Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

1T 2025 vår LK20 LØSNING

2026-03-27T08:14:41Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5025 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54991 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5029 Løsningsforslag laget av SveinR]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5038 Løsning fra OpenMathBooks prosjektet]

===DEL EN===

====Oppgave 1====

\[f(x) = \frac{12x-3}{2x+1}\]

Vertikal asymptote : $2x+1 =0 \Rightarrow 2x =-1 \Rightarrow x= - \frac12 $

Horisontal asymptote: $y =\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{12x-3}{2x+1} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{12x}{x}- \frac{3}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac {1}{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{12- \frac{3}{x}}{2 + \frac {1}{x}} = 6$

====Oppgave 2====

\[x^2-4x-12<0 \]

Faktoriserer først uttrykket

\[x^2-4x-12=0 \]
\[x= \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{2} = \frac{4\pm 8}{2} \]

\[ x= -2 \vee x = 6 \]

\[ (x-6)(x+2) < 0 \]

[[File:18062025-03.png|centre|400px]]

\[ x \in <-2,6> \]

====Oppgave 3====

$f(x) = ax^2 +bx + c$

Siden den skjærer i (0,9) er c = 9.

Siden den har ett nullpunkt er $b^2- 4ac =0$ Dvs. $b^2 = 36a$

Velger a = 1 og får at b = -6 eller b = 6.

Mulig funksjonsuttrykk: \[ f(x) = x^2+ 6x +9 \]

(f har nullpunkt i -3 )

====Oppgave 4====

=====a)=====

$x^3-7x^2-10x+16=0$

Dette er en tredjegradslikning, så vi prøver oss fram. Tester med x= 1:

$1-7-10 +16 = 0$

x= 1 er en løsning. Vi utfører polynomdivisjon:

[[File: 17062025-01.png|centre|300px]]

$x^2-6x -16 = 0$

Vi bruker abc- formelen og får x= -2 eller x = 8.

$L = \{- 2,1,8\}$

=====b)=====

Vi ser at funksjonen har samme uttrykket som likningen i a. Da vet vi at enten passer B eller C.

Vi deriverer og setter f'(0). Dersom svaret blir positivt, passer B. Blir det negativt passer C.

$f'(x)= 3x^2-14x-10$

$f'(0) = -10$, altså passer grafen C.

Ser også at f har et positivt konstantledd (16), som støtter graf C.

====Oppgave 5====

=====a)=====

[[File:17062025-02.png|centre|300px]]

Alle vinkler er 60 grader.

Normalen fra C på AB danner to 30, 60, 90 trekanter.

\[Sin (30^{\circ}) = \frac{\frac 12 AB}{ AC} = \frac{1}{2} \]

\[Cos (60^{\circ}) = \frac{\frac 12 AB}{ AC} = \frac{1}{2} \]

=====b)=====
[[File:18062025.png|centre|300px]]

Bruker arealsetningen:

\[ A= \frac 12 abSinC = \frac 12 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac 12 = 15 \]

=====c)=====

[[File:18062025-01.png|centre|300px]]

Bruker cosinussetningen:

\[ QR^2 = 8^2+3^2-2\cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac 12 \]
\[ QR^2 =64 + 9 -24 \]
\[ QR = 7 \]

====Oppgave 6====

En matematisk identitet er en likning som alltid er sann, for alle verdier av den variable (innenfor definisjonsmengden). Høyresiden er identisk med venstresiden for alle verdier av variablen, derfor får man x=x i CAS.

En likning som ikke er en identitet, er kun sann for spesifikke verdier av variabelen (løsninger).

====Oppgave 7====

Programmet sjekker minimumsverdien til funksjonen $f(x) = x^2+2x - 15 $ i intervallet [ - 5,5].

Løkken, som starter på linje 7 i programmet, regner ut verdien til gitt x verdi og fortsetter med det så lenge y verdien (f(x)) er mindre enn den forrige. Når det ikke lengre er tilfellet skriver programmet ut "verdi", som er minimumsverdien til andregradsfunksjonen.

Det som skrives ut er -16

\[ f'(x) = 2x+2 \]

\[f'(x) = 0 \Rightarrow x =-1 \]

\[f(-1) = -16 \]

====DEL TO====

====Oppgave 1====

=====a)=====

Utfører regresjonen og får K(x):

[[File:19062025-03.png|400px|centre]]

=====b)=====

Stigningstallet er 70,2. Det betyr at antallet registrerte tilfeller i gjennomsnitt øker med 70,2 per måned, i perioden april 23 til september 24.

=====c)=====

5336, i følge modellen.

====Oppgave 2====

x = antall store sekker

y = antall små sekker

[[File: 180622025-04.png|centre|300px]]

Butikken solgte 48 store sekker og 32 små sekker.

====Oppgave 3====

=====a)=====

Alle trekantene er likebeinte, der de likebeinte sidene representerer radius i sirkelen. Det er 12 trekanter så arealet av en trekant er 10. Bruker arealsetningen:

\[A = \frac 12 ab SinC \Rightarrow 10 = \frac 12 r^2 \frac 12 \Rightarrow r = \sqrt{40} \]
\[ d= 2r = 2\sqrt {40} = 4 \sqrt{10}\]

=====b)=====

[[File: 21062025-03.png|centre|400px]]

Vi multipliserer det positive svaret med 12 og får

$24( \sqrt{15} - \sqrt 5)$

====Oppgave 4====

[[File: 18062025-05.png|400px]]

Antall kvadrater i figur nr. n er: $A(n) = n^2+n +(n+1) = n^2+2n+1 $

Eventuelt $A(n)=(n+1)^2$

=====a)=====

* Lager en løkke som løper gjennom de 20 første figurene
* Regner ut antall figurer på figur nr. n, ved å bruke formelen over
* Skriver ut resultatet

=====b)=====

[[File:18062025-06.png|centre|400px]]

Kolonne tre er ikke nødvendig i forhold til oppgaven, men det er jo greit å vite hvor mange kvadrater man bruke dersom man lager n figurer. Denne tellingen kommer fra linje 1 og 5.

Vi får følgende ut:

[[File:18062025-07.png|centre|100px]]

Man trenger 441 kvadrater for å lage figur nr. 20.

=====c)=====

[[File:19062025-01.png|centre|300px]]

[[File:19062025-02.png|centre|300px]]

====Oppgave 5====
=====a)=====

For å fylle inn tabellen trenger vi et uttrykk for høyden. Det er oppgitt at volumet skal være $450 cm^3$.

\[ V = \pi r^2h \]
\[ h = \frac{V}{\pi r^2} = \textcolor{red}{\frac{450}{\pi r^2}} \]

[[File:21062025-01.png|centre|400px]]
[[File:21062025-02.png|centre|400px]]

=====b)=====

Vi trenger et uttrykk for Overflate og radius:

\[ O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \]

Her har vi også variabelen h, men den kan vi erstatte med uttrykket fra a:

\[ O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \textcolor{red}{\frac{450}{\pi r^2}} \]

\[ O(r) = \pi \cdot r^2 + \frac{900}{r } \]

[[File:20062025-02.png|400px|centre]]

=====c)=====

Når radien er 5,23 cm oppnår man den minste overflaten, $257,97cm^2$.

====Oppgave 6====

[[File:17062025-04.png|centre|400px]]

*Nevneren må ha et uttrykk som gir to nullpunkter siden grafen på figuren har to bruddpunkt.
*Grafen krysser y aksen på den positive side. Konstantleddene i teller og nevner er begge negative. Når x = 0 får man negativ delt på negativt, som er positivt.
*Funksjonen har et nullpunkt for en positiv x verdi, i dette tilfellet når 5x-2=0, altså $x = \frac 25$.

[[File:17062025-05.png|centre|400px]]

*Nevneren kan ikke bli null.
*Konstantleddene i teller og nevner utgjør en positiv brøk når x=0.

1T 2024 høst LØSNING

2026-02-02T14:32:02Z

Quiz: /* Oppgave 1 */

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4973 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54903 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

==DEL EN==
===Oppgave 1===

$u = 30 ^\circ$

$2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = 2 \cdot \frac 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2u blir 60 grader og fra figuren ser vi at $\sin(2u) = \sin (60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ så formelen stemmer.

{{Reklame}}

===Oppgave 2===

Vi ser at dette er en andregradsfunksjon med nullpunkter for x= -3 og x = 1. Vi har symmetri så funksjonen vil ha sin laveste verdi når x = -1.

$f(-1) = (-1-1)(-1+3) = -2 \cdot 2 = -4$

Bunnpunkt (-1, 4)

===Oppgave 3===

Vi utfører en polynom divisjon for å faktorisere uttrykket.

Vi observerer at f(1) = 0, da er f delelig med (x-1).

$( x^3+7x^2+4x-12):(x-1) = x^2 + 8x +12 $

$-(x^3 - x^2)$

$\quad \quad \quad 8x^2+ 4x- 12$

$\quad \quad -( 8x^2 - 8x) $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 12x - 12 $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -(12x - 12) $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 $

Så faktoriserer vi andregradsuttrykket:

Bruker ABC formelen og finner at $ x_1 = -6 \vee x_2 = -2$

Da har vi at $x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x+2)(x+6)$

Så lager vi et fortegnsskjema for å finne ut for hvilke verdier f(x) er negativ, null og positiv:

[[File: 23112024-12.png|500px]]

Da har vi et fortegnsskjema som viser når f er positiv og negativ. Dette stemmer med grafen nedenfor.
[[File:21112024-10.png|300px]]

Da gjennstår det bare å se på $f(x) < 0 :$

f skal være mindre enn null. Det er den i området fra minus uendelig til -6 og mellom -2 og 1.

$x \in <\leftarrow, -6> \cup <-2, 1>$

===Oppgave 4===

====a)====
Tangens er sinus delt på cosinus. Tangens til 50 grader er større enn en fordi $\frac{0,77}{0,64}$ er større enn 1.

====b)====

Vinkelen befinner seg i andre kvadrant der cosinus er negativ og sinus positiv. Da er tangens negativ, altså mindre enn null.

===Oppgave 5===

[[File: 23112024-09.png|400px]]

Arealet av det store kvadratet:

$(t + s)(t + s) = t^2 + 2ts + s^2$

Dette er en matematisk identitet, 1. kvadratsetning. Det andre leddet på høyre side, 2ts er arealet av de to rektangelene i fuguren, som begge har areal t ganger s.

==DEL TO==

{{Reklame}}

===Oppgave 1===

====a)====
[[File:22112024-03.png|500px]]
Abbonenter i 2010:

$P(0) = 3600 + 600 = 4200$, eller man kan lese av grafen på y aksen og få samme resultat.

====b)====
[[File:22112024-04.png|500px]]

Mellom 2014 og 2024 mister avisen i gjennomsnitt 151 papir abonnenter per år.

====c)====

Den momentane vekstfarten når x=10 er ca -115.Det betyr at i starten av 2020, synker antall abonnenter på papiravis med en fart på 115 abonnenter per år.

====d)====

[[File:22112024-07.png|600px]]

Dersom vi regner origo som 1. januar 2010 vi antall digitalabonnenter passere papirabonnentene på sommeren i 2021.

===Oppgave 2===

Vi har 12 likesidede trekanter. Vi bruker arealsetningen på en enkelt trekant og multipliserer med tolv, for å få arealet av hele stjernen: Alle sider i de små trekantene er 4 og alle vinkler er 60 grader.

$12A = 12 \cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \sqrt{3} $

===Oppgave 3===

[[File: 24112024-04.png|300px]]

For vertikal asymptote i 2, må nevner bli null for x=2.

Når x = - 3 må telleren bli null (nullpunkt). I tillegg må hele brøken gå mot 4 når x går mot uendelig.

=== Oppgave 4===

====a)====
[[File: 23112024-13.png|600px]]

====b)====

100! er et stort tall. For at et tall skal slutte på null må det ha en faktor 10 i seg. For at det skal slutte på 00 - to nuller, ma det ha en faktor 10 i seg to ganger. Tallet 10 kan faktorisers til faktorene 5 og 2. Faktoren 2 finnes mange ganger i 100!, den er jo en faktor i alle partall. Hvor mange ganger finner man faktoren 5?

Dersom vi deler 100 på 5 får vi 20: 5, 10, 15,.............. 95, 100

Tall som 25, 50 75 og 100 bidrar med to femmerfaktorer.

Vi får da: $ \frac {100}{5^1} + \frac{100}{5^2} = 20 + 4 =24$

(Det minste tallet som bidrar med tre femmerfaktorer er 125, men det er jo ikke med.)

===Oppgave 5===

[[File: 24112024-01.png|300px]]

På linje 1 defineres f.

På linje 2 bruker man opplysningen om punktet (2,6)

På linje 3 bruker vi informasjon om koordinatene til toppunktet. Det andre kulepunktet i oppgaven inneholder dobbel informasjon: vi vet også at den deriverte er null når x = -2. Den informasjonen bruker vi i linje 4.

Informasjon om tangentens stigningstall i (3, f(3)) er brukt i linje 5.

Vi har nå fire likninger og fire ukjente og løser.

{{Reklame}}
===Oppgave 6===

====a)====

Vi kan se på firkanten ABCD som to trekanter som ligger inntil hverandre, ACD og ABC. Vi kjenner alle sidene i trekantene og bruker Cosinussetningen for å finne en vinkel i hver trekant. Så bruker vi arealsetningen på hver av trekantene og legger sammen. For å bruke arealsetningen trenger vi to sider i trekanten og vinkelen mellom dem.

[[File:30112024-01.png|400px]]

[[File:30112024-06.png|300px]]

Arealet av firkanten er 58,5 kvadrat enheter.

====b)====

Diagonalen BD deler firkanten opp i to nye trekanter hvor alle vinkler er kjent (Den tredje vinkelen i en trekant finner du ved å ta 180 minus de to du allerede kjenner.). Bruk sinussetningen til å finne en side, for eksempel BD (sparer arbeid, da denne er en side i begge trekantene). Du kan nå bruke arealsetningen og kommer forhåpentligvis til å få samme svar som i a.

[[File:30112024-02.png|400px]]

[[File:30112024-07.png|400px]]

===Oppgave 7===

====a)====

100 m gjerde:

$100 = 2y + 4x + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x$

Finner lengden av rektangelet, y, uttrykt ved x:

$y= 50 -2x - \sqrt{x}$

Arealet av grønnsakhagen blir:

$A(x) = y \cdot x + x^2 = (50 -2x - \sqrt{x})x + x^2 $

[[File:30112024-03.png|300px]]

Når katetet er 8 meter er arealet 245,76 kvadratmeter (linje 2).

====b)====

Fra figuren i a ser vi at dersom katetet har en lengde på 10 meter vil arealet være i nærheten av sin maksimale verdi (259 kvadratmeter).

====c)====

[[File: 30112024-04.png|500px]]

====d)====

Det største arealet av hagen får man når katetene er 10,37 m. Da er arealet ca. 260 kvadratmeter.

====e)====

Den sorte linjen i koordinatsystemet viser lengden av y med økende x verdi. Det må presiseres at for denne linjen er det lengde i meter som vises, ikke kvadratmeter, som gjelder for arealgrafen. Når x går mot 14,64 meter går lengden av rektangelet, y, mot null. Gyldighetsområdet er derfor fra null til 14,64m. (Dersom man har litt peiling på kjøkkenhage ville man trolig sagt at gyldighetsområdet ligger i området 3- 11 meter. Man må kunne snu en trillebår og vel så det...)

$x \in <0, \quad 14,64>$

1T 2024 høst LØSNING

2026-02-02T14:31:33Z

Quiz: /* c) */

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4973 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54903 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

==DEL EN==
===Oppgave 1===

$u = 30 ^\circ$

$2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = 2 \cdot \frac 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2u blir 60 grader og fra figuren ser vi at $\sin(2u) = \sin (60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ så formelen stemmer.

{{Reklame}}

===Oppgave 2===

Vi ser at dette er en andregradsfunksjon med nullpunkter for x= -3 og x = 1. Vi har symmetri så funksjonen vil ha sin laveste verdi når x = -1.

$f(-1) = (-1-1)(-1+3) = -2 \cdot 2 = -4$

Bunnpunkt (-1, 4)

===Oppgave 3===

Vi utfører en polynom divisjon for å faktorisere uttrykket.

Vi observerer at f(1) = 0, da er f delelig med (x-1).

$( x^3+7x^2+4x-12):(x-1) = x^2 + 8x +12 $

$-(x^3 - x^2)$

$\quad \quad \quad 8x^2+ 4x- 12$

$\quad \quad -( 8x^2 - 8x) $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 12x - 12 $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -(12x - 12) $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 $

Så faktoriserer vi andregradsuttrykket:

Bruker ABC formelen og finner at $ x_1 = -6 \vee x_2 = -2$

Da har vi at $x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x+2)(x+6)$

Så lager vi et fortegnsskjema for å finne ut for hvilke verdier f(x) er negativ, null og positiv:

[[File: 23112024-12.png|500px]]

Da har vi et fortegnsskjema som viser når f er positiv og negativ. Dette stemmer med grafen nedenfor.
[[File:21112024-10.png|300px]]

Da gjennstår det bare å se på $f(x) < 0 :$

f skal være mindre enn null. Det er den i området fra minus uendelig til -6 og mellom -2 og 1.

$x \in <\leftarrow, -6> \cup <-2, 1>$

===Oppgave 4===

====a)====
Tangens er sinus delt på cosinus. Tangens til 50 grader er større enn en fordi $\frac{0,77}{0,64}$ er større enn 1.

====b)====

Vinkelen befinner seg i andre kvadrant der cosinus er negativ og sinus positiv. Da er tangens negativ, altså mindre enn null.

===Oppgave 5===

[[File: 23112024-09.png|400px]]

Arealet av det store kvadratet:

$(t + s)(t + s) = t^2 + 2ts + s^2$

Dette er en matematisk identitet, 1. kvadratsetning. Det andre leddet på høyre side, 2ts er arealet av de to rektangelene i fuguren, som begge har areal t ganger s.

==DEL TO==

{{Reklame}}

===Oppgave 1===

====a)====
[[File:22112024-03.png|500px]]
Abbonenter i 2010:

$P(0) = 3600 + 600 = 4200$, eller man kan lese av grafen på y aksen og få samme resultat.

====b)====
[[File:22112024-04.png|500px]]

Mellom 2014 og 2024 mister avisen i gjennomsnitt 151 papir abonnenter per år.

====d)====

[[File:22112024-07.png|600px]]

Dersom vi regner origo som 1. januar 2010 vi antall digitalabonnenter passere papirabonnentene på sommeren i 2021.

===Oppgave 2===

Vi har 12 likesidede trekanter. Vi bruker arealsetningen på en enkelt trekant og multipliserer med tolv, for å få arealet av hele stjernen: Alle sider i de små trekantene er 4 og alle vinkler er 60 grader.

$12A = 12 \cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \sqrt{3} $

===Oppgave 3===

[[File: 24112024-04.png|300px]]

For vertikal asymptote i 2, må nevner bli null for x=2.

Når x = - 3 må telleren bli null (nullpunkt). I tillegg må hele brøken gå mot 4 når x går mot uendelig.

=== Oppgave 4===

====a)====
[[File: 23112024-13.png|600px]]

====b)====

100! er et stort tall. For at et tall skal slutte på null må det ha en faktor 10 i seg. For at det skal slutte på 00 - to nuller, ma det ha en faktor 10 i seg to ganger. Tallet 10 kan faktorisers til faktorene 5 og 2. Faktoren 2 finnes mange ganger i 100!, den er jo en faktor i alle partall. Hvor mange ganger finner man faktoren 5?

Dersom vi deler 100 på 5 får vi 20: 5, 10, 15,.............. 95, 100

Tall som 25, 50 75 og 100 bidrar med to femmerfaktorer.

Vi får da: $ \frac {100}{5^1} + \frac{100}{5^2} = 20 + 4 =24$

(Det minste tallet som bidrar med tre femmerfaktorer er 125, men det er jo ikke med.)

===Oppgave 5===

[[File: 24112024-01.png|300px]]

På linje 1 defineres f.

På linje 2 bruker man opplysningen om punktet (2,6)

På linje 3 bruker vi informasjon om koordinatene til toppunktet. Det andre kulepunktet i oppgaven inneholder dobbel informasjon: vi vet også at den deriverte er null når x = -2. Den informasjonen bruker vi i linje 4.

Informasjon om tangentens stigningstall i (3, f(3)) er brukt i linje 5.

Vi har nå fire likninger og fire ukjente og løser.

{{Reklame}}
===Oppgave 6===

====a)====

Vi kan se på firkanten ABCD som to trekanter som ligger inntil hverandre, ACD og ABC. Vi kjenner alle sidene i trekantene og bruker Cosinussetningen for å finne en vinkel i hver trekant. Så bruker vi arealsetningen på hver av trekantene og legger sammen. For å bruke arealsetningen trenger vi to sider i trekanten og vinkelen mellom dem.

[[File:30112024-01.png|400px]]

[[File:30112024-06.png|300px]]

Arealet av firkanten er 58,5 kvadrat enheter.

====b)====

Diagonalen BD deler firkanten opp i to nye trekanter hvor alle vinkler er kjent (Den tredje vinkelen i en trekant finner du ved å ta 180 minus de to du allerede kjenner.). Bruk sinussetningen til å finne en side, for eksempel BD (sparer arbeid, da denne er en side i begge trekantene). Du kan nå bruke arealsetningen og kommer forhåpentligvis til å få samme svar som i a.

[[File:30112024-02.png|400px]]

[[File:30112024-07.png|400px]]

===Oppgave 7===

====a)====

100 m gjerde:

$100 = 2y + 4x + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x$

Finner lengden av rektangelet, y, uttrykt ved x:

$y= 50 -2x - \sqrt{x}$

Arealet av grønnsakhagen blir:

$A(x) = y \cdot x + x^2 = (50 -2x - \sqrt{x})x + x^2 $

[[File:30112024-03.png|300px]]

Når katetet er 8 meter er arealet 245,76 kvadratmeter (linje 2).

====b)====

Fra figuren i a ser vi at dersom katetet har en lengde på 10 meter vil arealet være i nærheten av sin maksimale verdi (259 kvadratmeter).

====c)====

[[File: 30112024-04.png|500px]]

====d)====

Det største arealet av hagen får man når katetene er 10,37 m. Da er arealet ca. 260 kvadratmeter.

====e)====

Den sorte linjen i koordinatsystemet viser lengden av y med økende x verdi. Det må presiseres at for denne linjen er det lengde i meter som vises, ikke kvadratmeter, som gjelder for arealgrafen. Når x går mot 14,64 meter går lengden av rektangelet, y, mot null. Gyldighetsområdet er derfor fra null til 14,64m. (Dersom man har litt peiling på kjøkkenhage ville man trolig sagt at gyldighetsområdet ligger i området 3- 11 meter. Man må kunne snu en trillebår og vel så det...)

$x \in <0, \quad 14,64>$

1T 2023 vår LK20 LØSNING

2025-11-11T14:42:38Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4715 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54345 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4742 Løsningsforslag til denne oppgaven laget av Farhan Omar]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

$sin(u)=\frac{8}{10}$

$cos(u)=\frac{6}{10}$

$(sinu)^2+(cosu)^2=\frac{8^2}{10^2}+\frac{6^2}{10^2}=\frac{64+36}{100}=\frac{100}{100}=1$

==Oppgave 2==

Her kan du bruke abc-formelen for å finne nullpunktene, eller se direkte hvordan uttrykket kan faktoriseres (som gjort her).

$f(x)=x^2-2x-8=(x+2)(x-4)$

Grafen til f skjærer x-aksen i x=-2 og x=4.

{{Reklame}}

==Oppgave 3==

Gitt likningen

$x^3-5x^2-8x+12=(x-1)(x+a)(x-b)$

bestem a og b slik at likningen blir en identitet.

Likningen viser et tredjegradspolynom på venstre side, som er faktorisert på høyre side.

Vi bruker polynomdivisjon og deler polynomet med den ene faktoren (x-1), slik at vi finner de to andre faktorene.

[[File: 1T-v23-del1-3.png|300px]]

Andregradsuttrykket vi får kan videre faktoriseres, enten ved bruk av abc-formelen og nullpunktsfaktorisering, eller ved å se faktorene direkte (som gjort her):

$x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$

Det betyr at for at likningen skal bli en identitet, må vi ha a = 2 og b = -6.

At denne likningen er en identitet, betyr at likningen stemmer for alle verdier av x. Her har vi et tredjegradspolynom på venstre side, som er faktorisert på høyre side. De to sidene må nødvendigvis være like for alle verdier av x.

==Oppgave 4==

En rasjonal funksjon med vertikal og horisontal asymptote uttrykkes ved $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Den vertikale asymptoten er x = 1. Der er funksjonen f(x) ikke definert. Det vil si at nevneren i den rasjonale funksjonen er 0 når x = 1. Altså er nevneren x-1.

Den horisontale asympoten er y = 3. Det betyr at f(x) går mot 3 når x går mot $\pm\infty$. Det betyr at førstegradsleddet i telleren er 3x (siden vi allerede har funnet at førstegradsleddet i nevneret er x).

Skjæringspunktet med andreaksen er i y = 6. Det betyr at konstantleddet i telleren er -6 (siden vi allerede har funnet at konstantleddet i nevneren er -1).

Nullpunktet til f er 2, som vil si at f(2)=0. Dette stemmer med at telleren er 3x-6, fordi 3*2-6 = 6-6 = 0.

Vi har $f(x)=\frac{3x-6}{x-1}$

{{Reklame}}

==Oppgave 5==

Denne grafen skal skisseres for hånd på eksamen.

[[File: 1T-v23-del1-5.png|600px]]

Grafen til f kan se ut som den blå grafen på bildet. Der hvor grafen til f' har nullpunkter, vil grafen til f ha ekstremalpunkter (i x=-3.12, x=0 og x=5.12).

Der hvor f' har negativ funksjonsverdi, vil grafen til f synke (når x mindre enn -3.12, og når x er mellom 1 og 5.12).

Der hvor f' har positiv funksjonsverdi, vil grafen til f stige (når x er mellom -3.12 og 1, og når x er større enn 5.12).

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker Geogebra til å tegne grafen til T, og finner de to nullpunktene i definisjonsområdet: B=(5.8,0) og C=(8.9,0).

[[File: 1T-v23-del2-1a2.png|600px]]

Temperaturen er over 0 grader Celsius fra 5,8 til 8,9 måneder etter 1. januar.

Mai: måned nr. 5. I tillegg 0,8*31 = ca. 25 døgn inn i mai (6 døgn igjen av mai).
August: måned nr. 8. I tillegg 0,9*31 = ca. 28 døgn inn i august.

Til sammen er temperaturen over 0 grader Celsius: 6 døgn i mai + 30 døgn i juni + 31 døgn i juli + 28 døgn i august = 95 døgn.

===b)===

Lager punktene E=(3,T(3)) og F=(7,T(7)). Lager en linje mellom dem med knappen "linje", og finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning".

[[File: 1T-v23-del2-1b.png|600px]]

Stigningstallet er 5.04, som betyr at temperaturen stiger med omtrent 5 grader Celsius per måned fra 1. mars til 1. juli.

===c)===

Tegner grafen til T'(x) og finner nullpunktene G og H, og ekstremalpunktene I og J i definisjonsområdet.

[[File: 1T-v23-del2-1c.png|600px]]

Punkt G forteller at temperaturen er lavest en dag i slutten av februar (måned nr. 2).

Punkt H forteller at temperaturen er høyest en dag i starten av juli (måned nr. 7).

Punkt I forteller at temperaturen har raskest positiv endring en dag i slutten av april (måned nr. 4). Den dagen stiger temperaturen med en fart på ca. 6,9 grader per måned.

Punkt J forteller at temperaturen har raskest negativ endring en dag i slutten av september (måned nr. 9). Den dagen synker temperaturen med en fart på ca. 6,6 grader per måned.

==Oppgave 2==

===a)===

Dersom lengden er 60 meter, blir bredden 10 meter. Arealet blir da $60\cdot 10 = 600$ kvadratmeter.

===b)===

Bruker Excel til å lage en oversikt. Bildet viser oversikten til venstre, og formlene som er brukt til høyre.

[[File: 1T-v23-del2-2b.png|600px]]

Det kan se ut som om Herman sin påstand er riktig. I oversikten er det største arealet når lengden er dobbel så stor som bredden.

===c)===

Funksjonen $f(x)=x\cdot \frac{80-x}{2}$ viser areal av rektangelet som funksjon av lengden x. Bruker Geogebra til å tegne grafen til f, og til å finne ekstremalpunktet A=(40,800).

[[File: 1T-v23-del2-2c2.png|600px]]

Funksjonen viser at rektangelet har størst areal når lengden er 40, og da dobbelt så stor som bredden på 20.

==Oppgave 3==

Løser oppgaven i CAS.

[[File: 1T-v23-del2-3.png|300px]]

Linje 1: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ABC.

Linje 2: Bruker cosinussetningen til å bestemme lengden AC.

Linje 3: Bruker cosinussetningen til å bestemme $\angle{ADC}$.

Linje 4: Siden CAS gir svaret i radianer, deler jeg på grader-tegnet for å få $\angle{ADC}$ i grader.

Linje 5: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ACD.

Linje 6: Legger sammen arealet til de to trekantene.

Arealet av figuren ABCD er ca. 50,8.
{{Reklame}}
==Oppgave 4==

===a)===

Arealet av hvert rektangel er gitt ved:

$A=l\cdot b = 1\cdot f(x)$

Bruker CAS til å regne ut summen til arealet av de seks rektanglene.

[[File: 1T-v23-del2-4b.png|300px]]

Arealet er av de seks rektanglene er ca. 21,8.

===b) og c) ===

[[File: 1T-v23-del2-4cd.png|650px]]

Arealet av 6000 rektangler er ca. 20.

==Oppgave 5==

Løser oppgaven i CAS. Finner arealet av hver trekant uttrykt ved r (linje 1-3), og løser til slutt likningen for summen av arealene til de tre trekantene (linje 4) for å finne verdien til r.

Linje 1: bruker formelen for areal av en trekant, A = 1/2 * grunnlinje * høyde

Linje 2: arealsetningen. $\angle{ASB}= 180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ} = 120^{\circ}$

Linje 3: arealsetningen. $\angle{ASC}= 360^{\circ}-90^{\circ}-120^{\circ} = 150^{\circ}$

[[File: 1T-v23-del2-5.png|300px]]

Verdien av r er $2\sqrt{2}$.

==Oppgave 6==

===a)===

Bruker CAS til å bestemme topp- og bunnpunktene, og ser på grafen at dette er topp- og bunnpunkt (og f.eks. ikke terrassepunkt).

[[File: 1T-v23-del2-6a.png|500px]]

Grafen til f har et toppunkt i (0,2) og et bunnpunkt i (2,-2).

===b)===

Hvis man tegner en generell tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd i Geogebra, $f(x)=ax^3+bx^2+d$, og bruker glidere for a, b, og d, vil man se at det alltid er et topp-, bunn-, eller terrassepunkt i x = 0. For eksempel har grafen til $x^3$ et terrassepunkt i x = 0.

Dersom man deriverer denne generelle tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd, f, ser man at den deriverte alltid er lik 0 når x = 0. Det vil si at grafen til f har et topp- bunn- eller terrassepunkt i x = 0, for alle verdier av a, b og d. Et eventuelt annet ekstremalpunktet vil avhenge av verdien til a og b. Jeg bruker CAS for å vise dette:

[[File: 1T-v23-del2-6b.png|200px]]

1T 2023 vår LK20 LØSNING

2025-11-11T14:42:16Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4715 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54345 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4742 Løsningsforslag til denne oppgaven laget av Farhan Omar]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

$sin(u)=\frac{8}{10}$

$cos(u)=\frac{6}{10}$

$(sinu)^2+(cosu)^2=\frac{8^2}{10^2}+\frac{6^2}{10^2}=\frac{64+36}{100}=\frac{100}{100}=1$

==Oppgave 2==

Her kan du bruke abc-formelen for å finne nullpunktene, eller se direkte hvordan uttrykket kan faktoriseres (som gjort her).

$f(x)=x^2-2x-8=(x+2)(x-4)$

Grafen til f skjærer x-aksen i x=-2 og x=4.

{{Reklame}}

==Oppgave 3==

Gitt likning

$x^3-5x^2-8x+12=(x-1)(x+a)(x-b)$

, bestem a og b slik at likningen blir en identitet.

Likningen viser et tredjegradspolynom på venstre side, som er faktorisert på høyre side.

Vi bruker polynomdivisjon og deler polynomet med den ene faktoren (x-1), slik at vi finner de to andre faktorene.

[[File: 1T-v23-del1-3.png|300px]]

Andregradsuttrykket vi får kan videre faktoriseres, enten ved bruk av abc-formelen og nullpunktsfaktorisering, eller ved å se faktorene direkte (som gjort her):

$x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$

Det betyr at for at likningen skal bli en identitet, må vi ha a = 2 og b = -6.

At denne likningen er en identitet, betyr at likningen stemmer for alle verdier av x. Her har vi et tredjegradspolynom på venstre side, som er faktorisert på høyre side. De to sidene må nødvendigvis være like for alle verdier av x.

==Oppgave 4==

En rasjonal funksjon med vertikal og horisontal asymptote uttrykkes ved $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Den vertikale asymptoten er x = 1. Der er funksjonen f(x) ikke definert. Det vil si at nevneren i den rasjonale funksjonen er 0 når x = 1. Altså er nevneren x-1.

Den horisontale asympoten er y = 3. Det betyr at f(x) går mot 3 når x går mot $\pm\infty$. Det betyr at førstegradsleddet i telleren er 3x (siden vi allerede har funnet at førstegradsleddet i nevneret er x).

Skjæringspunktet med andreaksen er i y = 6. Det betyr at konstantleddet i telleren er -6 (siden vi allerede har funnet at konstantleddet i nevneren er -1).

Nullpunktet til f er 2, som vil si at f(2)=0. Dette stemmer med at telleren er 3x-6, fordi 3*2-6 = 6-6 = 0.

Vi har $f(x)=\frac{3x-6}{x-1}$

{{Reklame}}

==Oppgave 5==

Denne grafen skal skisseres for hånd på eksamen.

[[File: 1T-v23-del1-5.png|600px]]

Grafen til f kan se ut som den blå grafen på bildet. Der hvor grafen til f' har nullpunkter, vil grafen til f ha ekstremalpunkter (i x=-3.12, x=0 og x=5.12).

Der hvor f' har negativ funksjonsverdi, vil grafen til f synke (når x mindre enn -3.12, og når x er mellom 1 og 5.12).

Der hvor f' har positiv funksjonsverdi, vil grafen til f stige (når x er mellom -3.12 og 1, og når x er større enn 5.12).

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker Geogebra til å tegne grafen til T, og finner de to nullpunktene i definisjonsområdet: B=(5.8,0) og C=(8.9,0).

[[File: 1T-v23-del2-1a2.png|600px]]

Temperaturen er over 0 grader Celsius fra 5,8 til 8,9 måneder etter 1. januar.

Mai: måned nr. 5. I tillegg 0,8*31 = ca. 25 døgn inn i mai (6 døgn igjen av mai).
August: måned nr. 8. I tillegg 0,9*31 = ca. 28 døgn inn i august.

Til sammen er temperaturen over 0 grader Celsius: 6 døgn i mai + 30 døgn i juni + 31 døgn i juli + 28 døgn i august = 95 døgn.

===b)===

Lager punktene E=(3,T(3)) og F=(7,T(7)). Lager en linje mellom dem med knappen "linje", og finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning".

[[File: 1T-v23-del2-1b.png|600px]]

Stigningstallet er 5.04, som betyr at temperaturen stiger med omtrent 5 grader Celsius per måned fra 1. mars til 1. juli.

===c)===

Tegner grafen til T'(x) og finner nullpunktene G og H, og ekstremalpunktene I og J i definisjonsområdet.

[[File: 1T-v23-del2-1c.png|600px]]

Punkt G forteller at temperaturen er lavest en dag i slutten av februar (måned nr. 2).

Punkt H forteller at temperaturen er høyest en dag i starten av juli (måned nr. 7).

Punkt I forteller at temperaturen har raskest positiv endring en dag i slutten av april (måned nr. 4). Den dagen stiger temperaturen med en fart på ca. 6,9 grader per måned.

Punkt J forteller at temperaturen har raskest negativ endring en dag i slutten av september (måned nr. 9). Den dagen synker temperaturen med en fart på ca. 6,6 grader per måned.

==Oppgave 2==

===a)===

Dersom lengden er 60 meter, blir bredden 10 meter. Arealet blir da $60\cdot 10 = 600$ kvadratmeter.

===b)===

Bruker Excel til å lage en oversikt. Bildet viser oversikten til venstre, og formlene som er brukt til høyre.

[[File: 1T-v23-del2-2b.png|600px]]

Det kan se ut som om Herman sin påstand er riktig. I oversikten er det største arealet når lengden er dobbel så stor som bredden.

===c)===

Funksjonen $f(x)=x\cdot \frac{80-x}{2}$ viser areal av rektangelet som funksjon av lengden x. Bruker Geogebra til å tegne grafen til f, og til å finne ekstremalpunktet A=(40,800).

[[File: 1T-v23-del2-2c2.png|600px]]

Funksjonen viser at rektangelet har størst areal når lengden er 40, og da dobbelt så stor som bredden på 20.

==Oppgave 3==

Løser oppgaven i CAS.

[[File: 1T-v23-del2-3.png|300px]]

Linje 1: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ABC.

Linje 2: Bruker cosinussetningen til å bestemme lengden AC.

Linje 3: Bruker cosinussetningen til å bestemme $\angle{ADC}$.

Linje 4: Siden CAS gir svaret i radianer, deler jeg på grader-tegnet for å få $\angle{ADC}$ i grader.

Linje 5: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ACD.

Linje 6: Legger sammen arealet til de to trekantene.

Arealet av figuren ABCD er ca. 50,8.
{{Reklame}}
==Oppgave 4==

===a)===

Arealet av hvert rektangel er gitt ved:

$A=l\cdot b = 1\cdot f(x)$

Bruker CAS til å regne ut summen til arealet av de seks rektanglene.

[[File: 1T-v23-del2-4b.png|300px]]

Arealet er av de seks rektanglene er ca. 21,8.

===b) og c) ===

[[File: 1T-v23-del2-4cd.png|650px]]

Arealet av 6000 rektangler er ca. 20.

==Oppgave 5==

Løser oppgaven i CAS. Finner arealet av hver trekant uttrykt ved r (linje 1-3), og løser til slutt likningen for summen av arealene til de tre trekantene (linje 4) for å finne verdien til r.

Linje 1: bruker formelen for areal av en trekant, A = 1/2 * grunnlinje * høyde

Linje 2: arealsetningen. $\angle{ASB}= 180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ} = 120^{\circ}$

Linje 3: arealsetningen. $\angle{ASC}= 360^{\circ}-90^{\circ}-120^{\circ} = 150^{\circ}$

[[File: 1T-v23-del2-5.png|300px]]

Verdien av r er $2\sqrt{2}$.

==Oppgave 6==

===a)===

Bruker CAS til å bestemme topp- og bunnpunktene, og ser på grafen at dette er topp- og bunnpunkt (og f.eks. ikke terrassepunkt).

[[File: 1T-v23-del2-6a.png|500px]]

Grafen til f har et toppunkt i (0,2) og et bunnpunkt i (2,-2).

===b)===

Hvis man tegner en generell tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd i Geogebra, $f(x)=ax^3+bx^2+d$, og bruker glidere for a, b, og d, vil man se at det alltid er et topp-, bunn-, eller terrassepunkt i x = 0. For eksempel har grafen til $x^3$ et terrassepunkt i x = 0.

Dersom man deriverer denne generelle tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd, f, ser man at den deriverte alltid er lik 0 når x = 0. Det vil si at grafen til f har et topp- bunn- eller terrassepunkt i x = 0, for alle verdier av a, b og d. Et eventuelt annet ekstremalpunktet vil avhenge av verdien til a og b. Jeg bruker CAS for å vise dette:

[[File: 1T-v23-del2-6b.png|200px]]

1T 2024 vår LK20 LØSNING

2025-11-11T08:14:11Z

Quiz: /* a) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4939 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54722 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://drive.google.com/file/d/1HuenlufPWv2EEO4XJilvg9H3s_MMDNPB/view?usp=sharing Løsning laget av Sindre Sogge Heggen]

=Del 1=

{{Reklame}}

==Oppgave 1==

===a)===
Tangens til vinkelen er definert som motstående katet, delt på hosliggende katet.

$\tan(u) \cdot \tan(v) = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = 1$

Dette betyr at Tom sin påstand er riktig.

===b)===

I denne oppgaven skal vi avgjøre om påstanden stemmer for alle rettvinklete trekanter. En generell rettvinklet trekant kan se slik ut:

[[File:05072024-01.png]]

$tan(u) \cdot tan(v) = \frac{B}{A} \cdot \frac{A}{B} = \frac{A}{A} \cdot \frac{B}{B} = 1$

Påstanden stemmer for alle trekanter av den typen.

==Oppgave 2==

Dersom P(a) = 0, er P(x) delelig på (x-a)

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$

P(0)=-6, P(-1)= 6, P(1)= -12, P(2)= 0. Vi ser også at $P(-3)= -54 + 27 + 33 -6= 0$ Vi observerer at polynomet skifter fortegn mellom P(0) og P(-1). Det kan derfor være fristende å teste om $x=- \frac{1}{2}$ er en rot i polynomet: $P(-\frac 12)= - \frac 14 + \frac 34 + 5,5 - 6 =0$

Røttene er altså $x= -3, x= - \frac 12$ og x = 2.

Polynomet P er da delelig på (x+3), (x + 0,5) og (x-2)

Dersom man deler på (x-2):

[[File:05072024-02.png]]

Dersom man dividerer tredjegradspolynomet på andregradspolynomet bør man jo få (x-2) som resultat:

[[File:05072024-03.png]]

Dersom linje tre i oppgaven er riktig må det bety at andregradspolynomet kan faktoriseres. Vi tester: $2x^2+7x+3$ og ser (ved hjelp av koefisientmetoden) at $2x^2+7x+3 = 2((x+3)(x+ \frac 12))$

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6 = ( 2x^2+7x+3)(x-2) = 2(x-2)(x+ \frac 12)(x + 3)$

Guri KAN ha utført de to divisjonene vist i oppgaven. Faktoriseringen hennes er riktig, men ikke fullstendig.

==Oppgave 3==

Stort kvadrat minus lite kvadrat:

$a((a-b)+b) - (b\cdot b) = a \cdot a - b \cdot b = a^2-b^2$

Sum av stort rektangel pluss lite rektangel:

$a(a-b) + b(a-b) = a^2-ab +ab - b^2 = a^2-b^2$

Ett eksempel på en identitet, med utgangspunkt i grønt areal er: $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$

==Oppgave 4==

Det defineres en funksjon som returnerer en andregradsfunksjon. Programmsnutten regner ut den gjennomsnittlige veksten til denne funksjonen mellom 0 og 5 (x verdier)

$ f(x) = x^2-3x+7 $

$v= \frac{f(5)-f(0)}{5} = \frac{17-7}{5} = 2$

==Oppgave 5==

===a)===
Generelt: $f(x) = ax^2+bx+c$

Fra figuren leser vi at f(0) =24, dvs c=24

Videre har vi fra figuren at f(-3)= 0 og f(4)= 0 hvilket betyr at (x+3) og (x-4) er faktorer i funksjonen: $(x+3)(x-4) = x^2-x -12$

Vi ser fra konstantleddet c at vi må multiplisere med -2 for å få 24:

$f(x) = -2(x^2-x-12)= -2x^2+2x+24$

===b)===

$f(x) = -2 (x+3)(x-4) $

$f(x) > 12$

$-2(x+3)(x-4)>12$

$(x+3)(x-4)> -6$

$x^2-x-6>0$

$(x+2)(x-3)>0$

Vi tegner fortegnsskjema:

[[File:07072024.png|300px]]

$x \in <-2,3>$

{{Reklame}}

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

Vi bruker regresjon på Geogebra og får:

[[File:06072024-03.png|700px]]

===b)===

Vi bruker modellen fra oppgave a og finner ekstremalpunktet (i dette tilfellet toppunktet) i Geogebra.

[[File: 1P_V24_del2_1b.png | 600px]]

Kantina må produsere omtrent 284 bagetter og vil da få omtrent 4460 kr i overskudd. Merk at en modell ikke gir noe nøyaktig svar, men vi kan anslå omtrent hvor mange bagetter kantina burde selge og hva overskuddet blir.

===c)===

[[File:06072024-05.png|600px]]

Linjen f har stigningstall 23,96. Det betyr at overskuddet øker i gjennomsnitt 24 kroner når bagettsalget økes med en, mellom 100 og 200 bagetter. Legg merke til at økningen er størst rett etter 100 bagetter og så avtar økningen mot 200 bagetter.

===d)===

Den momentane vekstfarten er 8,61 i (235,f(325)). Det betyr at dersom man øker salget med en bagett, til 236, så øker overskuddet med 8,61 kroner. Se figur i c.

''I C laget vi først to punkt, (100, f(100)) og (200, f(200)). Så trakk vi linjestykket mellom dem og fant stigningstallet til linjestykket f. I opg d brukte vi "tangent", og fant stigningstallet til den.''

==Oppgave 2==

[[File:06072024-10.png|300px]]

===a)===

Vi bruker CAS og finner at vinkel u må være 56,82 grader.

===b)===

Sinus til 90 er en, og 1/1,33 = 0, 7519. Den inverse sinusverdien er 48,75 grader. Se linje 2 i CAS.

===c)===

Nei, det er ikke mulig, bortsett fra om man regner en vinkel på null grader som en mulighet. Linje 3 i CAS

==Oppgave 3==

[[File: 07072024-03.png|300px]]

Bruker først arealsetningen for å finne AC som er 2. Linje 1. Bruker Cosinussetningen for å finne BC som er $2 \sqrt{21}$

==Oppgave 4==

===a)===
Eksempel på et program som sumerer de 20 første oddetallene trinnvis.

[[File:1T-programmering-v24.png|200px]]

===b)===

Ved å se på summene i programmet i a og på figuren i oppgaveteksten i b, ser man at summen av de n første oddetallene er $n^2$

Eksempelvis er

$S_6 = 1 + 3 + 5+ 7 +9+ 11 = 36 = 6^2$

==Oppgave 5==

===a)===

Bruker potensregresjon og får:

[[File:06072024-08.png|400px]]

===b)===

[[File:07072024-01.png|500px]]

Det er ingen fjell høyere enn 9 km, derfor går derfinisjonsmengden fra null til ni. Vi observerer at modellene er ganske like, så hvilken vi bruker har liten betydning.

===c)===

Dersom man skal få hardkokte egg må temperaturen (kokepunktet) være over 85 grader, som tilsvarer et trykk på over 600hPa (Figur oppgave a).

Fra figuren i oppgave b ser man at trykket blir lavere enn 600 hPa når høyden overstiger ca. 4000 meter. Man bør holde seg på fjell under 4000 meter dersom man er avhengig av hardkokte egg. Alternativt kan man koke dem på forhånd og ta med på tur :-)

{{Reklame}}

==Oppgave 6==

Fra grafen ser man at tangenten i (1,2) har stigningstall -2. P ligger på grafen til f og på tangenten. Da har vi et punkt og et stigningstall, og finner da likningen for den rette linjen:

$y = ax + b \quad$ generelt

$y = -2x +b \quad$ bruker informasjon om stigningstallet

$2 = -2 \cdot 1 + b \quad$ bruker informasjon om punktet for å finne b

b = 4

y = -2x + 4, er likningen for tangenten til f i P.

==Oppgave 7==

[[File:06072024-06.png|600px]]

Det er begrenset hvor mye tid man har til utforskning på eksamen, men dette er i alle fall en fin oppgave å ta tak i for å utforske egenskaper ved funksjoner. Bildet over er et første utkast.

* Vi starter med en parabel. En parabel som mangler x leddet er symmetrisk om y aksen. Dersom a i $f(x)= ax^2$ er positiv har funksjonen et minimum. Vår funksjon mangler konstantledd og går gjennom origo. At den mangler konstantledd er ikke noe poeng i seg selv i denne oppgaven. Vi valgte a= 0,2 for å få litt "åpning" på grafen. Parabelen er den brune grafen.

*Den enkleste funksjonen som kan gi en graf tilsvarende den i oppgavesettet, øverst, er en tredjegradsfunksjon. For at den skal ha et bunnpunkt på y- aksen etter ett toppunkt, må koeffisienten foran tredjegradsleddet være positiv. Når funksjonen mangler x ledd vil koeffisienten foran andregradsleddet angi avstanden i x retning til det punkt som har samme funksjonsverdi. (Her er det rom for mye utforskning, langt mer enn hva man har tid til på en eksamen).

* Til slutt legger man på en rett linje slik at man får en lukket kurve bestående av tre forskjellige funksjoner. Man må definere gyldighetsområdet til hver enkelt funksjon. Denne oppgaven har uendelig mange løsninger. Nedenfor ser du en av dem.

[[File:06072024-07.png|600px]]

1T 2024 vår LK20 LØSNING

2025-11-11T08:13:49Z

Quiz: /* a) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4939 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54722 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://drive.google.com/file/d/1HuenlufPWv2EEO4XJilvg9H3s_MMDNPB/view?usp=sharing Løsning laget av Sindre Sogge Heggen]

=Del 1=

{{Reklame}}

==Oppgave 1==

===a)===
Tangens til vinkelen er definert som motstående katet, delt på hosliggende katet.

$\tan(u) \cdot \tan(v) = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = 1$

Dette betyr at Tom sin påstand er riktig.

===b)===

I denne oppgaven skal vi avgjøre om påstanden stemmer for alle rettvinklete trekanter. En generell rettvinklet trekant kan se slik ut:

[[File:05072024-01.png]]

$tan(u) \cdot tan(v) = \frac{B}{A} \cdot \frac{A}{B} = \frac{A}{A} \cdot \frac{B}{B} = 1$

Påstanden stemmer for alle trekanter av den typen.

==Oppgave 2==

Dersom P(a) = 0, er P(x) delelig på (x-a)

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$

P(0)=-6, P(-1)= 6, P(1)= -12, P(2)= 0. Vi ser også at $P(-3)= -54 + 27 + 33 -6= 0$ Vi observerer at polynomet skifter fortegn mellom P(0) og P(-1). Det kan derfor være fristende å teste om $x=- \frac{1}{2}$ er en rot i polynomet: $P(-\frac 12)= - \frac 14 + \frac 34 + 5,5 - 6 =0$

Røttene er altså $x= -3, x= - \frac 12$ og x = 2.

Polynomet P er da delelig på (x+3), (x + 0,5) og (x-2)

Dersom man deler på (x-2):

[[File:05072024-02.png]]

Dersom man dividerer tredjegradspolynomet på andregradspolynomet bør man jo få (x-2) som resultat:

[[File:05072024-03.png]]

Dersom linje tre i oppgaven er riktig må det bety at andregradspolynomet kan faktoriseres. Vi tester: $2x^2+7x+3$ og ser (ved hjelp av koefisientmetoden) at $2x^2+7x+3 = 2((x+3)(x+ \frac 12))$

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6 = ( 2x^2+7x+3)(x-2) = 2(x-2)(x+ \frac 12)(x + 3)$

Guri KAN ha utført de to divisjonene vist i oppgaven. Faktoriseringen hennes er riktig, men ikke fullstendig.

==Oppgave 3==

Stort kvadrat minus lite kvadrat:

$a((a-b)+b) - (b\cdot b) = a \cdot a - b \cdot b = a^2-b^2$

Sum av stort rektangel pluss lite rektangel:

$a(a-b) + b(a-b) = a^2-ab +ab - b^2 = a^2-b^2$

Ett eksempel på en identitet, med utgangspunkt i grønt areal er: $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$

==Oppgave 4==

Det defineres en funksjon som returnerer en andregradsfunksjon. Programmsnutten regner ut den gjennomsnittlige veksten til denne funksjonen mellom 0 og 5 (x verdier)

$ f(x) = x^2-3x+7 $

$v= \frac{f(5)-f(0)}{5} = \frac{17-7}{5} = 2$

==Oppgave 5==

===a)===
Generelt: $f(x) = ax^2+bx+c$

Fra figuren leser vi at f(0) =24, dvs c=24

Videre har vi fra figuren at f(-3)= 0 og f(4)= 0 hvilket betyr at (x+3) og (x-4) er faktorer i funksjonen: $(x+3)(x-4) = x^2-x -12$

Vi ser fra konstantleddet c at vi må multiplisere med -2 for å få 24:

$f(x) = -2(x^2-x-12)= -2x^2+2x+24$

===b)===

$f(x) = -2 (x+3)(x-4) $

$f(x) > 12$

$-2(x+3)(x-4)>12$

$(x+3)(x-4)> -6$

$x^2-x-6>0$

$(x+2)(x-3)>0$

Vi tegner fortegnsskjema:

[[File:07072024.png|300px]]

$x \in <-2,3>$

{{Reklame}}

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

Vi bruker regresjon på Geogebra og får:

[[File:06072024-03.png|700px]]

===b)===

Vi bruker modellen fra oppgave a og finner ekstremalpunktet (i dette tilfellet toppunktet) i Geogebra.

[[File: 1P_V24_del2_1b.png | 600px]]

Kantina må produsere omtrent 284 bagetter og vil da få omtrent 4460 kr i overskudd. Merk at en modell ikke gir noe nøyaktig svar, men vi kan anslå omtrent hvor mange bagetter kantina burde selge og hva overskuddet blir.

===c)===

[[File:06072024-05.png|600px]]

Linjen f har stigningstall 23,96. Det betyr at overskuddet øker i gjennomsnitt 24 kroner når bagettsalget økes med en, mellom 100 og 200 bagetter. Legg merke til at økningen er størst rett etter 100 bagetter og så avtar økningen mot 200 bagetter.

===d)===

Den momentane vekstfarten er 8,61 i (235,f(325)). Det betyr at dersom man øker salget med en bagett, til 236, så øker overskuddet med 8,61 kroner. Se figur i c.

''I C laget vi først to punkt, (100, f(100)) og (200, f(200)). Så trakk vi linjestykket mellom dem og fant stigningstallet til linjestykket f. I opg d brukte vi "tangent", og fant stigningstallet til den.''

==Oppgave 2==

[[File:06072024-10.png|300px]]

===a)===

Vi bruker CAS og finner at vinkel u må være 56,82 grader.

===b)===

Sinus til 90 er en, og 1/1,33 = 0, 7519. Den inverse sinusverdien er 48,75 grader. Se linje 2 i CAS.

===c)===

Nei, det er ikke mulig, bortsett fra om man regner en vinkel på null grader som en mulighet. Linje 3 i CAS

==Oppgave 3==

[[File: 07072024-03.png|300px]]

Bruker først arealsetningen for å finne AC som er 2. Linje 1. Bruker Cosinussetningen for å finne BC som er $2 \sqrt{21}$

==Oppgave 4==

===a)===
Eksempel på et program som sumerer de 20 første primtallene trinnvis.

[[File:1T-programmering-v24.png|200px]]

===b)===

Ved å se på summene i programmet i a og på figuren i oppgaveteksten i b, ser man at summen av de n første oddetallene er $n^2$

Eksempelvis er

$S_6 = 1 + 3 + 5+ 7 +9+ 11 = 36 = 6^2$

==Oppgave 5==

===a)===

Bruker potensregresjon og får:

[[File:06072024-08.png|400px]]

===b)===

[[File:07072024-01.png|500px]]

Det er ingen fjell høyere enn 9 km, derfor går derfinisjonsmengden fra null til ni. Vi observerer at modellene er ganske like, så hvilken vi bruker har liten betydning.

===c)===

Dersom man skal få hardkokte egg må temperaturen (kokepunktet) være over 85 grader, som tilsvarer et trykk på over 600hPa (Figur oppgave a).

Fra figuren i oppgave b ser man at trykket blir lavere enn 600 hPa når høyden overstiger ca. 4000 meter. Man bør holde seg på fjell under 4000 meter dersom man er avhengig av hardkokte egg. Alternativt kan man koke dem på forhånd og ta med på tur :-)

{{Reklame}}

==Oppgave 6==

Fra grafen ser man at tangenten i (1,2) har stigningstall -2. P ligger på grafen til f og på tangenten. Da har vi et punkt og et stigningstall, og finner da likningen for den rette linjen:

$y = ax + b \quad$ generelt

$y = -2x +b \quad$ bruker informasjon om stigningstallet

$2 = -2 \cdot 1 + b \quad$ bruker informasjon om punktet for å finne b

b = 4

y = -2x + 4, er likningen for tangenten til f i P.

==Oppgave 7==

[[File:06072024-06.png|600px]]

Det er begrenset hvor mye tid man har til utforskning på eksamen, men dette er i alle fall en fin oppgave å ta tak i for å utforske egenskaper ved funksjoner. Bildet over er et første utkast.

* Vi starter med en parabel. En parabel som mangler x leddet er symmetrisk om y aksen. Dersom a i $f(x)= ax^2$ er positiv har funksjonen et minimum. Vår funksjon mangler konstantledd og går gjennom origo. At den mangler konstantledd er ikke noe poeng i seg selv i denne oppgaven. Vi valgte a= 0,2 for å få litt "åpning" på grafen. Parabelen er den brune grafen.

*Den enkleste funksjonen som kan gi en graf tilsvarende den i oppgavesettet, øverst, er en tredjegradsfunksjon. For at den skal ha et bunnpunkt på y- aksen etter ett toppunkt, må koeffisienten foran tredjegradsleddet være positiv. Når funksjonen mangler x ledd vil koeffisienten foran andregradsleddet angi avstanden i x retning til det punkt som har samme funksjonsverdi. (Her er det rom for mye utforskning, langt mer enn hva man har tid til på en eksamen).

* Til slutt legger man på en rett linje slik at man får en lukket kurve bestående av tre forskjellige funksjoner. Man må definere gyldighetsområdet til hver enkelt funksjon. Denne oppgaven har uendelig mange løsninger. Nedenfor ser du en av dem.

[[File:06072024-07.png|600px]]

Fil:1T-programmering-v24.png

2025-11-11T08:13:26Z

Quiz:

1T 2024 vår LK20 LØSNING

2025-11-11T08:13:10Z

Quiz: /* a) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4939 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54722 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://drive.google.com/file/d/1HuenlufPWv2EEO4XJilvg9H3s_MMDNPB/view?usp=sharing Løsning laget av Sindre Sogge Heggen]

=Del 1=

{{Reklame}}

==Oppgave 1==

===a)===
Tangens til vinkelen er definert som motstående katet, delt på hosliggende katet.

$\tan(u) \cdot \tan(v) = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = 1$

Dette betyr at Tom sin påstand er riktig.

===b)===

I denne oppgaven skal vi avgjøre om påstanden stemmer for alle rettvinklete trekanter. En generell rettvinklet trekant kan se slik ut:

[[File:05072024-01.png]]

$tan(u) \cdot tan(v) = \frac{B}{A} \cdot \frac{A}{B} = \frac{A}{A} \cdot \frac{B}{B} = 1$

Påstanden stemmer for alle trekanter av den typen.

==Oppgave 2==

Dersom P(a) = 0, er P(x) delelig på (x-a)

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$

P(0)=-6, P(-1)= 6, P(1)= -12, P(2)= 0. Vi ser også at $P(-3)= -54 + 27 + 33 -6= 0$ Vi observerer at polynomet skifter fortegn mellom P(0) og P(-1). Det kan derfor være fristende å teste om $x=- \frac{1}{2}$ er en rot i polynomet: $P(-\frac 12)= - \frac 14 + \frac 34 + 5,5 - 6 =0$

Røttene er altså $x= -3, x= - \frac 12$ og x = 2.

Polynomet P er da delelig på (x+3), (x + 0,5) og (x-2)

Dersom man deler på (x-2):

[[File:05072024-02.png]]

Dersom man dividerer tredjegradspolynomet på andregradspolynomet bør man jo få (x-2) som resultat:

[[File:05072024-03.png]]

Dersom linje tre i oppgaven er riktig må det bety at andregradspolynomet kan faktoriseres. Vi tester: $2x^2+7x+3$ og ser (ved hjelp av koefisientmetoden) at $2x^2+7x+3 = 2((x+3)(x+ \frac 12))$

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6 = ( 2x^2+7x+3)(x-2) = 2(x-2)(x+ \frac 12)(x + 3)$

Guri KAN ha utført de to divisjonene vist i oppgaven. Faktoriseringen hennes er riktig, men ikke fullstendig.

==Oppgave 3==

Stort kvadrat minus lite kvadrat:

$a((a-b)+b) - (b\cdot b) = a \cdot a - b \cdot b = a^2-b^2$

Sum av stort rektangel pluss lite rektangel:

$a(a-b) + b(a-b) = a^2-ab +ab - b^2 = a^2-b^2$

Ett eksempel på en identitet, med utgangspunkt i grønt areal er: $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$

==Oppgave 4==

Det defineres en funksjon som returnerer en andregradsfunksjon. Programmsnutten regner ut den gjennomsnittlige veksten til denne funksjonen mellom 0 og 5 (x verdier)

$ f(x) = x^2-3x+7 $

$v= \frac{f(5)-f(0)}{5} = \frac{17-7}{5} = 2$

==Oppgave 5==

===a)===
Generelt: $f(x) = ax^2+bx+c$

Fra figuren leser vi at f(0) =24, dvs c=24

Videre har vi fra figuren at f(-3)= 0 og f(4)= 0 hvilket betyr at (x+3) og (x-4) er faktorer i funksjonen: $(x+3)(x-4) = x^2-x -12$

Vi ser fra konstantleddet c at vi må multiplisere med -2 for å få 24:

$f(x) = -2(x^2-x-12)= -2x^2+2x+24$

===b)===

$f(x) = -2 (x+3)(x-4) $

$f(x) > 12$

$-2(x+3)(x-4)>12$

$(x+3)(x-4)> -6$

$x^2-x-6>0$

$(x+2)(x-3)>0$

Vi tegner fortegnsskjema:

[[File:07072024.png|300px]]

$x \in <-2,3>$

{{Reklame}}

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

Vi bruker regresjon på Geogebra og får:

[[File:06072024-03.png|700px]]

===b)===

Vi bruker modellen fra oppgave a og finner ekstremalpunktet (i dette tilfellet toppunktet) i Geogebra.

[[File: 1P_V24_del2_1b.png | 600px]]

Kantina må produsere omtrent 284 bagetter og vil da få omtrent 4460 kr i overskudd. Merk at en modell ikke gir noe nøyaktig svar, men vi kan anslå omtrent hvor mange bagetter kantina burde selge og hva overskuddet blir.

===c)===

[[File:06072024-05.png|600px]]

Linjen f har stigningstall 23,96. Det betyr at overskuddet øker i gjennomsnitt 24 kroner når bagettsalget økes med en, mellom 100 og 200 bagetter. Legg merke til at økningen er størst rett etter 100 bagetter og så avtar økningen mot 200 bagetter.

===d)===

Den momentane vekstfarten er 8,61 i (235,f(325)). Det betyr at dersom man øker salget med en bagett, til 236, så øker overskuddet med 8,61 kroner. Se figur i c.

''I C laget vi først to punkt, (100, f(100)) og (200, f(200)). Så trakk vi linjestykket mellom dem og fant stigningstallet til linjestykket f. I opg d brukte vi "tangent", og fant stigningstallet til den.''

==Oppgave 2==

[[File:06072024-10.png|300px]]

===a)===

Vi bruker CAS og finner at vinkel u må være 56,82 grader.

===b)===

Sinus til 90 er en, og 1/1,33 = 0, 7519. Den inverse sinusverdien er 48,75 grader. Se linje 2 i CAS.

===c)===

Nei, det er ikke mulig, bortsett fra om man regner en vinkel på null grader som en mulighet. Linje 3 i CAS

==Oppgave 3==

[[File: 07072024-03.png|300px]]

Bruker først arealsetningen for å finne AC som er 2. Linje 1. Bruker Cosinussetningen for å finne BC som er $2 \sqrt{21}$

==Oppgave 4==

===a)===
Eksempel på et program som sumerer de 20 første primtallene trinnvis.

[[File:1T-programmering-v24.png|500px]]

===b)===

Ved å se på summene i programmet i a og på figuren i oppgaveteksten i b, ser man at summen av de n første oddetallene er $n^2$

Eksempelvis er

$S_6 = 1 + 3 + 5+ 7 +9+ 11 = 36 = 6^2$

==Oppgave 5==

===a)===

Bruker potensregresjon og får:

[[File:06072024-08.png|400px]]

===b)===

[[File:07072024-01.png|500px]]

Det er ingen fjell høyere enn 9 km, derfor går derfinisjonsmengden fra null til ni. Vi observerer at modellene er ganske like, så hvilken vi bruker har liten betydning.

===c)===

Dersom man skal få hardkokte egg må temperaturen (kokepunktet) være over 85 grader, som tilsvarer et trykk på over 600hPa (Figur oppgave a).

Fra figuren i oppgave b ser man at trykket blir lavere enn 600 hPa når høyden overstiger ca. 4000 meter. Man bør holde seg på fjell under 4000 meter dersom man er avhengig av hardkokte egg. Alternativt kan man koke dem på forhånd og ta med på tur :-)

{{Reklame}}

==Oppgave 6==

Fra grafen ser man at tangenten i (1,2) har stigningstall -2. P ligger på grafen til f og på tangenten. Da har vi et punkt og et stigningstall, og finner da likningen for den rette linjen:

$y = ax + b \quad$ generelt

$y = -2x +b \quad$ bruker informasjon om stigningstallet

$2 = -2 \cdot 1 + b \quad$ bruker informasjon om punktet for å finne b

b = 4

y = -2x + 4, er likningen for tangenten til f i P.

==Oppgave 7==

[[File:06072024-06.png|600px]]

Det er begrenset hvor mye tid man har til utforskning på eksamen, men dette er i alle fall en fin oppgave å ta tak i for å utforske egenskaper ved funksjoner. Bildet over er et første utkast.

* Vi starter med en parabel. En parabel som mangler x leddet er symmetrisk om y aksen. Dersom a i $f(x)= ax^2$ er positiv har funksjonen et minimum. Vår funksjon mangler konstantledd og går gjennom origo. At den mangler konstantledd er ikke noe poeng i seg selv i denne oppgaven. Vi valgte a= 0,2 for å få litt "åpning" på grafen. Parabelen er den brune grafen.

*Den enkleste funksjonen som kan gi en graf tilsvarende den i oppgavesettet, øverst, er en tredjegradsfunksjon. For at den skal ha et bunnpunkt på y- aksen etter ett toppunkt, må koeffisienten foran tredjegradsleddet være positiv. Når funksjonen mangler x ledd vil koeffisienten foran andregradsleddet angi avstanden i x retning til det punkt som har samme funksjonsverdi. (Her er det rom for mye utforskning, langt mer enn hva man har tid til på en eksamen).

* Til slutt legger man på en rett linje slik at man får en lukket kurve bestående av tre forskjellige funksjoner. Man må definere gyldighetsområdet til hver enkelt funksjon. Denne oppgaven har uendelig mange løsninger. Nedenfor ser du en av dem.

[[File:06072024-07.png|600px]]

2P 2025 Vår LØSNING

2025-10-21T08:22:09Z

Quiz: /* Oppgave 6 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5012 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54980 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

88 % av elevene deltar på undersøkelsen. Det vil si at 100 % - 88 % = 12 % ikke deltar på undersøkelsen

3 elever tilsvarer 12 %, som betyr at 1 elev tilsvarer 4 %.

100 % tilsvarer da 25 elever, fordi $\frac{100\,\%}{4\,\%}=25$

Det er 25 elever i klassen.

==Oppgave 2==

===a)===

Skriver tallene i stigende rekkefølge:

2 2 3 4 4 6 6 7 8 8

Medianen er det midterste tallet, her midt mellom 4 og 6. Medianen er 5.

Gjennomsnitt: $\frac{2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8}{10}=\frac{50}{10}=5$

===b)===

Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7. Det betyr at 7 vogner i skiheisen hadde 6 eller færre personer om bord.

==Oppgave 3==

x = vekten til en liten sekk.

y = vekten til en stor sekk.

4 små sekker + 2 store sekker = 44 kg. Dette gir oss likning I:

$4x + 2y=44$

stor sekk = liten sekk + 7 kg. Dette gir oss likning II:

$y = x+7$

Løser likningssystemet ved innsettingsmetoden. Setter x+7 for y i den første likningen.

$4x + 2(x+7)=44$

$4x + 2x+14=44$

$6x=44-14$

$x=\frac{30}{6}$

$x=5$

En liten sekk veier 5 kg. Setter inn denne verdien i den andre likningen.

$y = 5+ 7 = 12$

En stor sekk veier 12 kg.

==Oppgave 4==

AREAL:

Areal av halvsirkel (en hel sirkel delt på 2): $\frac{\pi r^2}{2} =\frac{\pi \cdot 1^2}{2}=\frac{\pi}{2}\approx\frac{3,14}{2}$

Areal av trekant: $\frac{ g\cdot h}{2}=\frac{3\cdot 1}{2}=\frac{3}{2}$

Arealet av halvsirkelen er litt større enn arealet av trekanten.

OMKRETS:

Omkrets av halvsirkel: $r+r+\frac{2\pi r}{2}=1+1+\frac{2\cdot \pi\cdot 1}{2}=1+1+\pi\approx 5,14$

Omkrets av trekant: $AB+AC+BC=3+AC+BC>6$

Jeg vet ikke nøyaktig hvor lange sidene AC og BC er, men jeg vet at de er like lange, og at de er større enn 1,5. Dette vet jeg fordi trekanten kan deles opp i to rettvinklede trekanter, hvor hypotenusen (AC eller BC) vil være lengre enn den lengste kateten (halvparten av AB).

Omkretsen av trekanten må da være større enn 6, og dette er uansett større enn omkretsen til halvsirkelen.

==Oppgave 5==

===a)===

For å finne størrelsen på lånet, legger jeg sammen alle avdragene.

Lånet er $10\cdot 10\,000\,kr=100\,000\,kr$.

===b)===

Dette er et serielån fordi avdragene er like store. Terminbeløpet er høyest i starten, og går ned etter hvert som lånet nedbetales og man derfor betaler et lavere beløp i rente.

==Oppgave 6==

GJENNOMSNITT:

[[File: 2P_V25_del1_6a.png]]

Gjennomsnittsalder: $\frac{3810}{100}=38,1$

Trine har rett i at gjennomsnittsalderen er ca. 38 år. Hun har da antatt at personene i hver klasse i gjennomsnitt har alder tilsvarende klassemidtpunktet.

MEDIAN:

[[File: 2P_V25_del1_6b.png]]

Medianen befinner seg i den klassen person nr. 50 er i, det vil si i klassen 20 til 40 år.

Person nr. 50, som befinner seg 30 personer "inn" i klassen [20,40>.

Medianen bli da: nedre klassegrense + medianens nr. i gruppa * klassebredde/frekvens

Median: $20+30\cdot \frac{20}{40}$

$ = 20+30\cdot 0,5$

$=20+15$

$=35$

Trine antar at de 40 medlemmene fordeler seg jevnt i klassen [20,40>.

==Oppgave 7==

En familie på 4 kaster 160 kg mat i 2025. Sofie ønsker å finne ut i hvilket år matsvinnet til en slik familie blir halvert, dersom de reduserer matsvinnet med 13 % per år.

Vekstfaktoren 0,87 angir en årlig reduksjon i avfall på 13 %.

En while-løkke beregner nytt matsvinn og nytt årstall, så lenge matsvinnet er større enn målet (halvert matsvinn).

Verdiene som blir skrevet ut forteller at i 2030, vil familien kaste ca. 79,7 kg mat.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Planen er at prosessen som slipper ut 5000 tonn miljøskadelige stoffer per år skal redusere utslippene med 5 % per år (5000 er ganget med en vekstfaktor på 0,95). Den andre prosessen skal fortsette å slippe ut 1000 tonn per år (konstantleddet er 1000).

===b)===

Bruker Geogebra. Finner utslippet ved start: 6000 tonn per år (se punkt A). Finner ut når utslippet har nådd 3000 tonn per år, ved å finne skjæringspunktet mellom linja y=3000 og grafen til U (se punkt B).

[[File: 2P_V25_del2_1b.png|800px]]

Utslippet er halvert etter ca. 17,9 år.

===c)===

Finner utslippet etter 10 år, ved å finne skjæringspunktet mellom linja x=10 og grafen til U (se punkt C). Utslippet etter 10 år er ca. 3994 tonn per år. Bruker deretter CAS til å regne ut prosent endring i utslippene.

[[File: 2P_V25_del2_1c.png|800px]]

Etter 10 år er det årlige utslippet redusert med ca. 33,4 %.

===d)===

Bedriften har ikke planlagt å redusere utslippet til prosessen som slipper ut 1000 tonn miljøskadelige stoffer per år (konstantleddet er 1000). Det vil derfor være umulig for bedriften å fylle kravet om utslipp på 800 tonn per år.

==Oppgave 2==

===a)===

PÅSTAND 1

Det er ikke sikkert medianalderen endres dersom det kommer en ny person inn i rommet. Dersom det kommer en ny person inn i rommet, får vi 11 personer (oddetall), og dersom personen er akkurat like gammel som medianalderen, vil ikke medianen endres. Dersom personen er yngre eller eldre enn medianalderen, vil medianen derimot endres.

===b)===

PÅSTAND 2

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: 2P_V25_del2_2.png|500px]]

Gjennomsnittsalderen kan bli 30 år dersom det kommer inn en person på 17 år.

==Oppgave 3==

===a)===

Trekant ABC og trekant ADE har har parvis like store vinkler, og er derfor formlike.

Vinkel ADE = vinkel ABC = 90 grader (dette er merket på figuren).

Vinkel A er felles i begge trekanter (og da selvfølgelig like stor i begge trekanter).

Vinkel BCA og vinkel DEA er samsvarende vinkler, og derfor også like store.

===b)===

For å finne avstanden fra B til D, kan vi først regne avstanden fra A til B, og trekke fra avstanden fra A til D.

AD er halvparten av DE, så AB må være halvparten av BC, siden trekantene er formlike. Det vil si at AB = 20 m.

$BD = AB - AD = 20 - 5 = 15$

Avstanden fra B til D er 15 m.

==Oppgave 4==

===a)===

Vi kan løse oppgaven enten ved regresjon i Geogebra, eller ved regning.

[[File: 2P_V25_del2_4a.png|800px]]

Ved regresjon, legger jeg inn opplysningene i regenarket i Geogebra (se bilde), og bruker "regresjonsanalyse" og velger eksponentiell modell. Jeg får da modellen $y=12000\cdot 0,87^x$.

Ved regning bruker jeg CAS til å finne vekstfaktoren som halverer antall fugler etter 5 år (se bildet). Jeg løser likningen $12000\cdot x^5=6000$, og finner at vekstfaktoren må være 0,87.

===b)===

Finner skjæringspunktet mellom linja x=7 og grafen til F. Det vil være 4527 fugler om 7 år ifølge modellen (se punkt A).

[[File: 2P_V25_del2_4bc.png|800px]]

===c)===

En reduksjon på 35 % gir en vekstfaktor på 0,65. Finner skjæringspunktet mellom linja $y=12000\cdot 0,65$ og grafen til F (se punkt B på bildet over). Det vil gå 3 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.

==Oppgave 5==

===a)===

Bruker Excel til å beregne ny maksimal husleie i 2024, dersom husleia fulgte utviklingen til konsumprisindeksen.

[[File: 2P_V25_del2_5a.png|500px]]

Husleien kunne maksimalt vært satt til 8720,44 kroner i 2024, så huseieren hadde ikke lov til å sette opp husleia til 9000 kr i 2024.

===b)===

Bruker Excel til å lage en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisindeksen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.

[[File: 2P_V25_del2_5b.png|500px]]

===c)===

Det er litt vanskelig å forutsi hvordan KPI vil endre seg i årene fremover, da økonomien avhenger av hvordan verdensbildet endrer seg. Hvis vi likevel skal det, utfører jeg en regresjonsanalyse basert på de KPI'ene jeg har, og finner at en potensmodell passer godt til punktene. Jeg skriver inn x=6 (for 2026) i vinduet for regresjonsanalyse, og får opp y=140,3. Dette er ifølge modellen verdien for KPI i 2026. Jeg bruker deretter denne KPI'en til å beregne husleien i 2026, dersom den følge KPI-utviklingen.

[[File: 2P_V25_del2_5c.png|900px]]

Husleien i 2026 kan være på ca. 9096 kr per måned.

==Oppgave 6==

Bruker Excel til ulike fremstillinger. Her velger seg søylediagrammer som viser fødselstall og dødstall sammen. Dette blir selvfølgelig et veldig likt diagram som å vise fødselsrate og dødsrate. Jeg velger et linjediagram for å vise utviklingen i fruktbarhetstall, og viser prosentvis endring i fruktbarhetstall i Excel. Det er mange flere beregninger man kan gjøre, dette er bare et utvalg.

[[File: 2P_V26_del2_6.png|800px]]

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T17:19:08Z

Quiz: /* b) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_3a.png|350px]]

Det tar 0,97 sekunder før akselerasjonen til haren er null. Det forteller at haren har nådd toppfarten sin etter 0,97 sekunder (toppunkt på grafen til v).

===b)===

[[File: R2_V25_del2_3b.png|300px]]

Haren løper 103,4 meter i løpet av de første 7 sekundene.

===c)===

[[File: R2_V25_del2_3c.png|600px]]

Definerer funksjonen for gjennomsnittsfarten i linje 4. Finner ut hvor mange sekunder det tar for haren å løpe 200 meter i linje 5. Finner gjennomsnittsfarten etter 14,954 sekunder (200 meter) i linje 5.

Gjennomsnittsfarten til haren er 13,37 meter per sekund de første 200 meterne.

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T17:18:37Z

Quiz: /* c) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_3a.png|350px]]

Det tar 0,97 sekunder før akselerasjonen til haren er null. Det forteller at haren har nådd toppfarten sin etter 0,97 sekunder (toppunkt på grafen til v).

===b)===

[[File: R2_V25_del2_3b.png|350px]]

Haren løper 103,4 meter i løpet av de første 7 sekundene.

===c)===

[[File: R2_V25_del2_3c.png|600px]]

Definerer funksjonen for gjennomsnittsfarten i linje 4. Finner ut hvor mange sekunder det tar for haren å løpe 200 meter i linje 5. Finner gjennomsnittsfarten etter 14,954 sekunder (200 meter) i linje 5.

Gjennomsnittsfarten til haren er 13,37 meter per sekund de første 200 meterne.

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 3c.png

2025-08-03T17:18:20Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T17:18:08Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_3a.png|350px]]

Det tar 0,97 sekunder før akselerasjonen til haren er null. Det forteller at haren har nådd toppfarten sin etter 0,97 sekunder (toppunkt på grafen til v).

===b)===

[[File: R2_V25_del2_3b.png|350px]]

Haren løper 103,4 meter i løpet av de første 7 sekundene.

===c)===

[[File: R2_V25_del2_3c.png|400px]]

Definerer funksjonen for gjennomsnittsfarten i linje 4. Finner ut hvor mange sekunder det tar for haren å løpe 200 meter i linje 5. Finner gjennomsnittsfarten etter 14,954 sekunder (200 meter) i linje 5.

Gjennomsnittsfarten til haren er 13,37 meter per sekund de første 200 meterne.

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 3b.png

2025-08-03T17:12:26Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T17:12:14Z

Quiz: /* b) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_3a.png|350px]]

Det tar 0,97 sekunder før akselerasjonen til haren er null. Det forteller at haren har nådd toppfarten sin etter 0,97 sekunder (toppunkt på grafen til v).

===b)===

[[File: R2_V25_del2_3b.png|350px]]

Haren løper 103,4 meter i løpet av de første 7 sekundene.

===c)===

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T17:12:04Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_3a.png|350px]]

Det tar 0,97 sekunder før akselerasjonen til haren er null. Det forteller at haren har nådd toppfarten sin etter 0,97 sekunder (toppunkt på grafen til v).

===b)===

[[File: R2_V25_del2_3a.png|350px]]

Haren løper 103,4 meter i løpet av de første 7 sekundene.

===c)===

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 3a.png

2025-08-03T17:08:13Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T17:07:43Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_3a.png|300px]]

Det tar 0,97 sekunder før akselerasjonen til haren er null. Det forteller at haren har nådd toppfarten sin etter 0,97 sekunder (toppunkt på grafen til v).

===b)===

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

S2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T13:44:11Z

Quiz: /* Oppgave 4 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5011 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54979 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_{0}^{1} (2e^x+2x^2)dx$

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1}$

$=2e+\frac{2}{3}-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

{| class="wikitable"
|-
! k
! 1
! 2
! 3
! 6
|-
| $P(X=k)$
| $\frac{1}{6}$
| $\frac{1}{6}$
| $\frac{1}{6}$
| $\frac{1}{2}$
|}

$E(x)=\frac{1+2+3+6+6+6}{6}=\frac{24}{6}=4$

===b)===

$Var(x)=\frac{(1-4)^2+(2-4)^2+(3-4)^2+3\cdot(6-4)^2}{6}$

$=\frac{9+4+1+12}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$

==Oppgave 4==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

==Oppgave 5==

===a)===

Grensekostnaden til 180 enheter er 138 kroner. Dette er stigningstallet til tangenten til K når x=180, og forteller derfor om hvor mye kostnaden stiger per enhet i det punktet (momentan vekstfart).

Enhetskostnaden er kostnaden per enhet. Når det blir produsert 180 enheter, koster det 14920 kroner. Det betyr at kostnaden per enhet er $\frac{14920}{180}=82,89$ kr per enhet. Jeg vet hva svaret blir, fordi det er stigningstallet til den rette linjen som går gjennom origo og punktet (180, 14920).

===b)===

Vi har $I(x)=p\cdot x$

Ønsker å finne p slik at $O'(180)=0$

$O'(x)= I'(x)-K'(x)= p-K'(x)$

$O'(180)=0$

$p-K'(180)=0$

$p-138=0$

$p=138$

Prisen må være 138 kroner per enhet for å få størst mulig overskudd ved produksjon og salg av 180 enheter. Vi legger merke til at prisen er den samme som grensekostnaden for produksjon av 180 enheter.

==Oppgave 6==

===a)===

$H_0: \mu=20\,km/L$

$H_1: \mu>20\,km/L$

===b)===

$z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}=\frac{21-20}{2,5/\sqrt{25}}=\frac{1}{2,5/5}=\frac{1}{1/2}=2$

Bruker vedlegget med standard normalfordeling og leser av tabellen at:

$P(Z\leq 2)=0,9772$

Det er mer enn 95 % sannsynlig, så Benz A/S kan si at bensinen øker kjørelengden.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

[[File: S2-V25-del2-1a.png|800px]]

Utfører en regresjonsanalyse i Geogebra ut fra dataene i tabellen. Velger en andregradspolynom og får et uttrykk for K(x). Deriverer så K(x) i Geogebra, og viser at K'(x)=1,23x+25.

===b)===

[[File: S2-V25-del2-1b.png|300px]]

I'(35)=85,7. Dette er grenseinntekten ved salg av 35 enheter, og forteller oss at å øke salget med én enhet ville økt inntekten med 85,7 kroner.

K'(35)=68,2. Dette er grensekostnaden ved salg av 35 enheter, og forteller oss at å øke salget med én enhet ville økt kostnaden med 68,2 kroner.

Det vil altså lønne seg å øke produksjonen til 36 enheter.

===c)===

[[File: S2-V25-del2-1c.png|200px]]

Svaret på 558 forteller oss at samlet kostnad for å øke produksjonen fra 20 til 30 enheter er 558 kroner.

Dette virker som en unødvendig komplisert måte å finne ut av det på, da det enkleste ville vært å regne ut K(30)-K(20).

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

[[File: S2-V25-del2-2a.png|300px]]

Sannsynligheten for at Birger hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp er 0,1587. For Maren er sannsynligheten 0,0228, og for Espen er den 0,0668.

===b)===

Finner sannsynligheten for at Birger og Espen hver for seg hopper kortere enn 83 meter:

[[File: S2-V25-del2-2b.png|300px]]

Sannsynligheten for at begge hopper kortere enn 83 meter (og at Maren dermed hopper lengst) er $0,7422\cdot 0,7881=0,5849$

===c)===

Lager en simulering i Python:

[[File: S2-V25-del2-2c.png|700px]]

Sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen er omtrent 0,476.

==Oppgave 3==

===a)===

Tegner grafen til B i Geogebra, og finner skjæringspunktet med linja y = 1 000 000 (se punkt A). Det tar nesten 94 uker før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet.

[[File: S2-V25-del2-3ab.png|700px]]

===b)===

$B'(52)=7827,7$ (se algebrafeltet på skjermbildet i oppgave a).

Det bestyr at 52 uker etter lansering, øker antall husstander som har brannvarslingssystemet med ca. 7828 husstander per uke.

===c)===

En logistisk modell er gitt ved:

$F(t)=\frac{N}{1+a\cdot e^{-kt}}$

* N = 1 000 000, det maksimale antall husstander som får brannvarslingssystemet.

* Bruker CAS i Geogebra til å finne $a$:

[[File: S2-V25-del2-3c.png|300px]]

* Det at flest nye husstander kjøper brannvarslingssystemet i uke 65, betyr at t=65 er vendepunktet.

Generelt har vi at $F' '(t)=0$ når $t=\frac{ln(a)}{k}$.

$65=\frac{ln(249)}{k}$

$k=0,085$

*Modellen er gitt ved $F(t)=\frac{1000000}{1+249\cdot e^{-0,085t}}$

==Oppgave 4==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

===c)===

[[File: S2_V25_del2_4c.png|300px]]

Nora vil akkurat ikke nå målet sitt (men ikke langt unna).

==Oppgave 5==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T13:43:23Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

===b)===

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T13:43:11Z

Quiz: /* b) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er 3,5 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra. Nora sparer i 30 år.

[[File: R2_V25_del2_2a.png|300px]]

Nora må sette ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet på 3 750 000 kr i slutten av 2055.

===b)===

[[File: R2_V25_del2_2b.png|300px]]

Summen av nåverdiene skal være 3 000 000 kr. Nora har regnet med en rente på 3,5 %.

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:S2 V25 del2 4b2.png

2025-08-03T13:42:48Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T13:42:27Z

Quiz: /* b) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b2.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra. Nora sparer i 30 år.

[[File: R2_V25_del2_2a.png|300px]]

Nora må sette ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet på 3 750 000 kr i slutten av 2055.

===b)===

[[File: R2_V25_del2_2b.png|300px]]

Summen av nåverdiene skal være 3 000 000 kr. Nora har regnet med en rente på 3,5 %.

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 2b.png

2025-08-03T13:37:45Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T13:37:34Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra. Nora sparer i 30 år.

[[File: R2_V25_del2_2a.png|300px]]

Nora må sette ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet på 3 750 000 kr i slutten av 2055.

===b)===

[[File: R2_V25_del2_2b.png|300px]]

Summen av nåverdiene skal være 3 000 000 kr. Nora har regnet med en rente på 3,5 %.

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 2a.png

2025-08-03T13:27:46Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-08-03T13:27:33Z

Quiz: /* Oppgave 3 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra. Nora sparer i 30 år.

[[File: R2_V25_del2_2a.png]]

Nora må sette ca. 83333 kr i banken hvert år for å nå målet på 3 750 000 kr i slutten av 2055.

===b)===

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T15:42:57Z

Quiz: /* c) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|250px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T15:40:39Z

Quiz: /* c) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|300px]]

Høyden mellom etasjene kan være ca. 3,33 meter.

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 1c.png

2025-07-20T15:40:10Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T15:39:53Z

Quiz: /* Oppgave 1 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

For $\vec{r}(t)$ er $k=\frac{\pi}{5}$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}}=10$

En periode er på 10 sekunder. Finner høyden etter 10 sekunder, minus høyden ved start.

[[File: R2_V25_del2_1c.png|400px]]

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T15:29:25Z

Quiz: /* Oppgave 1 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

Fartsvektoren er definert på linje 3.

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

Farten til bilen etter 10 sekunder er ca. 2,5 meter per sekund.

===c)===

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 1b.png

2025-07-20T14:57:00Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T14:56:51Z

Quiz: /* Oppgave 1 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

Bilen er ca. 6,67 meter over bakkenivå etter 5 sekunder.

===b)===

[[File: R2_V25_del2_1b.png|500px]]

===c)===

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T14:53:55Z

Quiz: /* Oppgave 1 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

[[File: R2_V25_del2_1a.png|500px]]

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

Fil:R2 V25 del2 1a.png

2025-07-20T14:53:21Z

Quiz:

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T14:53:06Z

Quiz: /* Oppgave 1 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

$\vec{r}(t)=[4cos(\frac{\pi}{5}t),4sin(\frac{\pi}{5}t)+2,5+\frac{1}{3}t]\quad t\in[0,20]$

===a)===

[[File: R2_V25_del2_1a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T12:35:42Z

Quiz: /* Oppgave 7 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

$tan\,u=2$

$\frac{sin\,u}{cos\,u}=2$

$sin\,u=2cos\,u$

Setter inn verdien for sin u i enhetsformelen:

$sin^2 u + cos^2 u = 1$

$(2 cos\,u)^2 + cos^2 u=1$

$5 cos^2 u = 1$

$cos\,u = \pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin\, u = 2 cos\,u = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Siden $u\in\langle0,\frac{\pi}{2}\rangle$, har vi $sin\,u=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ og $cos\,u=\frac{\sqrt{5}}{5}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T12:10:02Z

Quiz: /* Oppgave 7 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

===a)===

Buelengden L til en sirkelsektor er gitt ved: $L=2\pi r \cdot \frac{v}{360^o}$, hvor r er radiusen og v er vinkelen av sektoren.

Vi har:

$4=2\pi \cdot 3 \cdot \frac{v}{360^o}$

$v = \frac{4\cdot 360^o}{6\pi}$

$v = \frac{240^o}{\pi}$

Hvis vi runder av pi til ca. 3, vet vi at vinkelen er mindre enn 80 grader.

For radianer har vi at $L=r\cdot v$

Vi har:

$4=3\cdot v$

$v=\frac{4}{3}\approx 1,333...$

===b)===

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T11:51:40Z

Quiz: /* Oppgave 6 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$, eller $-1,33333...$

==Oppgave 7==

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T11:51:12Z

Quiz: /* Oppgave 6 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer arealene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$

==Oppgave 7==

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T11:50:44Z

Quiz: /* Oppgave 6 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer integralene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$

==Oppgave 7==

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-20T11:49:41Z

Quiz: /* Oppgave 6 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

Programmet summerer arealet av små rektangler med bredde dx og lengde f(x), pluss små rektangler med bredde dx og lengde g(x). Dette gjør programmet fra x = 0 til x = 2, med intervaller på 0.0001. Alle arealene summeres. Dette er det samme som summen av integralene til begge funksjonene fra x=0 til x=2.

$\int_0^2 x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^2=(\frac{1}{4}\cdot 2^4)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4)=\frac{1}{4}\cdot 16-0=4$

$\int_0^2 -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_0^2=(-\frac{2}{3}\cdot 2^3)-(-\frac{2}{3}\cdot 0^3)=-\frac{2}{3}\cdot 8-0=-\frac{16}{3}$

Summerer integralene:

$4+(-\frac{16}{3})=\frac{12}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$

Programmet skriver ut $-\frac{4}{3}$

==Oppgave 7==

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-18T16:12:54Z

Quiz: /* Oppgave 5 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5008 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54970 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://eksamensl-sninger.onrender.com/R2/V25/Eksamen_R2_V25_L%C3%B8sning.pdf Løsningsforslag laget av Lektor Seland]

[https://udl.no/v/r2-matematikk/r2-eksamen-lf/r2-eksamen-vaar-2025 Løsningsforslag som video laget av UDL.no]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

===a)===

$\int_0^1 (2e^x +2x^2)dx $

$=[2e^x+\frac{2}{3}x^3]_0^1$

$=(2e+\frac{2}{3})-2$

$=2e-\frac{4}{3}$

===b)===

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx$

Bruker integrasjon ved variabelskifte:

$u=x^2-x-6$

$u'=2x-1$

$u'=\frac{du}{dx} \Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int\frac{2x-1}{x^2-x-6}dx = \int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{u'}{u}\frac{du}{u'} = \int \frac{1}{u}du = ln |u|+C = ln |x^2-x-6|+C$

Det er også mulig å bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting.

==Oppgave 2==

Vi har at

* $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$

* $\int_{1}^{2}f(x)dx=\frac{11}{14}$

Integrerer f'(x) for å få et uttrykk for f(x):

$f(x)=\int -\frac{2}{x^3} dx = -2\int x^{-3}dx=\frac{-2}{-2}x^{-2} +C=\frac{1}{x^2}+C$

Bruker det bestemte integralet som likning for å finne C:

$\int_{1}^{2}(\frac{1}{x^2}+C )\, dx=\frac{11}{14}$

$[-\frac{1}{x}+Cx]_{1}^{2}=\frac{11}{14}$

$-\frac{1}{2}+2C-(-1+C)=\frac{11}{14}$

$C+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$

$C=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}$

$C=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$

Vi har:

$f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{7}$

==Oppgave 3==

===a)===

Rekken starter med tallet 2. For å finne neste tall, tar man forrige tall pluss forrige tall sitt figurnummer pluss 2. Vi har $a_{n+1} = a_n+n+2 $

Når koden kjøres, skrives de 5 første tallene i rekken ut, nemlig 2, 5, 9, 14, 20.

===b)===

Eleven ønsker å finne summen av de 5 første tallene i rekken. Resultatet som skrives ut blir 50.

===c)===

Induksjonsgrunnlag; vi sjekker at formelen stemmer for n=1:

$a_1=\frac{1(1+3)}{2}=2$

Formelen stemmer for n=1.

Induksjonstrinnet; vi antar at formelen gjelder for $n= k$:

$a_k = \frac{k(k+3)}{2}=\frac{k^2+3k}{2}$

Finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen fra programmet i oppgave a):

$a_{k+1}=a_k+k+2= \frac{k^2+3k}{2}+k+2 = \frac{k^2+3k}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}= \frac{k^2+5k+4}{2}$

Sjekker om formelen stemmer for $k+1$:

$a_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{2}=\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k^2+5k+4}{2}$

Konklusjon: dersom formelen stemmer for $n = k$, må den også stemme for $n = k + 1$. Vi har vist at formelen stemmer $n = 1$, og derfor må den også stemme for $n = 2, n = 3...$ Vi har vist at formelen stemmer for alle $n\geq 1$.

==Oppgave 4==

Funksjonen f er gitt ved:

$f(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6}), \quad D_f=\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle$

Generelt er sinusfunksjoner gitt ved:

$f(x)=Asin(kx+\phi)+d$

===a)===

Amplitude: $A=2\sqrt{3}$

Likevekstlinje: $d=0$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$

Faseforskyvning: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=-\frac{\pi}{12}$

===b)===

$f(x)=\sqrt{3}$

$2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$

$sin(2x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$

$2x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}(\frac{1}{2})$

$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi $

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er ikke i funksjonens definisjonområde og forkastes derfor. Den andre løsningen er gyldig for k=1:

$x=\frac{\pi}{3}$

===c)===

Funksjonen g er gitt ved:

$g(x)=3sin(2x)+\sqrt{3} cos(2x),\quad D_g=\langle0,2\pi\rangle$

Vi skal løse likningen $g(x)=\sqrt{3}$

Vi kan omforme likningen til en sinusfunksjon. Generelt har vi sammenhengen:

$a\,sin(kx)+ b\,cos(kx)=A\,sin(kx+\phi)$

hvor

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

og

$tan\, \phi = \frac{b}{a}$

For g(x) har vi:

$A=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$tan\,\phi=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \Rightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{6}$

Da er $g(x)=2\cdot \sqrt{3} \cdot sin(2x+\frac{\pi}{6})=f(x)$

For likningen $g(x)=\sqrt{3}$, kan vi bruke løsningen fra oppgave b) i definisjonsområdet $D_g=\langle0,2\pi\rangle$

$x=k\pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Den første løsningen er gyldig for k= 1, og den andre løsningen er gyldig for k=0 og k=1. Vi har:

$x=\frac{\pi}{3} \quad \vee \quad x=\pi \quad \vee \quad x=\frac{4\pi}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB}=[2,3,0]$

$\vec{AC}=[1,4,1]$

$\vec{BA}=[-2,-3,0]$

$\vec{BC}=[-1,1,1]$

$\vec{CB}=[1,-1,-1]$

$\vec{CA}=[-1,-4,-1]$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2+12+1=15 \quad \Rightarrow \quad \angle A < 90^o$

$\vec{BA}\cdot \vec{BC}=2-3+0=-1 \quad \Rightarrow \quad \angle B > 90^o$

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1+4+1=4 \quad \Rightarrow \quad \angle C < 90^o$

Vinkel B er større enn 90 grader, fordi skalarproduktet til vinkelbeina er negativt (indikerer at cosinus til vinkelen er negativ, og vinkelen derfor er større enn 90 grader).

===b)===

Arealet av trekanten er halvparten av arealet utspent av to av sidene (to av vektorene).

$\vec{BA}\times\vec{BC} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\-2 & -3 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{array} \right | = [-3+0,0-(-2), -2-3] = [-3,2,-5]$

$A_{ABC}= \frac{1}{2} |[-3,2,-5]| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+2^2+(-5)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+4+25}=\frac{1}{2}\sqrt{38}$

===c)===

$\vec{DE}=[-1,-4,-1]$

Vi har en normalvektor til planet som trekant ABC ligger på, fra oppgave b): $ [-3,2,-5] $

Sjekker om normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, ved å sjekke om skalarproduktet blir 0:

$[-1,-4,-1]\cdot [-3,2,-5]=3-8+5=0$

Normalvektoren til planet og linja står vinkelrett på hverandre, som vil si at planet og linja er parallelle. Grenen vil aldri treffe bordplata.

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==

=DEL 2=

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===

Summen av sparingen er en geometrisk rekke hvor ledd nr. n er gitt ved $a_n=a_1\cdot k^n$

Summen av de n første leddene i denne geometriske rekka er gitt ved:

$S_n=a_1\cdot k\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$

Her skal summen bli 3 750 000 kr, og k = 1,025.

Her er to forskjellige måter å beregne $a_1$ i CAS:

[[File: S2_V25_del2_4a.png|300px]]

Nora må sette inn ca. 83 333 kr i banken hvert år for å nå målet.

===b)===

Bruker at summen av nåverdiene til terminbeløpet, skal bli lik lånebeløpet:

[[File: S2_V25_del2_4b.png|300px]]

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen på lånet er ca. 3,27 %.

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

For en uendelig geometrisk rekke gitt ved $1+x+x^2+x^3+...$

har vi at

$\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx + ... = \int \frac{1}{1-x} dx, \quad x\in \langle -1,1 \rangle$

Integrerer hvert ledd og får:

$x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+...=-ln|x-1|$

Jeg har brukt CAS til å integrere $\frac{1}{1-x}$, og ignorerer integrasjonskonstanten, slik det står i oppgaven at vi kan gjøre.

[[File: S2_V25_del2_5.png|100px]]

Vi har rekken

$\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^4}+...$

som er den samme rekken som over, hvor $x=\frac{1}{2}$

Summen av denne rekken er altså

$-ln|\frac{1}{2}-1|=-ln(\frac{1}{2})=-(ln\,1-ln\,2)=0+ln\,2=ln\,2$

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-18T15:51:48Z

Quiz: /* Oppgave 5 */

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-18T15:42:20Z

Quiz: /* Oppgave 5 */

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-18T15:27:48Z

Quiz: /* Oppgave 5 */

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-06T17:47:36Z

Quiz: /* c) */

R2 2025 vår LØSNING

2025-07-06T17:46:58Z

Quiz: /* Oppgave 4 */