Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

2P 2016 høst LØSNING

2016-12-10T16:58:14Z

Skf95: /* Oppgave 2 */ skrevet som desimal

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-9}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen i 2017.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første interval er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første interval. Kummulativ i andre interval er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kummulativ frekv. i interval tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamateriealet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stillner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

===b)===

===c)===

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==

===a)===

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+3$.

Dersom du synes at det er vannskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+3 = 1000 \\3n^2-3n - 997 =0$

Tangens (tan)

2014-05-26T19:29:44Z

Skf95:

Trigonometrisk funksjon.

[[Bilde:Sin-cos-tan.gif]]<p></p>

For spisse vinkler kan tangens defineres som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. <math> \mathrm{tan} B = \frac ba</math>. Tangens er også definert som <math> \mathrm{tan}B= \frac{ \mathrm{sin}B}{ \mathrm{cos}B}</math>.

----
[[kategori:lex]]

Fil:Fys2-H13-Oppgave3d.png

2014-05-26T18:44:10Z

Skf95:

Fil:Fys2-H13-Oppgave2b.jpg

2014-05-26T18:10:09Z

Skf95:

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-25T14:22:18Z

Skf95: /* Oppgave 5 */

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/10-kl/V14_Del2.pdf Oppgaven som pdf]

==Oppgave 1==

'''a)'''

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

'''b)'''

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

'''c)'''

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

'''a)'''

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

'''b)'''

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

''I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.''

==Oppgave 3==

'''a), b)'''

Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

'''a)'''

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

'''b)'''

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

'''c)'''

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

'''d)'''

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

'''a)'''

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

'''b)'''

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

'''c)'''

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

''Vi kunne også bare tastet inn "V(x)=-18000x+645000", men da ville vi blant annet fått en graf som strakk seg over negative verdier av <math>x</math>, og det gir lite mening når <math>x</math> er tiden.''

'''d)'''

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

'''a)'''

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

'''b)'''

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

'''c)'''

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

'''d)'''

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

'''a)'''

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

'''b)'''

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

''NB Det finnes alternative løsninger.''

==Oppgave 8==

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

'''ALTERNATIV 1:'''

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi <math>18^{\circ} + 26^{\circ}=44^{\circ}</math>. <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

'''ALTERNATIV 2:'''

Se figuren under. <math> \angle P = \angle Q = 90 ^{\circ}</math>. Vinkelsummen i en trekant er <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir <math> \angle R=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}</math> og <math> \angle S= 180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72</math>. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene <math>180^{\circ}-72^{\circ}-64^{\circ}=44^{\circ}</math>.

[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-25T14:19:28Z

Skf95: Bedre formatering.

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/10-kl/V14_Del2.pdf Oppgaven som pdf]

==Oppgave 1==

'''a)'''

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

'''b)'''

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

'''c)'''

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

'''a)'''

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

'''b)'''

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

''I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.''

==Oppgave 3==

'''a), b)'''

Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

'''a)'''

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

'''b)'''

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

'''c)'''

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

'''d)'''

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

'''a)'''

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

'''b)'''

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

'''c)'''

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

'''d)'''

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

'''a)'''

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

'''b)'''

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

'''c)'''

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

'''d)'''

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

'''a)'''

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

'''b)'''

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

''NB Det finnes alternative løsninger.''

==Oppgave 8==

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

'''ALTERNATIV 1:'''

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi <math>18^{\circ} + 26^{\circ}=44^{\circ}</math>. <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

'''ALTERNATIV 2:'''

Se figuren under. <math> \angle P = \angle Q = 90 ^{\circ}</math>. Vinkelsummen i en trekant er <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir <math> \angle R=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}</math> og <math> \angle S= 180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72</math>. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene <math>180^{\circ}-72^{\circ}-64^{\circ}=44^{\circ}</math>.

[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-25T14:16:11Z

Skf95:

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/10-kl/V14_Del1.pdf Oppgaven som pdf]

==Oppgave 1==

'''a)''' <math>831+1196=2027</math>

'''b)''' <math>987-789=198</math>

'''c)''' <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

'''d)''' <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

'''a)''' <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

'''b)''' <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

'''c)''' <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

'''d)''' <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

'''a)''' <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

'''b)''' <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

'''a)''' <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

'''b)''' <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

'''c)''' <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

'''d)''' <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

'''a)'''

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

'''b)'''

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

'''a)''' <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

'''b)''' <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

'''a)''' Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

'''b)''' Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

'''METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):'''

Trekk likning (2) fra likning (1), (1)-(2):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

'''METODE 2: INNSETTINGSMETODE'''

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

'''a)''' <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

'''b)''' Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

'''a)'''

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

'''b)'''

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

'''c)''' Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene. Sirkelen skjærer da gjennom alle hjørnene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

''PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen skjærer gjennom alle hjørnene til trekanten.''

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

'''a)''' Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

'''b)''' Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

'''METODE 1:'''

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

'''METODE 2:'''

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)+16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-25T14:12:58Z

Skf95: /* Oppgave 1 */

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/10-kl/V14_Del1.pdf Oppgaven som pdf]

==Oppgave 1==

'''a)''' <math>831+1196=2027</math>

'''b)''' <math>987-789=198</math>

'''c)''' <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

'''d)''' <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

'''METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):'''

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

'''METODE 2: INNSETTINGSMETODE'''

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene. Sirkelen skjærer da gjennom alle hjørnene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen skjærer gjennom alle hjørnene til trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)+16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-25T14:12:19Z

Skf95: /* Oppgave 9 */

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/10-kl/V14_Del1.pdf Oppgaven som pdf]

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

'''METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):'''

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

'''METODE 2: INNSETTINGSMETODE'''

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene. Sirkelen skjærer da gjennom alle hjørnene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen skjærer gjennom alle hjørnene til trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)+16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T23:06:08Z

Skf95:

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/10-kl/V14_Del2.pdf Oppgaven som pdf]

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

NB Det finnes alternative løsninger.

==Oppgave 8==

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

ALTERNATIV 1:

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi <math>18^{\circ} + 26^{\circ}=44^{\circ}</math>. <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

ALTERNATIV 2:

Se figuren under. <math> \angle P = \angle Q = 90 ^{\circ}</math>. Vinkelsummen i en trekant er <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir <math> \angle R=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}</math> og <math> \angle S= 180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72</math>. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene <math>180^{\circ}-72^{\circ}-64^{\circ}=44^{\circ}</math>.

[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-24T23:04:30Z

Skf95:

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/10-kl/V14_Del1.pdf Oppgaven som pdf]

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene. Sirkelen skjærer da gjennom alle hjørnene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen skjærer gjennom alle hjørnene til trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)+16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T12:55:20Z

Skf95: /* Oppgave 8 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

NB Det finnes alternative løsninger.

==Oppgave 8==

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

ALTERNATIV 1:

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi <math>18^{\circ} + 26^{\circ}=44^{\circ}</math>. <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

ALTERNATIV 2:

Se figuren under. <math> \angle P = \angle Q = 90 ^{\circ}</math>. Vinkelsummen i en trekant er <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir <math> \angle R=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}</math> og <math> \angle S= 180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72</math>. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene <math>180^{\circ}-72^{\circ}-64^{\circ}=44^{\circ}</math>.

[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39.375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T12:54:52Z

Skf95: /* Oppgave 8 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

NB Det finnes alternative løsninger.

==Oppgave 8==

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

ALTERNATIV 1:

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi <math>18^{\circ} + 26^{\circ}=44^{\circ}</math>. <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

ALTERNATIV 2:

Se figuren under. <math> \angle P = \angle Q = 90 ^{\circ}</math>. Vinkelsummen i en trekant er <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir <math> \angle R=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}</math> og <math> \angle S= 180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72</math>. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene <math>180^{\circ}-72^{\circ}-64^{\circ}=44^{\circ}</math>.

[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>O_{omkrets}=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får:

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T12:53:39Z

Skf95: /* Oppgave 8 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

NB Det finnes alternative løsninger.

==Oppgave 8==

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

ALTERNATIV 1:

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi <math>18^{\circ} + 26^{\circ}=44^{\circ}</math>.

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

ALTERNATIV 2:

Se figuren under. <math> \angle P = \angle Q = 90 ^{\circ}</math>. Vinkelsummen i en trekant er <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir <math> \angle R=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}</math> og <math> \angle S= 180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72</math>. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene <math>180^{\circ}-72^{\circ}-64^{\circ}=44^{\circ}</math>.

[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>O=39375</math> fra oppgave 7 b). Vi får

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T12:45:43Z

Skf95: /* Oppgave 8 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under, diagram skal ha overskrift og akser skal ha navn, bruk av fast cellereferanse i oppgave c viser bedre kompetanse;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

NB Det finnes alternative løsninger.

==Oppgave 8==

Først må vi finne vinkelen utspent av de to radiene.

ALTERNATIV 1:

På grunn av toppvinkler og samsvarende vinkler som dannes av de parallelle linjene (solstrålene) får vi <math>18^{\circ} + 26^{\circ}=44^{\circ}</math>.

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

ALTERNATIV 2:

Se figuren under. <math> \angle P = \angle Q = 90 ^{\circ}</math>. Vinkelsummen i en trekant er <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir <math> \angle R=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}</math> og <math> \angle S= 180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72</math>. Vinkel R pluss vinkel S pluss vinkelen vi skal finne, er til sammen <math>180^{\circ}</math>. Dermed blir vinkelen utspent av de to radiene <math>180^{\circ}-72^{\circ}-64^{\circ}=44^{\circ}</math>.

[[File:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png]]

Nå kan vi finne avstanden mellom byene når vi har <math>d=39375</math> fra oppgave 6. Vi får

<math>A_{vstand}= \frac{44 ^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 39375 \mathrm{m} =4812 \mathrm{km}</math>

Fil:10klEksamenV14Oppgave8-del2.png

2014-05-24T12:45:39Z

Skf95:

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T11:58:47Z

Skf95: /* Oppgave 6 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

==Oppgave 8==

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T11:58:14Z

Skf95: /* Oppgave 6 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2</math> <math> \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

==Oppgave 8==

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T11:56:36Z

Skf95: /* Oppgave 7 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 6378^2 \mathrm{km^2} =362942012 \mathrm{km^2} =3,63 \cdot 10^{8}</math> <math> \mathrm{km^2} </math>

==Oppgave 7==

a)

Solstrålene som treffer jorda er parallelle. Solstrålen som går gjennom brønnen, peker rett inn mot sentrum i jorda. Det betyr at linjen fra sentrum av jorda ut til sola, er parallell med solstrålen som kaster skygge bak søylen. Videre krysser linjen mellom jordsenteret og søylen, begge de to parallelle linjene. Dermed må vinklene bli like store. Se en forenklet figur under. Alle tre vinklene på figuren er like store, fordi to av linjene er parallelle, mens den tredje skjærer dem begge.

[[File:kl10EksV14Oppgave7-del2.png]]

b)

Vi husker fra oppgave 6 b) at vinkelen mellom solstrålen og søylen, og dermed også vinkel A, er <math>7,2 ^{\circ}</math>. Dette betyr at de 5 000 stadionlengdene mellom byene, kun er <math> \frac{7,2}{360}=0,02=2 \%</math> av jordas totale omkrets. For å finne hele jordas omkrets, må vi gange med 50 slik at vi får <math> 100 \%</math>. Vi får

<math>O_{mkrets}=5.000</math> <math> \mathrm{stadion} \cdot 50 =250.000</math> <math> \mathrm{stadion}</math>

==Oppgave 8==

Fil:Kl10EksV14Oppgave7-del2.png

2014-05-24T11:38:21Z

Skf95:

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T11:20:44Z

Skf95: /* Oppgave 6 */

==Oppgave 1==

a)

<math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math>

b)

Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math>

Pris 1 klippekort à 25 klipp: <math>2665 \mathrm{kr} </math>

Prisforskjell: <math>3125 \mathrm{kr}-2665 \mathrm{kr}=460 \mathrm{kr}</math>

Anne sparer <math> \frac{460 \mathrm{kr}}{3125 \mathrm{kr}}=0,147= 14,7 \%</math>

c)

Sum betalt: <math>2060 \mathrm{kr}+910 \mathrm{kr}+ 12 \cdot 105 \mathrm{kr}=4230 \mathrm{kr}</math>

Gjennomsnitt per svømmetur: <math> \frac{4230 \mathrm{kr}}{25+10+12}= \frac{4230 \mathrm{kr}}{47} = 90 \mathrm{kr/tur}</math>

==Oppgave 2==

a)

Til første bane kan vi velge blant 8 svømmere (8 muligheter). Til andre bane kan vi velge blant 7, osv helt til vi har igjen 1 svømmer som plasseres i den siste banen. Totalt antall kombinasjoner blir da <math>8 \cdot 7 \cdot6 \cdot5 \cdot4 \cdot3 \cdot2 \cdot1=40320</math>.

b)

Eva svømmer med gjennomsnittsfarten <math> v=\frac{100 \mathrm{m}}{100 \mathrm{s}}= 1 \mathrm{m/s}</math>. Etter <math>80 \mathrm{s}</math> er Anne i mål. Da har Eva bare svømt strekningen <math>s= 1 \mathrm{m/s} \cdot 80 \mathrm{s}=80 \mathrm{m}</math> (mens Anne har svømt de 100 metrene til mål). Eva vinner altså med <math>20 \mathrm{m}</math>.

(I denne oppgaven må vi forutsette at de svømmer med konstant fart lik gjennomsnittsfarten.)

==Oppgave 3==

a), b)

Se utklipp fra Excell under;

[[File:10kl2014Oppgave3del2.png]]

==Oppgave 4==

a)

Tegn et rektangel der lengden/den lengste siden er 10 cm og bredden/den korteste siden er 5 cm.

b)

Hele bassengets lengde er 25 m. Det betyr avstanden fra A til B horisontalt er <math>25 \mathrm{m} - 12,5 \mathrm{m}- 6,25 \mathrm{m} = 6,25 \mathrm{m}.</math>. Høydeforskjellen mellom AB blir på tilsvarende måte <math>3,5 \mathrm{m} - 1,2 \mathrm{m}=2,3 \mathrm{m}</math>. Da gir Pytagoras' setning skråplanets lengde AB:

<math>(AB)^2=(6,25 \mathrm{m})^2+(2,3 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{44,35 \mathrm{m^2}}</math>

<math>AB=6,66 \mathrm{m}</math>

c)

Se for deg en vegg rett opp gjennom AD og en tilsvarende vegg ved BC. Kall bassenget/volumet lengst til venstre <math>V(1)</math>, det i midten <math>V(2)</math> og det lengst til høyre <math>V(3)</math>. Regn ut disse volumene hver for seg, og summer dem til slutt:

<math>V(1)= 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} = 273,44 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(2)=6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 3,5 \mathrm{m} - \frac{1}{2} \cdot 6,25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 2,3 \mathrm{m} =183,59 \mathrm{m^3}</math>

<math>V(3)= 12,5 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot 1,2 \mathrm{m} = 187,50 \mathrm{m^3}</math>

<math>V_{totalt}=V(1)+V(2)+V(3)=273,44 \mathrm{m^3}+183,59 \mathrm{m^3}+ 87,50 \mathrm{m^3}=644,5 \mathrm{m^3}</math>

d)

Etter en time (60 min) har det blitt tappet ut

<math>300 \mathrm{L/min} \cdot 60 \mathrm{min}=18000 \mathrm{L}= 18 \mathrm{m^3}</math> vann. Dette er mindre enn volumet av det øverste sjiktet med vann (mindre enn volumet av vannet over skråplanet). Vi kan dermed sette opp likningen

<math>18 \mathrm{m^3}=25 \mathrm{m} \cdot 12,5 \mathrm{m} \cdot h</math>

<math> h= \frac{18}{25 \cdot 12,5} \mathrm{m}=0,058 \mathrm{m}</math>,

Vannstanden har altså sunket 5,8 cm ned etter én time.

==Oppgave 5==

a)

Vi får et konstantledd på <math>+645000</math> da dette er volumet vann ved start (<math>x=0</math>). Dessuten får vi et negativt førstegradsledd, <math>-1800x</math>. Dette skyldes at volumet minker med 18000 liter hver time.

b)

Tomt for vann når <math>V(x)=0</math>. Det gir:

<math>0=-18000x+645000</math>

<math>18000x=645000</math>

<math>x= \frac{645000}{18000}\mathrm{h}=35,83 \mathrm{h}= 35 \mathrm{h}</math> <math>50 \mathrm{min}</math>

c)

Bruker Geogebra (Versjon 4.2). I inntastingsfeltet (nederst) bruker vi kommandoen:

"Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]"

Helt konkret taster vi inn:

"Funksjon[-18000x + 645000, 0, 36]"

Funksjonen blir da hetende f. Høyreklikker på funksjonen i algebrafeltet og gir den nytt navn; V. Grafen blir seende ut som på figuren i deloppgave d) under.

d)

I inntsatingsfeltet skriver vi "y=285000". Deretter finner vi skjæring mellom de to linjene. Bruker da verktøyet "Skjæring mellom to objekt" fra menylinjen, og klikker deretter på de to linjene. Vi får skjæringspunktet <math>S</math> med <math>x</math>-koordinat 20, se figur under. Det tar altså 20 timer før bassengets volum er 285 000 liter.

<math>x</math>-aksen er tiden målt i timer. <math>y</math>-aksen antall liter i bassenget.

[[File:10kl2014Oppgave4del2.png]]

==Oppgave 6==

a)

Radius, <math>r</math>, er halve diameteren, <math>d</math>. Omkretsen, <math>O</math>, er gitt ved <math>O=d \pi</math>. Vi får

<math>r_{adius}= \frac{d}{2}= \frac{12.756 \mathrm{km}}{2}=6378 \mathrm{km}</math>

<math>O_{omkrets}=d \pi = 12.756 \mathrm{km} \cdot 3,14=40053,8 \mathrm{km}</math>

b)

<math> \angle _{søyle, solstråle} = \frac{360 ^{\circ}}{50}=7,2 ^{\circ}</math>

c)

<math> A_{vstand}=5000</math> <math> \mathrm{stadion}=5000 \cdot 157,5 \mathrm{m}=787.500 \mathrm{m}= 767,5 \mathrm{km}</math>

d)

For å finne overflaten av jorda, bruker formelen <math>O=4 \pi r^2</math>, med radien <math>r</math> regnet ut i deloppgave a). For å finne overflaten som er dekket med vann, må vi gange denne formelen med <math>0,71</math>, ettersom kun <math>71 \%</math> av overflaten er dekket med vann. Den totale formelen blir da:

<math>O_{verflate(vann)}=0,71 \cdot 4 \pi r^2 = 2,84 \cdot 3,14 \cdot 12756^2 \mathrm{m^2} =1.451.032.064 \mathrm{m^2} =1,45 \cdot 10^{9}</math> <math> \mathrm{m^2} </math>

==Oppgave 7==

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T10:53:06Z

Skf95: /* Oppgave 6 */

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-24T00:52:17Z

Skf95: /* Oppgave 2 */

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-24T00:25:14Z

Skf95: /* Oppgave 16 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene. Sirkelen skjærer da gjennom alle hjørnene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen skjærer gjennom alle hjørnene til trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)+16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-24T00:19:18Z

Skf95: /* Oppgave 14 */

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-24T00:17:17Z

Skf95: /* Oppgave 14 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene. Sirkelen skjærer da gjennom alle hjørnene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom hjørnene til trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)-16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-24T00:10:13Z

Skf95: /* Oppgave 14 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom hjørnene til trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)-16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-24T00:04:51Z

Skf95: /* Oppgave 12 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3} \mathrm{cm}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)-16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T23:58:35Z

Skf95: /* Oppgave 8 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)-16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T23:54:01Z

Skf95: /* Oppgave 5 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 0,25 \cdot 60 \mathrm{min} = 180 \mathrm{min} + 15 \mathrm{min} =195 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math>

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table width="auto">
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

[[File:10kl2014oppgave13b.png]]

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

[[File:10kl2014Oppgave14.png]]

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)-16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T23:43:14Z

Skf95: /* Oppgave 5 */

Fil:10kl2014Oppgave4del2.png

2014-05-23T23:41:30Z

Skf95:

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T23:40:37Z

Skf95: /* Oppgave 5 */

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T22:59:32Z

Skf95: /* Oppgave 3 */

Fil:10kl2014Oppgave3del2.png

2014-05-23T22:58:43Z

Skf95: Tilhører løsning eksamen 10. trinn V14

Tilhører løsning eksamen 10. trinn V14

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T21:59:27Z

Skf95: /* Oppgave 4 */

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T21:58:57Z

Skf95: /* Oppgave 4 */

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T21:18:48Z

Skf95: /* Oppgave 3 */

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T21:18:15Z

Skf95: /* Oppgave 3 */

Løsning del 2 utrinn Vår 14

2014-05-23T20:42:07Z

Skf95: Ny side: ==Oppgave 1== a) <math>125 \mathrm{kr}+105 \mathrm{kr}+105=335 \mathrm{kr}</math> b) Pris 25 enkeltbilletter:<math>25 \cdot125 \mathrm{kr} = 3125 \mathrm{kr}</math> Pris 1 klippekor...

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T18:38:52Z

Skf95: /* Oppgave 16 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

(Her kommer bilde av konstruksjonen)

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved sidelengde gange sidelengde:

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er også lik summen av de fire mindre firkantene:

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)-16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T18:36:59Z

Skf95: /* Oppgave 16 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

(Her kommer bilde av konstruksjonen)

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

METODE 1:

Arealet <math>T</math> er gitt ved

<math>T=(a-2+4) \cdot (a-2+4)= (a+2) \cdot (a+2) =a^2 +4a +4 </math>

METODE 2:

Arealet <math>T</math> av det store kvadratet er lik summen av de fire mindre firkantene.

<math>T=(a-2)^2+2 \cdot 4(a-2) + 4^2=(a^2-4a+4)+(8a-16)-16=a^2+4a+4</math>

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T18:28:58Z

Skf95: /* Oppgave 15 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

(Her kommer bilde av konstruksjonen)

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6 \mathrm{m}}{4}=1,5 \mathrm{m}</math>

==Oppgave 16==

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T18:28:40Z

Skf95: /* Oppgave 15 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

(Her kommer bilde av konstruksjonen)

==Oppgave 15==

a) Pytagoras gir;

<math>(AB)^2=(6 \mathrm{m})^2+(8 \mathrm{m})^2</math>

<math>AB= \sqrt{36 \mathrm{m^2}+64 \mathrm{m^2} }= \sqrt{100 \mathrm{m^2}} =10 \mathrm{m}</math>

b) Ettersom <math>BD</math> er 4 ganger så lang som <math>CE</math>, er <math>AD</math> 4 gnager så lang som <math>BE</math>. Vi får

<math>4BE=AD</math>

<math>BE= \frac{AD}{4}= \frac{6}{4}=1,5</math>

==Oppgave 16==

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T18:07:56Z

Skf95: /* Oppgave 14 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

Avsett et linjestykke AB=7 cm. Lag en sirkel (rød på figuren under) med sentrum i A og radius 7 cm. Lag en tilsvarende sirkel i B (med samme radius, også rød på figuren). Skjæringspunktet mellom sirklene er punktet C. Trekk linjene AC og BC.

Konstruer midtnormalene på sidene i trekanten (blå på figuren under). Slå en sirkel (grønn på figuren under) om skjæringspunktet S med radius lik avstanden fra S til midtpunktet på en av sidene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekantene.

For å konstruere en tangent (rosa på figuren under) til sirkelen i C, konstruerer du en 90 graders vinkel i C på midtnormalen til AB.

Jeg har konstruert i Geogebra, men du må gjøre med passer for hånd.

PS: Der det i oppgaveteksten står "En sirkel går gjennom punktene i <math> \Delta ABC</math>", må de mene at sirkelen går gjennom midtpunktene på sidene i trekanten.

(Her kommer bilde av konstruksjonen)

==Oppgave 15==

==Oppgave 16==

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T17:46:33Z

Skf95: /* Oppgave 13 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

c) Leser av grafen over og ser at skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

==Oppgave 15==

==Oppgave 16==

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T17:39:50Z

Skf95: /* Oppgave 13 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)

c) Leser av grafen over og ser skjæringspunktet er <math>S(2,3)</math>. Kan også regne oss fram til skjæringspunktet ved å sette <math>f=g</math>, men da får vi en annegradslikning (der vi må bruke ABC-formelen) som ikke er pensum for ungdomsskolen. En konsekvens av at vi får en annengradsfunksjon er at vi får to skjæringspunkter. Det andre skjæringspunktet har koordinater <math>S(-1.5, -4)</math>, og er dermed ikke synlig i koordinatsystemet over.

==Oppgave 14==

==Oppgave 15==

==Oppgave 16==

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T17:23:40Z

Skf95: /* Oppgave 13 */

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T17:22:41Z

Skf95: /* Oppgave 13 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)
[[Bilde:Oppgave 13.PNG]]

==Oppgave 14==

==Oppgave 15==

==Oppgave 16==

Løsning del 1 utrinn Vår 14

2014-05-23T17:21:42Z

Skf95: /* Oppgave 13 */

==Oppgave 1==

a) <math>831+1196=2027</math>

b) <math>987-789=198</math>

c) <math>14,2 \cdot 3,1 = 44,02</math>

d) <math>1620:120= \frac{1620}{120} = \frac{162}{12} = 13,5</math>

==Oppgave 2==

a) <math>3,25 \mathrm{h}=3 \cdot 60 \mathrm{min} + 25 \mathrm{min} =205 \mathrm{min} </math>

b) <math>9,3 \mathrm{t} =9,3 \cdot 1000 \mathrm{kg}=9300 \mathrm{kg}</math>

c) <math> 2400 \mathrm{ cm^3 } = 2400 \mathrm{mL} = 2,4 \mathrm{L}</math>

d) <math> 36 \mathrm{km/h}= \frac{36}{3,6} \mathrm{m/s}=10 \mathrm{m/s}</math>

==Oppgave 3==

a) <math> 62000=6,2 \cdot 10^4 </math>

b) <math> ((-3)^2)^2-3^0=9^2-1=81-1=80</math>

==Oppgave 4==

a) <math> \frac{1}{5} + \frac{2}{5}= \frac{1+2}{5} = \frac{3}{5}</math>

b) <math> \frac{5}{2}- \frac{2}{3}= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{15}{6}- \frac{4}{6}= \frac{15-4}{6}= \frac{11}{6}</math>

c) <math> \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4}= \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4}= \frac{2}{16} = \frac{1}{8}</math>

d) <math> 4: \frac{2}{3}= 4 \cdot \frac{3}{2}= \frac{12}{2}=6 </math>

==Oppgave 5==

a)

<math>3x=x+8</math>

<math>3x-x=x+8-x</math>

<math>2x=8</math>

<math>x= \frac{8}{2}=4 </math>

b)

<math>(x+2)^2=x^2+6</math>

<math>x^2+4x+4=x^2+6</math>

<math>4x+4=6</math>

<math>4x=6-4</math

<math>x= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} </math>

==Oppgave 6==

Lønn for 1 times arbeid på kvelden: <math> 130 \mathrm{Kr} \cdot 1,25 = 162,50 \mathrm{Kr}</math>. Fire timers arbeid blir <math> 4 \cdot 162,5 \mathrm{Kr} = 650 \mathrm{Kr}</math>.

==Oppgave 7==

a) <math> \frac{6a^3}{2a^2}= \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{2 \cdot a \cdot a}=3a</math>

b) <math> \frac{6a-6}{12b^2}: \frac{a-1}{4b^3}= \frac{6(a-1)}{12b^2} \cdot \frac{4b^3}{a-1}= \frac{24 \cdot b \cdot b \cdot b}{12 \cdot b \cdot b} =2b</math>

==Oppgave 8==

a) Det er totalt fem kuler å trekke blant. Av disse er er tre rød. Det gir sannsynligheten <math>P</math>(trekke rød kule)<math> = \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 60 \% </math>.

b) Først gang du trekker er sannsynligheten for å få en rød kule lik sannsynligheten <math>P</math> regnet ut i a). Andre gang du trekker, er det igjen 2 røde kuler og totalt 4 kuler. Det gir sannsynligheten <math>P</math> (trekke enda en rød kule) <math>= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}</math>. Sannsynligheten for at begge disse to trekkene skjer etter hverandre, er lik produktet av dem; <math>P</math>(trekke 2 røde kuler uten tilbakelegging) <math>= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{10}= 30 \%</math>.

==Oppgave 9==

Setter prisen på ett skolebrød lik <math>S</math> og prisen på én vannflaske lik <math>V</math>. Fra oppgaven får vi to likninger:

(1): <math>85=2S+3V</math>

(2): <math>55=2S+V</math>

METODE 1: ADDISJONSMETODE (her vil denne være enklest):

Trekk likning (2) fra likning (1):

<math>85-55=2S+3V-(2S+V)</math>.

<math>30=3V-V</math>

<math> \frac{30}{2}=V</math>

<math> V=15</math>

Setter <math>V=15</math> inn i likning (2) (kunne godt vagt likning (1)) og finner <math>S</math>:

<math>55=2S+15</math>

<math>40=2S</math>

<math>S=20</math> og <math>V=15</math>

METODE 2: INNSETTINGSMETODE

Løser likning (2) for V (kunne godt valgt den andre likningen eller løst for S):

<math>V=55-2S</math>

Erstatter <math>V</math> i likning (1):

<math>85=2S+3(55-2S)</math>

<math>85=2S+165-6S</math>

<math>6S-2S=165-85</math>

<math>4S=80</math>

<math>S= \frac{80}{4}=20 </math>

Setter inn denne verdien for <math> S</math> i likning (2) og finner <math>V</math>:

<math>55=2 \cdot 20 +V</math>

<math>V=15</math> og <math>S=20</math>

==Oppgave 10==

<math> \frac{2 \mathrm{cm}}{100 \mathrm{km}}= \frac{0,02 \mathrm{m}}{100.000 \mathrm{m}}= \frac{100 \cdot 0,02 }{100 \cdot 100.000 }= \frac{2}{10.000.000}= \frac{1}{5.000.000}</math>

==Oppgave 11==

Volumet som skal fylles med vann er 100 ganger så stort, så det vil ta 100 ganger så lang tid; <math>10 \mathrm{min} \cdot 100 = 1000 \mathrm{min} =\frac{1000}{60} \mathrm{h}=16 \mathrm{h}+40 \mathrm{min}</math>.

==Oppgave 12==

a) <math> S= \frac{3F+5}{2}= \frac{3 \cdot 25+5}{2}= \frac{80}{2}=40</math>

b) Vi skal finne <math>F</math>, og kan da sette <math>S=37</math> rett inn i den oppgitte formelen og regne ut. En noe penere løsning (først og fremst på del 2-oppgaver) er å først finne et generelt uttrykk for <math>F</math>:

<math> S= \frac{3F+5}{2}</math>

<math> 2S=3F+5</math>

<math>2S-5=3F</math>

<math>F= \frac{2S-5}{3}= \frac{2 \cdot 37-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{74-5}{3} \mathrm{cm}= \frac{69}{3}=23 \mathrm{cm}</math>

==Oppgave 13==

a)

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>f(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>-1</td>
<td>(0,-1)</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>(1,1)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>(3,5)</td>
</tr>
</table>

<table>
<tr>
<th>x</th>
<th>g(x)</th>
<th>Koordinater (x,y)</th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td>(1,6)</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>(2,3)</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>(3,2)</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>1,5</td>
<td>(4, 1,5)</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>1,2</td>
<td>(5, 1,2)</td>
</tr>
</table>

b)
[[Bilde:u-trinn-konst15.PNG]]

==Oppgave 14==

==Oppgave 15==

==Oppgave 16==