Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

1T 2016 høst LØSNING

2017-11-17T14:03:47Z

Oystr: /* b) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=44247&p=208974 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

Tar utgangspunkt i likning #2 og lager først et uttrykk for y

\[-y=-2x-9 \Leftrightarrow y=2x+9\]

Setter det inn i likning #1

\[5x=-2(2x+9) \Leftrightarrow 5x=-4x-18\Leftrightarrow9x=-18\Leftrightarrow x=(-2)\]

Setter så inn verdien for x inn i hvilken som helst vilkårlig likning, i dette tilfellet tar vi for oss likning 1 fordi den er enklest.

\[5(-2)=-2y\Leftrightarrow -10=-2y \Leftrightarrow y=5\]

Derfor, \[x=-2 \wedge y=5\]

==Oppgave 2==

Først omskriver vi det litt med hensyn til faktorisering.

\[\frac{2x^2-2}{x^2-2x+1}=\frac{2(x^2-1)}{x^2-2x+1}\Leftrightarrow \frac{2(x-1)(x+1)}{x^2-2x+1}\]

Ser vi i nevneren vil vi se at vi har et andregradsuttrykk. Dette kan du faktorisere ved hjelp av abc-formelen.

Du finner fort ut at likninga kun har ett nullpunkt for \[x=1\]
Da kan du skrive nevneren som \[(x-1)^2\]

videre får du

\[\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{2(x+1)}{x-1}\]

==Oppgave 3==

$-x^2+3x> -10 \\ -x^2+3x+10 >0$

Faktoriserer uttrykket:

$x= \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{-2} \\ x= -2 \vee x=5$

Gir oss uttrykket på faktorisert form:

$-1 (x -5)( x + 2)> 0$

Tegner så fortegnsskjema.

[[File:1t-h2016-1-3b.png]]

$x \in <-2,5>$

==Oppgave 4==

\[lg(2x+\frac{3}{5})=-1\]

Ved hjelp av logaritmereglene vet vi at \[-1=lg(10^{-1})\]

Derfor kan vi si at

\[lg(2x+\frac{3}{5})=lg(10^{-1})\]

Ved hjelp av denne logaritmeregelen \[lg(a)=lg(b)\Leftrightarrow a=b\]

Kan vi si at

\[2x+\frac{3}{5}=10^{-1}\Leftrightarrow2x+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{5}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\]

==Oppgave 5==

\[2^3\cdot 2^x=2^{2x}\]

Vi kjenner til regelen \[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\]
og sier at \[2^3\cdot2^x=2^{x+3}\]

Derfor får vi at

\[2^{x+3}=2^{2x}\]

Vi kjenner regelen \[a^n=a^m\Leftrightarrow n=m\]

Derfor kan vi si at \[x+3=2x\Leftrightarrow x=3\]

==Oppgave 6==

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac12} \cdot 3^{-1} = \\\frac{\sqrt{3 \cdot 16}}{\sqrt{6 \cdot 9}} + \sqrt 2 \cdot \frac 13 = \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{6 }} + \frac{\sqrt 2}{3}= \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{2 } \cdot \sqrt 3} + \frac{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{3 \sqrt 2}= \\ \frac{4+2}{3 \sqrt 2} = \\ \frac{2}{\sqrt 2} = \\ \sqrt{2} $

==Oppgave 7==

$\frac{x+2}{x-3} - \frac{7x+14}{x^2-x-6}= \\ \frac{x+2}{x-3} - \frac{7(x+2)}{(x-3)(x+2)} = \\ \frac{(x+2)(x+2)- 7(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \\ \frac{x-5}{x-3}$

==Oppgave 8==

Parabler er på formen $f(x) = ax^2+bx+c$

Vi ser at f(0)= - 4, dvs c= -4

Vi har nullpunktene:

a(x - 4)(x + 2) og velger et punkt på grafen (0, -4):

$a 2(-4)=8 \\ a= \frac 12$

Vi mangler nå b og velger feks punktet (4,0):

$f(4)=0 \\ \frac 12 \cdot 16 + 4b-4 =0 \\ 4b = -4 \\ b=-1$

Funksjonen er gitt ved uttrykket

$f(x)= \frac12 x^2-x-4$

==Oppgave 9==

==a==

Alle tre faktorene vil bli lik null som gir

\[f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)\Leftrightarrow x-1=0, x+2=0 \Leftrightarrow x=1 \wedge x=-2\]

==b==

\[(x-1)(x-1)(x+2)=(x+2)(x-1)^2=(x+2)(x^2-2x+1)=x^3-3x+2\]

==c==

Vi finner topp og bunnpunkter når den deriverte = 0, dvs. ved 0 vekst.

\[(x^3-3x+2)' =3x^2-3x\]

\[3x^2-3=0\Leftrightarrow 3x^2=3\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\]

Vi vet derfor at funksjonen har et ekstremalpunkt i \[(1,f(1))=(1,0)\] og \[(-1,f(-1))=(-1,4)\]

==d==

Først finner vi stigningstallet

\[f'(0)=a\Leftrightarrow 3\cdot0^2-3=a\Leftrightarrow a=-3\]

Så finner vi likningen

\[(y-y_1)=a(x-x_1)\Leftrightarrow(y-2)=-3(x-0)\Leftrightarrow y=-3x+2\]

==e)==

Dersom vi skal ha flere tangenter parallell med den i i d), må likningen $3x^2 - 3 = -3$ ha flere løsninger.
Vi får:

$3x^2-3 +3 =0 \\ 3x^2 =0 \\ x=0$

Det finnes ingen andre tangenter parallell med den i d).

==Oppgave 10==

Hver av sidene har lengde 8.

Høyden i trekanten blir et katet i en trekant der det andre katetet er 4 og hypotenus 8. Lengden blir da $ \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt 3$

Arealet av trekanten blir $A= \frac{g \cdot h}{2} = \frac {8 \cdot 4\sqrt3}{2} = 16 \sqrt 3$

==Oppgave 11==

\[\frac{sin(u)}{cos(u)}=tan(u)\Leftrightarrow\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}\]

==Oppgave 12==

===a)===

$ (sin u)^2 + (cos u)^2 = \\ ( \frac 45)^2 + ( \frac 35)^2 = \\ \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$

Hvilket skulle vises.

===b)===

$a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} \\ (\frac ac)^2 + (\frac bc)^2 =1 \\sin^2x + cos^2x = 1$

==Oppgave 13==

===a)===

P( BRR) = $P(B)\cdot P(R) \cdot P(R) = \frac 48 \cdot \frac 47 \cdot \frac 36= \frac 17$

===b)===

Det er tre posisjoner for blå nisse: P( en blå og to røde)$ = 3 \cdot \frac 17 = \frac 37$

===c)===

Dersom vi IKKE har minst en blå har vi tre røde. Sannsynligheten for det er:

P( bare røde)=$ \frac 48 \cdot \frac 37 \cdot \frac 26 = \frac{1}{14}$

Sannsynligheten for minst en blå blir da:

P( minst en rød) = $1- \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$

==Oppgave 14==

===a)===

Omkretsen av det blå området er lik summen av periferiene av de tre halvsirklene.

$O_{blå} = 2,5a \pi + 0,5a \pi + 2a \pi = 5a \pi$

Omkretsen er fem ganger a ganger pi.

===b)===

Arealet av det blå området er arealet av den store halvsirkelen, minus arealene av de to små halvsirklene.

$A= (\frac{\pi (\frac 52a)^2}{2}) -(\frac{\pi (\frac12)^2}{2}) -(\frac{ \pi (2a)^2}{2})\\ A = (\frac{\pi a^2}{2} )((\frac52)^2 - (\frac 12)^2 - 2^2) \\ A= \pi a^2$

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1t-h2016-2-1a.png]]

===b)===

35 400 er antall fisk som blir satt ut, altså startverdien.

0,996 er vekstfaktoren. Den forteller om endring i prosent per tidsenhet. I dette tilfelle er vekstfaktoren mindre enn en, da har vi prosentvis reduksjon.

Reduksjonen er 0,004 som er 0,4% reduksjon per døgn.

===c)===

[[File:1t-h2016-2-1c.png]]

Døgn nr. 100 dør det ca. 95 settefisk.

===d)===

[[File:1t-h2016-2-1d.png]]

Det første året dør det i gjennomsnitt 74,5 fisk hvert eneste døgn.

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:1p-h2016-2-2abc.png]]

===b)===

Det foteller at vi spiser ca. 120 gram MER sjokokolade for hvert år som går.

===c)===

Da kommer vi i følge modellen til å spise ca. 10,8 kg. sjokolade.

==Oppgave 3==

===a)===

Stigningstallet til en rett linje : $ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(q)- f(p)}{q-p} = \frac{q^2 -p^2}{q-p} = \frac{(q+p)(q-p)}{q-p} = q+p$

===b)===

[[File:1t-h2016-2-3b.png]]

Skjæring med x akse: $ (-qp, 0)$

Skjæring med y akse: $(0, \frac{qp}{q+p})$

==Oppgave 4==

===a)===

Basketball og håndball er: 90 - 30 - 35 - 10 = 15

160 medlemmer spiller bare fotball og / eller basketball. Det betyr at 10 gjør begge deler:

[[File:1p-h2016-2-8a.png]]

===b)===

$ P( F \cap H \cap B) = \frac{10}{250} = \frac {1}{25}= $ 4%

Det er fire prosent sannsynlighet for å velge en som driver med alle tre idrettene.

===c)===

$P(F| H) = \frac{45}{90} = \frac 12$

Det er 50% sannsynlighet for at en som driver med håndball også spiller fotball.

==Oppgave 5 ==

[[File:1t-h2016-2-3.png]]

Detter er en dobbeltrot og fortegnet blir likt på begge sider av a, men null for x = a, derfor terassepunkt.

==Oppgave 6==

===a)===

Bruker Pytagoras på BCD, 30, 60 90.

$CD = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt3}{2}a$

===b)===

Nedfeller normalen fra D på AB. Figuren består da av rektangelet BCDE og den likebeinte og rettvinklede trekanten AED.

Areal trekant: $A_t = \frac12 \cdot \frac a2 \cdot \frac a2 = \frac {a^2}{8}$

Areal rektangel: $A_r = \frac a2 \cdot \frac{\sqrt3 a}{2} = \frac{\sqrt3 a^2}{4}$

Areal ABCD: $A = A_t + A_r = \frac {a^2}{8} + \frac{\sqrt3 a^2}{4} = \frac18a^2(2 \sqrt3 + 1)$

1T 2016 høst LØSNING

2017-11-17T14:02:50Z

Oystr: /* b) */ Feil utregning i siste ledd. Endret fra 4*pi*a^2 til pi*a^2

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=44247&p=208974 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

Tar utgangspunkt i likning #2 og lager først et uttrykk for y

\[-y=-2x-9 \Leftrightarrow y=2x+9\]

Setter det inn i likning #1

\[5x=-2(2x+9) \Leftrightarrow 5x=-4x-18\Leftrightarrow9x=-18\Leftrightarrow x=(-2)\]

Setter så inn verdien for x inn i hvilken som helst vilkårlig likning, i dette tilfellet tar vi for oss likning 1 fordi den er enklest.

\[5(-2)=-2y\Leftrightarrow -10=-2y \Leftrightarrow y=5\]

Derfor, \[x=-2 \wedge y=5\]

==Oppgave 2==

Først omskriver vi det litt med hensyn til faktorisering.

\[\frac{2x^2-2}{x^2-2x+1}=\frac{2(x^2-1)}{x^2-2x+1}\Leftrightarrow \frac{2(x-1)(x+1)}{x^2-2x+1}\]

Ser vi i nevneren vil vi se at vi har et andregradsuttrykk. Dette kan du faktorisere ved hjelp av abc-formelen.

Du finner fort ut at likninga kun har ett nullpunkt for \[x=1\]
Da kan du skrive nevneren som \[(x-1)^2\]

videre får du

\[\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{2(x+1)}{x-1}\]

==Oppgave 3==

$-x^2+3x> -10 \\ -x^2+3x+10 >0$

Faktoriserer uttrykket:

$x= \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{-2} \\ x= -2 \vee x=5$

Gir oss uttrykket på faktorisert form:

$-1 (x -5)( x + 2)> 0$

Tegner så fortegnsskjema.

[[File:1t-h2016-1-3b.png]]

$x \in <-2,5>$

==Oppgave 4==

\[lg(2x+\frac{3}{5})=-1\]

Ved hjelp av logaritmereglene vet vi at \[-1=lg(10^{-1})\]

Derfor kan vi si at

\[lg(2x+\frac{3}{5})=lg(10^{-1})\]

Ved hjelp av denne logaritmeregelen \[lg(a)=lg(b)\Leftrightarrow a=b\]

Kan vi si at

\[2x+\frac{3}{5}=10^{-1}\Leftrightarrow2x+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{5}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\]

==Oppgave 5==

\[2^3\cdot 2^x=2^{2x}\]

Vi kjenner til regelen \[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\]
og sier at \[2^3\cdot2^x=2^{x+3}\]

Derfor får vi at

\[2^{x+3}=2^{2x}\]

Vi kjenner regelen \[a^n=a^m\Leftrightarrow n=m\]

Derfor kan vi si at \[x+3=2x\Leftrightarrow x=3\]

==Oppgave 6==

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac12} \cdot 3^{-1} = \\\frac{\sqrt{3 \cdot 16}}{\sqrt{6 \cdot 9}} + \sqrt 2 \cdot \frac 13 = \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{6 }} + \frac{\sqrt 2}{3}= \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{2 } \cdot \sqrt 3} + \frac{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{3 \sqrt 2}= \\ \frac{4+2}{3 \sqrt 2} = \\ \frac{2}{\sqrt 2} = \\ \sqrt{2} $

==Oppgave 7==

$\frac{x+2}{x-3} - \frac{7x+14}{x^2-x-6}= \\ \frac{x+2}{x-3} - \frac{7(x+2)}{(x-3)(x+2)} = \\ \frac{(x+2)(x+2)- 7(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \\ \frac{x-5}{x-3}$

==Oppgave 8==

Parabler er på formen $f(x) = ax^2+bx+c$

Vi ser at f(0)= - 4, dvs c= -4

Vi har nullpunktene:

a(x - 4)(x + 2) og velger et punkt på grafen (0, -4):

$a 2(-4)=8 \\ a= \frac 12$

Vi mangler nå b og velger feks punktet (4,0):

$f(4)=0 \\ \frac 12 \cdot 16 + 4b-4 =0 \\ 4b = -4 \\ b=-1$

Funksjonen er gitt ved uttrykket

$f(x)= \frac12 x^2-x-4$

==Oppgave 9==

==a==

Alle tre faktorene vil bli lik null som gir

\[f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)\Leftrightarrow x-1=0, x+2=0 \Leftrightarrow x=1 \wedge x=-2\]

==b==

\[(x-1)(x-1)(x+2)=(x+2)(x-1)^2=(x+2)(x^2-2x+1)=x^3-3x+2\]

==c==

Vi finner topp og bunnpunkter når den deriverte = 0, dvs. ved 0 vekst.

\[(x^3-3x+2)' =3x^2-3x\]

\[3x^2-3=0\Leftrightarrow 3x^2=3\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\]

Vi vet derfor at funksjonen har et ekstremalpunkt i \[(1,f(1))=(1,0)\] og \[(-1,f(-1))=(-1,4)\]

==d==

Først finner vi stigningstallet

\[f'(0)=a\Leftrightarrow 3\cdot0^2-3=a\Leftrightarrow a=-3\]

Så finner vi likningen

\[(y-y_1)=a(x-x_1)\Leftrightarrow(y-2)=-3(x-0)\Leftrightarrow y=-3x+2\]

==e)==

Dersom vi skal ha flere tangenter parallell med den i i d), må likningen $3x^2 - 3 = -3$ ha flere løsninger.
Vi får:

$3x^2-3 +3 =0 \\ 3x^2 =0 \\ x=0$

Det finnes ingen andre tangenter parallell med den i d).

==Oppgave 10==

Hver av sidene har lengde 8.

Høyden i trekanten blir et katet i en trekant der det andre katetet er 4 og hypotenus 8. Lengden blir da $ \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt 3$

Arealet av trekanten blir $A= \frac{g \cdot h}{2} = \frac {8 \cdot 4\sqrt3}{2} = 16 \sqrt 3$

==Oppgave 11==

\[\frac{sin(u)}{cos(u)}=tan(u)\Leftrightarrow\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}\]

==Oppgave 12==

===a)===

$ (sin u)^2 + (cos u)^2 = \\ ( \frac 45)^2 + ( \frac 35)^2 = \\ \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$

Hvilket skulle vises.

===b)===

$a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} \\ (\frac ac)^2 + (\frac bc)^2 =1 \\sin^2x + cos^2x = 1$

==Oppgave 13==

===a)===

P( BRR) = $P(B)\cdot P(R) \cdot P(R) = \frac 48 \cdot \frac 47 \cdot \frac 36= \frac 17$

===b)===

Det er tre posisjoner for blå nisse: P( en blå og to røde)$ = 3 \cdot \frac 17 = \frac 37$

===c)===

Dersom vi IKKE har minst en blå har vi tre røde. Sannsynligheten for det er:

P( bare røde)=$ \frac 48 \cdot \frac 37 \cdot \frac 26 = \frac{1}{14}$

Sannsynligheten for minst en blå blir da:

P( minst en rød) = $1- \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$

==Oppgave 14==

===a)===

Omkretsen av det blå området er lik summen av periferiene av de tre halvsirklene.

$O_{blå} = 2,5a \pi + 0,5a \pi + 2a \pi = 5a \pi$

Omkretsen er fem ganger a ganger pi.

===b)===

Arealet av det blå området er arealet av den store halvsirkelen, minus arealene av de to små halvsirklene.

$A= (\frac{\pi (\frac 52a)^2}{2}) -(\frac{\pi (\frac12)^2}{2}) -(\frac{ \pi (2a)^2}{2})\\ A = (\frac{\pi a^2}{2} )((\frac52)^2 - (\frac 12)^2 - 2^2) \\ A= pi a^2$

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1t-h2016-2-1a.png]]

===b)===

35 400 er antall fisk som blir satt ut, altså startverdien.

0,996 er vekstfaktoren. Den forteller om endring i prosent per tidsenhet. I dette tilfelle er vekstfaktoren mindre enn en, da har vi prosentvis reduksjon.

Reduksjonen er 0,004 som er 0,4% reduksjon per døgn.

===c)===

[[File:1t-h2016-2-1c.png]]

Døgn nr. 100 dør det ca. 95 settefisk.

===d)===

[[File:1t-h2016-2-1d.png]]

Det første året dør det i gjennomsnitt 74,5 fisk hvert eneste døgn.

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:1p-h2016-2-2abc.png]]

===b)===

Det foteller at vi spiser ca. 120 gram MER sjokokolade for hvert år som går.

===c)===

Da kommer vi i følge modellen til å spise ca. 10,8 kg. sjokolade.

==Oppgave 3==

===a)===

Stigningstallet til en rett linje : $ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(q)- f(p)}{q-p} = \frac{q^2 -p^2}{q-p} = \frac{(q+p)(q-p)}{q-p} = q+p$

===b)===

[[File:1t-h2016-2-3b.png]]

Skjæring med x akse: $ (-qp, 0)$

Skjæring med y akse: $(0, \frac{qp}{q+p})$

==Oppgave 4==

===a)===

Basketball og håndball er: 90 - 30 - 35 - 10 = 15

160 medlemmer spiller bare fotball og / eller basketball. Det betyr at 10 gjør begge deler:

[[File:1p-h2016-2-8a.png]]

===b)===

$ P( F \cap H \cap B) = \frac{10}{250} = \frac {1}{25}= $ 4%

Det er fire prosent sannsynlighet for å velge en som driver med alle tre idrettene.

===c)===

$P(F| H) = \frac{45}{90} = \frac 12$

Det er 50% sannsynlighet for at en som driver med håndball også spiller fotball.

==Oppgave 5 ==

[[File:1t-h2016-2-3.png]]

Detter er en dobbeltrot og fortegnet blir likt på begge sider av a, men null for x = a, derfor terassepunkt.

==Oppgave 6==

===a)===

Bruker Pytagoras på BCD, 30, 60 90.

$CD = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt3}{2}a$

===b)===

Nedfeller normalen fra D på AB. Figuren består da av rektangelet BCDE og den likebeinte og rettvinklede trekanten AED.

Areal trekant: $A_t = \frac12 \cdot \frac a2 \cdot \frac a2 = \frac {a^2}{8}$

Areal rektangel: $A_r = \frac a2 \cdot \frac{\sqrt3 a}{2} = \frac{\sqrt3 a^2}{4}$

Areal ABCD: $A = A_t + A_r = \frac {a^2}{8} + \frac{\sqrt3 a^2}{4} = \frac18a^2(2 \sqrt3 + 1)$