==

=== a) ===

Det eleven har gjort feil er at han ikke har løst opp parentesen før han stryker på begge sider, noe som ikke er lov. Her må du først løse opp parentesen.

=== b) ===

For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$

$(x-1)(x-3)=x-1$

<math>x^2-4x+3=x-1</math> => <math>x^2-5x+4=0</math>, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$

For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi.
$f(4)=(4-1)(4-3)$
$f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$

$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.

Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

<math>3^{4x}+7=34</math>
<math>3^{4x}=27</math>

For å løse opp potensene, så må man bruke logaritme.

<math>lg3^{4x}=lg27</math>, så kan man flytte bed 4x. da står man igjen med; 4xlg3=lg27, så deler man på lg 3 på begge sider for å få x alene. Da får vi 4x=3

<math>x=\frac{3}{4}</math>

=== b) ===

lgx+lg(x-1)=lg2, her må vi løse opp parentesen først.

lgx+lgx-lg1=lg2, vi vet at lg1=0. => 2lgx=lg2. For å fjerne logaritmetegnene, kan man opphøye de i 10.

Da får vi <math>2*10^{lg}=10^{lg2}</math>

x=1

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T12:04:37Z

Vektormannen: /* c) */

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/S2/S2_V13.pdf Oppgaven som pdf]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===

Benytter produktregelen:

<math>f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})^\prime = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x).</math>

===b)===

Her bruker vi brøkregelen:

<math>\begin{eqnarray*}
g^\prime(x) &=& \frac{(x-1)^\prime (x^2 - 3) - (x-1)(x^2-3)^\prime}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 3) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2 - 3)^2}\\
&=& \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 2x - 3}{(x^2 - 3)^2} = -\frac{x^2 - 2x + 3}{(x^2 - 3)^2}
\end{eqnarray*}.</math>

==Oppgave 2==

I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen <math>p(x) : (x-a)</math> går opp dersom <math>p(a) = 0</math>.

===a)===

Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at

<math>3^2 - 2 \cdot 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ a = -3.</math>

===b)===

Her må <math>x-b</math> være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi <math>x^2 - 3x - 4</math>, f.eks. med ABC-formelen, får vi at

<math>x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4).</math>

Da må <math>x-b = x+1</math> eller <math>x-b = x-4</math>, som gir at <math>b = -1</math> eller <math>b = 4</math>.
En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn <math>b</math> i polynomet <math>x^2 - 3x - 4</math>, så får vi 0. Da får vi:

<math>b^2 - 3b - 4 = 0,</math>

og løser vi denne får vi de samme verdiene for <math>b</math>.

==Oppgave 3==

Denne rekken har formen

<math>a_1 + a_2 + ... = 11 \cdot (-0.1)^0 + 11 \cdot (-0.1)^2 + 11 \cdot (-0.1)^3 + ...</math>

Kvotienten til rekken er <math>k = -0.1</math>. Siden kvotienten er mellom -1 og 1 (har absoluttverdi mindre enn 1), så konvergerer rekka. Summen av de <math>n</math> første leddene er, ved å bruke sumformelen, gitt ved

<math>\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k-1} = 11 \cdot \frac{(-0.1)^n - 1}{-1.1} = 11 \cdot \frac{1 - (-0.1)^n}{1.1} = 10 \cdot (1 - (-0.1)^n).</math>
(I det siste leddet ble 11 delt på 1.1, som blir 10.)

Lar vi antall ledd gå mot uendelig er summen gitt ved

<math>\displaystyle S = a_1 \cdot \frac{1}{1-k} = 11 \cdot \frac{1}{1.1} = 10.</math>

==Oppgave 4==

Her kan vi velge mellom innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Viser innsettingsmetoden her, da det virker som den er mest utbredt.

Fra den første ligningen har vi at

<math>x = 13 + z - y.</math>

Setter vi dette inn i de to neste ligningene får vi

'''(1)''' <math>2(13 + z - y) + y + z = 27 \ \Leftrightarrow \ 26 + 3z - y = 27 \ \Leftrightarrow \ 3z - y = 1.</math>

og

'''(2)''' <math>(13 + z - y) - 3y - 2z = -9 \ \Leftrightarrow \ 13 - z - 4y = -9 \ \Leftrightarrow \ 4y + z = 22.</math>

Disse to ligningene har da kun to ukjente, <math>x</math> og <math>y</math>, og da kan vi gjenta prosessen for å finne dem. I fra '''(1)''' får vi at <math>y = 3z - 1</math>. Setter vi det inn i '''(2)''' får vi

<math>4(3z - 1) + z = 22 \ \Leftrightarrow \ 13z = 26 \ \Leftrightarrow \ z = 2.</math>

Da er <math>y = 3z - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5</math> og <math>x = 13 + z - y = 13 + 2 - 5 = 10</math>. Løsningene er altså <math>x = 10, \ y = 5, \ z = 2</math>.

==Oppgave 5==

===a)===

<math>f^\prime(x) = 3x^2 - 12x + 9</math>

Vi faktoriserer <math>f`^\prime(x)</math> (ved å f.eks. benytte andregradsformelen til å finne nullpunkter) og får:

<math>f^\prime(x) = 3(x-1)(x-3).</math>

Da er <math>f^\prime(x) = 0</math> når <math>x = 1</math> eller <math>x = 3</math>. Tegner vi et fortegnsskjema ser vi at begge faktorer er negative frem til <math>x = 1</math>, så den deriverte er positiv og funksjonen dermed stigende for <math>x < 1</math>. Mellom <math>x = 1</math> og <math>x = 3</math> er fortegnene motsatte, slik at den deriverte blir negativ, og funksjonen altså avtagende. Situasjonen snur igjen for <math>x > 3</math>. Til sammen forteller dette oss at <math>x = 1</math> er et topp-punkt og <math>x = 3</math> er et bunnpunkt.

===b)===

<math>f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x-2).</math>

<math>f^{\prime \prime}(x)</math> er lik <math>0</math> og skifter fortegn i <math>x = 2</math>. Dermed må <math>x = 2</math> være et vendepunkt.

===c) ===

Ingen skisse for øyeblikket.

==Oppgave 6==

===a)===

Total sannsynlighet er 1, altså må summen av <math>P(X = x)</math> for alle verdier av <math>x</math> være lik 1. Det gir oss:

<math>2p + p + 3p + 0.3 + p = 1 \ \Leftrightarrow \ 7p = 1 - 0.3 = 0.7 \ \Leftrightarrow \ p = 0.1.</math>

===b)===

Forventningsverdien <math>E(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*}
E(X) &=& x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + ... + x_5 P(X = x_5)\\
&=& 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 3\cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 = 2.
\end{eqnarray*}</math>

Forventningsverdien for X er altså <math>X = 2</math>.

Variansen <math>Var(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*}
Var(X) &=& (x_1 - E(X))^2 P(X = x_1) + (x_2 - E(X))^2 P(X = x_2) + ... + (x_5 - E(X))^2 P(X = x_5)\\
&=& (0 - 2)^2 \cdot 0.2 + (1 - 2)^2 \cdot 0.1 + (2 - 2)^2 \cdot 0.3 + (3 - 2)^2 \cdot 0.3 + (4 - 2)^2 \cdot 0.1\\
&=& 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.6
\end{eqnarray*}</math>.

==Oppgave 7==

===a)===

Forventningsverdiene finner vi i topp-punktene til normalfordelingene. Det vil si at <math>X_1</math> og <math>X_2</math> svarer til (3) eller (4), siden disse har forventingsverdi 5, mens <math>X_3</math> og <math>X_4</math> svarer til (1) eller (2), siden disse har forventningsverdi 10.

Videre forteller standardavviket noe om hvor utspredt fordelingen er. Mindre standardavvik betyr mindre spredning. Dermed må <math>X_1</math> ha grafen (4), <math>X_2</math> ha grafen (3), <math>X_3</math> ha grafen (2) og <math>X_4</math> ha grafen (1).

===b)===

Sannsynligheten <math>P(7 < X < 14)</math> er lik arealet under kurven mellom <math>x = 7</math> og <math>x = 14</math>. Det totale arealet er alltid 1. Vi må se på hver av (1), (2), (3) og (4) og se om det er mulig at <math>P(7 < X < 14) = 0.75</math> for hver av dem.

'''(1)''': Fordelingen er tilnærmet 0 ved <math>x = 7</math> og ved <math>x = 14</math>. Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må <math>P(7 < X_1 < 14) \approx 1 > 0.75</math>.

'''(3)''': Vi ser at området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> dekker under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_3 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

'''(4)''': Også her dekker området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_4 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

Med <math>x = E(p)</math> har vi at

<math>x = 6000 - 4p</math>

Ved etterspørsel <math>E(p)</math> er inntekten gitt ved <math>I(p) = pE(p) = px</math>. Fra uttrykket for <math>x</math> ovenfor finner vi at

<math>\displaystyle p = \frac{6000 - x}{4} = 1500 - \frac{x}{4}.</math>

Da er

<math>\displaystyle I(x) = px = \left(1500 - \frac{x}{4}\right) x = 1500x - \frac{x^2}{4},</math>

og

<math>I^\prime(x) = 1500 - 0.5x.</math>

===b)===

Overskuddet er <math>I(x) - K(x)</math>, som er størst dersom den deriverte er 0 og skifter fortegn fra positivt til negativt. Vi har at

<math>(I(x) - K(x))^\prime = I^\prime(x) - K^\prime(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ I^\prime(x) = K^\prime(x),</math>

dvs. at overskuddet er størst når grenseinntekten (som vi allerede har funnet et uttrykk for) er lik grensekostnaden

<math>K^\prime(x) = 0.04x + 20.</math>

Det gir oss

<math>\begin{eqnarray*}
I^\prime(x) &=& K^\prime(x)\\
1500 - 0.5x &=& 0.04x + 20\\
0.54x &=& 1480\\
x &=& 2740.7\end{eqnarray*}</math>

Det må altså selges <math>x = 2740</math> enheter for å oppnå maksimalt overskudd. Ved å bruke sammenhengen mellom pris <math>p</math> og antall enheter <math>x</math> finner vi da at prisen per enhet er

<math>\displaystyle p = 1500 - \frac{x}{4} = 1500 - \frac{2740}{4} = 685</math>.

===c)===

Bedriften går i balanse når overskuddet er lik 0, med andre ord når inntektene og kostnadene er like store. Setter vi opp dette får vi

<math>\begin{eqnarray*}
I(x) &=& K(x)\\
1500x - 0.25x^2 &=& 0.02x^2 + 20x + 550000\\
0.27x^2 - 1480x + 550000 &=& 0\end{eqnarray*}</math>

Løser vi denne ligningen får vi at <math>x = 401</math> eller <math>x = 5080</math>. Større antall solgte enheter gir lavere pris, altså vil den minste prisen være

<math>p = 1500 - 0.25x = 1500 - 0.25 \cdot 5080 = 230</math>.

==Oppgave 2==

===a)===

2012 er 6 år etter 2006, altså må vi sette inn <math>x = 6</math> i funksjonen:

<math>\displaystyle f(6) = \frac{333}{1+1.45e^{-0.23 \cdot 6}} = 244</math>.

===b)===

Her kommer metoden an på hvilket digitalt verktøy man benytter. I GeoGebra kan punktene legges inn, f.eks. med navn A, B, C, D, E, F og G, og deretter kan kommandoen <tt>fitLogistic[A,B,C,D,E,F,G]</tt> benyttes. Vi får da funksjonen

<math>\displaystyle g(x) = \frac{317.17}{1+1.35e^{-0.25x}}.</math>

===c)===

Når <math>x</math> blir større og større vil <math>e^{-0.23x}</math> og <math>e^{-0.25x}</math> gå mot 0. Vi har da at

<math>\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{333}{1 + 1.45 \cdot 0} = 333, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{317.17}{1 + 1.35 \cdot 0} = 317.17</math>.

I det lange løp vil altså firma A selge flest enheter per år.

===d)===

Arealet under grafene til <math>f</math> og <math>g</math> mellom to punkter gir oss det modellene anslår til å være antall solgte enheter i tidsrommet mellom de to punktene. Her må altså finne araelet under kurvene til <math>f</math> og <math>g</math> fra <math>x = 0</math> til <math>x = 9</math>. Dette gjøres med digitalt verktøy. I GeoGebra må de to funksjonene legges inn, og deretter benyttes kommandoene <tt>integral[f, 0, 9]</tt> og <tt>integral[g, 0, 9]</tt> til å finne arealene. Man får da

<math>\int_0^9 f(x) dx = 1942.9</math> og <math>\int_0^9 g(x) dx = 1933.94</math>,

altså er antall solgte enheter henholdsvis 1943 for firma A og 1934 for firma B.

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T11:14:01Z

Vektormannen: /* c) */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T11:13:40Z

Vektormannen: /* DEL TO */

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/S2/S2_V13.pdf Oppgaven som pdf]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===

Benytter produktregelen:

<math>f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})^\prime = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x).</math>

===b)===

Her bruker vi brøkregelen:

<math>\begin{eqnarray*}
g^\prime(x) &=& \frac{(x-1)^\prime (x^2 - 3) - (x-1)(x^2-3)^\prime}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 3) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2 - 3)^2}\\
&=& \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 2x - 3}{(x^2 - 3)^2} = -\frac{x^2 - 2x + 3}{(x^2 - 3)^2}
\end{eqnarray*}.</math>

==Oppgave 2==

I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen <math>p(x) : (x-a)</math> går opp dersom <math>p(a) = 0</math>.

===a)===

Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at

<math>3^2 - 2 \cdot 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ a = -3.</math>

===b)===

Her må <math>x-b</math> være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi <math>x^2 - 3x - 4</math>, f.eks. med ABC-formelen, får vi at

<math>x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4).</math>

Da må <math>x-b = x+1</math> eller <math>x-b = x-4</math>, som gir at <math>b = -1</math> eller <math>b = 4</math>.
En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn <math>b</math> i polynomet <math>x^2 - 3x - 4</math>, så får vi 0. Da får vi:

<math>b^2 - 3b - 4 = 0,</math>

og løser vi denne får vi de samme verdiene for <math>b</math>.

==Oppgave 3==

Denne rekken har formen

<math>a_1 + a_2 + ... = 11 \cdot (-0.1)^0 + 11 \cdot (-0.1)^2 + 11 \cdot (-0.1)^3 + ...</math>

Kvotienten til rekken er <math>k = -0.1</math>. Siden kvotienten er mellom -1 og 1 (har absoluttverdi mindre enn 1), så konvergerer rekka. Summen av de <math>n</math> første leddene er, ved å bruke sumformelen, gitt ved

<math>\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k-1} = 11 \cdot \frac{(-0.1)^n - 1}{-1.1} = 11 \cdot \frac{1 - (-0.1)^n}{1.1} = 10 \cdot (1 - (-0.1)^n).</math>
(I det siste leddet ble 11 delt på 1.1, som blir 10.)

Lar vi antall ledd gå mot uendelig er summen gitt ved

<math>\displaystyle S = a_1 \cdot \frac{1}{1-k} = 11 \cdot \frac{1}{1.1} = 10.</math>

==Oppgave 4==

Her kan vi velge mellom innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Viser innsettingsmetoden her, da det virker som den er mest utbredt.

Fra den første ligningen har vi at

<math>x = 13 + z - y.</math>

Setter vi dette inn i de to neste ligningene får vi

'''(1)''' <math>2(13 + z - y) + y + z = 27 \ \Leftrightarrow \ 26 + 3z - y = 27 \ \Leftrightarrow \ 3z - y = 1.</math>

og

'''(2)''' <math>(13 + z - y) - 3y - 2z = -9 \ \Leftrightarrow \ 13 - z - 4y = -9 \ \Leftrightarrow \ 4y + z = 22.</math>

Disse to ligningene har da kun to ukjente, <math>x</math> og <math>y</math>, og da kan vi gjenta prosessen for å finne dem. I fra '''(1)''' får vi at <math>y = 3z - 1</math>. Setter vi det inn i '''(2)''' får vi

<math>4(3z - 1) + z = 22 \ \Leftrightarrow \ 13z = 26 \ \Leftrightarrow \ z = 2.</math>

Da er <math>y = 3z - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5</math> og <math>x = 13 + z - y = 13 + 2 - 5 = 10</math>. Løsningene er altså <math>x = 10, \ y = 5, \ z = 2</math>.

==Oppgave 5==

===a)===

<math>f^\prime(x) = 3x^2 - 12x + 9</math>

Vi faktoriserer <math>f`^\prime(x)</math> (ved å f.eks. benytte andregradsformelen til å finne nullpunkter) og får:

<math>f^\prime(x) = 3(x-1)(x-3).</math>

Da er <math>f^\prime(x) = 0</math> når <math>x = 1</math> eller <math>x = 3</math>. Tegner vi et fortegnsskjema ser vi at begge faktorer er negative frem til <math>x = 1</math>, så den deriverte er positiv og funksjonen dermed stigende for <math>x < 1</math>. Mellom <math>x = 1</math> og <math>x = 3</math> er fortegnene motsatte, slik at den deriverte blir negativ, og funksjonen altså avtagende. Situasjonen snur igjen for <math>x > 3</math>. Til sammen forteller dette oss at <math>x = 1</math> er et topp-punkt og <math>x = 3</math> er et bunnpunkt.

===b)===

<math>f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x-2).</math>

<math>f^{\prime \prime}(x)</math> er lik <math>0</math> og skifter fortegn i <math>x = 2</math>. Dermed må <math>x = 2</math> være et vendepunkt.

===c) ===

Ingen skisse for øyeblikket.

==Oppgave 6==

===a)===

Total sannsynlighet er 1, altså må summen av <math>P(X = x)</math> for alle verdier av <math>x</math> være lik 1. Det gir oss:

<math>2p + p + 3p + 0.3 + p = 1 \ \Leftrightarrow \ 7p = 1 - 0.3 = 0.7 \ \Leftrightarrow \ p = 0.1.</math>

===b)===

Forventningsverdien <math>E(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*}
E(X) &=& x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + ... + x_5 P(X = x_5)\\
&=& 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 3\cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 = 2.
\end{eqnarray*}</math>

Forventningsverdien for X er altså <math>X = 2</math>.

Variansen <math>Var(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*}
Var(X) &=& (x_1 - E(X))^2 P(X = x_1) + (x_2 - E(X))^2 P(X = x_2) + ... + (x_5 - E(X))^2 P(X = x_5)\\
&=& (0 - 2)^2 \cdot 0.2 + (1 - 2)^2 \cdot 0.1 + (2 - 2)^2 \cdot 0.3 + (3 - 2)^2 \cdot 0.3 + (4 - 2)^2 \cdot 0.1\\
&=& 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.6
\end{eqnarray*}</math>.

==Oppgave 7==

===a)===

Forventningsverdiene finner vi i topp-punktene til normalfordelingene. Det vil si at <math>X_1</math> og <math>X_2</math> svarer til (3) eller (4), siden disse har forventingsverdi 5, mens <math>X_3</math> og <math>X_4</math> svarer til (1) eller (2), siden disse har forventningsverdi 10.

Videre forteller standardavviket noe om hvor utspredt fordelingen er. Mindre standardavvik betyr mindre spredning. Dermed må <math>X_1</math> ha grafen (4), <math>X_2</math> ha grafen (3), <math>X_3</math> ha grafen (2) og <math>X_4</math> ha grafen (1).

===b)===

Sannsynligheten <math>P(7 < X < 14)</math> er lik arealet under kurven mellom <math>x = 7</math> og <math>x = 14</math>. Det totale arealet er alltid 1. Vi må se på hver av (1), (2), (3) og (4) og se om det er mulig at <math>P(7 < X < 14) = 0.75</math> for hver av dem.

'''(1)''': Fordelingen er tilnærmet 0 ved <math>x = 7</math> og ved <math>x = 14</math>. Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må <math>P(7 < X_1 < 14) \approx 1 > 0.75</math>.

'''(3)''': Vi ser at området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> dekker under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_3 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

'''(4)''': Også her dekker området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_4 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

Med <math>x = E(p)</math> har vi at

<math>x = 6000 - 4p</math>

Ved etterspørsel <math>E(p)</math> er inntekten gitt ved <math>I(p) = pE(p) = px</math>. Fra uttrykket for <math>x</math> ovenfor finner vi at

<math>\displaystyle p = \frac{6000 - x}{4} = 1500 - \frac{x}{4}.</math>

Da er

<math>\displaystyle I(x) = px = \left(1500 - \frac{x}{4}\right) x = 1500x - \frac{x^2}{4},</math>

og

<math>I^\prime(x) = 1500 - 0.5x.</math>

===b)===

Overskuddet er <math>I(x) - K(x)</math>, som er størst dersom den deriverte er 0 og skifter fortegn fra positivt til negativt. Vi har at

<math>(I(x) - K(x))^\prime = I^\prime(x) - K^\prime(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ I^\prime(x) = K^\prime(x),</math>

dvs. at overskuddet er størst når grenseinntekten (som vi allerede har funnet et uttrykk for) er lik grensekostnaden

<math>K^\prime(x) = 0.04x + 20.</math>

Det gir oss

<math>\begin{eqnarray*}
I^\prime(x) &=& K^\prime(x)\\
1500 - 0.5x &=& 0.04x + 20\\
0.54x &=& 1480\\
x &=& 2740.7\end{eqnarray*}</math>

Det må altså selges <math>x = 2740</math> enheter for å oppnå maksimalt overskudd. Ved å bruke sammenhengen mellom pris <math>p</math> og antall enheter <math>x</math> finner vi da at prisen per enhet er

<math>\displaystyle p = 1500 - \frac{x}{4} = 1500 - \frac{2740}{4} = 685</math>.

===c)===

Bedriften går i balanse når overskuddet er lik 0, med andre ord når inntektene og kostnadene er like store. Setter vi opp dette får vi

<math>\begin{eqnarray*}
I(x) &=& K(x)\\
1500x - 0.25x^2 &=& 0.02x^2 + 20x + 550000\\
0.27x^2 - 1480x + 550000 &=& 0\end{eqnarray*}

Løser vi denne ligningen får vi at <math>x = 401</math> eller <math>x = 5080</math>. Større antall solgte enheter gir lavere pris, altså vil den minste prisen være

<math>p = 1500 - 0.25x = 1500 - 0.25 \cdot 5080 = 230</math>.

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T10:23:18Z

Vektormannen: /* b) */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T10:22:36Z

Vektormannen: /* b) */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:53:11Z

Vektormannen: /* b) */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:53:00Z

Vektormannen: /* Oppgave 6 */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:52:35Z

Vektormannen: /* b) */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:35:16Z

Vektormannen: /* a) */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:33:10Z

Vektormannen: /* Oppgave 3 */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:09:58Z

Vektormannen: /* Oppgave 3 */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:09:29Z

Vektormannen: /* Oppgave 3 */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T09:08:56Z

Vektormannen: /* Oppgave 2. */

S2 2013 vår LØSNING

2013-05-22T08:59:11Z

Vektormannen: -

R1 2012 vår LØSNING

2013-04-18T19:14:18Z

Vektormannen: /* e) */

==Andre løsninger==
[http://udl.no/matematikk/eksamen-r1-h12 Noen oppgaver løst som videoer fra UDL.no]

== DEL EN ==

== Oppgave 1: ==

=== a) ===

==== 1) ====

<math>f(x) = 5x^3+x-4 \\ f'(x) = 3 \cdot 5x^2 + 1 \\ f'(x) = 15x^2 + 1 </math>

==== 2) ====
<math>g(x) = 5e^{3x} \\ u = 3x \wedge u' = 3 \\ g'(x) = 5e^u \cdot u' \\ g'(x) = 15e^{3x}</math>

=== b) ===
<math> 2\ln(\frac{a^2}{b}) + \ln (a \cdot b) - 3\ln a = \\ 2\ln a^2 - 2\ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = \\4\ln a - 2\ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = \\ 2\ln a - \ln b </math>

=== c) ===

<math> f(x)= x^3-3x</math>
==== 1) ====
Nullpunkter:
<math>x^3-3x = x(x^2-3)= x(x- \sqrt 3 )(x + \sqrt 3) \\x = - \sqrt3 \quad \vee \quad x = 0 \quad \vee \quad x= \sqrt3</math>
==== 2) ====
<math>f'(x) = 3x^2-3 \\f'(x) = 0 \\ 3(x^2-1) = 0 \\ x = -1 \quad \vee \quad x = 1 \\ f(-1)= 2 \quad \vee \quad f(1) = -2</math>
Toppunkt (-1,2)
Bunnpunkt (1,-2)

==== 3) ====
[[Fil:2012-r1-1c.png]]

== d) ==
<math>P(x) = x^3-3x^2-x+3 \\ P(3) = 27-27-3+3 =0 \\ \\ P(x):(x-3) \\ (x^3-3x^2-x+3): (x-3) =x^2-1\\-(x^3-3x^2)\\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad -(-x+3) \\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad 0</math>
Dette gir følgende løsninger:
x = - 1 eller x = 1 eller x = 3.

== e) ==
<math>\vec r(t) = [3,0t ,-4,9t^2] \\ \vec v(t) = \vec r^\prime(t) = [3,0 , -9,8t] \\ \vec a(t) = \vec v^\prime(t) = \vec r^{\prime \prime}(t) = [0 , -9,8] </math>

== Oppgave 2: ==

=== a) ===

=== b) ===
Skalarprodukt:
<math>[1,a_1]\cdot[1,a_2] = 0 \\ 1+ a_1 \cdot a_2 = 0 \\ a_1 \cdot a_2 =-1</math>
=== c) ===
<math>y= - \frac 12x+5</math>

=== d) ===
[[Fil:2012-r1-2d.png]]

== Oppgave 3: ==

=== a) ===
<math> f(x)= \frac1x \\ f'(x) = - \frac {1}{x^2} \\ f'(a) = - \frac {1}{a^2} \\ Rett \quad linje: \quad y=ax+b \\ y= - \frac{1}{a^2}x+ b </math>
Finner b ved å bruke punktet (a, f(a)):
<math>y = - \frac{1}{a^2}x+ b \\ \frac 1a = - \frac{1}{a^2}a+ b \\ b= \frac 2a </math> Som gir likningen
<math>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</math>

=== b) ===
 <math>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</math> 
A: <math> y=0 \\ 0 = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a \\ \frac{x}{a^2} = \frac 2a \\ x=2a</math>
 Koordinater A: (2a,0)
B: <math> \frac 2a </math>
Koordinater B:<math>( \frac 2a, 0)</math>

=== c) ===
Arealet av trekanten avgrenset av tangenten og aksene er:
<math> A= \frac{2a \cdot \frac 2a}{2} = 2</math>
Man observerer at arealet er uavhengig av x.

== DEL TO ==

== Oppgave 4: ==
== Oppgave 5: ==
<math> \vec{AB}=[2,-2]</math>
Lengde av radius:
<math>r= \frac 12 | \vec{AB}| = \frac 12 \sqrt8 = \sqrt2</math>

Sentrum S, av sirkel:
<math>\vec{OS}= \vec{OA} + \frac 12 \vec{AB} = [2,4]+ \frac 12 [2,-2] = [3,3] </math>

Sentrum er i punktet (3,3). Et vilkårlig punkt på sirkelperiferien er (x,y). Vi får:
<math> (x-3)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt 2)^2 \\ (x-3)^2 + (y-3)^2 =2 </math>

== Oppgave 6: ==

=== a) ===
<math>\vec{EF} = [5,-5]</math>Bruker [1, -1] som rettningsvektor. Parameterfremmstilling:

<math> l: \left [ x = 2 +t \\ y = 4-t \right]</math>

=== b) ===
Skjæring med x- akse: y = 0 gir t = 4 som gir x = 6. Skjæring i (6,0)
Skjæring med y- akse: x = 0 gir t = -2 som gir y = 6. skjæring i (0, 6)

=== c) ===
<math> [2+t-6, 4-t-3] \cdot [1,-1] =0 \\ [t-4, 1-t] \cdot [1,-1] =0 \\ t-4-1+t = 0 \\ t = \frac 52 \\ x = \frac 92 \wedge y = \frac 32</math>

Avstand mello G og l:
<math>\sqrt{( \frac{12}{2}- \frac{9}{2})^2 + (\frac{6}{2}- \frac{3}{2})^2} = \frac{3 \sqrt2}{2}</math>

== Oppgave 7: ==

=== a) ===
<math>f(x) = \frac 52 e^{- \frac x2} \\ A = g(x) = \frac{f(x) \cdot x}{2} = \frac {\frac 52 e^{- \frac x2} \cdot x}{2} = \frac 54x e^{- \frac x2}</math>
=== b) ===
<math> g'(x)= \frac 54 e^{- \frac x2} + \frac 54 x e^{- \frac x2}\cdot( - \frac 12) = e^{- \frac x2}( \frac 54 - \frac{5x}{8}) \\ g'(x) = 0 \\ x = 2</math> Inspeksjon viser at g har et maksimum for x=2.

<math>g(2)= \frac{5 \cdot 2}{4} e^{-1} = \frac{5}{2e}</math>

=== c) ===
[[Fil:2012-r1-7c.png]]

== Oppgave 8: ==
[[Fil:2012-r1-8.png]]

=== a) ===
Når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. En sentralvinkel har samme gradetall som sirkelbuen den spenner over.
Vinkelen alfa er periferivinkel og spenne over samme bue som sentralvinkelen x. Av det følger:
<math>\alpha = \frac x2</math>

=== b) ===
Periferivinkelen 180 grader minus beta, spenner over sirkelbuen DAB. Den sentralvinkel som spenner over samme bue er 360 grader minus x. Fra setningen over får man da:
<math>180^{\circ} - \beta = \frac 12 (360^{\circ} - x)</math>

=== c) ===

<math> 180^{\circ} - \beta = \frac 12(360^{\circ} - x) \\ 360^{\circ} - 2 \beta = 360^{\circ} - x \\ x= 2 \beta </math>
 Fra a har man at x er lik to alfa, hvilket betyr at alfa er lik beta.

<math>x = 2 \beta \quad \wedge \quad \alpha = \frac x2 \\ 2 \alpha = 2 \beta \\ \alpha = \beta</math>

== Oppgave 9: ==

=== a) ===

[[Fil:2012-r1-9a.png]]

=== b) ===

g(x)= 2(x + 2)(x - 1)(x-3)

=== c) ===
<math>h(x)= 0,5(x+2)(x-2)(x-2)= 0,5(x+2)(x-2)^2</math>

== Oppgave 10: ==

=== a) ===
AC = OB = 3

=== b) ===
Skravert areale:
<math>\frac 14 \pi r^2 - \frac{3sqrt2}{2} = \frac 94 \pi - \frac{18}{4} = \frac 94(\pi-2)</math>

== Oppgave 11: ==

=== a) ===
A = det regner
B = det er meldt regn
<math>P(A)= 0,08 \\
P( \overline{A}) = 1-P(A)= 0,92 </math>

=== b) ===
<math>P(B|A)=0,90 \\ P(B| \overline{A}) = 0,10 \\P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A}) = 0,08 \cdot 0,90 + 0,92 \cdot 0,10 = 0,164</math>

=== c) ===
<math>P( \overline{A}|B) = \frac{P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A})}{P(B)} = \frac{0,92 \cdot 0,10}{0,164} = 0,56</math>

R1 2012 vår LØSNING

2013-04-18T19:11:05Z

Vektormannen: /* d) */

==Andre løsninger==
[http://udl.no/matematikk/eksamen-r1-h12 Noen oppgaver løst som videoer fra UDL.no]

== DEL EN ==

== Oppgave 1: ==

=== a) ===

==== 1) ====

<math>f(x) = 5x^3+x-4 \\ f'(x) = 3 \cdot 5x^2 + 1 \\ f'(x) = 15x^2 + 1 </math>

==== 2) ====
<math>g(x) = 5e^{3x} \\ u = 3x \wedge u' = 3 \\ g'(x) = 5e^u \cdot u' \\ g'(x) = 15e^{3x}</math>

=== b) ===
<math> 2\ln(\frac{a^2}{b}) + \ln (a \cdot b) - 3\ln a = \\ 2\ln a^2 - 2\ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = \\4\ln a - 2\ln b + \ln a + \ln b - 3 \ln a = \\ 2\ln a - \ln b </math>

=== c) ===

<math> f(x)= x^3-3x</math>
==== 1) ====
Nullpunkter:
<math>x^3-3x = x(x^2-3)= x(x- \sqrt 3 )(x + \sqrt 3) \\x = - \sqrt3 \quad \vee \quad x = 0 \quad \vee \quad x= \sqrt3</math>
==== 2) ====
<math>f'(x) = 3x^2-3 \\f'(x) = 0 \\ 3(x^2-1) = 0 \\ x = -1 \quad \vee \quad x = 1 \\ f(-1)= 2 \quad \vee \quad f(1) = -2</math>
Toppunkt (-1,2)
Bunnpunkt (1,-2)

==== 3) ====
[[Fil:2012-r1-1c.png]]

== d) ==
<math>P(x) = x^3-3x^2-x+3 \\ P(3) = 27-27-3+3 =0 \\ \\ P(x):(x-3) \\ (x^3-3x^2-x+3): (x-3) =x^2-1\\-(x^3-3x^2)\\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad -(-x+3) \\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad 0</math>
Dette gir følgende løsninger:
x = - 1 eller x = 1 eller x = 3.

== e) ==
<math>\vec r(t) = [3,0t ,-4,9t^2] \\ \vec v(t) = \vec r'(t) = [3,0 , -9,8t] \\ \vec a(t) = \vec v'(t) = \vec r''(t) = [0 , -9,8] </math>

== Oppgave 2: ==

=== a) ===

=== b) ===
Skalarprodukt:
<math>[1,a_1]\cdot[1,a_2] = 0 \\ 1+ a_1 \cdot a_2 = 0 \\ a_1 \cdot a_2 =-1</math>
=== c) ===
<math>y= - \frac 12x+5</math>

=== d) ===
[[Fil:2012-r1-2d.png]]

== Oppgave 3: ==

=== a) ===
<math> f(x)= \frac1x \\ f'(x) = - \frac {1}{x^2} \\ f'(a) = - \frac {1}{a^2} \\ Rett \quad linje: \quad y=ax+b \\ y= - \frac{1}{a^2}x+ b </math>
Finner b ved å bruke punktet (a, f(a)):
<math>y = - \frac{1}{a^2}x+ b \\ \frac 1a = - \frac{1}{a^2}a+ b \\ b= \frac 2a </math> Som gir likningen
<math>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</math>

=== b) ===
 <math>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</math> 
A: <math> y=0 \\ 0 = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a \\ \frac{x}{a^2} = \frac 2a \\ x=2a</math>
 Koordinater A: (2a,0)
B: <math> \frac 2a </math>
Koordinater B:<math>( \frac 2a, 0)</math>

=== c) ===
Arealet av trekanten avgrenset av tangenten og aksene er:
<math> A= \frac{2a \cdot \frac 2a}{2} = 2</math>
Man observerer at arealet er uavhengig av x.

== DEL TO ==

== Oppgave 4: ==
== Oppgave 5: ==
<math> \vec{AB}=[2,-2]</math>
Lengde av radius:
<math>r= \frac 12 | \vec{AB}| = \frac 12 \sqrt8 = \sqrt2</math>

Sentrum S, av sirkel:
<math>\vec{OS}= \vec{OA} + \frac 12 \vec{AB} = [2,4]+ \frac 12 [2,-2] = [3,3] </math>

Sentrum er i punktet (3,3). Et vilkårlig punkt på sirkelperiferien er (x,y). Vi får:
<math> (x-3)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt 2)^2 \\ (x-3)^2 + (y-3)^2 =2 </math>

== Oppgave 6: ==

=== a) ===
<math>\vec{EF} = [5,-5]</math>Bruker [1, -1] som rettningsvektor. Parameterfremmstilling:

<math> l: \left [ x = 2 +t \\ y = 4-t \right]</math>

=== b) ===
Skjæring med x- akse: y = 0 gir t = 4 som gir x = 6. Skjæring i (6,0)
Skjæring med y- akse: x = 0 gir t = -2 som gir y = 6. skjæring i (0, 6)

=== c) ===
<math> [2+t-6, 4-t-3] \cdot [1,-1] =0 \\ [t-4, 1-t] \cdot [1,-1] =0 \\ t-4-1+t = 0 \\ t = \frac 52 \\ x = \frac 92 \wedge y = \frac 32</math>

Avstand mello G og l:
<math>\sqrt{( \frac{12}{2}- \frac{9}{2})^2 + (\frac{6}{2}- \frac{3}{2})^2} = \frac{3 \sqrt2}{2}</math>

== Oppgave 7: ==

=== a) ===
<math>f(x) = \frac 52 e^{- \frac x2} \\ A = g(x) = \frac{f(x) \cdot x}{2} = \frac {\frac 52 e^{- \frac x2} \cdot x}{2} = \frac 54x e^{- \frac x2}</math>
=== b) ===
<math> g'(x)= \frac 54 e^{- \frac x2} + \frac 54 x e^{- \frac x2}\cdot( - \frac 12) = e^{- \frac x2}( \frac 54 - \frac{5x}{8}) \\ g'(x) = 0 \\ x = 2</math> Inspeksjon viser at g har et maksimum for x=2.

<math>g(2)= \frac{5 \cdot 2}{4} e^{-1} = \frac{5}{2e}</math>

=== c) ===
[[Fil:2012-r1-7c.png]]

== Oppgave 8: ==
[[Fil:2012-r1-8.png]]

=== a) ===
Når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. En sentralvinkel har samme gradetall som sirkelbuen den spenner over.
Vinkelen alfa er periferivinkel og spenne over samme bue som sentralvinkelen x. Av det følger:
<math>\alpha = \frac x2</math>

=== b) ===
Periferivinkelen 180 grader minus beta, spenner over sirkelbuen DAB. Den sentralvinkel som spenner over samme bue er 360 grader minus x. Fra setningen over får man da:
<math>180^{\circ} - \beta = \frac 12 (360^{\circ} - x)</math>

=== c) ===

<math> 180^{\circ} - \beta = \frac 12(360^{\circ} - x) \\ 360^{\circ} - 2 \beta = 360^{\circ} - x \\ x= 2 \beta </math>
 Fra a har man at x er lik to alfa, hvilket betyr at alfa er lik beta.

<math>x = 2 \beta \quad \wedge \quad \alpha = \frac x2 \\ 2 \alpha = 2 \beta \\ \alpha = \beta</math>

== Oppgave 9: ==

=== a) ===

[[Fil:2012-r1-9a.png]]

=== b) ===

g(x)= 2(x + 2)(x - 1)(x-3)

=== c) ===
<math>h(x)= 0,5(x+2)(x-2)(x-2)= 0,5(x+2)(x-2)^2</math>

== Oppgave 10: ==

=== a) ===
AC = OB = 3

=== b) ===
Skravert areale:
<math>\frac 14 \pi r^2 - \frac{3sqrt2}{2} = \frac 94 \pi - \frac{18}{4} = \frac 94(\pi-2)</math>

== Oppgave 11: ==

=== a) ===
A = det regner
B = det er meldt regn
<math>P(A)= 0,08 \\
P( \overline{A}) = 1-P(A)= 0,92 </math>

=== b) ===
<math>P(B|A)=0,90 \\ P(B| \overline{A}) = 0,10 \\P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A}) = 0,08 \cdot 0,90 + 0,92 \cdot 0,10 = 0,164</math>

=== c) ===
<math>P( \overline{A}|B) = \frac{P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A})}{P(B)} = \frac{0,92 \cdot 0,10}{0,164} = 0,56</math>

Største felles divisor og Euklids algoritme

2012-11-12T14:14:48Z

Vektormannen:

== Største felles divisor ==

Tallene 12 og 18 kan faktoriseres som <tex>12 = 2 \cdot 2 \cdot 2</tex> og <tex>18 = 2 \cdot 3 \cdot 3</tex>. Vi ser at begge tallene har 2 og 3 som faktorer. Produktet av dem, 6, er da også en faktor i tallene. Vi ser at 6 er den ''største'' faktoren de har felles, for faktoren som er til overs i 12 er 2, mens faktoren som er til overs i 18 er 3 -- så de har ingen andre felles faktorer. Vi ser da at 6 er ''største felles divisor'' mellom 12 og 18. Det er det største tallet vi kan dele både 12 og 18 på. Vi skriver dette som <tex>\text{gcd}(12,18) = 6</tex>. <tex>\text{gcd}</tex> er en engelsk forkortelse for ''"greatest common divisor"''.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Største felles divisor'''
: Dersom vi har to heltall <tex>a</tex> og <tex>b</tex> og <tex>n</tex> er det største tallet som er sånn at <tex>n | a</tex> og <tex>n | b</tex> så sier vi at <tex>n</tex> er ''største felles divisor'' mellom <tex>a</tex> og <tex>b</tex>, og vi skriver

::<tex>\text{gcd}(a,b) = n</tex>

: Noen norske bøker skriver i stedet <tex>\text{sff}(a,b)</tex> der sff er en forkortelse for ''"største felles faktor"'', mens andre skriver <tex>\text{sfd}(a,b)</tex> der sfd står for ''"største felles divisor"''.
:
</blockquote>

Når vi skal finne største felles divisor mellom to tall gjør vi slik som innledningsvis ovenfor. Vi faktoriserer hvert tall og ser hvilke faktorer som er felles mellom de to tallene. Produktet av alle faktorene som er felles vil da være største felles divisor.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
:'''Eksempel'''
: Finn <tex>\text{gcd}(14,84)</tex>.

: Vi starter med å faktorisere hvert tall. Vi får da:

::<tex>14 = 2 \cdot 7</tex>

::<tex>84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 6 \cdot 7 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7</tex>

: Vi ser at 2 og 7 er faktorer i begge tallene. Da må <tex>\text{gcd}(14,84) = 2 \cdot 7 = 14</tex>.
</blockquote>

For å regne ut største felles divisor trenger vi altså å faktorisere hvert tall. Dersom man skal finne største felles divisor til to ganske store tall, kan dette fort bli en utfordring. Under skal vi se på en ''algoritme'' som gjør det ganske enkelt for oss å finne største felles divisor uten å faktorisere. Først skal vi se på en viktig egenskap ved største felles divisor som gjør oss i stand til å forstå hvorfor algoritmen fungerer.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Største felles divisor'''
: Hvis <tex>a > b</tex> og <tex>r</tex> er resten vi får når vi deler <tex>a</tex> på <tex>b</tex> så er

::<tex>\text{gcd}(a,b) = \text{gcd}(b,r)</tex>.

:'''Bevis'''

: Vi har fra divisjonsalgoritmen at

:: <tex>a = bn + r</tex>, der <tex>n</tex> er et naturlig tall.

: La <tex>d = \text{gcd}(a,b)</tex>. Da er <tex>d | a</tex> og <tex>d | b</tex>, eller med andre ord kan vi finne to hele tall <tex>s</tex> og <tex>t</tex> slik at <tex>a = sd</tex> og <tex>b = td</tex>. Men da har vi at
:: <tex>sd = tdn + r \ \Leftrightarrow \ r = (s-nt)d</tex>,
: altså er <tex>d</tex> også en faktor i <tex>r</tex>. Da må <tex>d | \text{gcd}(b,r)</tex>. Nå gjenstår det å vise at <tex>d</tex> er den ''største'' felles faktoren mellom <tex>b</tex> og <tex>r</tex>. Vi kan gjøre det med et motsigelsesbevis. Anta at <tex>\text{gcd}(b,r) = dd^\prime</tex>, der <tex>d^\prime > 1</tex>. Vi antar altså at i tillegg til <tex>d</tex> har <tex>b</tex> og <tex>r</tex> også en faktor <tex>d^\prime</tex> felles. Nå ser vi hva det vil føre til. Vi har at
:: <tex>a = bn + r = s^\prime dd^\prime + t^\prime dd^\prime = (s^\prime + t^\prime)dd^\prime</tex>.
: Dette er umulig, for da må <tex>d d^\prime | a</tex>, slik at <tex>\text{gcd}(a,b) = d d^\prime</tex>. Det strider i mot vårt valg av at <tex>d = \text{gcd}(a,b)</tex>.
: Resultatet blir at <tex>d</tex> er største felles faktor mellom <tex>b</tex> og <tex>r</tex>, eller sagt med andre ord:
:: <tex>d = \text{gcd}(a,b) = \text{gcd}(b,r)</tex>.
</blockquote>

Nå kan vi bruke Euklids algoritme til å finne største felles faktor mellom to tall.

Primtall og Eratostenes' sil

2012-08-31T13:33:30Z

Vektormannen:

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Uendelig mange primtall'''

: Det finnes uendelig mange primtall.

:'''Bevis:'''
: Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <tex>k</tex> stykker. Da har vi primtallene <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>. Så ser vi på følgende tall:
::<tex>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</tex>,
: altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. Siden <tex>a</tex> er større enn alle primtallene, må <tex>a</tex> være et sammensatt tall. Da gir aritmetikkens fundamentalsetning at <tex>a</tex> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst to av primtallene <tex>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</tex> er faktorer i <tex>a</tex>. Men vi har at
::<tex>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</tex>
: Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <tex>p_i</tex> (der <tex>i</tex> er et tall mellom 1 og <tex>k</tex>) er en faktor i <tex>a</tex> og dette tallet også er en faktor i tallet <tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex> så kan vi faktorisere ut tallet <tex>p_i</tex> på venstre side. Men hvis <tex>p_i</tex> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <tex>k</tex> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!
</blockquote>

Beviset ovenfor regnes av mange som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og om primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg utover på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Eratostenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
: Dersom et tall <tex>n</tex> er sammensatt må minst én primfaktor være mindre eller lik <tex>\sqrt n</tex>.

:'''Bevis'''

: Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <tex>\sqrt n</tex>. Vi kan skrive <tex>n = ap</tex>, der <tex>p</tex> er en av primfaktorene og <tex>a</tex> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <tex>p \geq \sqrt n</tex> og <tex>a \geq \sqrt n</tex>. Da er
::<tex>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</tex>
: altså blir også produktet av faktorene i <tex>n</tex> større enn <tex>n</tex> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <tex>\sqrt n</tex>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <tex>n</tex> kalles ''Eratostenes' sil'' (kalles også ''Eratostenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Eratostenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Eratostenes' sil'''

:Skriv opp alle tall i fra 2 til <tex>n</tex>. Utfør så følgende steg, start med tallet <tex>k=2</tex>.
:* Stryk ut alle tall som går opp i <tex>k</tex> utenom <tex>k</tex> selv.
:* Se på neste tall etter <tex>k</tex> som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn <tex>\sqrt n</tex> er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

: Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <tex>n</tex>.
</blockquote>

Primtall og Eratostenes' sil

2012-08-31T13:32:28Z

Vektormannen:

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Uendelig mange primtall'''

: Det finnes uendelig mange primtall.

:'''Bevis:'''
: Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <tex>k</tex> stykker. Da har vi primtallene <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>. Så ser vi på følgende tall:
::<tex>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</tex>,
: altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. Siden <tex>a</tex> er større enn alle primtallene, må <tex>a</tex> være et sammensatt tall. Da gir aritmetikkens fundamentalsetning at <tex>a</tex> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst to av primtallene <tex>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</tex> er faktorer i <tex>a</tex>. Men vi har at
::<tex>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</tex>
: Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <tex>p_i</tex> (der <tex>i</tex> er et tall mellom 1 og <tex>k</tex>) er en faktor i <tex>a</tex> og dette tallet også er en faktor i tallet <tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex> så kan vi faktorisere ut tallet <tex>p_i</tex> på venstre side. Men hvis <tex>p_i</tex> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <tex>k</tex> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!
</blockquote>

Beviset ovenfor regnes av mange som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og om primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg utover på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Eratostenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom et tall <tex>n</tex> er sammensatt må minst én primfaktor være mindre eller lik <tex>\sqrt n</tex>.

:'''Bevis'''

: Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <tex>\sqrt n</tex>. Vi kan skrive <tex>n = ap</tex>, der <tex>p</tex> er en av primfaktorene og <tex>a</tex> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <tex>p \geq \sqrt n</tex> og <tex>a \geq \sqrt n</tex>. Da er
::<tex>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</tex>
: altså blir også produktet av faktorene i <tex>n</tex> større enn <tex>n</tex> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <tex>\sqrt n</tex>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <tex>n</tex> kalles ''Eratostenes' sil'' (kalles også ''Eratostenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Eratostenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Eratostenes' sil'''

:Skriv opp alle tall i fra 2 til <tex>n</tex>. Utfør så følgende steg, start med tallet <tex>k=2</tex>.
:* Stryk ut alle tall som går opp i <tex>k</tex> utenom <tex>k</tex> selv.
:* Se på neste tall etter <tex>k</tex> som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn <tex>\sqrt n</tex> er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

: Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <tex>n</tex>.
</blockquote>

Delbarhet og faktorisering

2012-08-31T13:20:44Z

Vektormannen: /* Faktorer og delelighet */

Det kanskje viktigste grunnlaget i tallteorien er hvordan de hele tallene kan ''faktoriseres'' og uttrykkes som produkter av primtall. Mange av de største resultatene i tallteoripensumet i Matematikk X kommer blant annet i fra det vi her skal finne ut om faktorisering og primtall.

== Faktorer og delelighet ==

Når vi bare arbeider med hele tall, er det ikke alltid vi kan dele et tall på et annet og få et nytt helt tall. Hvis vi for eksempel har en klasse med 23 elever, er det ikke så lett å dele denne i to like store grupper -- tallet 23 ''er ikke delelig på 2''.

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a | b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''

: Dersom heltallet <tex>a</tex> er en faktor i heltallet <tex>b</tex> skriver vi dette som <tex>a | b</tex>, og det betyr akkurat det samme som:
:* <tex>a</tex> deler <tex>b</tex>
:* <tex>a</tex> går opp i <tex>b</tex>
:* <tex>b</tex> er delelig på <tex>a</tex>
</blockquote>

De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen ''betyr det samme''. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Delelighet'''

: Dersom et tall <tex>a</tex> deler et tall <tex>b</tex> eller sagt på en annen måte, at tallet <tex>b</tex> delelig på <tex>a</tex> så må tallet <tex>\frac{b}{a}</tex> være et helt tall.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
:'''Eksempel'''

: Vi har at <tex>12 = 3 \cdot 4</tex>. Da kan vi si at <tex>3 | 12</tex> og <tex>4 | 12</tex>, eller med andre ord at 12 er delelig på 3 og 4. Når vi deler 12 på 3 eller 4 så får vi et helt tall.
</blockquote>

Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
: Dersom <tex>a | b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at

: <tex>b = k \cdot a</tex>
</blockquote>

Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
:'''Eksempel'''
: <tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som
: <tex>30 = 5 \cdot 6</tex>
: og dette er på formen <tex>30 = 5 \cdot k</tex>, der <tex>k = 6</tex>.
</blockquote>

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Grunnleggende regler for delelighet'''
:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

::* <tex>1 | a</tex>
::* <tex>a | a </tex>
::* <tex>a | 0</tex>
::* Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
</blockquote>

Hva sier reglene i boksen ovenfor? De tre første kjenner de fleste fra barne- eller ungdomsskolen. Tallet 1 deler alle tall. Vi kan dele et hvilket som helst tall på 1, og da får vi ut tallet selv. Utsagnet på den andre linjen sier at et tall <tex>a</tex> alltid er delelig med seg selv. Hvis vi deler et tall på seg selv får vi jo det hele tallet 1, så dette må stemme. Den tredje linjen sier at 0 er delelig på alle tall. Dette stemmer også, siden vi kan dele 0 på hva som helst, og da får vi 0, som er et helt tall.

De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!

Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

== Primtallsfaktorisering ==

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene. 

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.) Aritmetikkens fundamentalsetning sier ingenting om ''hvordan'' vi gjør dette, bare at det alltid går an. Å utføre selve faktoriseringen gjør vi ved å finne hvilke primfaktorer tallet vi skal faktorisere er delelig med. Når vi deler på denne faktoren får vi de resterende faktorene i tallet. Dette kan vi gjenta helt til vi står igjen med et primtall. Dette er best vist ved et eksempel:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
:'''Eksempel:'''
:Faktoriser tallet 162 til et produkt av primtall.

:Vi prøver først å dele på 2. Divisjonen går opp og vi får 81. Da har vi at
::<tex>2 | 162</tex>.
:Vi fortsetter med tallet 81. Vi prøver å dele på 2, men det går ikke. Neste primtall er da 3. Deler vi 81 på 3 får vi 27, så
::<tex>3 | 81</tex>.
:Vi fortsetter med 27 og prøver igjen å dele på 3. Dette går opp, og vi får 9.
::<tex>3 | 27</tex>.
:Vi fortsetter med 9 og prøver igjen å dele på 3. Nå får vi 3, så
::<tex>3 | 9</tex>.
:Vi fortsetter med 3 og prøver enda en gang å dele på 3. Da får vi 1, så
::<tex>3 | 3</tex>.
:Nå står vi igjen med tallet 1, som ikke er et sammensatt tall. Da er vi ferdige. I hver linje ovenfor vil tallet til venstre være en faktor i 162. Vi har altså funnet at
::<tex>162 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3</tex>.

: Aritmetikkens fundamentalsetning garanterer oss at dette også er den eneste måten vi kan faktorisere tallet på, hvis vi ser borti fra hvilken rekkefølge faktorene står i.
</blockquote>

Delbarhet og faktorisering

2012-08-31T13:13:34Z

Vektormannen:

Det kanskje viktigste grunnlaget i tallteorien er hvordan de hele tallene kan ''faktoriseres'' og uttrykkes som produkter av primtall. Mange av de største resultatene i tallteoripensumet i Matematikk X kommer blant annet i fra det vi her skal finne ut om faktorisering og primtall.

== Faktorer og delelighet ==

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a | b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''

: Dersom heltallet <tex>a</tex> er en faktor i heltallet <tex>b</tex> skriver vi dette som <tex>a | b</tex>, og det betyr akkurat det samme som:
:* <tex>a</tex> deler <tex>b</tex>
:* <tex>a</tex> går opp i <tex>b</tex>
:* <tex>b</tex> er delelig på <tex>a</tex>
</blockquote>

De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen ''betyr det samme''. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Delelighet'''

: Dersom et tall <tex>a</tex> deler et tall <tex>b</tex> eller sagt på en annen måte, at tallet <tex>b</tex> delelig på <tex>a</tex> så må tallet <tex>\frac{b}{a}</tex> være et helt tall.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
:'''Eksempel'''

: Vi har at <tex>12 = 3 \cdot 4</tex>. Da kan vi si at <tex>3 | 12</tex> og <tex>4 | 12</tex>, eller med andre ord at 12 er delelig på 3 og 4. Når vi deler 12 på 3 eller 4 så får vi et helt tall.
</blockquote>

Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
: Dersom <tex>a | b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at

: <tex>b = k \cdot a</tex>
</blockquote>

Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
:'''Eksempel'''
: <tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som
: <tex>30 = 5 \cdot 6</tex>
: og dette er på formen <tex>30 = 5 \cdot k</tex>, der <tex>k = 6</tex>.
</blockquote>

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Grunnleggende regler for delelighet'''
:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

::* <tex>1 | a</tex>
::* <tex>a | a </tex>
::* <tex>a | 0</tex>
::* Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
</blockquote>

Hva sier reglene i boksen ovenfor? De tre første kjenner de fleste fra barne- eller ungdomsskolen. Tallet 1 deler alle tall. Vi kan dele et hvilket som helst tall på 1, og da får vi ut tallet selv. Utsagnet på den andre linjen sier at et tall <tex>a</tex> alltid er delelig med seg selv. Hvis vi deler et tall på seg selv får vi jo det hele tallet 1, så dette må stemme. Den tredje linjen sier at 0 er delelig på alle tall. Dette stemmer også, siden vi kan dele 0 på hva som helst, og da får vi 0, som er et helt tall.

De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!

Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

== Primtallsfaktorisering ==

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene. 

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.) Aritmetikkens fundamentalsetning sier ingenting om ''hvordan'' vi gjør dette, bare at det alltid går an. Å utføre selve faktoriseringen gjør vi ved å finne hvilke primfaktorer tallet vi skal faktorisere er delelig med. Når vi deler på denne faktoren får vi de resterende faktorene i tallet. Dette kan vi gjenta helt til vi står igjen med et primtall. Dette er best vist ved et eksempel:

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px red; background-color: #EED5D2;">
:'''Eksempel:'''
:Faktoriser tallet 162 til et produkt av primtall.

:Vi prøver først å dele på 2. Divisjonen går opp og vi får 81. Da har vi at
::<tex>2 | 162</tex>.
:Vi fortsetter med tallet 81. Vi prøver å dele på 2, men det går ikke. Neste primtall er da 3. Deler vi 81 på 3 får vi 27, så
::<tex>3 | 81</tex>.
:Vi fortsetter med 27 og prøver igjen å dele på 3. Dette går opp, og vi får 9.
::<tex>3 | 27</tex>.
:Vi fortsetter med 9 og prøver igjen å dele på 3. Nå får vi 3, så
::<tex>3 | 9</tex>.
:Vi fortsetter med 3 og prøver enda en gang å dele på 3. Da får vi 1, så
::<tex>3 | 3</tex>.
:Nå står vi igjen med tallet 1, som ikke er et sammensatt tall. Da er vi ferdige. I hver linje ovenfor vil tallet til venstre være en faktor i 162. Vi har altså funnet at
::<tex>162 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3</tex>.

: Aritmetikkens fundamentalsetning garanterer oss at dette også er den eneste måten vi kan faktorisere tallet på, hvis vi ser borti fra hvilken rekkefølge faktorene står i.
</blockquote>

Største felles divisor og Euklids algoritme

2011-12-06T19:57:58Z

Vektormannen: /* Største felles divisor */

Primtall og Eratostenes' sil

2011-12-06T19:52:06Z

Vektormannen: /* Primtallstesting og Erastotenes' sil */

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Uendelig mange primtall'''

: Det finnes uendelig mange primtall.

:'''Bevis:'''
: Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <tex>k</tex> stykker. Da har vi primtallene <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>. Så ser vi på følgende tall:
::<tex>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</tex>,
: altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. Vi har antatt at det bare er <tex>k</tex> primtall. Siden <tex>a</tex> er større enn alle primtallene, må <tex>a</tex> være et sammensatt tall. Hvis <tex>a</tex> er sammensatt så gir aritmetikkens fundamentalsetning (se ovenfor) at <tex>a</tex> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst ett av primtallene <tex>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</tex> er en faktor i <tex>a</tex>. Men vi har at
::<tex>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</tex>
: Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <tex>p_i</tex> (der <tex>i</tex> er et tall mellom 1 og <tex>k</tex>) er en faktor i <tex>a</tex>, er en faktor i <tex>a</tex>, og dette tallet også er en faktor i tallet <tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex> så kan vi faktorisere ut tallet <tex>p_i</tex> på venstre side. Men hvis <tex>p_i</tex> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <tex>k</tex> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!
</blockquote>

Beviset ovenfor regnes som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Erastotenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom et tall <tex>n</tex> er sammensatt må minst en primfaktor være mindre eller lik <tex>\sqrt n</tex>.

:'''Bevis'''

: Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <tex>\sqrt n</tex>. Vi kan skrive <tex>n = ap</tex>, der <tex>p</tex> er en av primfaktorene og <tex>a</tex> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <tex>p \geq \sqrt n</tex> og <tex>a \geq \sqrt n</tex>. Da er
::<tex>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</tex>
: altså blir også produktet av faktorene i <tex>n</tex> større enn <tex>n</tex> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <tex>\sqrt n</tex>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <tex>n</tex> kalles ''Eratostenes' sil'' (kalles også ''Eratostenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Eratostenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Eratostenes' sil'''

:Skriv opp alle tall i fra 2 til <tex>n</tex>. Utfør så følgende steg, start med tallet <tex>k=2</tex>.
:* Stryk ut alle tall som går opp i <tex>k</tex> utenom <tex>k</tex> selv.
:* Se på neste tall etter <tex>k</tex> som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn <tex>\sqrt n</tex> er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

: Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <tex>n</tex>.
</blockquote>

Delbarhet og faktorisering

2011-09-24T15:19:53Z

Vektormannen:

Det kanskje viktigste grunnlaget i tallteorien er hvordan de hele tallene kan ''faktoriseres'' og uttrykkes som produkter av primtall. Mange av de største resultatene i tallteoripensumet i Matematikk X kommer blant annet i fra det vi her skal finne ut om faktorisering og primtall.

== Faktorer og delelighet ==

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a | b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''

: Dersom heltallet <tex>a</tex> er en faktor i heltallet <tex>b</tex> skriver vi dette som <tex>a | b</tex>, og det betyr akkurat det samme som:
:* <tex>a</tex> deler <tex>b</tex>
:* <tex>a</tex> går opp i <tex>b</tex>
:* <tex>b</tex> er delelig på <tex>a</tex>
</blockquote>

De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen ''betyr det samme''. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Delelighet'''

: Dersom et tall <tex>a</tex> deler et tall <tex>b</tex> eller sagt på en annen måte, at tallet <tex>b</tex> delelig på <tex>a</tex> så må tallet <tex>\frac{b}{a}</tex> være et helt tall.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel'''

: Vi har at <tex>12 = 3 \cdot 4</tex>. Da kan vi si at <tex>3 | 12</tex> og <tex>4 | 12</tex>, eller med andre ord at 12 er delelig på 3 og 4. Når vi deler 12 på 3 eller 4 så får vi et helt tall.
</blockquote>

Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom <tex>a | b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at

: <tex>b = k \cdot a</tex>
</blockquote>

Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel'''
: <tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som
: <tex>30 = 5 \cdot 6</tex>
: og dette er på formen <tex>30 = 5 \cdot k</tex>, der <tex>k = 6</tex>.
</blockquote>

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Grunnleggende regler for delelighet'''
:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

::* <tex>1 | a</tex>
::* <tex>a | a </tex>
::* <tex>a | 0</tex>
::* Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
</blockquote>

Hva sier reglene i boksen ovenfor? De tre første kjenner de fleste fra barne- eller ungdomsskolen. Tallet 1 deler alle tall. Vi kan dele et hvilket som helst tall på 1, og da får vi ut tallet selv. Utsagnet på den andre linjen sier at et tall <tex>a</tex> alltid er delelig med seg selv. Hvis vi deler et tall på seg selv får vi jo det hele tallet 1, så dette må stemme. Den tredje linjen sier at 0 er delelig på alle tall. Dette stemmer også, siden vi kan dele 0 på hva som helst, og da får vi 0, som er et helt tall.

De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!

Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

== Primtallsfaktorisering ==

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene. 

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.) Aritmetikkens fundamentalsetning sier ingenting om ''hvordan'' vi gjør dette, bare at det alltid går an. Å utføre selve faktoriseringen gjør vi ved å finne hvilke primfaktorer tallet vi skal faktorisere er delelig med. Når vi deler på denne faktoren får vi de resterende faktorene i tallet. Dette kan vi gjenta helt til vi står igjen med et primtall. Dette er best vist ved et eksempel:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel:'''
:Faktoriser tallet 162 til et produkt av primtall.

:Vi prøver først å dele på 2. Divisjonen går opp og vi får 81. Da har vi at
::<tex>2 | 162</tex>.
:Vi fortsetter med tallet 81. Vi prøver å dele på 2, men det går ikke. Neste primtall er da 3. Deler vi 81 på 3 får vi 27, så
::<tex>3 | 81</tex>.
:Vi fortsetter med 27 og prøver igjen å dele på 3. Dette går opp, og vi får 9.
::<tex>3 | 27</tex>.
:Vi fortsetter med 9 og prøver igjen å dele på 3. Nå får vi 3, så
::<tex>3 | 9</tex>.
:Vi fortsetter med 3 og prøver enda en gang å dele på 3. Da får vi 1, så
::<tex>3 | 3</tex>.
:Nå står vi igjen med tallet 1, som ikke er et sammensatt tall. Da er vi ferdige. I hver linje ovenfor vil tallet til venstre være en faktor i 162. Vi har altså funnet at
::<tex>162 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3</tex>.

: Aritmetikkens fundamentalsetning garanterer oss at dette også er den eneste måten vi kan faktorisere tallet på, hvis vi ser borti fra hvilken rekkefølge faktorene står i.
</blockquote>

Primtall og Eratostenes' sil

2011-09-24T14:47:33Z

Vektormannen:

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Uendelig mange primtall'''

: Det finnes uendelig mange primtall.

:'''Bevis:'''
: Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <tex>k</tex> stykker. Da har vi primtallene <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>. Så ser vi på følgende tall:
::<tex>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</tex>,
: altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. Vi har antatt at det bare er <tex>k</tex> primtall. Siden <tex>a</tex> er større enn alle primtallene, må <tex>a</tex> være et sammensatt tall. Hvis <tex>a</tex> er sammensatt så gir aritmetikkens fundamentalsetning (se ovenfor) at <tex>a</tex> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst ett av primtallene <tex>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</tex> er en faktor i <tex>a</tex>. Men vi har at
::<tex>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</tex>
: Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <tex>p_i</tex> (der <tex>i</tex> er et tall mellom 1 og <tex>k</tex>) er en faktor i <tex>a</tex>, er en faktor i <tex>a</tex>, og dette tallet også er en faktor i tallet <tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex> så kan vi faktorisere ut tallet <tex>p_i</tex> på venstre side. Men hvis <tex>p_i</tex> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <tex>k</tex> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!
</blockquote>

Beviset ovenfor regnes som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Erastotenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom et tall <tex>n</tex> er sammensatt må minst en primfaktor være mindre eller lik <tex>\sqrt n</tex>.

:'''Bevis'''

: Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <tex>\sqrt n</tex>. Vi kan skrive <tex>n = ap</tex>, der <tex>p</tex> er en av primfaktorene og <tex>a</tex> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <tex>p \geq \sqrt n</tex> og <tex>a \geq \sqrt n</tex>. Da er
::<tex>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</tex>
: altså blir også produktet av faktorene i <tex>n</tex> større enn <tex>n</tex> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <tex>\sqrt n</tex>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <tex>n</tex> kalles ''Erastotenes' sil'' (kalles også ''Erastotenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Erastotenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Erastotenes' sil'''

:Skriv opp alle tall i fra 2 til <tex>n</tex>. Utfør så følgende steg, start med tallet <tex>k=2</tex>.
:* Stryk ut alle tall som går opp i <tex>k</tex> utenom <tex>k</tex> selv.
:* Se på neste tall etter <tex>k</tex> som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn <tex>\sqrt n</tex> er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

: Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <tex>n</tex>.
</blockquote>

Primtall og Eratostenes' sil

2011-09-24T14:45:45Z

Vektormannen:

== Primtallsfaktorisering ==

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene. 

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel:'''
:Vi har at

::<tex>21 = 3 \cdot 7</tex>

::<tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>

::<tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>

: De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor ''entydige''. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.
</blockquote>

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Uendelig mange primtall'''

: Det finnes uendelig mange primtall.

:'''Bevis:'''
: Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <tex>k</tex> stykker. Da har vi primtallene <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>. Så ser vi på følgende tall:
::<tex>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</tex>,
: altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. Vi har antatt at det bare er <tex>k</tex> primtall. Siden <tex>a</tex> er større enn alle primtallene, må <tex>a</tex> være et sammensatt tall. Hvis <tex>a</tex> er sammensatt så gir aritmetikkens fundamentalsetning (se ovenfor) at <tex>a</tex> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst ett av primtallene <tex>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</tex> er en faktor i <tex>a</tex>. Men vi har at
::<tex>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</tex>
: Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <tex>p_i</tex> (der <tex>i</tex> er et tall mellom 1 og <tex>k</tex>) er en faktor i <tex>a</tex>, er en faktor i <tex>a</tex>, og dette tallet også er en faktor i tallet <tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex> så kan vi faktorisere ut tallet <tex>p_i</tex> på venstre side. Men hvis <tex>p_i</tex> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <tex>k</tex> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!
</blockquote>

Beviset ovenfor regnes som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Erastotenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom et tall <tex>n</tex> er sammensatt må minst en primfaktor være mindre eller lik <tex>\sqrt n</tex>.

:'''Bevis'''

: Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <tex>\sqrt n</tex>. Vi kan skrive <tex>n = ap</tex>, der <tex>p</tex> er en av primfaktorene og <tex>a</tex> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <tex>p \geq \sqrt n</tex> og <tex>a \geq \sqrt n</tex>. Da er
::<tex>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</tex>
: altså blir også produktet av faktorene i <tex>n</tex> større enn <tex>n</tex> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <tex>\sqrt n</tex>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <tex>n</tex> kalles ''Erastotenes' sil'' (kalles også ''Erastotenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Erastotenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Erastotenes' sil'''

:Skriv opp alle tall i fra 2 til <tex>n</tex>. Utfør så følgende steg, start med tallet <tex>k=2</tex>.
:* Stryk ut alle tall som går opp i <tex>k</tex> utenom <tex>k</tex> selv.
:* Se på neste tall etter <tex>k</tex> som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn <tex>\sqrt n</tex> er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

: Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <tex>n</tex>.
</blockquote>

Delbarhet og faktorisering

2011-09-24T14:44:23Z

Vektormannen:

Største felles divisor og Euklids algoritme

2011-09-24T14:42:34Z

Vektormannen: Ny side: == Største felles divisor == Tallene 12 og 18 kan faktoriseres som <tex>12 = 2 \cdot 2 \cdot 2</tex> og <tex>18 = 2 \cdot 3 \cdot 3</tex>. Vi ser at begge tallene har 2 og 3 som faktorer....

X Hovedside

2011-09-24T14:20:56Z

Vektormannen:

Her finner man relevant stoff for kurset Matematikk X.

----
[[X Kompetansemål]]

----

'''EMNER'''

==Tallteori==

*[[Delbarhet og faktorisering]]
*[[Primtall og Eratostenes' sil]]
*[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]
*[[Diofantiske ligninger]]
*[[Kongruensregning]]
*[[Rester og siste siffer i store tall]]
*[[Lineære kongruenser]]

==Komplekse tall==

==Statistikk==

Primtall og faktorisering

2011-09-24T14:20:32Z

Vektormannen: Primtall og faktorisering flyttet til Delbarhet og faktorisering

#REDIRECT [[Delbarhet og faktorisering]]

Delbarhet og faktorisering

2011-09-24T14:20:32Z

Vektormannen: Primtall og faktorisering flyttet til Delbarhet og faktorisering

Det kanskje viktigste grunnlaget i tallteorien er hvordan de hele tallene kan ''faktoriseres'' og uttrykkes som produkter av primtall. Mange av de største resultatene i tallteoripensumet i Matematikk X kommer blant annet i fra det vi her skal finne ut om faktorisering og primtall.

== Faktorer og delelighet ==

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a | b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''

: Dersom heltallet <tex>a</tex> er en faktor i heltallet <tex>b</tex> skriver vi dette som <tex>a | b</tex>, og det betyr akkurat det samme som:
:* <tex>a</tex> deler <tex>b</tex>
:* <tex>a</tex> går opp i <tex>b</tex>
:* <tex>b</tex> er delelig på <tex>a</tex>
</blockquote>

De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen ''betyr det samme''. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Delelighet'''

: Dersom et tall <tex>a</tex> deler et tall <tex>b</tex> eller sagt på en annen måte, at tallet <tex>b</tex> delelig på <tex>a</tex> så må tallet <tex>\frac{b}{a}</tex> være et helt tall.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel'''

: Vi har at <tex>12 = 3 \cdot 4</tex>. Da kan vi si at <tex>3 | 12</tex> og <tex>4 | 12</tex>, eller med andre ord at 12 er delelig på 3 og 4. Når vi deler 12 på 3 eller 4 så får vi et helt tall.
</blockquote>

Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom <tex>a | b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at

: <tex>b = k \cdot a</tex>
</blockquote>

Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel'''
: <tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som
: <tex>30 = 5 \cdot 6</tex>
: og dette er på formen <tex>30 = 5 \cdot k</tex>, der <tex>k = 6</tex>.
</blockquote>

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Grunnleggende regler for delelighet'''
:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

::* <tex>1 | a</tex>
::* <tex>a | a </tex>
::* <tex>a | 0</tex>
::* Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
</blockquote>

Hva sier reglene i boksen ovenfor? De tre første kjenner de fleste fra barne- eller ungdomsskolen. Tallet 1 deler alle tall. Vi kan dele et hvilket som helst tall på 1, og da får vi ut tallet selv. Utsagnet på den andre linjen sier at et tall <tex>a</tex> alltid er delelig med seg selv. Hvis vi deler et tall på seg selv får vi jo det hele tallet 1, så dette må stemme. Den tredje linjen sier at 0 er delelig på alle tall. Dette stemmer også, siden vi kan dele 0 på hva som helst, og da får vi 0, som er et helt tall.

De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!

Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

== Primtallsfaktorisering ==

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene. 

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel:'''
:Vi har at

::<tex>21 = 3 \cdot 7</tex>

::<tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>

::<tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>

: De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor ''entydige''. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.
</blockquote>

X Hovedside

2011-09-24T14:19:33Z

Vektormannen:

Her finner man relevant stoff for kurset Matematikk X.

----
[[X Kompetansemål]]

----

'''EMNER'''

==Tallteori==

*[[Primtall og faktorisering]]
*[[Primtall og Eratostenes' sil]]
*[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]
*[[Diofantiske ligninger]]
*[[Kongruensregning]]
*[[Rester og siste siffer i store tall]]
*[[Lineære kongruenser]]

==Komplekse tall==

==Statistikk==

Eratostenes' sil

2011-09-24T14:18:54Z

Vektormannen: Eratostenes' sil flyttet til Primtall og Eratostenes' sil: Nytt navn

#REDIRECT [[Primtall og Eratostenes' sil]]

Primtall og Eratostenes' sil

2011-09-24T14:18:54Z

Vektormannen: Eratostenes' sil flyttet til Primtall og Eratostenes' sil: Nytt navn

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Uendelig mange primtall'''

: Det finnes uendelig mange primtall.

:'''Bevis:'''
: Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <tex>k</tex> stykker. Da har vi primtallene <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>. Så ser vi på følgende tall:
::<tex>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</tex>,
: altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. Vi har antatt at det bare er <tex>k</tex> primtall. Siden <tex>a</tex> er større enn alle primtallene, må <tex>a</tex> være et sammensatt tall. Hvis <tex>a</tex> er sammensatt så gir aritmetikkens fundamentalsetning (se ovenfor) at <tex>a</tex> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst ett av primtallene <tex>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</tex> er en faktor i <tex>a</tex>. Men vi har at
::<tex>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</tex>
: Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <tex>p_i</tex> (der <tex>i</tex> er et tall mellom 1 og <tex>k</tex>) er en faktor i <tex>a</tex>, er en faktor i <tex>a</tex>, og dette tallet også er en faktor i tallet <tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex> så kan vi faktorisere ut tallet <tex>p_i</tex> på venstre side. Men hvis <tex>p_i</tex> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <tex>k</tex> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!
</blockquote>

Beviset ovenfor regnes som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Erastotenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom et tall <tex>n</tex> er sammensatt må minst en primfaktor være mindre eller lik <tex>\sqrt n</tex>.

:'''Bevis'''

: Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <tex>\sqrt n</tex>. Vi kan skrive <tex>n = ap</tex>, der <tex>p</tex> er en av primfaktorene og <tex>a</tex> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <tex>p \geq \sqrt n</tex> og <tex>a \geq \sqrt n</tex>. Da er
::<tex>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</tex>
: altså blir også produktet av faktorene i <tex>n</tex> større enn <tex>n</tex> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <tex>\sqrt n</tex>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <tex>n</tex> kalles ''Erastotenes' sil'' (kalles også ''Erastotenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Erastotenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Erastotenes' sil'''

:Skriv opp alle tall i fra 2 til <tex>n</tex>. Utfør så følgende steg, start med tallet <tex>k=2</tex>.
:* Stryk ut alle tall som går opp i <tex>k</tex> utenom <tex>k</tex> selv.
:* Se på neste tall etter <tex>k</tex> som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn <tex>\sqrt n</tex> er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

: Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <tex>n</tex>.
</blockquote>

Primtall og Eratostenes' sil

2011-09-24T11:52:39Z

Vektormannen: Ny side: == Primtallsmysteriet == Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ...

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Uendelig mange primtall'''

: Det finnes uendelig mange primtall.

:'''Bevis:'''
: Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <tex>k</tex> stykker. Da har vi primtallene <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>. Så ser vi på følgende tall:
::<tex>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</tex>,
: altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. Vi har antatt at det bare er <tex>k</tex> primtall. Siden <tex>a</tex> er større enn alle primtallene, må <tex>a</tex> være et sammensatt tall. Hvis <tex>a</tex> er sammensatt så gir aritmetikkens fundamentalsetning (se ovenfor) at <tex>a</tex> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst ett av primtallene <tex>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</tex> er en faktor i <tex>a</tex>. Men vi har at
::<tex>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</tex>
: Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <tex>p_i</tex> (der <tex>i</tex> er et tall mellom 1 og <tex>k</tex>) er en faktor i <tex>a</tex>, er en faktor i <tex>a</tex>, og dette tallet også er en faktor i tallet <tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex> så kan vi faktorisere ut tallet <tex>p_i</tex> på venstre side. Men hvis <tex>p_i</tex> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <tex>k</tex> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!
</blockquote>

Beviset ovenfor regnes som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Erastotenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom et tall <tex>n</tex> er sammensatt må minst en primfaktor være mindre eller lik <tex>\sqrt n</tex>.

:'''Bevis'''

: Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <tex>\sqrt n</tex>. Vi kan skrive <tex>n = ap</tex>, der <tex>p</tex> er en av primfaktorene og <tex>a</tex> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <tex>p \geq \sqrt n</tex> og <tex>a \geq \sqrt n</tex>. Da er
::<tex>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</tex>
: altså blir også produktet av faktorene i <tex>n</tex> større enn <tex>n</tex> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <tex>\sqrt n</tex>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <tex>n</tex> kalles ''Erastotenes' sil'' (kalles også ''Erastotenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Erastotenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Erastotenes' sil'''

:Skriv opp alle tall i fra 2 til <tex>n</tex>. Utfør så følgende steg, start med tallet <tex>k=2</tex>.
:* Stryk ut alle tall som går opp i <tex>k</tex> utenom <tex>k</tex> selv.
:* Se på neste tall etter <tex>k</tex> som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn <tex>\sqrt n</tex> er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

: Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <tex>n</tex>.
</blockquote>

Delbarhet og faktorisering

2011-09-21T21:11:53Z

Vektormannen:

Det kanskje viktigste grunnlaget i tallteorien er hvordan de hele tallene kan ''faktoriseres'' og uttrykkes som produkter av primtall. Mange av de største resultatene i tallteoripensumet i Matematikk X kommer blant annet i fra det vi her skal finne ut om faktorisering og primtall.

== Faktorer og delelighet ==

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a | b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet'''

: Dersom heltallet <tex>a</tex> er en faktor i heltallet <tex>b</tex> skriver vi dette som <tex>a | b</tex>, og det betyr akkurat det samme som:
:* <tex>a</tex> deler <tex>b</tex>
:* <tex>a</tex> går opp i <tex>b</tex>
:* <tex>b</tex> er delelig på <tex>a</tex>
</blockquote>

De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen ''betyr det samme''. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Delelighet'''

: Dersom et tall <tex>a</tex> deler et tall <tex>b</tex> eller sagt på en annen måte, at tallet <tex>b</tex> delelig på <tex>a</tex> så må tallet <tex>\frac{b}{a}</tex> være et helt tall.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel'''

: Vi har at <tex>12 = 3 \cdot 4</tex>. Da kan vi si at <tex>3 | 12</tex> og <tex>4 | 12</tex>, eller med andre ord at 12 er delelig på 3 og 4. Når vi deler 12 på 3 eller 4 så får vi et helt tall.
</blockquote>

Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
: Dersom <tex>a | b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at

: <tex>b = k \cdot a</tex>
</blockquote>

Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel'''
: <tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som
: <tex>30 = 5 \cdot 6</tex>
: og dette er på formen <tex>30 = 5 \cdot k</tex>, der <tex>k = 6</tex>.
</blockquote>

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Grunnleggende regler for delelighet'''
:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

::* <tex>1 | a</tex>
::* <tex>a | a </tex>
::* <tex>a | 0</tex>
::* Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
</blockquote>

Hva sier reglene i boksen ovenfor? De tre første kjenner de fleste fra barne- eller ungdomsskolen. Tallet 1 deler alle tall. Vi kan dele et hvilket som helst tall på 1, og da får vi ut tallet selv. Utsagnet på den andre linjen sier at et tall <tex>a</tex> alltid er delelig med seg selv. Hvis vi deler et tall på seg selv får vi jo det hele tallet 1, så dette må stemme. Den tredje linjen sier at 0 er delelig på alle tall. Dette stemmer også, siden vi kan dele 0 på hva som helst, og da får vi 0, som er et helt tall.

De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!

Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så '''må''' de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

== Primtallsfaktorisering ==

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene. 

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel:'''
:Vi har at

::<tex>21 = 3 \cdot 7</tex>

::<tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>

::<tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>

: De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor ''entydige''. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.
</blockquote>

Delbarhet og faktorisering

2011-09-17T14:55:55Z

Vektormannen: Ny side: == Faktorer == Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for...

== Faktorer ==

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er ''faktorer'' i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Dette kan vi også lese som "b deler a" og "c deler a".

Dersom <tex>a | b</tex> så er dette ekvivalent med at <tex>a \cdot k = b</tex> for et tall <tex>k</tex>. Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>.

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet. De fleste bør være kjent:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Grunnleggende regler for delelighet'''
:For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

::* <tex>1 | a</tex>
::* <tex>a | a </tex>
::* <tex>a | 0</tex>
::* Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
::* <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
</blockquote>

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for ''sammensatte tall''. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi ''primtall''. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
:'''Aritmetikkens fundamentalsetning'''

:Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives ''entydig'' som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene. 

:[[Bevis_av_aritmetikkens_fundamentalsetning|Bevis]]
</blockquote>

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel:'''
:Vi har at

::<tex>21 = 3 \cdot 7</tex>

::<tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>

::<tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>

: De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor ''entydige''. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.
</blockquote>

Bevis av aritmetikkens fundamentalsetning

2011-09-17T14:23:45Z

Vektormannen: Ny side: '''Setning''' Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives som et entydig produkt av primtallsfaktorer. ---- '''Bevis''': Dersom <tex>n</tex> er et primtall så er det ingenting å bevise...

'''Setning'''
Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives som et entydig produkt av primtallsfaktorer.

----

'''Bevis''':

Dersom <tex>n</tex> er et primtall så er det ingenting å bevise. Derfor antar vi videre at <tex>n</tex> er et sammensatt tall. Da er det to ting vi er nødt til å bevise:
:# At et hvert tall alltid kan faktoriseres til et produkt av primtall
:# At det bare fins én måte å gjøre dette på.

Vi begynner med steg 1.

:Siden tallet <tex>n</tex> er sammensatt, har det en ''minste faktor'' <tex>d</tex>, der <tex>1 < d < n</tex>. Denne faktoren er nødt til å være et primtall. Hvis ikke er <tex>d</tex> sammensatt, og inneholder en faktor <tex>k</tex> der <tex>1 < k < d</tex>. Men siden <tex>k | d</tex> og <tex>d | n</tex>, så må <tex>k | n</tex>, og da er <tex>k</tex> den minste faktoren i <tex>n</tex>, noe som strider i mot vårt valg av <tex>d</tex> som den minste faktoren i <tex>n</tex>. Dermed kan vi anta at <tex>d</tex> er et primtall, og vi kan kalle dette tallet for <tex>p_1</tex>. Nå kan vi skrive <tex>n</tex> som:

::<tex>n = p_1 \cdot n_1</tex>

:der <tex>n_1</tex> er produktet av de faktorene i <tex>n</tex> som er igjen etter at vi tok ut primfaktoren <tex>p_1</tex>. Vi kan gjenta akkurat den samme prosedyren som ovenfor på <tex>n_1</tex> og få en ny primfaktor <tex>p_2</tex> og et nytt tall <tex>n_2</tex> som er resten av faktorene i <tex>n</tex> etter at både <tex>p_1</tex> og <tex>p_2</tex> er tatt ut. Vi kan gjenta prosessen flere ganger, men vi kan ikke fortsette slik evig, for hvert av tallene <tex>n_1, n_2, n_3, ...</tex> er slik at

::<tex>n > n_1 > n_2 > n_3 > n_4 > ... > 1</tex>

:siden hvert tall i denne ulikheten oppstår ved at vi tar ut en primfaktor fra det forgående tallet. Til slutt må vi altså komme ned til at vi står igjen med 1, og da er vi ferdige. Vi står da igjen med at <tex>n</tex> kan skrives som primtallsproduktet

::<tex>n = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex>

:Nå har vi altså vist at et sammensatt tall <tex>n</tex> alltid kan faktoriseres til et produkt av primtall. Men vi har ikke vist at det bare er mulig å finne én kombinasjon av primtall som gir tallet <tex>n</tex> når vi multipliserer dem sammen.

Vi fortsetter med steg 2:

:Når vi skal vise en påstand så kan dette gjøres ved et såkalt motsigelsesbevis.

:Her beviser vi at det kun er én måte å faktorisere tallet på, ved å utføre et slikt motsigelsesbevis. Vi antar at det finnes flere måter å faktorisere et sammensatt tall som et produkt av primtall. Det betyr at

::<tex>n = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</tex>

::<tex>n = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \dots q_r</tex>,

:der hver av <tex>p</tex>-ene og <tex>q</tex>-ene er primtall, og primtallene er ordnet etter størrelse, sånn at

::<tex>p_1 \leq p_2 \leq p_3 \leq ... \leq p_k \quad \text{og} \quad q_1 \leq q_2 \leq q_3 \leq ... \leq q_r</tex>

:Kort sagt: det vi antar er at vi kan gange sammen <tex>k</tex> primtall og få <tex>n</tex>, og at vi kan gange sammen <tex>r</tex> stykker primtall som ikke nødvendigvis er de samme som de første, og også få tallet <tex>n</tex>. Nå må vi se på hva som skjer når vi antar dette.

:Siden de to primtallsproduktene begge skal gi tallet <tex>n</tex>, så må begge produktene være like. Da har vi altså at

::<tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \dots q_r</tex>

:Siden vi har et primtall <tex>p_1</tex> på venstre side, må vi også finne dette primtallet igjen på høyre side. Tallet <tex>p_1</tex> kan vi jo ikke få ved å multiplisere sammen noen av tallene på høyre side -- det er jo et primtall. Vi har da at
::<tex>p_1 \geq q_1</tex>
:(enten er <tex>p_1</tex> lik faktoren <tex>q_1</tex>, eller så er det et av <tex>q_2, q_3, ..., q_r</tex>, og da er det større enn <tex>q_1</tex>.)
:Men hvis vi nå ser på høyre siden så har vi her en faktor <tex>q_1</tex>, og av akkurat samme argumentasjon så må denne være en av faktorene på venstre side. Vi får da at

::<tex>q_1 \geq p_1</tex>

:Nå har vi to ulikheter som involverer <tex>p_1</tex> og <tex>q_1</tex>. Begge to vil kun være oppfylt når <tex>p_1 = q_1</tex>. Men da har vi to like faktorer på hver side av ligningen og vi kan forkorte <tex>p_1</tex> mot <tex>q_1</tex>. Da får vi:

::<tex>p_2 \cdot p_3 \dots p_k = q_2 \cdot q_3 \dots q_k</tex>

:Men nå kan vi gjøre akkurat det samme for <tex>p_2</tex> og <tex>q_2</tex>. Slik kan vi fortsette. Det vil eventuelt oppstå et av to tilfeller. Dersom det er like mange faktorer på hver side i ligningen, det vil si at <tex>k = r</tex> så er vi ferdige, for da har vi vist at <tex>p_i = q_i</tex> for alle <tex>i</tex> fra og med 1 til og med <tex>k</tex>. Det betyr at de to faktoriseringene er identiske, og altså ikke forskjellige likevel.

:Det andre tilfellet er at <tex>k \neq r</tex>. Vi må undersøke videre hva som skjer når det er tilfellet. Da får vi bruk for en bevisteknikk som kalles ''bevis ved selvmotsigelse''. Da starter vi med å anta at det vi skal vise ''ikke'' er sant, og så viser vi at det fører til noe som vi vet er galt. Hvis alle steg i bevisføringen da er riktig, er det '''nødt''' til å være antagelsen som er gal -- og hvis antagelsen er gal, er det motsatte av antagelsen riktig. Så hvis vi antagelsen er at det ikke stemmer, må resultatet bli at det stemmer.

:Vi begynner med å anta at <tex>k \neq r</tex>. Da antar vi at <tex>r > k</tex>. Da ser vi på ligningen vår:

::<tex>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \dots q_r</tex>

:Som vist ovenfor vil <tex>p_i = q_i</tex> for alle <tex>1 \geq i \geq k</tex>. På venstre side av ligningen vil vi da ha forkortet ''alle'' faktorene, og står igjen med 1. På høyre side forkorter vi alle faktorene fra <tex>q_1</tex> opp til <tex>q_k</tex>. Da står vi igjen med faktorene fra og med <tex>q_{k+1}</tex> til og med <tex>q_r</tex>. Men da har vi ligningen:

::<tex>1 = q_{k+1} \cdot q_{k+2} \dots q_r</tex>

:Dette er umulig -- tallet 1 kan ikke være lik produktet av ett eller flere primtall. Da må antagelsen om at <tex>k \neq r</tex> være gal, altså er <tex>k = r</tex> eneste mulighet.

Dette fullfører beviset.

X Hovedside

2011-09-17T11:38:46Z

Vektormannen:

Her finner man relevant stoff for kurset Matematikk X.

----
[[X Kompetansemål]]

----

'''EMNER'''

==Tallteori==

*[[Primtall og faktorisering]]
*[[Eratostenes' sil]]
*[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]
*[[Diofantiske ligninger]]
*[[Kongruensregning]]
*[[Rester og siste siffer i store tall]]
*[[Lineære kongruenser]]

==Komplekse tall==

==Statistikk==

X Hovedside

2011-09-17T11:37:45Z

Vektormannen:

Her finner man relevant stoff for kurset Matematikk X.

----
[[X Kompetansemål]]

----

'''EMNER'''

==Tallteori==
*[[Primtall og faktorisering]]
*[[Eratostenes' sil]]
*[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]
*[[Diofantiske ligninger]]
*[[Kongruensregning]]
*[[Rester og siste siffer i store tall]]
*[[Lineære kongruenser]]

==Komplekse tall==
==Statistikk==

Integrasjon

2011-05-26T12:29:01Z

Vektormannen: Ordnet opp i noen småting, forall-symbolet med "for alle", da dette symbolet mest sannsynlig er ukjent for R2-elever. Byttet også "kalkulusens fundamentalteorem" med "analysens fundamentalteorem".

I læren om integraler tas det i bruk noe mer avanserte konsepter enn man ellers finner i videregåendematematikken. Dette spesiellt i forbindelse med definisjonene rundt integrasjon. Det er derfor viktig å beherske både funksjonslære, derivasjon og algebra før man gir seg i kast med integrasjonsdelen av R2-pensumet.

----

Integrasjon er en operasjon som tar en funksjon og gir en ny funksjon som beskriver arealet under den første funksjonen.

==Det bestemte integralet==

Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <tex>x</tex>-aksen og linjene <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. "Det bestemte integralet av <tex>f(x)</tex> fra <tex>a</tex> til <tex>b</tex>" skriver vi som

<tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x</tex>

===Bestemt integral som grenseverdi===

Vi kan se for oss arealet under en graf som en sum av rektangler, der antallet rektangler angir nøyaktigheten av integralet.

Dersom vi vil integrere <tex>f(x)</tex> fra <tex>x=a</tex> til <tex>x=b</tex> med <tex>n</tex> rektangler, må hvert rektangel ha bredde <tex>\Delta x=\frac{b-a}{n}</tex> (vi deler avstanden mellom endepunktene, <tex>b-a</tex> på antallet rektangler <tex>n</tex>.) Vi får da at

<tex>A=\sum_{i=0}^n f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x=\sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex>

Når vi lar <tex>\Delta x</tex> gå mot null, dvs at vi lar antallet rektangler <tex>n</tex> gå mot uendelig, får vi det nøyaktige arealet under kurven:

<tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex>

==Ubestemt integrasjon==

I analysen (engelsk: Calculus) finnes et fundamentalteorem som relaterer operasjonene integrasjon og derivasjon med hverandre. Dette gjør det mulig å finne integralet av funksjoner uten å regne ut kompliserte summer som ovenfor. Teoremet er delt inn i to deler, som ofte kalles analysens første og andre fundamentalteorem.

Analysens første fundamentalteorem sier at hvis en reell funksjon <tex>F(x)</tex> er definert på intervallet <tex>[a,b]</tex> ved

<tex>F(x)=\int_a^x f(t)\rm{d}t</tex>

der <tex>f(t)</tex> er en reell funksjon som er kontinuerlig på intervallet <tex>[a,b]</tex>, da er <tex>F(x)</tex> kontinuerlig på <tex>[a,b]</tex> og deriverbar på <tex>(a,b)</tex>, og man kan vise at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>, og vi skriver at

<tex>\int f(x)\rm{d}x=F(x)</tex>

Analysens andre fundamentalteorem sier at

<tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=F(b)-F(a)</tex>

<tex>F(a)-F(b)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og funksjonen <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>.

Her skal vi vise geometrisk at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

:'''Bevis:''' Den deriverte av den integrerte er funksjonen selv

:La <tex>f(x)</tex> være en reell funksjon <tex>(f(x)\in\mathbb{R}</tex>, for alle <tex>x\in \mathbb{R})</tex>, og la funksjonen <tex>A(x)</tex> beskrive arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> ved at <tex>A(b)-A(a)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. Mellom <tex>x</tex> og <tex>x+\Delta x</tex> vil aralet altså være <tex>A(x+\Delta x)-A(x)</tex>, se figur:

:[[Bilde:Int1.png]]

:I grenseverdien når <tex>\Delta x\to 0</tex> vil dette arealet bli tilnærmet et rektangel. Arealet av et rektangel er gitt ved

::<tex>A=l\cdot b</tex>

:og arealet at dette rektangelet ser vi ut ifra figuren blir <tex>f(x)\cdot \Delta x</tex>. Dermed kan vi konkludere at

::<tex>f(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</tex>

:Men dette kjenner vi som definisjonen av den deriverte. Altså kan vi skrive at

::<tex>f(x)=\frac{d}{dx}A(x)</tex>

:Vi har dermed bevist at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner av hverandre, det vil si at

::<tex>\frac{d}{dx}\int f(x)\rm{d}x=f(x)</tex>

</blockquote>

Dette kan også vises analytisk ved å ta i bruk noe mer avansert funksjonslære.

Når vi antideriverer en funksjon, dvs at vi tar det ubestemte integralet av funksjonen, får vi altså funksjonen <tex>F(x)</tex> som inngår i fundamentalteoremet.

===Formler for integrasjon===

Her er noen nyttige formler for integrasjonen av sentrale funksjoner. Med metodene i de neste seksjonene vil vi også kunne integrere funksjoner sammensatt av disse. Denne tabellen må læres utenat.

<tex>\begin{tabular}{c|c c} f(x) & \int f(x)\rm{d}x & \, \\ x^n & \frac{x^{n+1}}{n+1} & x\neq -1 \\ \frac1x & \ln\,x & \, \\ a^x & \frac{1}{\ln\,a}a^x & a\neq 1 \\ e^{kx} & \frac1k e^{kx} & k\neq 0 \\ \sin\,x & -\cos\,x & \, \\ \cos\,x & \sin\,x & \, \end{tabular}</tex>

===Integrasjonskonstanten===

Ettersom den deriverte av en konstant funksjon er lik null, må vi legge til en vilkårlig konstant til den integrerte av en funksjon.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

:'''Eksempel:''' Integrasjonskonstant

:Vi tar for oss integralet

::<tex>I=\int x\rm{d}x</tex>

:Vi vet at <tex>\frac{d}{dx}\frac12x^2=x</tex>, men siden <tex>\frac{d}{dx}C=0</tex>, der <tex>C</tex> er en konstant, må vi legge denne til. Svaret blir altså

::<tex>I=\int x\rm{d}x=\frac12x^2+C</tex>

</blockquote>

Merk at integrasjonskonstanten blir kansellert når <tex>F(x)</tex> brukes i sammenheng med det bestemte integralet. Det viser at verdien til <tex>C</tex> er vilkårlig.

==Integrasjon ved variabelskifte==

I derivasjon sier kjerneregelen at

<tex>\frac{d}{dx}f(u)=\frac{du}{dx}\frac{d}{du}f(u)</tex>

Dermed følger det at

<tex>\int \frac{du}{dx}f(u(x))\rm{d}x=\int f(u)\rm{d}u</tex>

Når vi substituerer variabler i integranden, manipulerer vi også differensialene <tex>\rm{d}x</tex> og <tex>\rm{d}u</tex>. Derfor skal vi nå vise hvordan man finner relasjonen mellom disse differensialene for en generell substitusjon. Deretter kan denne matoden anvendes på forskjellige integraler når de ikke kan løses direkte.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

:'''Relasjoner mellom differensialer'''

:En generell substitusjon er

::<tex>f(x)=g(u)</tex>

:Vi vil finne relasjonen mellom differensialene <tex>\rm{d}x</tex> og <tex>\rm{d}u</tex> slik at vi kan foreta et variabelskifte.

:Dersom vi deriverer begge funksjonene mhp. x, får vi, ifølge kjerneregelen,

::<tex>\frac{df(x)}{dx}=\frac{dg(u)}{du}\frac{du}{dx}</tex>

:Vi ser dermed at relasjonen mellom differensialene er

::<tex>\rm{d}x\frac{df(x)}{dx}=\rm{d}u\frac{dg(u)}{du}</tex>

:eller

::<tex>f^\prime (x)\rm{d}x=g^\prime (u) \rm{d}u</tex>

</blockquote>

Nå som vi kan manipulere differensialene, viser vi et eksempel der vi får bruk for dette:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

:'''Eksempel 1:''' Variabelskifte

:Vi har integralet

::<tex>I=\int \frac{\ln\,x}{2x}\rm{d}x</tex>

:Vi observerer at <tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{1}{x}</tex> og at begge disse er med i integranden. En god substitusjon her er derfor <tex>\ln\,x=u</tex>. Vi finner relasjonen mellom differensialene slik at vi kan gjennomføre variabelskiftet fra <tex>x</tex> til <tex>u</tex>.

::<tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{du}{dx}\,\Leftrightarrow\,\frac{1}{x}\rm{d}x=\rm{d}u\,\Leftrightarrow\,\rm{d}x=x\rm{d}u</tex>

:Vi erstatter <tex>\ln\,x</tex> med <tex>u</tex> og <tex>\rm{d}x</tex> med <tex>x\rm{d}u</tex> i integranden. Da får vi

::<tex>I=\int \frac{u}{2x}x\rm{d}u=\int\frac{1}{2}u\rm{d}u=\frac12\int u\rm{d}u=\frac14u^2+C</tex>

: Vi substituerer tilbake fra <tex>u</tex> til <tex>x</tex> for å få svaret. <tex>u=\ln\,x</tex>, så

::<tex>I=\frac14(\ln\, x)^2+C</tex>

</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

:'''Eksempel 2:''' Variabelskifte

:Vi har integralet

::<tex>I=\int \tan\,x\rm{d}x</tex>

:Vi vet at <tex>\tan\,x=\frac{sin\,x}{\cos\,x}</tex> og at <tex>\frac{d}{dx}\sin\,x=\cos\,x</tex>, si vi setter <tex>u=\cos\,x</tex>:

::<tex>u=\cos\,x\,\Rightarrow\,\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x</tex>

:Vi setter in i integralet og får

::<tex>I=\int -\frac{1}{u}\rm{d}u=-\ln|u|+C</tex>

:Vi kan nå erstatte u med x igjen får å få svaret vårt:

::<tex>I=-\ln|cos\,x|+C</tex>

</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

:'''Eksempel 3:''' Variabelskifte
<tex> \int 4e^{2x+1}dx \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad setter \qquad u = 2x + 1 \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad du = 2dx \\
\int 4e^{u}dx = \int 2e^{u}du = 2e^{u} + C = 2e^{2x+1} + C
</tex></blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

:'''Eksempel 4:''' Variabelskifte

<tex> \int \frac{1}{1+ \sqrt{x}}dx \qquad \qquad setter \qquad u = 1 + \sqrt{x}\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{du}{dx}= \frac12x^{- \frac12} \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad du= \frac{1}{2 \sqrt{x}}dx \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad dx= 2 \sqrt{x}du \\
\int \frac{1}{u}dx = \int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du
</tex>
Man bruker at <tex>u = 1 + \sqrt{x} </tex> og får:
<tex>
\int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du = \int \frac{1}{u}2 (u-1)du = \int (2- \frac 2u)du = 2 \int du - 2\int \frac1u du = 2u -2ln|u| + k</tex>
 Substituerer tilbake til x og får:
<tex> 2(1+ \sqrt x) -2ln(1 + \sqrt x) + k = 2 + 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x) + k = 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x)+ c </tex>
</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=928%2B922%2B926%2B921%2B920%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

===Grenser ved variabelskifte===

Når vi bruker variabelskifte og vi har et bestemt integral, vil grensene for integralet endres slik at integralet ennå gjelder for samme intervall. Dette vises best gjennom et eksempel:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

:'''Eksempel:''' Endring av grenser ved variabelskifte

:La oss si at vi har integralet

::<tex>I=\int_{0}^{\pi} \cos^2x\,\sin\,x\rm{d}x</tex>

:Vi ser at <tex>\frac{d}{dx}\cos\,x=-\sin{x}</tex> og velger substitusjonen <tex>u=\cos\,x</tex>. Da får vi

::<tex>\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x\,\Rightarrow\,\frac{1}{-\sin\,x}\rm{du}</tex>

:Grensene på integralet må vi endre slik at vi ennå integrerer over samme intervall. Vi gjør dette ved å sette inn grensene for x og løse med hensyn på u. Den nedre grensen blir

::<tex>\cos\,0=u\,\Rightarrow\,u=1</tex>

:Den øvre grensen blir

::<tex>\cos\,\pi=u\,\Rightarrow\,u=-1</tex>

:Vi setter alt inn i integralet og får

::<tex>I=\int_1^{-1}u^2\frac{sin\,x}{-\sin\,x}\rm{u}\int_1^{-1}-u^2\rm{d}u=\left[-\frac13u^3\right]_1^{-1}=-\frac13(-1)^3-\left(-\frac13\cdot1^3\right)=2\cdot\frac13\cdot1^3=\frac23</tex>

</blockquote>

==Delvis integrasjon==

Vi kjenner allerede produktregelen fra dervasjon:

<tex>\frac{d}{dx}uv=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}u</tex>

Delvis integrasjon er produktregelen på integralform. Her skal vi utlede delvis integrasjon fra produktregelen:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

:'''Utleding av delvis integrasjon fra produktregelen'''

:Vi starter med produktregelen

::<tex>(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime</tex>

:og trekker fra <tex>u\prime v</tex> på hver side av likhetstegnet:

::<tex>uv^\prime=(uv)^\prime-u^\prime v</tex>

:Så integrerer vi:

::<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=\int (uv)^\prime-u^\prime v \rm{d}x=\int (uv)^\prime \rm{d}x-\int u^\prime v \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex>

::<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex>

:Delvis integrasjon kan også skrives slik:

::<tex>\int u\rm{d}v=uv-\int v\rm{d}u</tex>

:ved at <tex>\frac{dv}{dx}\rm{d}x=\rm{d}v</tex> og <tex>\frac{du}{dx}\rm{d}x=\rm{d}u</tex>.

</blockquote>
Dersom integralet består av forskjellige typer funksjoner (for eksempel en polynomfunksjon multiplisert med en trigonometrisk funksjon) kan delvis integrasjon være et godt førstevalg. Man bør velge den funksjonen som blir enklere etter derivasjonen til u. Av og til må man utføre delvis integrasjon to ganger før man kommer til et resultat.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

:'''Eksempel 1:''' integralet av naturlig logaritme

:Vi vil integrere funskjonen <tex>f(x)=\ln\,x</tex>. Til det kan vi bruke et lite triks og delvis integrasjon.

:Vi skriver <tex>\ln\,x=1\cdot\ln\,x</tex> og lar <tex>u=\ln\,x</tex> og <tex>v=x</tex>. Da får vi

:<tex>\frac{du}{dx}=1</tex> og <tex>\frac{dv}{dx}=\frac1x</tex>. Integralet blir

::<tex>\int 1\cdot\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-\int x\cdot\frac1x\rm{d}x=x\ln\,x-\int\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</tex>

:Resultatet er altså at

::<tex>\int\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</tex>

:Svaret kan kontrolleres ved derivasjon.

</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel 2:'''
<tex>
\int(3x+2)sinx dx</tex>
Setter u = 3x + 2 og v' = sin x
u' = 3 og v = - cos x
og får da
<tex>
\int(3x+2)sinx dx = (3x+2)\cdot (-cosx) - \int 3 \cdot (-cosx)dx = -(3x+2)cosx + 3 \int cosx dx =-(3x+2)cosx + 3sinx + C </tex>

</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel 3:'''
Her kommer en litt spesiell variant.

<tex> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \\ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \\
= - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \\ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</tex>
Da har man:
<tex> \int sin^2x dx = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx \\
2\int sin^2x dx = - sinx cosx + x \\
\int sin^2x dx = - \frac12 (sinx cosx - x) + C
</tex> </blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
:'''Eksempel 4:'''
Av og til må man integrere to ganger.
<tex>
\int x^2e^xdx </tex>
setter <tex>x^2 = u</tex> og <tex>e^x = v'</tex> da bli <tex>u' = 2x</tex> og <tex> v=e^x</tex> da får man:
<tex>\int x^2e^xdx = x^2 \cdot e^x - \int 2xe^xdx
</tex>
Så integrerer man en gang til og får:
<tex>\int x^2e^xdx = x^2 \cdot e^x - (2xe^x -2\int e^xdx)= x^2 \cdot e^x - 2xe^x +2 e^x +C=(x^2-2x+2)e^x + C </tex>

</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1C%2B917%2B916%2B929%2B915%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

----
[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]

[[Kategori:R2]]
[[Kategori:Analyse]]
[[Kategori:Ped]]