Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

Mal:X Hovedside/Hovedområde venstre

2024-08-23T07:47:22Z

MatteTor: /* Statistikk */

==Tallteori==
*[[Delbarhet og faktorisering]]
*[[Primtall og Eratostenes' sil]]
*[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]
*[[Diofantiske ligninger]]
*[[Kongruensregning]]
*[[Rester og siste siffer i store tall]]
*[[Lineære kongruenser]]

==Geometri==

Kongruensregning

2024-08-06T12:45:22Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>

: ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>
<embedvideo> service="https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52" </embedvideo>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T12:44:50Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>

: ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>
<embedvideo> https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52 </embedvideo>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T12:37:29Z

MatteTor: /* Elementære egenskaper */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>

: ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

<youtube>https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52</youtube>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T12:36:31Z

MatteTor: /* Elementære egenskaper */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>

: ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

<embedvideo service="https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52" </embedvideo>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T12:34:37Z

MatteTor: /* Elementære egenskaper */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>

: ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6kQpwp6SC8I?si=swuj6p_WA46aQgcl&controls=0" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T12:33:31Z

MatteTor: /* Elementære egenskaper */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>

: ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Diofantiske ligninger

2024-08-06T12:11:50Z

MatteTor: Ny side: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/jDyUQfdmpIQ?si=4RXI3DBjklzMCDuL" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboar…

Kongruensregning

2024-08-06T12:01:27Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

Kongruensregning

2024-08-06T12:00:06Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

<object width="420" height="315"><param name="movie" value="https://www.youtube.com/watch?v=dRqjkLXjusk&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=49"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/-mcbsrAXlAg?version=3&hl=en_US" type="application/x-shockwave-flash" width="420" height="315" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true"></embed></object>

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) <math>a\equiv a</math>

: ii) <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T11:57:10Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/dRqjkLXjusk?si=SwikLFEngpt4lHIO" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) <math>a\equiv a</math>

: ii) <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T11:53:46Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/dRqjkLXjusk?si=M76X7hTQp_9x3wvZ" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) <math>a\equiv a</math>

: ii) <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T11:53:02Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

<iframe width="560" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/JOynRkYWFSM" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) <math>a\equiv a</math>

: ii) <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T11:48:27Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/dRqjkLXjusk?si=M76X7hTQp_9x3wvZ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) <math>a\equiv a</math>

: ii) <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T11:46:55Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

Kongruensregning

2024-08-06T11:45:50Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

{{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=dRqjkLXjusk&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=49|1000|right|Let eet GO|frame}}

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) <math>a\equiv a</math>

: ii) <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Kongruensregning

2024-08-06T11:42:45Z

MatteTor: /* Introduksjon til kongruenser */

==Introduksjon til kongruenser==

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

<math>a=bs+r</math>

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

{{#evt:
service=youtube
|id=https://www.youtube.com/watch?v=dRqjkLXjusk&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=49
|alignment=right
}}

===Elementære egenskaper===

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

: i) <math>a\equiv a</math>

: ii) <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

: iii) Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]

==Regning med kongruenser==

Primtall og Eratostenes' sil

2024-08-06T11:27:23Z

MatteTor: /* Uendelig mange primtall */

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Uendelig mange primtall===

Påstand: Det finnes uendelig mange primtall.

'''Bevis:'''

Strategi: Bevis ved motsigelse

Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <math>k</math> stykker. Da har vi primtallene <math>p_1, p_2, ..., p_k</math>. <br>

Så ser vi på følgende tall: <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</math>, altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. <br>

Siden <math>a</math> er større enn alle primtallene vi har antatt at eksisterer, må <math>a</math> være et sammensatt tall. Da gir aritmetikkens fundamentalsetning at <math>a</math> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst to av primtallene <math>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</math> er faktorer i <math>a</math>. Men vi har at <math>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</math> <br>

Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <math>p_i</math> (der <math>i</math> er et tall mellom 1 og <math>k</math>) er en faktor i <math>a</math> og dette tallet også er en faktor i tallet <math>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</math> så kan vi faktorisere ut tallet <math>p_i</math> på venstre side. Men hvis <math>p_i</math> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <math>k</math> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!

</div>

Beviset ovenfor regnes av mange som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og om primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg utover på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Eratostenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
Dersom et tall <math>n</math> er sammensatt må minst én primfaktor være mindre eller lik <math>\sqrt n</math>.

'''Bevis'''

Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <math>\sqrt n</math>. Vi kan skrive <math>n = ap</math>, der <math>p</math> er en av primfaktorene og <math>a</math> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <math>p \geq \sqrt n</math> og <math>a \geq \sqrt n</math>. Da er

:<math>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</math>

altså blir også produktet av faktorene i <math>n</math> større enn <math>n</math> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <math>\sqrt n</math>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <math>n</math> kalles ''Eratostenes' sil'' (kalles også ''Eratostenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Eratostenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Eratostenes' sil===

Skriv opp alle tall i fra 2 til <math>n</math>. Utfør så følgende steg, start med tallet <math>k=2</math>.
* Stryk ut alle tall som går opp i $k$ utenom $k$ selv.
* Se på neste tall etter $k$ som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn $\sqrt n$ er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <math>n</math>.
</blockquote>

Primtall og Eratostenes' sil

2024-08-06T11:24:20Z

MatteTor: /* Uendelig mange primtall */

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Uendelig mange primtall===

Påstand: Det finnes uendelig mange primtall.

'''Bevis:'''

Strategi: Bevis ved motsigelse

Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <math>k</math> stykker. Da har vi primtallene <math>p_1, p_2, ..., p_k</math>. <br>

Så ser vi på følgende tall: <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</math>, altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. <br>

Siden <math>a</math> er større enn alle primtallene, må <math>a</math> være et sammensatt tall. Da gir aritmetikkens fundamentalsetning at <math>a</math> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst to av primtallene <math>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</math> er faktorer i <math>a</math>. Men vi har at <math>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</math> <br>

Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <math>p_i</math> (der <math>i</math> er et tall mellom 1 og <math>k</math>) er en faktor i <math>a</math> og dette tallet også er en faktor i tallet <math>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</math> så kan vi faktorisere ut tallet <math>p_i</math> på venstre side. Men hvis <math>p_i</math> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <math>k</math> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!

</div>

Beviset ovenfor regnes av mange som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og om primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg utover på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Eratostenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
Dersom et tall <math>n</math> er sammensatt må minst én primfaktor være mindre eller lik <math>\sqrt n</math>.

'''Bevis'''

Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <math>\sqrt n</math>. Vi kan skrive <math>n = ap</math>, der <math>p</math> er en av primfaktorene og <math>a</math> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <math>p \geq \sqrt n</math> og <math>a \geq \sqrt n</math>. Da er

:<math>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</math>

altså blir også produktet av faktorene i <math>n</math> større enn <math>n</math> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <math>\sqrt n</math>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <math>n</math> kalles ''Eratostenes' sil'' (kalles også ''Eratostenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Eratostenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Eratostenes' sil===

Skriv opp alle tall i fra 2 til <math>n</math>. Utfør så følgende steg, start med tallet <math>k=2</math>.
* Stryk ut alle tall som går opp i $k$ utenom $k$ selv.
* Se på neste tall etter $k$ som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn $\sqrt n$ er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <math>n</math>.
</blockquote>

Primtall og Eratostenes' sil

2024-08-06T11:23:50Z

MatteTor: /* Uendelig mange primtall */

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Uendelig mange primtall===

Det finnes uendelig mange primtall.

'''Bevis:'''

Strategi: Bevis ved motsigelse

Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <math>k</math> stykker. Da har vi primtallene <math>p_1, p_2, ..., p_k</math>. <br>

Så ser vi på følgende tall: <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</math>, altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. <br>

Siden <math>a</math> er større enn alle primtallene, må <math>a</math> være et sammensatt tall. Da gir aritmetikkens fundamentalsetning at <math>a</math> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst to av primtallene <math>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</math> er faktorer i <math>a</math>. Men vi har at <math>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</math> <br>

Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <math>p_i</math> (der <math>i</math> er et tall mellom 1 og <math>k</math>) er en faktor i <math>a</math> og dette tallet også er en faktor i tallet <math>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</math> så kan vi faktorisere ut tallet <math>p_i</math> på venstre side. Men hvis <math>p_i</math> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <math>k</math> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!

</div>

Beviset ovenfor regnes av mange som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og om primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg utover på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Eratostenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
Dersom et tall <math>n</math> er sammensatt må minst én primfaktor være mindre eller lik <math>\sqrt n</math>.

'''Bevis'''

Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <math>\sqrt n</math>. Vi kan skrive <math>n = ap</math>, der <math>p</math> er en av primfaktorene og <math>a</math> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <math>p \geq \sqrt n</math> og <math>a \geq \sqrt n</math>. Da er

:<math>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</math>

altså blir også produktet av faktorene i <math>n</math> større enn <math>n</math> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <math>\sqrt n</math>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <math>n</math> kalles ''Eratostenes' sil'' (kalles også ''Eratostenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Eratostenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Eratostenes' sil===

Skriv opp alle tall i fra 2 til <math>n</math>. Utfør så følgende steg, start med tallet <math>k=2</math>.
* Stryk ut alle tall som går opp i $k$ utenom $k$ selv.
* Se på neste tall etter $k$ som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn $\sqrt n$ er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <math>n</math>.
</blockquote>

Primtall og Eratostenes' sil

2024-08-06T11:23:24Z

MatteTor: /* Primtallsmysteriet */

== Primtallsmysteriet ==

Primtallene har forbløffet matematikere i tusener av år. De dukker opp på nærmest tilfeldige steder på tallinjen. Det er steder på tallinjen hvor man har to ''naboprimtall'' nesten ved siden av hverandre, mens det andre steder kan være flere tusen sammensatte tall mellom to primtall. Primtallgåten er i stor grad uløst, men det er gjort flere fremskritt når det gjelder forståelsen av primtallene. Et veldig viktig resultat er blant annet at det finnes uendelig mange primtall. Dette ble bevist av den greske matematikeren Euklid for over 2000 år siden.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Uendelig mange primtall===

Det finnes uendelig mange primtall.

'''Bevis:'''
Strategi: Bevis ved motsigelse

Anta at det kun finnes et endelig antall primtall. Vi kan si at det er <math>k</math> stykker. Da har vi primtallene <math>p_1, p_2, ..., p_k</math>. <br>

Så ser vi på følgende tall: <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k + 1</math>, altså tallet vi får når vi ganger sammen alle primtallene vi har og plusser på 1. <br>

Siden <math>a</math> er større enn alle primtallene, må <math>a</math> være et sammensatt tall. Da gir aritmetikkens fundamentalsetning at <math>a</math> har en unik primtallsfaktorisering. Det betyr at minst to av primtallene <math>p_1, p_2, p_3, ..., p_k</math> er faktorer i <math>a</math>. Men vi har at <math>a - p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k = 1</math> <br>

Nå ser vi at siden i alle fall et av primtallene, la oss kalle det <math>p_i</math> (der <math>i</math> er et tall mellom 1 og <math>k</math>) er en faktor i <math>a</math> og dette tallet også er en faktor i tallet <math>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \dots p_k</math> så kan vi faktorisere ut tallet <math>p_i</math> på venstre side. Men hvis <math>p_i</math> er en faktor på venstre side så må det også være en faktor i høyre side, altså tallet 1. Det er umulig. Siden vi kun har gjort gyldige steg helt i fra antagelsen om at det kun er et endelig antall primtall, må det være denne antagelsen som gjorde at vi kom frem til denne umuligheten. Antagelsen om at det er bare <math>k</math> forskjellige primtall er gal -- altså finne det uendelig mange primtall!

</div>

Beviset ovenfor regnes av mange som et av de peneste bevisene i matematikken. Ved å bruke enkle egenskaper ved delelighet og om primtall kommer vi frem til noe veldig stort om primtallene -- at det finnes uendelig mange av dem. Vi vet ikke hvor primtallene befinner seg utover på tall-linjen, men vi kan likevel slå fast at det er uendelig mange av dem!

== Primtallstesting og Eratostenes' sil ==

Ovenfor har vi sett at det finnes uendelig mange primtall. Men vi vet ingenting om hvilke tall som er primtall og ikke.

For å teste om et tall er primtall kan vi benytte aritmetikkens fundamentalteorem. Det sier oss at dersom tallet ''ikke'' er et primtall, må det være et sammensatt tall med en unik primtallsfaktorisering, der hver primfaktor i alle fall er mindre enn tallet selv. Med andre ord kan vi teste om et tall er primtall ved å dele det på forskjellige primtall mellom 2 og tallet selv. Hvis vi får et helt tall når vi deler på et av primtallene, må dette primtallet være et faktor i tallet vårt, og da er ikke tallet vårt et primtall. Men dersom vi fortsetter å dele på primtall og vi ikke får et heltall noen av gangene, må tallet være et primtall. Men kan vi gjøre dette enda enklere?

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
Dersom et tall <math>n</math> er sammensatt må minst én primfaktor være mindre eller lik <math>\sqrt n</math>.

'''Bevis'''

Dette beviser vi ved å se på hva som skjer dersom ''alle'' primfaktorene var større enn <math>\sqrt n</math>. Vi kan skrive <math>n = ap</math>, der <math>p</math> er en av primfaktorene og <math>a</math> er produktet av de resterende primfaktorene. Vi ser nå på hva som skjer dersom både <math>p \geq \sqrt n</math> og <math>a \geq \sqrt n</math>. Da er

:<math>ap \geq \sqrt n \cdot \sqrt n = n</math>

altså blir også produktet av faktorene i <math>n</math> større enn <math>n</math> selv. Dette er umulig, og minst en av faktorene må altså være mindre enn <math>\sqrt n</math>.
</blockquote>

Dette gjør det betraktelig enklere å bestemme om et tall er primtall eller ikke. Det ovenfor sier jo at hvis et tall er sammensatt, så '''må''' det være delelig på et primtall som er mindre enn kvadratorten av tallet. Det vil si at hvis vi deler et tall på alle primtallene som er mindre eller lik kvadratroten av tallet og ingen av divisjonene går opp (gir et helt tall) så kan ikke tallet være sammensatt -- det må være et primtall.

Å teste om et tall er primtall på den måten som er beskrevet ovenfor kan fort involvere å dele tallet på forskjellige primtall mange ganger. En annen metode som gir oss ''alle'' primtallene fra 2 og opp til et tall <math>n</math> kalles ''Eratostenes' sil'' (kalles også ''Eratostenes' såld''.) Denne metoden er oppkalt etter den greske matematikeren Eratostenes og stammer fra antikkens Hellas.

<blockquote style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #B2DFEE;">
===Eratostenes' sil===

Skriv opp alle tall i fra 2 til <math>n</math>. Utfør så følgende steg, start med tallet <math>k=2</math>.
* Stryk ut alle tall som går opp i $k$ utenom $k$ selv.
* Se på neste tall etter $k$ som ikke er strøket ut. Dersom dette er større enn $\sqrt n$ er vi ferdige. Hvis ikke, gjenta prosessen med dette tallet.

Når disse stegene er gjort vil de tallene som ikke er strøket ut være alle primtall som er mindre enn <math>n</math>.
</blockquote>