Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

S2 2023 vår LØSNING

2025-06-18T17:03:57Z

Torodd:

[https://matematikk.net/res/eksamen/S2/S2_V23/REA3062_Matematikk_S2_V2023.pdf Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4709 Løsningsforslag av Marius Nilsen]

[https://lektorodd.no/lf/S2-V23/ 🔗 Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

[https://matematikk.net/res/eksamen/S2/S2_V23/Forhåndssensurrapport_REA3062_Matematikk_S2-V23.pdf Forhåndssensurrpapport]

[https://matematikk.net/res/eksamen/S2/S2_V23/Sensorveiledning_REA3062_Matematikk_S2-V23.pdf Sensorveiledning]

[https://matematikk.net/res/eksamen/S2/S2_V23/Vurderingsskjema_REA3062_Matematikk_S2_V23.xlsm Vurderingsskjema]

S2 2023 høst LØSNING

2025-06-18T17:03:07Z

Torodd:

[https://lektorodd.no/lf/S2-H23/ 🔗 Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

$\int_{-1}^{1}(x^3+2x) dx = [\frac 14 x^4 + x^2]_{-1}^{1} = (\frac 14 +1) - ( \frac 14 +1) = 0$

Arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjen x=-1 er lik arealet avgrenset av linjen x =1. grafen og x-aksen. Den ene delen ligger under x-aksen, den andre over. Begge arealene er like store. Grafen går gjennom origo og vi har symmetri om origo.

==Oppgave 2==

===a)===

$S = \frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :

$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$

$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$

===b)===
I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

$a_1 = a_4 - 3d $

$a_7 = a_4 + 3d$

$a_1 + a_4 + a_7 = 114$

$a_4 -3d + a_4 + a_4 +3d =114$

$3 a_4 = 114$

$a_4 = 38$

==Oppgave 3==

===a)===
Stigningstallet til en rett linje gjennom origo skjærer kostnadsfunksjonen i x = a. Stigningstallet gir oss enhetskostnaden ved produksjon av a enheter. I dette tilfellet har linjen som skjærer kostnadsfunksjonen i x = 40 stigningstall 81,75 kr. og er altså enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.

===b)===

Grensekostnaden er sånn ca. hva det koster å øke produksjonen med en enhet, altså den deriverte i punktet. For 40 enheter ser man at stigningstallet til tangenten, den deriverte, er 31 kroner.

===c)===

Stigningstallet til den rette linjen som går gjennom origo og samtidig tangerer kostnadsfunksjonen gir den laveste enhetskostnaden, i dette tilfelle 60 kroner.

==Oppgave 4==

===a)===
Programmet regner ut arealet av flaten som er avgrenset av f(x), x- aksen, linjen x = -2 og linjen x = 2.

===b)===

$f(x) = x^2-1$

Funksjonen har nullpunkter for x=-1 og x= 1. Mellom disse ligger den under x aksen. Den er symmetrisk om y-aksen. Vi integrerer fra -2 til -1 og fra -1 til 0. Til slutt multipliserer vi med 2, for å finne hele arealet.

$A= 2 \cdot ( \int_{-2}^{-1}(x^2-1)dx +| \int_{-1}^{-0}(x^2-1))dx | $

$ = 2 \cdot ( [\frac 13 x^3- x ]_{-2}^{-1} + | [ \frac 13 x^3 - x]_{-1}^{0}) | $

$= 2 \cdot ( (\frac {-1}{3}+1) -( \frac {-8}{3} +2) + | ((0)- (\frac{-1}{3} + 1) |$

$ = 2 \cdot ( \frac 43 + \frac 23) $

$ = 2 \cdot \frac 63 $

$= 4$

==Oppgave 5==

===a)===

Forventningsverdi 𝐸(𝑋)

Siden den totale sannsynligheten må være 1, kan vi finne sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg:

$P(X=10)=1−P(X=4)−P(X=5)=1− \frac 14 - \frac 12= \frac 14$

$E(x) = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i) = 10 \cdot \frac 14 + 5 \cdot \frac 12 + 4 \cdot \frac 14 = 2,5 + 2,5 + 1 = 6$

E(X) er 6 kg.

Varians, Var(x):

$Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2$

$Var(X) = \sum_i x_i^2 \cdot P(X=x_i) - \mu^2$

$Var(X) =( 4^2 \cdot \frac 14 + 5^2 \cdot \frac 12 + 10^2 \cdot \frac 14) - 6^2$

$Var (x) = \frac{16}{4} + \frac{25}{2} + \frac{100}{4} -36 = 41,5 -36 = 5,5$

==b)==

Y er summen av vekten til to kuler.

Vi trekker en kule to ganger (med tilbakelegging), så vi må finne sannsynlighetene for summen av vektene til de to kulene. La $X_1$ og $X_2$ være vektene av de to kulene. De mulige verdiene av $𝑌 = X_1 + X_2$

Mulige Y verdier er:

$4+4= 8, \quad 4+5 = 9, \quad 4+10 = 14 $

$5+4= 9, \quad 5+5 = 10, \quad 5+10 = 15 $

$10+4= 14, \quad 10+5 = 15, \quad 10+10 = 20 $

$P(Y=8) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

$P(Y=9) = \frac 14 \cdot \frac 12 + \frac 12 \cdot \frac 14 = \frac {1}{4}$

$P(Y=10) = \frac 12 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=14) = \frac 14 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{8}$

$P(Y=15) = \frac 12 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=20) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

==c)==

$P(Y> 10)$

Vi summerer resultatene fra b som er større enn 10:

$P(Y=14)+ P(Y=15)+ P(Y=20) = \frac {1}{8} + \frac {1}{4} + \frac {1}{16} = \frac{7}{16}$

Sannsynligheten for at Y er større enn 10 er $ \frac {7}{16}$

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:11072024-01.png|800px]]

Har brukt eksponentiell regresjon. Generelt er slike modeller relativt gode mellom og nær målepunkter, men ikke nødvendigvis gode til forutse utviklinger. Er noen kunder avhengig av dette produktet? Er det mange lignende produkter i markedet? Kommer det politiske pålegg i nær framtid som kan påvirke markedet? Disse og mange andre spørsmål tar ikke regresjonen høyde for. Når det er sagt ser jo modellen lite kontroversiell ut, så det kan god være den har en viss gyldighet for alle mulige positive priser. p > 0.

===b)===

For å selge 70 enheter per dag bør prisen være 26 kroner (25,79).

===c)===

[[File: 11072024-03.png|400px]]

For at inntektene skal bli størst mulig må prisen være ca.12,19 kr. Da er etterspørselen ca. 239 enheter.

===d)===

[[File:11072024-04.png|400px]]

Man bør selge 80 enheter daglig, for å maksimere overskuddet.

==Oppgave 2==

Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen
av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det
andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig
rentesats på 3,5 prosent.

===a)===

Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn
innskudd nummer 20.

'''Løsn.'''

Vi skal finne sluttbeløpet når vi kjenner innskuddsbeløp og rente.

[[File: 13072024-01.png|600px]]

Dette er en rekke med 20 ledd der $a_1 = 20000$ og k = 1,035

Sum: $S_{20}=20000\frac{1,035^{20}-1}{1,035-1} = 565594$

På Geogebra på to måter:

[[File: 16072024-02.png|300px]]

Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i
begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av
2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut
at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt
inn.

===b)===

Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.

[[File:16072024-01.png|600px]]

'''Løsn.'''

Vi skal finne innskuddsbeløp når vi kjenner sluttbeløp og rente. Vi har fortsatt en geometrisk rekke, med $a_1 = x$ og $k= 1,035$.
Vi bruker Geogebra:

[[File: 16072024-03.png|300px]]

Han må spare 24500 kr. hvert år.

Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har
satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et
fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.

===c)===

Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?

'''Løsn:'''

Vi har følgende situasjon:

[[File:16072024-04.png|500px]]

Dette er en rekke der $a_n = (20000+(n-1)x)\cdot 1.035^{20-n}$

Vi løser med Geogebra:

[[File: 16072024-05.png|300px]]

Hun må årlige øke beløpet med 1836,33 kr.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

===a)===

[[File: 10072024-01.png]]

$a_n = a_{(n-1)}+ 5(-1)n$

===b)===

==Oppgave 5==

Eksempel på program som simulerer antall barn med høyden lavere enn 84 cm. på 24 måneder gamle barn.

[[File:11072024-02.png|500px]]

Sannsynligheten for at et tilfeldig barn på 24 måneder er lavere enn 84 cm er ca 14%.

S2 2023 høst LØSNING

2025-06-18T17:02:44Z

Torodd:

[https://lektorodd.no/lf/S2-H23/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

$\int_{-1}^{1}(x^3+2x) dx = [\frac 14 x^4 + x^2]_{-1}^{1} = (\frac 14 +1) - ( \frac 14 +1) = 0$

Arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjen x=-1 er lik arealet avgrenset av linjen x =1. grafen og x-aksen. Den ene delen ligger under x-aksen, den andre over. Begge arealene er like store. Grafen går gjennom origo og vi har symmetri om origo.

==Oppgave 2==

===a)===

$S = \frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :

$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$

$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$

===b)===
I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

$a_1 = a_4 - 3d $

$a_7 = a_4 + 3d$

$a_1 + a_4 + a_7 = 114$

$a_4 -3d + a_4 + a_4 +3d =114$

$3 a_4 = 114$

$a_4 = 38$

==Oppgave 3==

===a)===
Stigningstallet til en rett linje gjennom origo skjærer kostnadsfunksjonen i x = a. Stigningstallet gir oss enhetskostnaden ved produksjon av a enheter. I dette tilfellet har linjen som skjærer kostnadsfunksjonen i x = 40 stigningstall 81,75 kr. og er altså enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.

===b)===

Grensekostnaden er sånn ca. hva det koster å øke produksjonen med en enhet, altså den deriverte i punktet. For 40 enheter ser man at stigningstallet til tangenten, den deriverte, er 31 kroner.

===c)===

Stigningstallet til den rette linjen som går gjennom origo og samtidig tangerer kostnadsfunksjonen gir den laveste enhetskostnaden, i dette tilfelle 60 kroner.

==Oppgave 4==

===a)===
Programmet regner ut arealet av flaten som er avgrenset av f(x), x- aksen, linjen x = -2 og linjen x = 2.

===b)===

$f(x) = x^2-1$

Funksjonen har nullpunkter for x=-1 og x= 1. Mellom disse ligger den under x aksen. Den er symmetrisk om y-aksen. Vi integrerer fra -2 til -1 og fra -1 til 0. Til slutt multipliserer vi med 2, for å finne hele arealet.

$A= 2 \cdot ( \int_{-2}^{-1}(x^2-1)dx +| \int_{-1}^{-0}(x^2-1))dx | $

$ = 2 \cdot ( [\frac 13 x^3- x ]_{-2}^{-1} + | [ \frac 13 x^3 - x]_{-1}^{0}) | $

$= 2 \cdot ( (\frac {-1}{3}+1) -( \frac {-8}{3} +2) + | ((0)- (\frac{-1}{3} + 1) |$

$ = 2 \cdot ( \frac 43 + \frac 23) $

$ = 2 \cdot \frac 63 $

$= 4$

==Oppgave 5==

===a)===

Forventningsverdi 𝐸(𝑋)

Siden den totale sannsynligheten må være 1, kan vi finne sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg:

$P(X=10)=1−P(X=4)−P(X=5)=1− \frac 14 - \frac 12= \frac 14$

$E(x) = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i) = 10 \cdot \frac 14 + 5 \cdot \frac 12 + 4 \cdot \frac 14 = 2,5 + 2,5 + 1 = 6$

E(X) er 6 kg.

Varians, Var(x):

$Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2$

$Var(X) = \sum_i x_i^2 \cdot P(X=x_i) - \mu^2$

$Var(X) =( 4^2 \cdot \frac 14 + 5^2 \cdot \frac 12 + 10^2 \cdot \frac 14) - 6^2$

$Var (x) = \frac{16}{4} + \frac{25}{2} + \frac{100}{4} -36 = 41,5 -36 = 5,5$

==b)==

Y er summen av vekten til to kuler.

Vi trekker en kule to ganger (med tilbakelegging), så vi må finne sannsynlighetene for summen av vektene til de to kulene. La $X_1$ og $X_2$ være vektene av de to kulene. De mulige verdiene av $𝑌 = X_1 + X_2$

Mulige Y verdier er:

$4+4= 8, \quad 4+5 = 9, \quad 4+10 = 14 $

$5+4= 9, \quad 5+5 = 10, \quad 5+10 = 15 $

$10+4= 14, \quad 10+5 = 15, \quad 10+10 = 20 $

$P(Y=8) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

$P(Y=9) = \frac 14 \cdot \frac 12 + \frac 12 \cdot \frac 14 = \frac {1}{4}$

$P(Y=10) = \frac 12 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=14) = \frac 14 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{8}$

$P(Y=15) = \frac 12 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=20) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

==c)==

$P(Y> 10)$

Vi summerer resultatene fra b som er større enn 10:

$P(Y=14)+ P(Y=15)+ P(Y=20) = \frac {1}{8} + \frac {1}{4} + \frac {1}{16} = \frac{7}{16}$

Sannsynligheten for at Y er større enn 10 er $ \frac {7}{16}$

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:11072024-01.png|800px]]

Har brukt eksponentiell regresjon. Generelt er slike modeller relativt gode mellom og nær målepunkter, men ikke nødvendigvis gode til forutse utviklinger. Er noen kunder avhengig av dette produktet? Er det mange lignende produkter i markedet? Kommer det politiske pålegg i nær framtid som kan påvirke markedet? Disse og mange andre spørsmål tar ikke regresjonen høyde for. Når det er sagt ser jo modellen lite kontroversiell ut, så det kan god være den har en viss gyldighet for alle mulige positive priser. p > 0.

===b)===

For å selge 70 enheter per dag bør prisen være 26 kroner (25,79).

===c)===

[[File: 11072024-03.png|400px]]

For at inntektene skal bli størst mulig må prisen være ca.12,19 kr. Da er etterspørselen ca. 239 enheter.

===d)===

[[File:11072024-04.png|400px]]

Man bør selge 80 enheter daglig, for å maksimere overskuddet.

==Oppgave 2==

Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen
av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det
andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig
rentesats på 3,5 prosent.

===a)===

Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn
innskudd nummer 20.

'''Løsn.'''

Vi skal finne sluttbeløpet når vi kjenner innskuddsbeløp og rente.

[[File: 13072024-01.png|600px]]

Dette er en rekke med 20 ledd der $a_1 = 20000$ og k = 1,035

Sum: $S_{20}=20000\frac{1,035^{20}-1}{1,035-1} = 565594$

På Geogebra på to måter:

[[File: 16072024-02.png|300px]]

Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i
begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av
2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut
at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt
inn.

===b)===

Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.

[[File:16072024-01.png|600px]]

'''Løsn.'''

Vi skal finne innskuddsbeløp når vi kjenner sluttbeløp og rente. Vi har fortsatt en geometrisk rekke, med $a_1 = x$ og $k= 1,035$.
Vi bruker Geogebra:

[[File: 16072024-03.png|300px]]

Han må spare 24500 kr. hvert år.

Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har
satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et
fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.

===c)===

Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?

'''Løsn:'''

Vi har følgende situasjon:

[[File:16072024-04.png|500px]]

Dette er en rekke der $a_n = (20000+(n-1)x)\cdot 1.035^{20-n}$

Vi løser med Geogebra:

[[File: 16072024-05.png|300px]]

Hun må årlige øke beløpet med 1836,33 kr.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

===a)===

[[File: 10072024-01.png]]

$a_n = a_{(n-1)}+ 5(-1)n$

===b)===

==Oppgave 5==

Eksempel på program som simulerer antall barn med høyden lavere enn 84 cm. på 24 måneder gamle barn.

[[File:11072024-02.png|500px]]

Sannsynligheten for at et tilfeldig barn på 24 måneder er lavere enn 84 cm er ca 14%.

S1 2023 Høst LØSNING

2025-06-18T17:02:00Z

Torodd:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4829 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54561 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://lektorodd.no/lf/S1-H23/ Løysingsforslag laga av Torodd F. Ottestad]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4872 Løsningsforslag laget av Realfagsportalen]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4853 Løsningsforslag laget av Farhan Omar]

[https://youtu.be/INZisk-GO30 Videoløsning del 1 av Lektor Lainz (Reabel)]

==DEL 1==

==Oppgave 1==

$ {(\frac{3a^2}{2b^3})}^2 \cdot {( \frac{a^2b^{-5}}{4})}^{-1} = \frac{9 a^4 \cdot 4}{4b^6 \cdot a^2 \cdot b^{-5}} = \frac{9a^2}{b}$

==Oppgave 2==

$2 \ln e^3 = 2\cdot 3 \ln e =6$

Vi vet at lg(70) er mellom 1 og 2 fordi lg(10) = 1 og lg(100) = 2. Derfor er 3lg(70) mellom 3 og 6 (større enn 3 og mindre enn 6).

$e^{3\ln2} = e^{{\ln2}^3} = 2^3 = 8$

I stigende rekkefølge:

$3 \lg(70), \quad 2 \ln e^3, \quad e^{3 \ln 2}$

==Oppgave 3==

====a)====

P( alle terningen viser forskjellige øyner) = $\frac 66 \cdot \frac 56 \cdot \frac 46 =\frac{20}{36}=\frac{4\cdot 5}{4\cdot 9}= \frac 59$

====b)====

Sannsynligheten for at nøyaktig to terninger viser samme antall øyne, er alle muligheter minus sannnsynligheten for at alle terningene viser forskjellig antall øyne (funnet oppgave a), og minus sannsynligheten for at alle tre terningene viser samme antall øyne.

Finner først sannsynligheten for at alle terningene viser samme antall øyne: P(alle like øyne) = $\frac 66 \cdot \frac 16 \cdot \frac 16 = \frac {1}{36}$

P(Kun to terninger viser det samme antall øyner) = $1 - P(alle \quad like) - P (alle \quad forskjellige) = \frac{36}{36}- \frac{1}{36} - \frac{20}{36} = \frac {15}{36} = \frac {5}{12}$

==Oppgave 4==

<math>f(x)= \bigg{\lbrace} \begin{array}{cc}
x^2+ 3x - a^2, & x < 1 \\
x-1, & x\geq 1 \\
\end{array}
</math>

$f(1)= 1-1 = 0$

$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{ x \to 1^-} (x^2 + 3x - a^2) = 4-a^2$

For at funksjonen skal være kontinuerlig må funksjonsverdien bli null når x går mot en nedenfra. Dvs. $a = \pm 2$

==Oppgave 5==

Programmet finner hvor mange enheter som må produseres for at grensekostnaden skal bli lik 200 kroner. Det vil si det antallet enheter som må produseres, for at det skal koste 200 kr å produsere én til.

$K(x) = 0,1x^2+100x+9000$

$K'(x)=0,2x+100$

Setter K'(x)=200

$0,2x+100=200$

$x=\frac{100}{0,2}=\frac{1000}{2}=500$

Resultatet er at det må produseres 500 enheter for at grensekostnaden skal være 200 kroner.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra til å finne et andregradsuttrykk for produksjonskostnaden.

[[File: S1_H23_del2_1a1.png |700px]]

Bruker CAS til å definere kostnadsfunksjonen K(x) (fra regresjonsanalysen), inntektsfunksjonen I(x) (i tusen kroner), og til slutt overskuddsfunksjonen O(x). O(x) er slik det skulle vises.

[[File: S1_H23_del2_1a2.png|300px]]

===b)===

Bruker CAS til å finne toppunktet i overskuddsfunksjonen. Oppgaven kan også løses grafisk.

[[File: S1_H23_del2_1b.png|200px]]

En produksjon på 134 sofaer gir størst overskudd per måned.

===c)===

Løser oppgaven i CAS. Oppgaven kan også løses grafisk, med glider for prisen p.

[[File: S1_H23_del2_1c.png|400px]]

For å nå et overskudd på 1 million kroner per måned, må prisen settes opp til 30 450 kr per sofa. Da må det også produseres 164 sofaer.

==Oppgave 2==

===a)===

Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra og velger binomisk fordeling.

[[File: S1_H23_del2_2a.png|400px]]

m sannsynligheten for at minst 25 av guttene på skolen er venstrehendte er ca. 75 %.

===b)===

Jeg prøver meg frem og endrer n i sannsynlighetskalkulatoren.

[[File: S1_H23_del2_2b.png|400px]]

Det må være minst 16 gutter i klassen for at sannsynligheten for at minst tre av guttene er venstrehendte, skal være større enn 20 prosent.

===c)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren til Geogebra på samme måte som over, og finner verdiene jeg trenger.

$P(G=3) \cdot P(J=0) + P(G=2) \cdot P(J=1) + P(G=1) \cdot P(J=2) + P(G=0) \cdot P(J=3)$

$ = 0,0997 \cdot 0,2423 + 0,2448 \cdot 0,3582 + 0,3672 \cdot 0,2498 + 0,2442 \cdot 0,1083$

$= 0,23 $

Det er 23 % sannsynlighet for at nøyaktig tre av elevene i klassen er venstrehendte.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1_H23_del2_3a.png|300px]]

Per må sette inn ca. 23 682,3 kr på konto, for å ha 30 000 kr på konto etter 8 år.

===b)===

[[File: S1_H23_del2_3b.png|300px]]

Med 3 % rente tar det 23,45 år å doble beløpet, mens det med 6 % rente tar 11,896 år å doble beløpet. 11,896 ganget med to er ikke nøyaktig likt 23,45 år, og derfor er påstanden feil.

===c)===

[[File: S1_H23_del2_3c.png|300px]]

Det tar 15,24 år før Per og Kåre til sammen har dobbelt så mye
penger som de satte inn på kontoene.

Hvorfor = 4 i likningen? Forklaring:

Per setter inn et beløp b. Kåre setter inn samme beløp b. Til sammen har de allerede beløpet 2b. Skal dette doble seg, må vi få 4b. Beløpets størrelse har ingen betydning. Vi kunne like gjerne skrive likningen $b\cdot 1.03^x+b\cdot 1.06^x=4\cdot b$, og forkorte alle b'ene.

==Oppgave 4==

===a)===

P(minst to terninger med samme antall øyne) = 1 - P(alle terningene viser ulikt antall øyne) = $1-\frac 66 \frac 56 \frac 46 \frac 36 \frac 26 = 1 - \frac{5}{54} = \frac{49}{54}\approx 0,907$

Sannsynligheten for at minst to av terningene viser samme antall
øyne er 90,7 %.

===b)===

Jeg programmerer i Python.

[[File: S1_H23_del2_4b2.png|600px]]

Sannsynligheten for å for en sum på mer enn 20 øyne, i et kast med 5 terninger, er ca. 22 %.

===c)===

Jeg prøver meg frem og endrer verdien i linje 11.

[[File: S1_H23_del2_4c.png|600px]]

Den største verdien er $k$ som er slik at $P(X\geq k)>0,8$ er 14.

==Oppgave 5==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1_H23_del2_5a.png|200px]]

Linje 1: overfaltearealet skal være 120 kvadratdesimeter. Regner ut hva høyden må være når sidene i bunnen er 5 dm.

Linje 2: regner ut volumet når sidene i bunnen er 5 dm og høyden er 4,75.

Det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være
5 dm er 118,75 kubikkdesimeter.

===b)===

[[File: S1_H23_del2_5b.png|700px]]

Det maksimale volumet kassen kan få er ca. 126,5 kubikkdesimeter.

===c)===

[[File: S1_H23_del2_5c.png|700px]]

det minste samlede arealet platene kan ha, for en kasse som rommet 80 kubikkdesimeter, er ca. 88,4 kvadratdesimeter.

==Oppgave 6==

===a)===

Påstanden er usann. Grafen til f har ikke nødvendigvis noe ekstremalpunkt. For eksempel har $f(x)=x^3$ ingen ekstremalpunkter.

===b)===

Påstanden er sann. Alle slike linjer har $D_f=\mathbb{R}$ og $V_f=\mathbb{R}$ , slik også en tredjegradsfunksjon har. Funksjonene må derfor skjære hverandre.

===c)===

[[File: S1_H23_del2_6c.png|300px]]

Påstanden er sann.

S1 2022 Vår LK20 LØSNING

2025-06-18T17:00:41Z

Torodd:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4213 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53901 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://www.matematikk.net/res/eksamen/L%C3%B8sninger/S1-V2022-LK20-LF.pdf Løsningsforslag laget av Farhan Omar]

[https://lektorodd.no/lf/S1-V22/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

$(2a)^{-1}\cdot (\frac{b}{2})^{-3}\cdot(a\cdot b)^3$

$=2^{-1}\cdot a^{-1}\cdot b^{-3}\cdot 2^3\cdot a^3 \cdot b^3$

$=2^{-1+3}\cdot a^{-1+3} \cdot b^{-3+3}$

$=2^2\cdot a^2 \cdot b^0$

$=4a^2$

==Oppgave 2==

$E(x)=0,2x+40+\frac{20\,000}{x}$

$E'(x)=0,2-\frac{20\,000}{x^2}$

$E'(100)=0,2-\frac{20\,000}{100^2} = 0,2-\frac{20\,000}{10\,000} = 0,2-2 =-1,8$

$E'(100)$ forteller oss at en dag det produseres 100 luer, ville produksjonskostnaden synke med 1,8 kroner per lue, dersom fabrikken skulle øke produksjonen med 1 lue.

==Oppgave 3==

$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x+4)}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{1}{x+4}$

$=\frac{1}{7}$

==Oppgave 4==

$e^{2x}-e^x=2$

$(e^x)^2-e^x-2=0$

Setter $u=e^x$

$u^2-u-2=0$

$(u+1)(u-2)=0$

$u=-1 \vee u=2$

$e^x=-1 \vee e^x=2$

Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.

$ln(e^x)=ln(2)$

$x=ln(2)$

==Oppgave 5==

$lg(x+3)+lg\,x=lg\,a$

Setter inn x=7.

$lg(7+3)+lg\,7=lg\,a$

$lg\,10 + lg\,7=lg\,a$

$lg(10\cdot7)=lg\,a$

$lg\,70 = lg\,a$

$a=70$

==Oppgave 6==

===a)===

Eleven ønsker å finne ut hvor stor andel av en million kast med to terninger, som ender med at summen av de to terningene er 9 (i samme kast).

Linje 1: importerer "randint"-funksjonen fra "random"-biblioteket
Linje 4: setter variabelen N til en million
Linje 5: setter variabelen "gunstige" til null

Line 7: dette er en for-løkke, som går N ganger, altså en million ganger i dette tilfellet.

Linje 8-9 (inni for-løkka): to tilfeldige tall, a og b, genereres med "randint"-funksjonen. Tallene a og b er mellom 1 og 6 (tilsvarende 2 terninger).

Linje 10-11 (inni for-løkka): en if-setning sier at dersom summen av tallene a og b er lik 9, økes variabelen "gunstige" med 1.

Linje 13: her skrives andelen gunstige utfall ut, altså antall ganger summen av "terningene" ble 9, delt på antall forsøk (en million terningkast med to terninger).

===b)===

Sum 9 på to terninger er mulig å oppnå på 4 måter: 6+3, 5+4, 4+5, 3+6. Totalt er det 6*6=36 mulige utfall ved kast av to terninger.

Vi har at $P(sum\,9) = \frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

[[File: S1-V22-del2-1.png|800px]]

===a)===

Velger å la x-verdiene være antall år etter 1960, og bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

Velger en eksponentiell modell, da denne passer godt til dataene vi har. I tillegg er det usannsynlig at antall gårdsbruk i Norge blir null, så en eksponentiell modell hvor antall gårdsbruk fortsetter å avta uten å bli null, passer godt.

Modellen er $g(x)=207814\cdot 0,972^x$

===b)===

Skriver x=100 i Geogebra (tilsvarer 100 år etter 1960, altså 2060) og finner skjæringspunktet mellom x=100 og grafen til g. Se punkt A=(100,12061). Ifølge modellen min vil det være 12061 gårdsbruk i Norge i 2060.

===c)===

Bruker CAS i Geogebra og løser likningen $g'(x)=-1000$. CAS regner ut at $x=62,4$. Det vil si at ifølge modellen min, vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000, ca. 62 år etter 1960, altså i år 2022.

==Oppgave 2==

===a)===

Vi må gå ut fra at:

- sannsynligheten for at en oppkjøring blir bestått, er en uavhengig hendelse (ulike oppkjøringer påvirker ikke hverandre)

- det er kun to utfall: bestått eller ikke bestått (dette kan vi trygt anta)

- det er en fast sannsynlighet for at en oppkjøring blir bestått (0,74)

===b)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

[[File: S1-V22-Del2-2b.png|400px]]

Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen er 0,821

===c)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

[[File: S1-V22-Del2-2c.png|400px]]

P(5 av 7 gutter OG 4 av 5 jenter) = 0,315*0,3898 = 0,123

Sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen er 0,123

==Oppgave 3==

===a)===

Årlig vekstfaktor: $1,003^{12}=1,037$

Årlig rentesats er 3,7 %

===b)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-V22-del2-3b.png|200px]]

Kan bruke månedlig eller årlig vekstfaktor. Det går ca. 44 måneder, eller 3 år og 8 måneder, før han har 80 000 kr på kontoen.

===c)===
Han setter inn et nytt beløp hver måned. Funksjonen er derfor ikke kontinuerlig.

===d)===

[[File: 10122023-01.png | 400px]] [[File: 10122023-02.png | 400px]]

Det tar ca. 48 måneder - 4 år før beløpet overstiger 200.000 kr.

==Oppgave 4==

Her kan vi la oss inspirere av programmet i del 1, oppgave 6, med noen modifikasjoner.

[[File: S1-V22-del2-4a.png|300px]]

Programmet simulerer en million kast med 3 terninger. Jeg kjører programmet flere ganger, og får hver gang en sannsynlighet for å vinne på rundt 0,092.

==Oppgave 5==

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-v22-del2-5a.png|250px]]

Linje 1: definerer funksjonen til den rette linja som går gjennom punktene (0,2) og (2,0).

Linje 2: Definerer funksjonen for arealet av rektangelet. Jeg tenker at rektangelet består av to like deler. Arealet av delen til høyre for y-aksen, vil være bredden a ganget med høyden f(a). Jeg ganger dette med 2, for å få arealet av hele rektangelet.

Linje 3: Jeg setter den deriverte av T lik 0, for å finne den verdien av a som gir størst areal. (Jeg vet at ekstremalpunktet til T(a) er et toppunkt, fordi andregradsleddet er negativt).

Linje 4: den verdien av a som gir størst areal, er 1. Jeg beregner derfor arealet T(a) når a = 1.

Den største verdien T kan ha er 2.

==Oppgave 6==

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-V22-del2-6.png|300px]]

Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.

==Oppgave 7==

A er grafen til f, og D er grafen til f'. Der hvor grafen til f' har nullpunkter, har grafen til f ekstremalpunkter. Der hvor funksjonsverdien til f' er positiv, vokser grafen til f. Der hvor funksjonsverdien til f' er negativ, synker grafen til f. Der hvor grafen til f' har et bunnpunkt (f dobbeltderivert lik 0), har grafen til f et vendepunkt.

C er grafen til g, og B er grafen til g'. Der hvor grafen til g' har et nullpunkt, har grafen til g et ekstremalpunkt. Der hvor funksjonsverdien til g' er positiv, vokser grafen til g. Der hvor funksjonsverdien til g' er negativ, synker grafen til g.

2P 2024 Vår LØSNING

2025-06-18T16:58:30Z

Torodd:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4943 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54724 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://lektorodd.no/lf/2P-V24/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

[https://kublakanutdanning.no/eksamen-2p-varen-2024/ Løsning som video fra KublaKan Utdanning]

=DEL 1=

{{Reklame}}

==Oppgave 1==

Gjennomsnitt: legger sammen alle tallene og deler på antall tall.

$\frac{1+ 3+ 4+ 0+ 4+ 5+ 2+ 7+ 12+ 2}{10}=\frac{40}{10}=4$

Gjennomsnittet er 4 timer på sosiale medier per dag.

Median: ordner tallene i stigende rekkefølge og finner gjennomsnittet av de to midterste tallene.

$0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 12$

De to midterste tallene er 3 og 4, og gjennomsnittet av disse er 3,5.

Medianen er 3,5 timer på sosiale medier per dag.

==Oppgave 2==

Prisen på varen følger konsumprisindeksen. Dersom varen kostet 1000 kr i 2015, ville den kostet 1296 kr i 2023. Siden varen kostet 500 kr i 2015 (altså halvparten av 1000), vil varen koste 648 kr (halvparten av 1296 kr) i 2023.

==Oppgave 3==

Målestokk angir hvor mange cm i virkeligheten én cm på kartet viser.

2 cm på Astrids kart tilsvarer 300 m i virkeligheten, som vil si at 1 cm på Astrids kart tilsvarer 150 m i virkeligheten.

150 m = 15 000 cm, altså er målestokken 1:15000.

==Oppgave 4==

x = pris for én ispinne

y = pris for én boks med mineralvann

Lager et likningssystem:

Likning I $\quad 30x+30y=900$

Likning II $\quad y=x+6$

Bruker innsettingsmetoden og setter inn verdien for y fra likning II, inn i likning I.

$30x+30(x+6)=900$

$30x+30x+180=900$

$60x=900-180$

$x=\frac{720}{60}$

$x = 12$

Setter inn verdien for x inn i likning II:

$y = x+6$

$y = 12+6= 18$

En ispinne kostet 12 kroner, og en boks med mineralvann kostet 18 kroner.

==Oppgave 5==

Pris per bagett i det første tilbudet: 32 kr / 2 = 16 kr

Pris per bagett i det andre tilbudet: 48 kr / 4 = 12 kr

Prisforskjell per bagett: 16 kr - 12 kr = 4 kr

Prosent forskjell i pris per bagett, sammenlignet med den dyreste prisen: $\frac{4}{16}\cdot 100\%=\frac{1}{4}\cdot 100\%=25\%$

Det blir 25 % billigere per bagett å kjøpe fire bagetter, enn å kjøpe to bagetter.

=DEL 2=

{{Reklame}}

==Oppgave 1==

===a)===

Tuva kan ha brukt eksponentiell regresjonsanalyse, som vist under i Geogebra.

[[File: 2P_V24_del2_1a.png | 500 px]]

I modellen $f(x)=5244\cdot1,35^x$ vekstfaktoren 1,35, som betyr en månedlig vekst på 35 % følgere.

===b)===

Jeg forstår spørsmålet som at antall følgere skal øke med 40 % fra april til mai, og med 45 % fra mai til juni.

Antall følgere i mai: $24008\cdot 1,40 \approx 33611$

Antall følgere i juni: $33611\cdot 1,45 \approx 48736$

===c)===

Jeg løser oppgaven i Excel.

[[File: 2P_V24_del2_1c.png | 1000 px]]

Tuva vil ha 42 % prosent flere følgere i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt for hver måned, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned.

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker Geogebra til å finne statistikk for Solveigs skiturer:

[[File: 2P_V24_del2_2a.png]]

I gjennomsnitt brukte Solveig 7,15 timer per skitur, mens Miriam brukte 4,7 timer per skitur. Gjennomsnittlig varte altså skiturene til Solveig lengre.

Medianen for Solveigs skiturer var 7,5 timer, mot 4 timer for Miriam. Det vil si at halvparten av skiturene til Solveig varte mer enn 7,5 timer, mens halvparten av skiturene til Miriam varte mer enn 4 timer.

Standardavviket for Solveigs skiturer er ca. 2,5 timer, med for Miriam er det 4,2. Det vil si at Miriam har større variasjon i varigheten på skiturene. Hun kan ha hatt noen veldig korte og noen veldig lange skiturer. Solveig holder seg nærmere gjennomsnittsvarigheten på sine skiturer.

Miriam har et gjennomsnitt som er høyere enn medianen, som vil si at hun har en eller flere lange skiturer som "drar opp" gjennomsnittet.

Solveig har et gjennomsnitt som er lavere enn medianen, som vil si at hun har en eller flere korte skiturer som "drar ned" gjennomsnittet.

===b)===

1) I den andre raden i tabellen står det at jentene gikk 11 skiturer på 3 timer eller mindre. I den tredje raden i tabellen står det at jentene gikk 14 skiturer på 5 timer eller mindre. Det må bety at 3 av skiturene var på 5 timer.

2) Vi ser av tallene over oppgave a) at Solveig gikk fire skiturer på 8 timer. Tabellen i oppgave b) viser at jentene bare gikk tre skiturer på 8 timer sammen. Det vil si at Miriam ikke var med på én av 8-timers turene til Solveig.

==Oppgave 3==

Påstand 1: "80 elever brukte mindre enn 40 minutter på lekser denne ettermiddagen."

Vi ser på første søyle i histogrammet, og ganger klassebredden med høyden på søylen: $40 \cdot 2 = 80$. Dette gir oss en frekvens på 80 stykker i klassen 0-40 minutter med lekser. Påstanden er riktig.

Påstand 2: "Den relative frekvensen for 100–150 minutter brukt på lekser er 1/5."

Vi finner frekvensen for alle søylene til sammen: $40\cdot 2 + 20\cdot 6 + 40\cdot 5 + 50\cdot 2 = 80+120+200+100 = 500$

Frekvensen for klassen 100-150 minutter er 100.

Den relative frekvensen for klassen 100-150 minutter er da 100 / 500 = 1/5. Påstanden er riktig.

Påstand 3: "Elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, brukte i gjennomsnitt 38 minutter."

80 elever brukte 0-40 minutter (gjennomsnittlig 20 minutter) og 120 elever brukte 40-60 minutter (gjennomsnittlig 50 minutter) på lekser.

$\frac{80\cdot 20 + 120\cdot 50}{200} = \frac{7600\, min}{200\, elever}=38 \, min/elev$. Påstanden er riktig.

Påstand 4: "For elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, er medianen for antall minutter høyere enn gjennomsnittet for antall minutter."

80 elever brukte 0-40 minutter og 120 elever brukte 40-60 minutter på lekser. Det er 200 elever til sammen i disse to klassene, og det betyr at medianelevene nr. 100 og 101 er i klassen 40-60 minutter. Medianen er altså mer enn gjennomsnittet (38 minutter). Påstanden er riktig.

==Oppgave 4==

===a)===

Sara har først omformet likningene til å være uttrykt ved y (før hun laget programmet). I programmet definerer hun likningene som funksjoner f(x) og g(x) i linje 1-2 og 4-5.

Deretter lager Sara en for-løkke som går gjennom alle x-verdier (hele tall) fra og med -5 til 5 (det vil si til og med 4), og tester med en if-setning om funksjonene f(x) og g(x) har lik funksjonsverdi for hver av disse x-verdiene. Dersom funksjonsverdiene er like, skrives x- og y-verdien ut. Programmet til Sara er en slags "prøve-og-feile" metode.

===b)===

Ole må omforme sine likninger til å være uttrykt med y, og bruke disse i definisjonen av f(x) og g(x). Jeg brukte CAS til å løse likningssystemet, og fikk løsninger når x=-7 og x=8, så Ole må endre for-løkka til gå fra og med -7 til 9, slik at løsningsverdiene er med i løkka.

==Oppgave 5==

===a)===

Siden arealet til kvadratet som klatreveggen skal bygges på er $20\,m^2$, er sidelengden $\sqrt{20}\,m=2\sqrt{5}\,m$. Det betyr at diameter til grunnflaten til kjeglen må være maksimum $2\sqrt{5}\,m$ , og radius er da maksimum $\sqrt{5}\,m$ .

Arealet til kjeglens grunnflate er da: $G=\pi \cdot r^2=\pi\cdot\sqrt{5\,m}^2=5\pi\,m^2$

[[File: 2P_V24_del2_5a.png]]

For å finne høyden i den øverste kjeglen (h2), finner jeg først radius i grunnflaten til den øverste kjeglen, og bruker deretter formlikhet, se utklippet fra CAS til høyre i bildet.

===b)===

Bruker CAS i Geoegbra. Finner først hele høyden til den største kjegla (linje 3), volum til hele kjegla (linje 4), så volum til den øverste kjegla (linje 4), og til slutt volum til selve klatreveggen (linje 5).

[[File: 2P_V24_del2_5b.png]]

Det går med ca. $32\,m^3$ betong for å lage klatreveggen.

{{Reklame}}

==Oppgave 6==

===a)===

Jeg kan se at det er et annuitetslån fordi det er samme lånekostnad (terminbeløp) per måned.

Johannes kan ikke låne mer enn 1 700 000 kr når boligens pris er 2 000 000 kr, fordi han må ha minst 15 % i egenkapital. 15 % av 2 000 000 kr er 300 000 kr.

===b)===

Utregningen regner ut vekstfaktor for én måned (1+0,015) og ganger deretter denne vekstfaktoren med seg selv 12 ganger, for å få total vekstfaktor i løpet av et år. Vekstfaktoren for hele året er 1,1956, som vi si en rente på 19,56 % per år.

Jeg kan bruke CAS i Geogebra for å finne Johannes sin månedlige rente:

[[File: 2P_V24_del2_6b.png]]

Johannes sin årlige rente på 5,49 % tilsvarer en månedlig rente på 0,446 %.

===c)===

Terminbeløpet er 10 495 kr. På første nedbetaling vil renten være 0,446 % av 1 700 000 kr, det vil si 7820 kr. Utregning: $0,00446\cdot1700000=7820$

Finner andel renter:

$\frac{7820}{10495}\approx 0,745$.

Omtrent 3/4 av terminbeløpet er altså renter, og 1/4 er avdrag.

===d)===

Fagforeningskontingent: $0,012\cdot 52000\,kr =624\,kr$

Pensjonssparing: $0,02\cdot 52000\,kr=1040\,kr$

Skatt: $(52000\,kr-624\,kr-1040\,kr)\cdot 0,32=16107,5\,kr$

Balanse: $52000\,kr-624\,kr-1040\,kr-16107,5\,kr-8683\,kr-3610\,kr-1600\,kr-2000\,kr=18335,5\,kr$.

Johannes har 18 335,5 kr på konto etter alle utgifter, og har da råd til å betale 10 495 kr i terminbeløp på lånet, og fortsatt ha penger til overs.

Dersom renten øker med 3 prosentpoeng, vil renta være 8,49 % i året, det vil si 0,681 % i måneden (bruker samme likning som i oppgave b for å finne dette). Det gir en rente på $0,681\cdot 1700000\,kr=11577\,kr$ den første måneden. Terminbeløpet vil da være høyere, f.eks. 15000 kr. Johannes har fortsatt råd til dette, og kan f.eks. spare litt ekstra i forkant i tilfelle renten øker. Han kan evt. også kutte på andre utgifter.

2PY 2024 høst LØSNING

2025-06-18T16:57:57Z

Torodd:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4976 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54906 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://lektorodd.no/lf/2PY-H24/ Løysingsforslag laga av Torodd F. Ottestad]

[https://kublakanutdanning.no/losningsforslag-eksamen-2p-y-hosten-2024/ Videoløsning laget av KublaKan]

[https://youtu.be/xwKosmDvtgU Videoløsning laget av Sumrise]

==DEL 1==

===Oppgave 1===

30 % tilsvarer 12 kroner. Det vil si at 10 % tilsvarer 4 kroner. 100 % tilsvarer da 40 kroner.

Varen kostet opprinnelig 40 kroner.

===Oppgave 2===

Her er antall timer Lars har arbeidet på butikken de siste 10 dagene:

3 3 4 5 6 8 0 3 5 5

====a)====

Gjennomsnitt:

$\frac{3+3+4+5+6+8+9+3+5+5}{10} = \frac{42}{10} = 4,2$

Lars har arbeidet i gjennomsnitt 4,2 timer per dag på butikken.

Sorterer tallene i stigende rekkefølge for å finne medianen:

0 3 3 3 4 5 5 5 6 8

Median:

$\frac{4+5}{2}= 4,5$

Medianen er 4,5 timer arbeid per dag.

====b)====

Jeg ser i tallrekka som er sortert i stigende rekkefølge at Lars arbeidet 5 timer eller mindre i 8 dager. Vi sier at den kumulative frekvensen for 5 timer er 8.

===Oppgave 3===

Grafen til f viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, fordi grafen til f går gjennom origo, og øker lineært (med et konstant stigningstall). Vi har $f(x)=25\cdot x$.

Grafen til p viser sammenhengen mellom to omvendt proporsjonale størrelser, fordi vi har sammenhengen $p(x)=\frac{1000}{x}$

===Oppgave 4===

===a)===

Figur nr. 4 vil ha 24 små sirkler.

Figur nr. 10 vil ha 48 små sirkler.

===b)===

Hver figur består av et kvadrat med et antall små sirkler som er 4 ganger figurnummeret. Hver figur har 8 små sirkler i tillegg. Vi har:

$F_n=4n+8$

===Oppgave 5===

====a)====

Uttrykket i linje 2 er en eksponentialfunksjon som uttrykket antall tonn CO2 bedriften slipper ut x år etter 2025.

200 er antall tonn CO2-utlipp i 2025.

0,975 er vekstfaktoren for en årlig nedgang i CO2-utslipp på 2,5 %.

====b)====

x er antall år, og s er summen av CO2-utslippene. Programmet regner ut summen av CO2-utslippene 4 år etter 2025 (altså i 2029).

==DEL 2==

===Oppgave 1===

$F(x)=620\cdot 1,045^x$

F viser hvor mange flasker iste en bedrift regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

====a)====

=====1)=====
Hvor mange flasker iste bedriften regner med å selge i desember 2025:

Metode 1, ved utregning: $F(12)=620 \cdot 1,045^{12}\approx 1051$

Metode 2, grafisk i Geogebra Suite:

Tegner grafen til F og linja x=12. Bruker deretter "skjæring mellom to objekt". Se punkt A.

[[File: 2P_H24_del2_1a2.png|800px]]

Bedriften regner med å selge ca. 1051 flasker i desember 2025.

=====2)=====

Når bedriften vil selge mer enn 2000 flasker i løpet av en måned:

Metode 1, ved utregning i CAS:

[[File: 2P_H24_del2_1a3.png|400px]]

Metode 2, grafisk i Geogebra Suite (se skjermbilde i deloppgave 1):

Tegner grafen til F og linja y=2000. Bruker deretter "skjæring mellom to objekt". Se punkt B.

Bedriften regner med å selge 2000 flasker 26 måneder etter desember 2024, dvs i februar 2027.

====b)====

Jeg løser oppgaven på to måter.

1) Ved å bruke vekstfaktor:

$1,045^{24}=2,876$

En vekstfaktor på 2,876 betyr en økning i salget på 187,6 %.

2) Ved å bruke prosentregning:

Finner at $F(24)=1783$

Beregner prosent endring:

$\frac{1783-620}{620}\cdot100 \% = 187,6 \%$

===Oppgave 2===

====a)====

Bruker CAS i Geogebra til å utføre beregningene.

$25\cdot10^9\cdot150=3,75\cdot10^{12}$

$54\cdot10^9\cdot150=8,1\cdot10^{12}$

Det er mellom $3,75\cdot10^{12}$ og $8,1\cdot10^{12}$ bakterier i kjøkkensvampen.

====b)====

Bruker CAS i Geogebra til å utføre beregningene.

$0,2\cdot10^{-6}\cdot3,75\cdot10^{12}=7,5\cdot10^5$

$2\cdot10^{-6}\cdot8,1\cdot10^{12}=1,62\cdot10^7$

Rekken vil bli mellom $7,5\cdot10^5$ og $1,62\cdot10^7$ meter lang. Hvem som lurer på det, er en annen historie...

===Oppgave 3===

For å finne 10 % av 50:

$x=\frac{10}{100}\cdot 50$

$x=\frac{10\cdot 50}{100}$

$x=5$

For å finne 50 % av 10:

$x=\frac{50}{100}\cdot 10$

$x=\frac{10\cdot 50}{100}$

$x=5$

Vi får alltid samme svar i slike tilfeller. Å finne p % av q eller q % av p er det samme.

$x=\frac{p}{100}\cdot q = \frac{q}{100}\cdot p = \frac{p\cdot q}{100}$

===Oppgave 4===

====a)====

Modell for avtale A:

$A(x)=50x$

Modell for avtale B:

$B(x)=30x+1995$

Modell for avtale C:

$C(x)=24x+3490$

====b)====

Løser oppgaven grafisk i Geogebra. Grafen for avtale B er den blå linjen. Denne avtalen er billigst mellom punkt D og E, det vil si fra og med 100 til og med 249 dager med parkering per år.

[[File: 2P-Y_H24_del2_4b.png|800px]]

===Oppgave 5===

====a)====

Jeg bruker Tabell i Geogebra Suite, legger inn tallene, og velger statistikk.

Gjennomsnittsalderen er 40 år, medianalderen er 34,5 år, og standardavviket er 25,4 år for lag A.

Jeg kunne også brukt Excel til denne oppgaven, se skjermbilde i oppgave c).

[[File: 2P_H24_del2_4a.png|1000px]]

====b)====

På lag B er både gjennomsnittsalderen og medianalderen høyere enn på lag A. Standardavviket er derimot lavere. Det vil si at deltakerne på laget jevnt over er eldre, og at det ikke er like stor aldersforskjell på dem.

På lag C er medianalderen lavere enn på lag A, men gjennomsnittsalderen og standardavviket er høyere. Det vil si at minst halvparten av deltakerne på lag C er yngre enn medianalderen på lag A. Men siden gjennomsnittsalderen er høyere enn på lag A, er det noen eldre deltakere som trekker gjennomsnittsalderen opp. Et større standardavvik betyr at aldersforskjellen er større blant deltakerne på lag C.

====c)====

Jeg bruker Excel til å sette opp et eksempel på aldersfordeling på lag B og C, og beregne median, gjennomsnitt og standardavvik for hvert av lagene, slik at det passer med opplysningene.

[[File: 2P_H24_del2_4c.png|1000px]]

===Oppgave 6===

====a)====

Bruker Geogebra Suite. Legger inn verdiene i "Tabell", trykker på de 3 prikkene ved kolonne y1, og velger "Regression". I vinduet som kommer opp velger jeg "Potens" som regresjonsmodell.

[[File: 2P-Y_H24_del2_6a.png|800px]]

Jeg får modellen $L(x)\approx 10\cdot x^{0,33}$

====b)====

Jeg legg inn linjen y=45 i Algebra-feltet, og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punkt A.

[[File: 2P-Y_H24_del2_6b.png|800px]]

Det tar 91 dager før Hanne klarer å løpe 45 minutter sammenhengende ifølge modellen.

====c)====

Jeg legger inn punkt B og C, og lager en linje mellom disse to punktene med verktøyet "Linje". Finner deretter stigningstallet til denne linjen med verktøyet "Stigning".

[[File: 2P-Y_H24_del2_6c.png|800px]]

Tiden Hanne klarer å løpe sammenhengende har økt med ca. 0,5 minutter per dag fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen.

===Oppgave 7===

[[File: 2P_H24_del2_6.png|1000px]]

Jeg har laget tre grupperte stolpediagrammer for å sammenligne menn og kvinners tid brukt på de ulike aktivitetene i 1970, 1990 og 2010, hver for seg. Jeg har vært nøye med å bruke samme avstand mellom enhetene på y-aksen for alle diagram, slik at de er sammenlignbare og forskjeller ikke overdrives.

'''Inntekstgivende arbeid''': her bruker menn gjennomsnittlig mer tid per dag enn kvinner, for alle årstall. Vi ser likevel en nedgang i timer brukt for menn, og en økning i timer brukt for kvinner. I 2010 har kvinner likevel ikke tatt igjen menn.

'''Husholdningsarbeid''': her bruker kvinner gjennomsnittlig mer tid per dag enn menn, for alle årstall. Vi ser likevel en nedgang i timer brukt for kvinner, og en økning i timer brukt for menn. I 2010 har menn likevel ikke tatt igjen kvinner.

'''Utdanning''': vi ser at det gjennomsnittlig er brukt svært lite tid på utdanning per dag for både menn og kvinner, for alle årstallene.

'''Prosent forskjeller for kvinner sammenlignet med menn''': vises i tabell. De mest bemerkelsesverdige tallene er at kvinner brukte 167 % mer tid enn menn på husholdningsarbeid i 1970, og 65 % mindre tid på inntektsgivende arbeid samme år.

'''Linjediagrammer''': her ser vi utviklingen over tid for tidsbruken på de ulike aktivitetene. Jeg har laget et separat linjediagram for menn og kvinner. Vi ser godt at tidsbruken på utdanning er jevnt lav, og tidsbruken på husholdningsarbeid er høyest for kvinner; mens inntektsgivende arbeid er høyest for menn.

===Oppgave 8===

====a)====

Jeg viser to alternativer til å løse oppgaven.

Første alternativ er i Excel. Her har jeg en liste med uker fra 1 til 50 i kolonne A, og liste med km i kolonne B. Begynner med 40 km i celle B2. I celle B3 ganger jeg B2 med 1,05 (vekstfaktoren for 5 % vekst). Jeg autofyller formelen nedover. I uke 50 leser jeg av at Tore vil sykle ca. 437 km.

Andre alternativ er i CAS i Geogebra Calculator Suite. I linje 1 legger jeg inn en modell for K(x) antall km Tore sykler i uke x. I linje 2 finner jeg K(50). Tore vil sykle ca. 437 km i uke 50.

[[File: 2P-Y_H24_del2_8.png|800px]]

====b)====

Tore vil ha syklet til sammen ca. 8374 km i løpet av 50 uker dersom han klarer å følge planen.

Første alternativ: Løst i Excel med funksjonen =Summer() i celle B52.

Andre alternativ: Løst med =Sum(Uttrykk, Variabel, Startverdi, Sluttverdi) i CAS i Geogebra Calculator Suite. Se linje 3. Verdiene lagt inn er =Sum(K, x, 1, 50).

S1 2022 Høst LK20 LØSNING

2025-06-18T16:56:57Z

Torodd:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4501 Denne oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54141 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4563 Løsning laget av Farhan Omar]

[https://lektorodd.no/lf/S1-H22/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

=DEL EN=

==Oppgave 1==

$(2a^{-2} b)^{-1} \cdot ({\frac{b^2}{a}})^2 =$ $\frac{a^2}{2b} \cdot \frac{b^4}{a^2}= \frac{b^3}{2} $

==Oppgave 2==

===a)===

$ O(x)= -0.05x^2+100x-10000$

$O'(x) = -0,10x+100$

$O'(500)= -50 +100 =50$

Den momentane veksten ved 500 produserte enheter er 50 kr. Det betyr at dersom produksjonen øker med en enhet vil overskuddet øke med 50 kr.

===b)===

Overskuddsfunksjonen er en parabel som vender sin hule side ned. Den har da et maksimum for O'(x) = 0:

$-0.10x + 100 = 0$

$x=1000$

O(1000) = 40 000 kroner.

==Oppgave 3==

$\lg(x+3)+\lg x =1$

$\lg((x+3)x) =1$

$10^{\lg(x^2+3x)} = 10^1$

$x^2-3x-10 =0$

$x=5$

(kun positiv løsn. pga log)

==Oppgave 4==

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(4+h)^2-4^2}{h}$

Dette ser i utgangspunktet ut som et null over null utrykk. Vi får rydde litt:

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(16+8h+ h^2)-16}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h(8+ h)}{h} =8 $

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom ikke begge kulene er sorte er minst en hvit.

P(minst en hvit) = 1 - P(to sorte) = 1 - $\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{13}{28}$

===b)===

antall hvite kuler (h) = 2

antall svarte kuler (s) = 0

sannsynligheten (P) for å trekke 2 svarte kuler = 0

Så lenge (while) sannsynligheten er mindre enn 0,5:

- legge til 1 svart kule (s=s+1)

- $P=\frac{s}{h+s}\cdot\frac{s-1}{h+s-1}$

- når løkken er ferdig: skrive ut verdien for antall svarte kuler, og sannsynligheten for å trekke to svarte kuler.

=DEL TO=

==Oppgave 1==

Dette kan oppfattes som en binomisk situasjon

*Om hendelsen inntreffer eller ikke: turist eller ikke.

*Vi regner sannsynligheten som lik i alle delforsøk, fordi det er mange turister.

*Delforsøkene er uavhengige. (Dette er neppe helt riktig)

[[File:311222-01.png]]

Det er ca. 65% sannsynlig.

==Oppgave 2==

===a)===
[[File:301222-01.png]]

Definerer x

*Finer tangenten g(x) i et vilkårlig punkt a
*Finner tangentens skjæringer med aksene
*Finner uttrykket for arealet

Arealet av trekanten blir ca. 0,78 (linje 6) når koordinatene til P er $( \frac 12, \frac 34)$

===b)===

Vi deriverer arealfunksjonen og setter den lik null, løser likningen. Se linje 8 og 9 i del a. Minste areal ca. 0,77.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:171122-2.png]]

Å basere en "modell" på historiske data og forvente at den skal gi et bilde av fremtiden er omtrent som å tro på julenissen. For å si noe om framtiden trenger vi informasjon og forutsetninger utover historiske data.

Begge grafene gir et bilde av det som har vært. Polynomfunksjonen gir best sammenheng med en kvadrert regresjonskoeffisient på 0,9917. Begge funksjoner vokser med en takt som neppe er bærekraftig. Polynomfunksjonen vokser minst og vil trolig ligge nærmest den framtidige virkelighet, selv om oppgaven mangler informasjon til å kunne si noe fornuftig om det.

===b)===

[[File:171122-3.png]]

Veksten er 33 og 91 milliarder per å i gjennomsnitt for henholdsvis g og f.

===c)===

[[File:171122-5.png]]

===d)===

==Oppgave 4==

===a)===

[[File: S1-H22-del2-6a.png|400px]]

$P(X>60)\approx 0,13$

===b)===

[[File: S1-H22-del2-6b2.png|400px]]

Den minste verdien n kan ha er 17.

==Oppgave 5==

===a)===

===b)===

==Oppgave 6==

===a)===

===b)===

===c)===

===d)===

===e)===

S1 2023 Vår LK20 LØSNING

2025-06-18T16:56:27Z

Torodd: lenkefiks

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4670 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54328 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://lektorodd.no/lf/S1-V23/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4738 Løsning fra Farhan Omar]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

$\frac{(2ab^{-1})^3\cdot(a^2b^{-2})^{-1}}{4a^2b^{-3}} = \frac{2^3a^3b^{-3}\cdot a^{-2}b^2}{4a^2b^{-3}} = \frac{8}{4}\cdot a^{3+(-2)-2}\cdot b^{-3+2-(-3)} =2a^{-1}b^2=\frac{2b^2}{a}$

==Oppgave 2==

$f(x)=x\cdot ln\, x$

Bruker produktregelen for derivasjon.

$f'(x)= 1 \cdot ln \, x + x \cdot \frac{1}{x} = ln\, x + 1$

==Oppgave 3==

\[ \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{2^3-8}{2^2-4} = \frac{0}{0}\]

Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.

\[ \lim_{x\to 2} \frac{3x^2}{2x}=\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\]

==Oppgave 4==

===a)===

P(to svarte kuler) = $P(ssh)+P(shs)+P(hss)=P(ssh)\cdot 3=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}\cdot 3 = \frac{12}{35}$

===b)===

P(minst to hvite kuler) = $P(hhs)+P(hsh)+P(shh)+P(hhh) = P(hhs)\cdot 3 + P(hhh) = \frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{5}\cdot 3 + \frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5} = \frac{18}{35}+\frac{4}{35}=\frac{22}{35}$

==Oppgave 5==

I while-løkken er betingelsen at $\frac{\Delta y}{\Delta x}<260$, med en veldig liten $\Delta x$.

Det vil si at while-løkken finner en tilnærmingsverdi for K'(x) for ulike x verdier, helt til K'(x) ikke lenger er mindre enn 260.

Da skriver programmet ut x-verdien hvor K'(x) er tilnærmet lik 260.

Svaret forteller bedriften hvor mange enheter per uke bedriften må selge for at kostnaden per enhet skal øke med 260 kroner per enhet per uke.

Vi kan finne svaret ved regning:

$K'(x) = 260$

$0,4x+140 = 260$

$x = \frac{120}{0,4}$

$x=300$

Når bedriften produserer 300 enheter per uke, vil det koste 260 kroner per enhet per uke å øke produksjonen til 301 enheter per uke.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==

2PY 2024 høst LØSNING

2024-12-04T07:38:10Z

Torodd:

2P 2024 Vår LØSNING

2024-05-26T08:52:30Z

Torodd:

2PY 2024 vår LØSNING LK20

2024-05-25T12:19:28Z

Torodd:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4944 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54725 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://lektorodd.github.io/lf/2PY-V24/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

S1 2023 Høst LØSNING

2023-11-16T14:20:17Z

Torodd:

S1 2023 Vår LK20 LØSNING

2023-05-24T18:41:42Z

Torodd:

S1 2022 Vår LK20 LØSNING

2023-05-24T18:36:53Z

Torodd:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4213 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53901 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://www.matematikk.net/res/eksamen/L%C3%B8sninger/S1-V2022-LK20-LF.pdf Løsningsforslag laget av Farhan Omar]

[https://lektorodd.github.io/lf/S1-V22/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

$(2a)^{-1}\cdot (\frac{b}{2})^{-3}\cdot(a\cdot b)^3$

$=2^{-1}\cdot a^{-1}\cdot b^{-3}\cdot 2^3\cdot a^3 \cdot b^3$

$=2^{-1+3}\cdot a^{-1+3} \cdot b^{-3+3}$

$=2^2\cdot a^2 \cdot b^0$

$=4a^2$

==Oppgave 2==

$E(x)=0,2x+40+\frac{20\,000}{x}$

$E'(x)=0,2-\frac{20\,000}{x^2}$

$E'(100)=0,2-\frac{20\,000}{100^2} = 0,2-\frac{20\,000}{10\,000} = 0,2-2 =-1,8$

$E'(100)$ forteller oss at en dag det produseres 100 luer, ville produksjonskostnaden synke med 1,8 kroner per lue, dersom fabrikken skulle øke produksjonen med 1 lue.

==Oppgave 3==

$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x+4)}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{1}{x+4}$

$=\frac{1}{7}$

==Oppgave 4==

$e^{2x}-e^x=2$

$(e^x)^2-e^x-2=0$

Setter $u=e^x$

$u^2-u-2=0$

$(u+1)(u-2)=0$

$u=-1 \vee u=2$

$e^x=-1 \vee e^x=2$

Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.

$ln(e^x)=ln(2)$

$x=ln(2)$

==Oppgave 5==

$lg(x+3)+lg\,x=lg\,a$

Setter inn x=7.

$lg(7+3)+lg\,7=lg\,a$

$lg\,10 + lg\,7=lg\,a$

$lg(10\cdot7)=lg\,a$

$lg\,70 = lg\,a$

$a=70$

==Oppgave 6==

===a)===

Eleven ønsker å finne ut hvor stor andel av en million kast med to terninger, som ender med at summen av de to terningene er 9 (i samme kast).

Linje 1: importerer "randint"-funksjonen fra "random"-biblioteket
Linje 4: setter variabelen N til en million
Linje 5: setter variabelen "gunstige" til null

Line 7: dette er en for-løkke, som går N ganger, altså en million ganger i dette tilfellet.

Linje 8-9 (inni for-løkka): to tilfeldige tall, a og b, genereres med "randint"-funksjonen. Tallene a og b er mellom 1 og 6 (tilsvarende 2 terninger).

Linje 10-11 (inni for-løkka): en if-setning sier at dersom summen av tallene a og b er lik 9, økes variabelen "gunstige" med 1.

Linje 13: her skrives andelen gunstige utfall ut, altså antall ganger summen av "terningene" ble 9, delt på antall forsøk (en million terningkast med to terninger).

===b)===

Sum 9 på to terninger er mulig å oppnå på 4 måter: 6+3, 5+4, 4+5, 3+6. Totalt er det 6*6=36 mulige utfall ved kast av to terninger.

Vi har at $P(sum\,9) = \frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

[[File: S1-V22-del2-1.png|800px]]

===a)===

Velger å la x-verdiene være antall år etter 1960, og bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

Velger en eksponentiell modell, da denne passer godt til dataene vi har. I tillegg er det usannsynlig at antall gårdsbruk i Norge blir null, så en eksponentiell modell hvor antall gårdsbruk fortsetter å avta uten å bli null, passer godt.

Modellen er $g(x)=207814\cdot 0,972^x$

===b)===

Skriver x=100 i Geogebra (tilsvarer 100 år etter 1960, altså 2060) og finner skjæringspunktet mellom x=100 og grafen til g. Se punkt A=(100,12061). Ifølge modellen min vil det være 12061 gårdsbruk i Norge i 2060.

===c)===

Bruker CAS i Geogebra og løser likningen $g'(x)=-1000$. CAS regner ut at $x=62,4$. Det vil si at ifølge modellen min, vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000, ca. 62 år etter 1960, altså i år 2022.

==Oppgave 2==

===a)===

Vi må gå ut fra at:

- sannsynligheten for at en oppkjøring blir bestått, er en uavhengig hendelse (ulike oppkjøringer påvirker ikke hverandre)

- det er kun to utfall: bestått eller ikke bestått (dette kan vi trygt anta)

- det er en fast sannsynlighet for at en oppkjøring blir bestått (0,74)

===b)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

[[File: S1-V22-Del2-2b.png|400px]]

Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen er 0,821

===c)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

[[File: S1-V22-Del2-2c.png|400px]]

P(5 av 7 gutter OG 4 av 5 jenter) = 0,315*0,3898 = 0,123

Sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen er 0,123

==Oppgave 3==

===a)===

Årlig vekstfaktor: $1,003^{12}=1,037$

Årlig rentesats er 3,7 %

===b)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-V22-del2-3b.png|200px]]

Kan bruke månedlig eller årlig vekstfaktor. Det går ca. 44 måneder, eller 3 år og 8 måneder, før han har 80 000 kr på kontoen.

===c)===

$ T(x) = \left\{\begin{array}{lr} 70000\cdot1,003^x & , & x <24 \\ 70000\cdot 1,003^x + 2000\cdot 1,007^x & , & x \geq 24 \end{array} \right.$

Funkjonen T(x) er ikke kontinuerlig for $x\in\mathbb{R}$. T(x) er en funksjon med delt forskrift. Grenseverdien når x går mot 24 (måneder) fra venstre, er ikke lik grenseverdien når x går mot 24 (måneder) fra høyre. Det betyr at funksjonen T er diskontinuerlig.

===d)===

Kan løse oppgaven grafisk og/eller i CAS. Her er begge deler vist.

[[File: S1-V22-del2-3d.png|800 px]]

Det tar ca. 318 måneder, eller 26,5 år, før T(x) blir større enn 200 000 kr.

==Oppgave 4==

Her kan vi la oss inspirere av programmet i del 1, oppgave 6, med noen modifikasjoner.

[[File: S1-V22-del2-4a.png|300px]]

Programmet simulerer en million kast med 3 terninger. Jeg kjører programmet flere ganger, og får hver gang en sannsynlighet for å vinne på rundt 0,092.

==Oppgave 5==

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-v22-del2-5a.png|250px]]

Linje 1: definerer funksjonen til den rette linja som går gjennom punktene (0,2) og (2,0).

Linje 2: Definerer funksjonen for arealet av rektangelet. Jeg tenker at rektangelet består av to like deler. Arealet av delen til høyre for y-aksen, vil være bredden a ganget med høyden f(a). Jeg ganger dette med 2, for å få arealet av hele rektangelet.

Linje 3: Jeg setter den deriverte av T lik 0, for å finne den verdien av a som gir størst areal. (Jeg vet at ekstremalpunktet til T(a) er et toppunkt, fordi andregradsleddet er negativt).

Linje 4: den verdien av a som gir størst areal, er 1. Jeg beregner derfor arealet T(a) når a = 1.

Den største verdien T kan ha er 2.

==Oppgave 6==

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-V22-del2-6.png|300px]]

Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.

==Oppgave 7==

A er grafen til f, og D er grafen til f'. Der hvor grafen til f' har nullpunkter, har grafen til f ekstremalpunkter. Der hvor funksjonsverdien til f' er positiv, vokser grafen til f. Der hvor funksjonsverdien til f' er negativ, synker grafen til f. Der hvor grafen til f' har et bunnpunkt (f dobbeltderivert lik 0), har grafen til f et vendepunkt.

C er grafen til g, og B er grafen til g'. Der hvor grafen til g' har et nullpunkt, har grafen til g et ekstremalpunkt. Der hvor funksjonsverdien til g' er positiv, vokser grafen til g. Der hvor funksjonsverdien til g' er negativ, synker grafen til g.

S1 2022 Høst LK20 LØSNING

2023-05-24T18:35:50Z

Torodd:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4501 Denne oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54141 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4563 Løsning laget av Farhan Omar]

[https://lektorodd.github.io/lf/S1-H22/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

=DEL EN=

==Oppgave 1==

$(2a^{-2} b)^{-1} \cdot ({\frac{b^2}{a}})^2 =$ $\frac{a^2}{2b} \cdot \frac{b^4}{a^2}= \frac{b^3}{2} $

==Oppgave 2==

===a)===

$ O(x)= -0.05x^2+100x-10000$

$O'(x) = -0,10x+100$

$O'(500)= -50 +100 =50$

Den momentane veksten ved 500 produserte enheter er 50 kr. Det betyr at dersom produksjonen øker med en enhet vil overskuddet øke med 50 kr.

===b)===

Overskuddsfunksjonen er en parabel som vender sin hule side ned. Den har da et maksimum for O'(x) = 0:

$-0.10x + 100 = 0$

$x=1000$

O(1000) = 40 000 kroner.

==Oppgave 3==

$\lg(x+3)+\lg x =1$

$\lg((x+3)x) =1$

$10^{\lg(x^2+3x)} = 10^1$

$x^2-3x-10 =0$

$x=5$

(kun positiv løsn. pga log)

==Oppgave 4==

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(4+h)^2-4^2}{h}$

Dette ser i utgangspunktet ut som et null over null utrykk. Vi får rydde litt:

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(16+8h+ h^2)-16}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h(8+ h)}{h} =8 $

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom ikke begge kulene er sorte er minst en hvit.

P(minst en hvit) = 1 - P(to sorte) = 1 - $\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{13}{28}$

===b)===

antall hvite kuler (h) = 2

antall svarte kuler (s) = 0

sannsynligheten (P) for å trekke 2 svarte kuler = 0

Så lenge (while) sannsynligheten er mindre enn 0,5:

- legge til 1 svart kule (s=s+1)

- $P=\frac{s}{h+s}\cdot\frac{s-1}{h+s-1}$

- når løkken er ferdig: skrive ut verdien for antall svarte kuler, og sannsynligheten for å trekke to svarte kuler.

=DEL TO=

==Oppgave 1==

Dette kan oppfattes som en binomisk situasjon

*Om hendelsen inntreffer eller ikke: turist eller ikke.

*Vi regner sannsynligheten som lik i alle delforsøk, fordi det er mange turister.

*Delforsøkene er uavhengige. (Dette er neppe helt riktig)

[[File:311222-01.png]]

Det er ca. 65% sannsynlig.

==Oppgave 2==

===a)===
[[File:301222-01.png]]

Definerer x

*Finer tangenten g(x) i et vilkårlig punkt a
*Finner tangentens skjæringer med aksene
*Finner uttrykket for arealet

Arealet av trekanten blir ca. 0,78 (linje 6) når koordinatene til P er $( \frac 12, \frac 34)$

===b)===

Vi deriverer arealfunksjonen og setter den lik null, løser likningen. Se linje 8 og 9 i del a. Minste areal ca. 0,77.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:171122-2.png]]

Å basere en "modell" på historiske data og forvente at den skal gi et bilde av fremtiden er omtrent som å tro på julenissen. For å si noe om framtiden trenger vi informasjon og forutsetninger utover historiske data.

Begge grafene gir et bilde av det som har vært. Polynomfunksjonen gir best sammenheng med en kvadrert regresjonskoeffisient på 0,9917. Begge funksjoner vokser med en takt som neppe er bærekraftig. Polynomfunksjonen vokser minst og vil trolig ligge nærmest den framtidige virkelighet, selv om oppgaven mangler informasjon til å kunne si noe fornuftig om det.

===b)===

[[File:171122-3.png]]

Veksten er 33 og 91 milliarder per å i gjennomsnitt for henholdsvis g og f.

===c)===

[[File:171122-5.png]]

===d)===

==Oppgave 4==

===a)===

[[File: S1-H22-del2-6a.png|400px]]

$P(X>60)\approx 0,13$

===b)===

[[File: S1-H22-del2-6b2.png|400px]]

Den minste verdien n kan ha er 17.

==Oppgave 5==

===a)===

===b)===

==Oppgave 6==

===a)===

===b)===

===c)===

===d)===

===e)===

S1 2022 Vår LK20 LØSNING

2023-05-03T18:53:17Z

Torodd:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4213 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53901 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://www.matematikk.net/res/eksamen/L%C3%B8sninger/S1-V2022-LK20-LF.pdf Løsningsforslag laget av Farhan Omar]

[https://lektorodd.github.io/posts/lf/S1-V22/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

$(2a)^{-1}\cdot (\frac{b}{2})^{-3}\cdot(a\cdot b)^3$

$=2^{-1}\cdot a^{-1}\cdot b^{-3}\cdot 2^3\cdot a^3 \cdot b^3$

$=2^{-1+3}\cdot a^{-1+3} \cdot b^{-3+3}$

$=2^2\cdot a^2 \cdot b^0$

$=4a^2$

==Oppgave 2==

$E(x)=0,2x+40+\frac{20\,000}{x}$

$E'(x)=0,2-\frac{20\,000}{x^2}$

$E'(100)=0,2-\frac{20\,000}{100^2} = 0,2-\frac{20\,000}{10\,000} = 0,2-2 =-1,8$

$E'(100)$ forteller oss at en dag det produseres 100 luer, ville produksjonskostnaden synke med 1,8 kroner per lue, dersom fabrikken skulle øke produksjonen med 1 lue.

==Oppgave 3==

$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x+4)}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{1}{x+4}$

$=\frac{1}{7}$

==Oppgave 4==

$e^{2x}-e^x=2$

$(e^x)^2-e^x-2=0$

Setter $u=e^x$

$u^2-u-2=0$

$(u+1)(u-2)=0$

$u=-1 \vee u=2$

$e^x=-1 \vee e^x=2$

Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.

$ln(e^x)=ln(2)$

$x=ln(2)$

==Oppgave 5==

$lg(x+3)+lg\,x=lg\,a$

Setter inn x=7.

$lg(7+3)+lg\,7=lg\,a$

$lg\,10 + lg\,7=lg\,a$

$lg(10\cdot7)=lg\,a$

$lg\,70 = lg\,a$

$a=70$

==Oppgave 6==

===a)===

Eleven ønsker å finne ut hvor stor andel av en million kast med to terninger, som ender med at summen av de to terningene er 9 (i samme kast).

Linje 1: importerer "randint"-funksjonen fra "random"-biblioteket
Linje 4: setter variabelen N til en million
Linje 5: setter variabelen "gunstige" til null

Line 7: dette er en for-løkke, som går N ganger, altså en million ganger i dette tilfellet.

Linje 8-9 (inni for-løkka): to tilfeldige tall, a og b, genereres med "randint"-funksjonen. Tallene a og b er mellom 1 og 6 (tilsvarende 2 terninger).

Linje 10-11 (inni for-løkka): en if-setning sier at dersom summen av tallene a og b er lik 9, økes variabelen "gunstige" med 1.

Linje 13: her skrives andelen gunstige utfall ut, altså antall ganger summen av "terningene" ble 9, delt på antall forsøk (en million terningkast med to terninger).

===b)===

Sum 9 på to terninger er mulig å oppnå på 4 måter: 6+3, 5+4, 4+5, 3+6. Totalt er det 6*6=36 mulige utfall ved kast av to terninger.

Vi har at $P(sum\,9) = \frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

[[File: S1-V22-del2-1.png|800px]]

===a)===

Velger å la x-verdiene være antall år etter 1960, og bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

Velger en eksponentiell modell, da denne passer godt til dataene vi har. I tillegg er det usannsynlig at antall gårdsbruk i Norge blir null, så en eksponentiell modell hvor antall gårdsbruk fortsetter å avta uten å bli null, passer godt.

Modellen er $g(x)=207814\cdot 0,972^x$

===b)===

Skriver x=100 i Geogebra (tilsvarer 100 år etter 1960, altså 2060) og finner skjæringspunktet mellom x=100 og grafen til g. Se punkt A=(100,12061). Ifølge modellen min vil det være 12061 gårdsbruk i Norge i 2060.

===c)===

Bruker CAS i Geogebra og løser likningen $g'(x)=-1000$. CAS regner ut at $x=62,4$. Det vil si at ifølge modellen min, vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000, ca. 62 år etter 1960, altså i år 2022.

==Oppgave 2==

===a)===

Vi må gå ut fra at:

- sannsynligheten for at en oppkjøring blir bestått, er en uavhengig hendelse (ulike oppkjøringer påvirker ikke hverandre)

- det er kun to utfall: bestått eller ikke bestått (dette kan vi trygt anta)

- det er en fast sannsynlighet for at en oppkjøring blir bestått (0,74)

===b)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

[[File: S1-V22-Del2-2b.png|400px]]

Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen er 0,821

===c)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

[[File: S1-V22-Del2-2c.png|400px]]

P(5 av 7 gutter OG 4 av 5 jenter) = 0,315*0,3898 = 0,123

Sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen er 0,123

==Oppgave 3==

===a)===

Årlig vekstfaktor: $1,003^{12}=1,037$

Årlig rentesats er 3,7 %

===b)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-V22-del2-3b.png|200px]]

Kan bruke månedlig eller årlig vekstfaktor. Det går ca. 44 måneder, eller 3 år og 8 måneder, før han har 80 000 kr på kontoen.

===c)===

$ T(x) = \left\{\begin{array}{lr} 70000\cdot1,003^x & , & x <24 \\ 70000\cdot 1,003^x + 2000\cdot 1,007^x & , & x \geq 24 \end{array} \right.$

Funkjonen T(x) er ikke kontinuerlig for $x\in\mathbb{R}$. T(x) er en funksjon med delt forskrift. Grenseverdien når x går mot 24 (måneder) fra venstre, er ikke lik grenseverdien når x går mot 24 (måneder) fra høyre. Det betyr at funksjonen T er diskontinuerlig.

===d)===

Kan løse oppgaven grafisk og/eller i CAS. Her er begge deler vist.

[[File: S1-V22-del2-3d.png|800 px]]

Det tar ca. 318 måneder, eller 26,5 år, før T(x) blir større enn 200 000 kr.

==Oppgave 4==

Her kan vi la oss inspirere av programmet i del 1, oppgave 6, med noen modifikasjoner.

[[File: S1-V22-del2-4a.png|300px]]

Programmet simulerer en million kast med 3 terninger. Jeg kjører programmet flere ganger, og får hver gang en sannsynlighet for å vinne på rundt 0,092.

==Oppgave 5==

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-v22-del2-5a.png|250px]]

Linje 1: definerer funksjonen til den rette linja som går gjennom punktene (0,2) og (2,0).

Linje 2: Definerer funksjonen for arealet av rektangelet. Jeg tenker at rektangelet består av to like deler. Arealet av delen til høyre for y-aksen, vil være bredden a ganget med høyden f(a). Jeg ganger dette med 2, for å få arealet av hele rektangelet.

Linje 3: Jeg setter den deriverte av T lik 0, for å finne den verdien av a som gir størst areal. (Jeg vet at ekstremalpunktet til T(a) er et toppunkt, fordi andregradsleddet er negativt).

Linje 4: den verdien av a som gir størst areal, er 1. Jeg beregner derfor arealet T(a) når a = 1.

Den største verdien T kan ha er 2.

==Oppgave 6==

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: S1-V22-del2-6.png|300px]]

Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.

==Oppgave 7==

A er grafen til f, og D er grafen til f'. Der hvor grafen til f' har nullpunkter, har grafen til f ekstremalpunkter. Der hvor funksjonsverdien til f' er positiv, vokser grafen til f. Der hvor funksjonsverdien til f' er negativ, synker grafen til f. Der hvor grafen til f' har et bunnpunkt (f dobbeltderivert lik 0), har grafen til f et vendepunkt.

C er grafen til g, og B er grafen til g'. Der hvor grafen til g' har et nullpunkt, har grafen til g et ekstremalpunkt. Der hvor funksjonsverdien til g' er positiv, vokser grafen til g. Der hvor funksjonsverdien til g' er negativ, synker grafen til g.

S1 2022 Høst LK20 LØSNING

2023-05-03T18:52:00Z

Torodd:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4501 Denne oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54141 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4563 Løsning laget av Farhan Omar]

[https://lektorodd.github.io/posts/lf/S1-H22/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

=DEL EN=

==Oppgave 1==

$(2a^{-2} b)^{-1} \cdot ({\frac{b^2}{a}})^2 =$ $\frac{a^2}{2b} \cdot \frac{b^4}{a^2}= \frac{b^3}{2} $

==Oppgave 2==

===a)===

$ O(x)= -0.05x^2+100x-10000$

$O'(x) = -0,10x+100$

$O'(500)= -50 +100 =50$

Den momentane veksten ved 500 produserte enheter er 50 kr. Det betyr at dersom produksjonen øker med en enhet vil overskuddet øke med 50 kr.

===b)===

Overskuddsfunksjonen er en parabel som vender sin hule side ned. Den har da et maksimum for O'(x) = 0:

$-0.10x + 100 = 0$

$x=1000$

O(1000) = 40 000 kroner.

==Oppgave 3==

$\lg(x+3)+\lg x =1$

$\lg((x+3)x) =1$

$10^{\lg(x^2+3x)} = 10^1$

$x^2-3x-10 =0$

$x=5$

(kun positiv løsn. pga log)

==Oppgave 4==

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(4+h)^2-4^2}{h}$

Dette ser i utgangspunktet ut som et null over null utrykk. Vi får rydde litt:

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(16+8h+ h^2)-16}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h(8+ h)}{h} =8 $

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom ikke begge kulene er sorte er minst en hvit.

P(minst en hvit) = 1 - P(to sorte) = 1 - $\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{13}{28}$

===b)===

antall hvite kuler (h) = 2

antall svarte kuler (s) = 0

sannsynligheten (P) for å trekke 2 svarte kuler = 0

Så lenge (while) sannsynligheten er mindre enn 0,5:

- legge til 1 svart kule (s=s+1)

- $P=\frac{s}{h+s}\cdot\frac{s-1}{h+s-1}$

- når løkken er ferdig: skrive ut verdien for antall svarte kuler, og sannsynligheten for å trekke to svarte kuler.

=DEL TO=

==Oppgave 1==

Dette kan oppfattes som en binomisk situasjon

*Om hendelsen inntreffer eller ikke: turist eller ikke.

*Vi regner sannsynligheten som lik i alle delforsøk, fordi det er mange turister.

*Delforsøkene er uavhengige. (Dette er neppe helt riktig)

[[File:311222-01.png]]

Det er ca. 65% sannsynlig.

==Oppgave 2==

===a)===
[[File:301222-01.png]]

Definerer x

*Finer tangenten g(x) i et vilkårlig punkt a
*Finner tangentens skjæringer med aksene
*Finner uttrykket for arealet

Arealet av trekanten blir ca. 0,78 (linje 6) når koordinatene til P er $( \frac 12, \frac 34)$

===b)===

Vi deriverer arealfunksjonen og setter den lik null, løser likningen. Se linje 8 og 9 i del a. Minste areal ca. 0,77.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:171122-2.png]]

Å basere en "modell" på historiske data og forvente at den skal gi et bilde av fremtiden er omtrent som å tro på julenissen. For å si noe om framtiden trenger vi informasjon og forutsetninger utover historiske data.

Begge grafene gir et bilde av det som har vært. Polynomfunksjonen gir best sammenheng med en kvadrert regresjonskoeffisient på 0,9917. Begge funksjoner vokser med en takt som neppe er bærekraftig. Polynomfunksjonen vokser minst og vil trolig ligge nærmest den framtidige virkelighet, selv om oppgaven mangler informasjon til å kunne si noe fornuftig om det.

===b)===

[[File:171122-3.png]]

Veksten er 33 og 91 milliarder per å i gjennomsnitt for henholdsvis g og f.

===c)===

[[File:171122-5.png]]

===d)===

==Oppgave 4==

===a)===

[[File: S1-H22-del2-6a.png|400px]]

$P(X>60)\approx 0,13$

===b)===

[[File: S1-H22-del2-6b2.png|400px]]

Den minste verdien n kan ha er 17.

==Oppgave 5==

===a)===

===b)===

==Oppgave 6==

===a)===

===b)===

===c)===

===d)===

===e)===

S1 2022 Høst LK20 LØSNING

2023-03-27T09:26:54Z

Torodd: Lagt til lenke til nytt løysingsforslag

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4501 Denne oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54141 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4563 Løsning laget av Farhan Omar]

[https://lektorodd.github.io/posts/230327_eksamenS1/ Løysing laga av Torodd F. Ottestad]

=DEL EN=

==Oppgave 1==

$(2a^{-2} b)^{-1} \cdot ({\frac{b^2}{a}})^2 =$ $\frac{a^2}{2b} \cdot \frac{b^4}{a^2}= \frac{b^3}{2} $

==Oppgave 2==

===a)===

$ O(x)= -0.05x^2+100x-10000$

$O'(x) = -0,10x+100$

$O'(500)= -50 +100 =50$

Den momentane veksten ved 500 produserte enheter er 50 kr. Det betyr at dersom produksjonen øker med en enhet vil overskuddet øke med 50 kr.

===b)===

Overskuddsfunksjonen er en parabel som vender sin hule side ned. Den har da et maksimum for O'(x) = 0:

$-0.10x + 100 = 0$

$x=1000$

O(1000) = 40 000 kroner.

==Oppgave 3==

$\lg(x+3)+\lg x =1$

$\lg((x+3)x) =1$

$10^{\lg(x^2+3x)} = 10^1$

$x^2-3x-10 =0$

$x=5$

(kun positiv løsn. pga log)

==Oppgave 4==

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(4+h)^2-4^2}{h}$

Dette ser i utgangspunktet ut som et null over null utrykk. Vi får rydde litt:

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{(16+8h+ h^2)-16}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h(8+ h)}{h} =8 $

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom ikke begge kulene er sorte er minst en hvit.

P(minst en hvit) = 1 - P(to sorte) = 1 - $\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{13}{28}$

===b)===

antall hvite kuler (h) = 2

antall svarte kuler (s) = 0

sannsynligheten (P) for å trekke 2 svarte kuler = 0

Så lenge (while) sannsynligheten er mindre enn 0,5:

- legge til 1 svart kule (s=s+1)

- $P=\frac{s}{h+s}\cdot\frac{s-1}{h+s-1}$

- når løkken er ferdig: skrive ut verdien for antall svarte kuler, og sannsynligheten for å trekke to svarte kuler.

=DEL TO=

==Oppgave 1==

Dette kan oppfattes som en binomisk situasjon

*Om hendelsen inntreffer eller ikke: turist eller ikke.

*Vi regner sannsynligheten som lik i alle delforsøk, fordi det er mange turister.

*Delforsøkene er uavhengige. (Dette er neppe helt riktig)

[[File:311222-01.png]]

Det er ca. 65% sannsynlig.

==Oppgave 2==

===a)===
[[File:301222-01.png]]

Definerer x

*Finer tangenten g(x) i et vilkårlig punkt a
*Finner tangentens skjæringer med aksene
*Finner uttrykket for arealet

Arealet av trekanten blir ca. 0,78 (linje 6) når koordinatene til P er $( \frac 12, \frac 34)$

===b)===

Vi deriverer arealfunksjonen og setter den lik null, løser likningen. Se linje 8 og 9 i del a. Minste areal ca. 0,77.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:171122-2.png]]

Å basere en "modell" på historiske data og forvente at den skal gi et bilde av fremtiden er omtrent som å tro på julenissen. For å si noe om framtiden trenger vi informasjon og forutsetninger utover historiske data.

Begge grafene gir et bilde av det som har vært. Polynomfunksjonen gir best sammenheng med en kvadrert regresjonskoeffisient på 0,9917. Begge funksjoner vokser med en takt som neppe er bærekraftig. Polynomfunksjonen vokser minst og vil trolig ligge nærmest den framtidige virkelighet, selv om oppgaven mangler informasjon til å kunne si noe fornuftig om det.

===b)===

[[File:171122-3.png]]

Veksten er 33 og 91 milliarder per å i gjennomsnitt for henholdsvis g og f.

===c)===

[[File:171122-5.png]]

===d)===

==Oppgave 4==

===a)===

[[File: S1-H22-del2-6a.png|400px]]

$P(X>60)\approx 0,13$

===b)===

[[File: S1-H22-del2-6b2.png|400px]]

Den minste verdien n kan ha er 17.

==Oppgave 5==

===a)===

===b)===

==Oppgave 6==

===a)===

===b)===

===c)===

===d)===

===e)===