Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

1P 2023 vår LK20 LØSNING

2023-06-13T07:50:35Z

LektorNilsen:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4713 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4734 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54344 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

Det er 30 kr i prisforskjell mellom de to sjokoladeplatene.

Prisforskjell sammenlignet med prisen på butikken:

$\frac{30}{20}\cdot 100 \% = \frac{3}{2}\cdot 100\% = 1,5 \cdot 100 \% = 150 \%$

Sjokoladeplaten er 150 % dyrere på bensinstasjonen enn på butikken.

Prisforskjell sammenlignet med prisen på bensinstasjonen:

$\frac{30}{50}\cdot 100\% = \frac{60}{100}\cdot 100\% = 0,6\cdot 100\% = 60\% $

Sjokoladeplaten er 60 % billigere på butikken enn på bensinstasjonen.

Marko og Mari har regnet riktig. Den prosentvise prisforskjellen kommer an på hva man sammenligner prisforskjellen med.

==Oppgave 2==

8 milliarder på standardform: $8\cdot 10 ^9$

2,5 millioner på standardform: $2,5\cdot 10^6$

Antall maur på jorden: $8\cdot 10 ^9 \cdot 2,5\cdot 10^6 = 20 \cdot 10^{9+6} = 20 \cdot 10^{15} = 2 \cdot 10^{16}$

Det er omtrent $2 \cdot 10^{16}$ maur på jorden.

==Oppgave 3==

===a)===

Prisen du må betale for poteter er proporsjonal med antall kg poteter du kjøper. Vi antar at du kjøper poteter i løsvekt med en gitt kilopris, f.eks. 20 kr/kg. Kjøper du 1 kg, koster det 20 kr. Kjøper du 2 kg, koster det 40 kr. osv.

Grunnen til at det er proporsjonale størrelser, er at forholdet mellom disse alltid er det samme (i dette tilfellet, at kiloprisen er lik). Vi har k = y/x.

[[File: 1P-v23-del1-3a.png|500px]]

===b)===

Prisen hver person må betale dersom en gruppe deler på å kjøpe gave til en venn, er omvendt proporsjonal med hvor mange personer som er med på å betale for gaven. Vi antar at gaven koster 1000 kr. Dersom bare 2 venner deler på prisen, må hver person betale 500 kr. Dersom 4 venner deler på prisen, må hver person betale 250 kr. osv.

Grunnen til at det er omvendt proporsjonale størrelser, er at produktet av disse alltid er det samme (i dette tilfellet, at prisen på gaven er fast). Vi har k = x*y.

[[File: 1P-v23-del1-3b.png|500px]]

==Oppgave 4==

===a)===

Ut fra tabellen, ser det ut som høyden til Klara stiger jevnt med 7 cm per år, så vi kan lage en lineær modell med 7 som stigningstall.

Vi må finne høyden til Klara da hun var 0 år. Vi antar at hun vokste med 7 cm per år også de fire første årene. Da vokste hun med 28 cm på fire år, og var da 100-28=72 cm ved fødsel (som ikke høres realistisk ut).

Modellen er $f(x) = 7x + 72$, der x er antall år Klara er, og f(x) er høyden til Klara.

===b)===

$f(19)=7\cdot 19 + 72 = 133 + 72 = 205$

Klara vil ifølge modellen være 205 cm høy når hun fyller 19 år, som ikke høres realistisk ut.

===c)===

Hvis Klara var 50 cm da hun ble født, er ikke modellen gyldig fra fødselen av.

$f(2)=7\cdot 2 + 72 = 14 + 72 = 86$

Ifølge modellen var klara 86 cm høy da hun var 2 år, som høres høyt ut. Jeg bestemmer at modellen er gyldig fra målingene begynner, fra Klara er 4 år.

$f(14)=7\cdot 14 + 72 = 98 + 72 = 170$

Ifølge modellen vil Klara være 170 cm høy når hun blir 14 år, som høres ut som en realistisk voksen høyde. Jeg bestemmer at modellen er gyldig til hun er 14 år.

Jeg bestemmer at modellen er gyldig fra Klara er 4 år til hun er 14 år. Vi kan uansett ikke vite sikkert hvor høy hun vil bli.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker Geogebra til å tegne grafen til T, og finner de to nullpunktene i definisjonsområdet: B=(5.8,0) og C=(8.9,0).

[[File: 1T-v23-del2-1a2.png|600px]]

Temperaturen er over 0 grader Celsius fra 5,8 til 8,9 måneder etter 1. januar.

Mai: måned nr. 5. I tillegg 0,8*31 = ca. 25 døgn inn i mai (6 døgn igjen av mai).
August: måned nr. 8. I tillegg 0,9*31 = ca. 28 døgn inn i august.

Til sammen er temperaturen over 0 grader Celsius: 6 døgn i mai + 30 døgn i juni + 31 døgn i juli + 28 døgn i august = 95 døgn.

===b)===

Lager punktene E=(3,T(3)) og F=(7,T(7)). Lager en linje mellom dem med knappen "linje", og finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning".

[[File: 1T-v23-del2-1b.png|600px]]

Stigningstallet er 5.04, som betyr at temperaturen stiger med omtrent 5 grader Celsius per måned fra 1. mars til 1. juli.

==Oppgave 2==

Det er graf C som best beskriver lengden av turen som en funksjon av tiden.

Grafen må være en av dem som fortsetter å stige, fordi turen blir lengre og lengre etter hvert som Aurora går, uansett hvilken retning hun går i. Turen blir ikke kortere selv om hun snur og går hjem. Grafen kan derfor ikke gå nedover igjen.

Vi får vite at Aurora går med jevn fart, slik at grafen må ha jevn stigning når Aurora går (lineær).

I tillegg får vi vite at hun må stå i kø på postkontoret. Da er den en tid hvor lengden på turen ikke endrer seg.

Alle disse opplysningene passer med graf C.

==Oppgave 3==

===a)===

Dersom lengden er 60 meter, blir bredden 10 meter. Arealet blir da $60\cdot 10 = 600$ kvadratmeter.

===b)===

Bruker Excel til å lage en oversikt. Bildet viser oversikten til venstre, og formlene som er brukt til høyre.

[[File: 1T-v23-del2-2b.png|600px]]

Det kan se ut som om Herman sin påstand er riktig. I oversikten er det største arealet når lengden er dobbel så stor som bredden.

===c)===

Funksjonen $f(x)=x\cdot \frac{80-x}{2}$ viser areal av rektangelet som funksjon av lengden x. Bruker Geogebra til å tegne grafen til f, og til å finne ekstremalpunktet A=(40,800).

[[File: 1T-v23-del2-2c2.png|600px]]

Funksjonen viser at rektangelet har størst areal når lengden er 40, og da dobbelt så stor som bredden på 20.

==Oppgave 4==

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==

2P 2023 Vår LØSNING

2023-05-25T10:09:38Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4669 oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54327 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4707 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R2 2022 høst LØSNING

2023-01-15T15:48:41Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4536 oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54150 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4594 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

1P 2022 vår LK20 LØSNING

2022-12-12T11:02:59Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4244 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53912 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4322 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://youtu.be/BUsSefCDuS8 Videoløsning del 1 av Lektor Lainz]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

Renten på et lån steg fra 2,0 % til 2,2 %.

===a)===

Renten steg med 0,2 prosentpoeng. Utregning: 2,2 - 2,0 = 0,2

===b)===

Deler endringen i prosentpoeng på opprinnelig rente:

$\frac{0,2}{2,0}=\frac{2}{20}=\frac{10}{100}=10$ %.

Renten steg med 10 prosent.

==Oppgave 2==

Leser av diagrammet og finner antall elever de ulike årene:

2018: 700 elever

2019: 800 elever

2020: 900 elever

2021: 1000 elever

Antall elever øker med 100 hvert år. Det var størst prosentvis økning i antall elever fra 2018 til 2019, fordi 100 er en større andel av 700, enn det er av 800, 900 eller 1000.

==Oppgave 3==

===a)===

To størrelser som er proporsjonale er for eksempel antall hektogram smågodt kjøpt i butikken, og prisen man betaler. For eksempel koster det 10 kr for 1 hg, 20 kr for 2 hg og så videre. Prisen øker altså jevnt (med samme stigningstall). Kjøper man ingenting, koster det heller ingenting (det er ikke noe konstantledd).

===b)===

Siden dette er del 1, må du tegne grafen til din funksjon for hånd.

[[File: 1P_V22_del1_3b.png | 500px]]

==Oppgave 4==

===a)===

$V(x) = 4x^3 −100x^2 +600x \quad, \quad 0<x<10$

$V(5)= 4\cdot5^3 -100\cdot 5^2 +600\cdot 5 = 4\cdot 125 - 100\cdot 25 + 3000 = 500 - 2500 + 3000 = 1000$

Dersom Siri lager esken 5 cm høy, får den et volum på 1000 kubikkcentimeter.

===b)===

Dersom Siri løser likningen $V(x)=500$, finner hun ut hvor høy esken må være (x), for at den skal ha et volum på 500 kubikkcentimeter.

==Oppgave 5==

Eleven ønsker å finne ut hvor mange år det tar før en verdi på 2000 (for eksempel kroner) har økt til 4000 (eller mer), med en årlig økning på 5%.

I linje 1-4 defineres variablene startverdi, verdi, vekstfaktor og år. Variabelen "verdi" settes til samme verdi som "startverdi", altså 2000. I linje 6-8 har vi en while-løkke som gjentar seg så lenge "verdi" er mindre enn det dobbelte av "startverdi", altså 4000. Inni løkken ganger "verdi" med "vekstfaktor" for å få en 5% økning på "verdi", og variabelen "år" økes med én. Etter at løkkes avsluttes, skrives "verdi" og "år" ut på skjermen (linje 10 og 11). "verdi" vil være 4000 eller mer, og "år" forteller oss hvor mange år dette har tatt.

==Oppgave 6==

$A=l\cdot b = 3b\cdot b = 3b^2$

Setter arealet til 432 kvadratcentimeter:

$3b^2=432$

$b^2 =\frac{432}{3}$

$b^2 =144$

$b=\sqrt{144}$

$b=12$

Rektangelet er 12 cm bredt.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

Løser oppgaven i Geogebra.

[[File: 1P_V22_del2_1abcd.png | 1000px]]

===a)===

$V(0)=0$ (se algebrafeltet på skjermbildet). Det vil si at før tappingen starter (ved 0 minutter), så har det ikke blitt tappet ut noe vann av tanken (0 liter).

===b)===

Verdimengden til V er 2000. Jeg fant høyeste punkt på grafen, A=(40,2000), ved å bruke knappen "Ekstremalpunkt". Laveste punkt er (0,0). Verdimengden er da 2000 - 0 = 2000.

===c)===

Lager linjen y = 1000, og bruker knappen "skjæring mellom to objekt" mellom linjen og grafen til V. Får punkt B=(11.7, 1000). Det vil si at det tar 11,7 minutter før halvparten av vannet er tappet ut av tanken. Se punkt B.

===d)===

Lager punkt C=(0,V(0)) og D=(30,V(30)), og lager en linje som gå gjennom disse to punktene med knappen "linje". Finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet er 62,5 (se verdien a1 i algebrafeltet). Svaret forteller oss at fra 0 til 30 minutter etter at tappingen har startet, tappes vannet med en gjennomsnittlig fart på 62,5 liter per minutt.

===e)===

[[File: 1P_V22_del2_1e.png | 1000px]]

Lager en glider b med kommandoen "glider(0,40,1)". Lager et punkt E=(b,V(b)) og tangenten til V i punktet E med knappen "tangenter". Viser stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Flytter på glideren slik at punkt E flytter seg langs hele grafen til V, og ser om stigningstallet noen gang overstiger 105. Jeg finner at det høyeste stigningstallet er 100, når E=(0,0). Se verdien a2 i algebrafeltet.

Det vil altså aldri tappes mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

==Oppgave 2==

===a)===

Grafen starter i 600 på y aksen, altså er konstantleddet b= 600. Vi ser at grafen øker med 100 når x verdien øker med 25, altså er stigningstallet 4 : A(x) = 4x + 600.

===b)===

Vi leser av grafen. 50 km på x aksen gir 1000 kroner på firma B. Det kaster altså 1000 kroner å kjøre 50 km. Det blir 20 kr per km.

Vi legger merke til at i firma B øker prisen med 100 kr per 50 km. 400 km koster da 1600 kroner, som blir 4 kr per kilometer.

I begge tilfeller deler man kostnad på antall kilometer.

===c)===

Det er 97 km. Firma A og C er like dyre dersom man kjører 100 km, så han bør velge ett av disse. Kjører man over 200 km er firma B billigst.

==Oppgave 3==

Vi gjør om til prosent avslag per flaske:

A: $1- \frac{2}{3} = 0,33 = 33 $ % rabatt.

B: 30 % rabatt

C: $1 - \frac{1,25}{2} = 0,375 = 37,5$ % rabatt.

D: $1- \frac 35 = 0,40 = 40$ % rabatt.

D, C, A, B, der D er best.

==Oppgave 4==

===a)===

$\frac{1 \quad liter}{0,9124 \quad kg} = \frac{0,010 \quad liter}{x}$ $x = 0,009124 \quad kg = 9,1 \quad gram$

===b)===

$\frac{0,9124}{1} = \frac{0,5566}{x} $

$x = \frac{05566}{0,9124} = 0,61$

Regnet i liter, det tilsvarer 6,1 dl.

==Oppgave 5==

Det er 3 tyveminutter i en time, altså 36 perioder på 12 timer:

$ A(36)= 1 \cdot 2^{36} = 6,87 \cdot 10^{10}$

Modellen tar ikke hensyn til at bakterier dør.

==Oppgave 6==

[[File:26082022-01.png]] [[File:26082022-02.png]]

Arket viser figurene fra 1 - 25. Figur nummeret kvadres og figuren før legges til.

===a)===

55 klosser

===b)===

1210 klosser

===c)===

Han kan lage 17 figurer og har 1279 klosser igjen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:26082022-03.png]]

a = 1,85 og b = 0,49.

===b)===

Modellen overestimerer allerede ved 120 minutter, men man kan si at den gir et greit bilde av temperaturforløpet de to første timene.

===c)===

Utfører regresjonen i Geogebra og får : $f(x) = -18,09 \cdot 0,98^x$

===d)===

[[File:29082022-01.png]]

f flater ut og får derved et større gyldighetsområde. T vokser hele tiden og vil avvike fra virkeligheten etter ca 120 minutter.

===e)===

$T_2(x)= -18,09 \cdot 0,98^x +20 $

$T_2(240)= -18,09 \cdot 0,98^{240} + 20 = 19,9 $ grader Celsius.

==Oppgave 8==

===a)===
Mellomrommene er 10 cm. En meter vil da ha 10 mellomrom og 11 tråder.

===b)===

Mønsteret er repetisjoner av tre. Tråd 3,6 og 9 har 9 pærer, tråd 10 har 3 og den siste har 6 tråder.

===c)===

Det er 150 mellomrom på 15 meter, altså er det 151 tråder. Det er 50 sekvenser med 3,6,9 lyspærer, altså $50 \cdot 18 + 3 = 903 $ på 15 meter gardin.

===d)===
Hvilke lengder i meter gir 9 pærer til slutt? Vi tester

0,2m

0,5m

0,8m

1,1m

1,4m

1,7m

2 meter.

Vi observere første treff er på 2 meter. Videre ser man at økningen per treersekvens er 0,3 meter hver gang ( bortsett fra første gang) det betyr at mønsteret vil repeteres hver 3 meter, altså på 2m, 5m, 8m, 11m,...... osv. Generelt kan det skive m = 3n -1, der n er treffnr. ( 1,2,3,4,5,6...) og m er lengde av gardin i antall meter.

1P 2022 vår LK20 LØSNING

2022-12-12T11:02:39Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4244 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53912 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4322 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://youtu.be/BUsSefCDuS8 Videoløsning del 1 av Lektor Lainz]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

Renten på et lån steg fra 2,0 % til 2,2 %.

===a)===

Renten steg med 0,2 prosentpoeng. Utregning: 2,2 - 2,0 = 0,2

===b)===

Deler endringen i prosentpoeng på opprinnelig rente:

$\frac{0,2}{2,0}=\frac{2}{20}=\frac{10}{100}=10$ %.

Renten steg med 10 prosent.

==Oppgave 2==

Leser av diagrammet og finner antall elever de ulike årene:

2018: 700 elever

2019: 800 elever

2020: 900 elever

2021: 1000 elever

Antall elever øker med 100 hvert år. Det var størst prosentvis økning i antall elever fra 2018 til 2019, fordi 100 er en større andel av 700, enn det er av 800, 900 eller 1000.

==Oppgave 3==

===a)===

To størrelser som er proporsjonale er for eksempel antall hektogram smågodt kjøpt i butikken, og prisen man betaler. For eksempel koster det 10 kr for 1 hg, 20 kr for 2 hg og så videre. Prisen øker altså jevnt (med samme stigningstall). Kjøper man ingenting, koster det heller ingenting (det er ikke noe konstantledd).

===b)===

Siden dette er del 1, må du tegne grafen til din funksjon for hånd.

[[File: 1P_V22_del1_3b.png | 500px]]

==Oppgave 4==

===a)===

$V(x) = 4x^3 −100x^2 +600x \quad, \quad 0<x<10$

$V(5)= 4\cdot5^3 -100\cdot 5^2 +600\cdot 5 = 4\cdot 125 - 100\cdot 25 + 3000 = 500 - 2500 + 3000 = 1000$

Dersom Siri lager esken 5 cm høy, får den et volum på 1000 kubikkcentimeter.

===b)===

Dersom Siri løser likningen $V(x)=500$, finner hun ut hvor høy esken må være (x), for at den skal ha et volum på 500 kubikkcentimeter.

==Oppgave 5==

Eleven ønsker å finne ut hvor mange år det tar før en verdi på 2000 (for eksempel kroner) har økt til 4000 (eller mer), med en årlig økning på 5%.

I linje 1-4 defineres variablene startverdi, verdi, vekstfaktor og år. Variabelen "verdi" settes til samme verdi som "startverdi", altså 2000. I linje 6-8 har vi en while-løkke som gjentar seg så lenge "verdi" er mindre enn det dobbelte av "startverdi", altså 4000. Inni løkken ganger "verdi" med "vekstfaktor" for å få en 5% økning på "verdi", og variabelen "år" økes med én. Etter at løkkes avsluttes, skrives "verdi" og "år" ut på skjermen (linje 10 og 11). "verdi" vil være 4000 eller mer, og "år" forteller oss hvor mange år dette har tatt.

==Oppgave 6==

$A=l\cdot b = 3b\cdot b = 3b^2$

Setter arealet til 432 kvadratcentimeter:

$3b^2=432$

$b^2 =\frac{432}{3}$

$b^2 =144$

$b=\sqrt{144}$

$b=12$

Rektangelet er 12 cm bredt.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

Løser oppgaven i Geogebra.

[[File: 1P_V22_del2_1abcd.png | 1000px]]

===a)===

$V(0)=0$ (se algebrafeltet på skjermbildet). Det vil si at før tappingen starter (ved 0 minutter), så har det ikke blitt tappet ut noe vann av tanken (0 liter).

===b)===

Verdimengden til V er 2000. Jeg fant høyeste punkt på grafen, A=(40,2000), ved å bruke knappen "Ekstremalpunkt". Laveste punkt er (0,0). Verdimengden er da 2000 - 0 = 2000.

===c)===

Lager linjen y = 1000, og bruker knappen "skjæring mellom to objekt" mellom linjen og grafen til V. Får punkt B=(11.7, 1000). Det vil si at det tar 11,7 minutter før halvparten av vannet er tappet ut av tanken. Se punkt B.

===d)===

Lager punkt C=(0,V(0)) og D=(30,V(30)), og lager en linje som gå gjennom disse to punktene med knappen "linje". Finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet er 62,5 (se verdien a1 i algebrafeltet). Svaret forteller oss at fra 0 til 30 minutter etter at tappingen har startet, tappes vannet med en gjennomsnittlig fart på 62,5 liter per minutt.

===e)===

[[File: 1P_V22_del2_1e.png | 1000px]]

Lager en glider b med kommandoen "glider(0,40,1)". Lager et punkt E=(b,V(b)) og tangenten til V i punktet E med knappen "tangenter". Viser stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Flytter på glideren slik at punkt E flytter seg langs hele grafen til V, og ser om stigningstallet noen gang overstiger 105. Jeg finner at det høyeste stigningstallet er 100, når E=(0,0). Se verdien a2 i algebrafeltet.

Det vil altså aldri tappes mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

==Oppgave 2==

===a)===

Grafen starter i 600 på y aksen, altså er konstantleddet b= 600. Vi ser at grafen øker med 100 når x verdien øker med 25, altså er stigningstallet 4 : A(x) = 4x + 600.

===b)===

Vi leser av grafen. 50 km på x aksen gir 1000 kroner på firma B. Det kaster altså 1000 kroner å kjøre 50 km. Det blir 20 kr per km.

Vi legger merke til at i firma B øker prisen med 100 kr per 50 km. 400 km koster da 1600 kroner, som blir 4 kr per kilometer.

I begge tilfeller deler man kostnad på antall kilometer.

===c)===

Det er 97 km. Firma A og C er like dyre dersom man kjører 100 km, så han bør velge ett av disse. Kjører man over 200 km er firma B billigst.

==Oppgave 3==

Vi gjør om til prosent avslag per flaske:

A: $1- \frac{2}{3} = 0,33 = 33 $ % rabatt.

B: 30 % rabatt

C: $1 - \frac{1,25}{2} = 0,375 = 37,5$ % rabatt.

D: $1- \frac 35 = 0,40 = 40$ % rabatt.

D, C, A, B, der D er best.

==Oppgave 4==

===a)===

$\frac{1 \quad liter}{0,9124 \quad kg} = \frac{0,010 \quad liter}{x}$ $x = 0,009124 \quad kg = 9,1 \quad gram$

===b)===

$\frac{0,9124}{1} = \frac{0,5566}{x} $

$x = \frac{05566}{0,9124} = 0,61$

Regnet i liter, det tilsvarer 6,1 dl.

==Oppgave 5==

Det er 3 tyveminutter i en time, altså 36 perioder på 12 timer:

$ A(36)= 1 \cdot 2^{36} = 6,87 \cdot 10^{10}$

Modellen tar ikke hensyn til at bakterier dør.

==Oppgave 6==

[[File:26082022-01.png]] [[File:26082022-02.png]]

Arket viser figurene fra 1 - 25. Figur nummeret kvadres og figuren før legges til.

===a)===

55 klosser

===b)===

1210 klosser

===c)===

Han kan lage 17 figurer og har 1279 klosser igjen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:26082022-03.png]]

a = 1,85 og b = 0,49.

===b)===

Modellen overestimerer allerede ved 120 minutter, men man kan si at den gir et greit bilde av temperaturforløpet de to første timene.

===c)===

Utfører regresjonen i Geogebra og får : $f(x) = -18,09 \cdot 0,98^x$

===d)===

[[File:29082022-01.png]]

f flater ut og får derved et større gyldighetsområde. T vokser hele tiden og vil avvike fra virkeligheten etter ca 120 minutter.

===e)===

$T_2(x)= -18,09 \cdot 0,98^x +20 $

$T_2(240)= -18,09 \cdot 0,98^{240} + 20 = 19,9 $ grader Celsius.

==Oppgave 8==

===a)===
Mellomrommene er 10 cm. En meter vil da ha 10 mellomrom og 11 tråder.

===b)===

Mønsteret er repetisjoner av tre. Tråd 3,6 og 9 har 9 pærer, tråd 10 har 3 og den siste har 6 tråder.

===c)===

Det er 150 mellomrom på 15 meter, altså er det 151 tråder. Det er 50 sekvenser med 3,6,9 lyspærer, altså $50 \cdot 18 + 3 = 903 $ på 15 meter gardin.

===d)===
Hvilke lengder i meter gir 9 pærer til slutt? Vi tester

0,2m

0,5m

0,8m

1,1m

1,4m

1,7m

2 meter.

Vi observere første treff er på 2 meter. Videre ser man at økningen per treersekvens er 0,3 meter hver gang ( bortsett fra første gang) det betyr at mønsteret vil repeteres hver 3 meter, altså på 2m, 5m, 8m, 11m,...... osv. Generelt kan det skive m = 3n -1, der n er treffnr. ( 1,2,3,4,5,6...) og m er lengde av gardin i antall meter.

1P 2021 høst LK20 LØSNING

2022-12-12T11:00:06Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4506 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://youtu.be/e2ZelK7ACzo Videoløsning av lektor lainz]

== DEL EN==

==Oppgave 1==

Det betyr at 5 elever utgjør 20%, Da er 25 elever 100%.

==Oppgave 2==

Grunnlaget man regner prosenten fra forandrer seg hvert år. Du kan sette opp stykket slik:

$x \cdot 0,90^3 = 400 000 $

$x = 400 000 \cdot 0,90^{-3} $

==Oppgave 3==

===a)===

$T = 9t + 7$

$52 = 9 t + 7$

$9t = 45$

$t = 5$

Det tar ca. fem timer.

===b)===

7 er starttemperaturen ved tiden t = 0. 9 er antall grader temperaturen stiger med hver time.

==Oppgave 4==

Han bruker 9 minutter på første delen og 12 minutter på siste halvdel, totalt 21 minutter:

$\frac{12}{80} timer \cdot 60 + \frac {12}{60} timer \cdot 60 = 9 + 12 $ minutter

==Oppgave 5 ==

===a)===
f(x) vi ser at grafen krysser y aksen i 3 og at stigningstallet er -2 (to til høyre og fire ned). Det gir f(x) = -2x + 3

g(x) = 1/2 x - 2 ( stigningstall: to til høyre og en opp (delta y delt på delta x)

===b)===

Høyden i trekanten er 1. Grunnlinjen er : g(x)=0 gir x = 4, og f(x)= 0 gir x = 1,5. Grunnlinjen G= 4 - 1,5 = 2,5. Arealet blir halvparten av G*h som er 1,25.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:241121-01.png]]

Tegner grafen til funksjonen S i Geogebra. Lager linja y=5000 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til S. Ser at butikken kan selge mer enn 5000 par ski fra uke 5.6 til uke 23.7 (litt over 18 uker), og fra uke 50 til 52 (2 uker). Det vil si at butikken kan selge mer enn 5000 par ski i ca. 20 uker, ifølge modellen.

===b)===

[[File: 241121-02.png]]

Stigningstallet er 594, det betyr at i årets første 12 uker øker skisalget i gjennomsnitt med ca. 600 par i uken.

==Oppgave 2==

===a)===

Energiinnhold i 100 gram kokt egg:

Energi fra fett + energi fra protein + energi fra karbohydrater = $(9 \cdot 10,2 + 4 \cdot 12,4 + 4 \cdot 0,3) kcal = 142,6 kcal$

===b)===

Gram spiselig: $125g \cdot 0,88 = 110g $

Energi: $1,1 \cdot 142,6 = 156 kcal $

Hvilket utgjør ca 5 % av dagsbehovet.

==Oppgave 3==

===a)===

Dersom en bestand bestående av 500 dyr dobler seg lineært på 10 år ser funksjonen slik ut: L(x) = 50 x + 500

===b)===

Dersom bestanden øker eksponentielt får vi:

[[File:271121-02.png]]

$E(x)= 500 \cdot 1,07^x$

===c)===

[[File: 271121-03.png ]]

===d)===

Grafen til f viser forskjellen i estimat mellom den lineære modellen og den eksponentielle, under de gitte forutsetninger. Den største forskjellen er på ca. 50 dyr, etter ca 6 år. Den praktiske tolkningen av y= 12 er ved hvilke tidspunkt den lineære modellen estimerer 12 dyr mer enn den eksponentielle. For x = 12 får vi en funksjonsverdi nær - 26. Det må tolkes som at den eksponentielle funksjonen nå har det høyeste estimatet, og etter 12 år viser den eksponentielle funksjonen ca. 26 dyr mer enn den lineære funksjonen.

Begge funksjonene, L og E skulle doble seg på 10 år. Fra figuren i c ser man at det tar nesten 11 år før E dobler seg. Det skyldes at jeg burde tatt med en desimal til i uttrykket for vekstfaktoren.

==Oppgave 4==

Påstand 1 er riktig: $pris per elev =\frac{totalutgift}{Antallelever}$

Påstand 2 er feil: $x$ og $x^2$ er eksempler på størrelser der dersom x øker så øker kvadratet av x også, men de er ikke propirsjonale.

Påstand 3 er riktig: $y = \frac kx$, om vi dobler x : $y = \frac {k}{2x}$, halveres y.

Påstand 4 er feil: Forholdet mellom areal og omkrets vil være: $\frac A O = \frac{\pi r^2}{s \pi r} = \frac {r}{2}$. Dette forholdet er ikke konstant, men varierer med r. Derfor ikke proporsjonalitet.

==Oppgave 5==

Saftblandingen består av 1 del sukker og ni deler ikke sukker. Dersom mengden sukker økes med 50% betyr det at vi har 1,5 del sukker og 9 deler ikke sukker. Det er totalt 10,5 deler. $\frac{1,5}{10,5} = 14,3$. Den nye blandingen vil inneholde i overkant av 14% sukker.

==Oppgave 6==

===a)===

Ett verdifall på 20 % gir en vekstfaktor på 0,8. Et videre fall på 14 % gir et totalt fall på $0,8 \cdot 0,86 = 0,688.$ 1 - 0.688 = 0,312 = 31%.

===b)===

[[File:291121-01.png]]

[[File:291121-02.png]]

===c)===

Se figur i b.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File: 271121-01.png]]

Finner funksjonsuttrykket ved regresjon i Geogebra. Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Ser at 20 etasjer krever 210 bokser, se punkt A.

===b)===

Skriver y=400 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Marius kan lage maksimalt 27 etasjer med 400 bokser, se punkt B i oppgave a). Til det trenger han 378 bokser, se punkt C i oppgave a).

===c)===

Bruker polynomregresjon av 3. grad:

[[File:021221-01.png]]

Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

20 etasjer krever 1540 bokser. Se figur.

===d)===

Skriver y=4000 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Det er 27 etasjer i det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser, se figuren i c.

==Oppgave 8==

===a)===

Tallene er organisert i et kvadrat med tall fra 1 til 100, ti bortover og ti nedover. Et tilfeldig valgt tall n som ikke ligger på randen av det store kvadratet vil ha naboen n+1 til høyre for seg, og n-1 til venstre. Rett ned ligger n + 10 og rett opp n-10.

differansen en opp og en til høyre blir 11 - 2 = 9 (blått kvadrat) eller 37 - 28 = 9 (rød kvadrat). Den andre diagonalen får verdi 11 og produktet av 11 og 9 er 99, samme for både blått og rødt kvadrat.

===b)===

Uansett valg av 2 x 2 kvadrat blir produktet 99. Årsaken er at det kvadratet du velger har tallene : [[File:241121-03.png]]
Differansen i diagonalen opp mot høyre vil være (n + 10) - (n + 1) = 10- 1 = 9 . Den andre diagonalen får differanse (n + 10 + 1) - n = 11

===c)===

Ett 3 x 3 kvadrat har alltid verdiene [[File:241121-04.png]] Produktet vil alltid være $18 \cdot 22$

1P 2021 høst LK20 LØSNING

2022-12-12T10:59:43Z

LektorNilsen:

[[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4506 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas
(nedlastbart dokument)]

[https://youtu.be/e2ZelK7ACzo Videoløsning av lektor lainz]

== DEL EN==

==Oppgave 1==

Det betyr at 5 elever utgjør 20%, Da er 25 elever 100%.

==Oppgave 2==

Grunnlaget man regner prosenten fra forandrer seg hvert år. Du kan sette opp stykket slik:

$x \cdot 0,90^3 = 400 000 $

$x = 400 000 \cdot 0,90^{-3} $

==Oppgave 3==

===a)===

$T = 9t + 7$

$52 = 9 t + 7$

$9t = 45$

$t = 5$

Det tar ca. fem timer.

===b)===

7 er starttemperaturen ved tiden t = 0. 9 er antall grader temperaturen stiger med hver time.

==Oppgave 4==

Han bruker 9 minutter på første delen og 12 minutter på siste halvdel, totalt 21 minutter:

$\frac{12}{80} timer \cdot 60 + \frac {12}{60} timer \cdot 60 = 9 + 12 $ minutter

==Oppgave 5 ==

===a)===
f(x) vi ser at grafen krysser y aksen i 3 og at stigningstallet er -2 (to til høyre og fire ned). Det gir f(x) = -2x + 3

g(x) = 1/2 x - 2 ( stigningstall: to til høyre og en opp (delta y delt på delta x)

===b)===

Høyden i trekanten er 1. Grunnlinjen er : g(x)=0 gir x = 4, og f(x)= 0 gir x = 1,5. Grunnlinjen G= 4 - 1,5 = 2,5. Arealet blir halvparten av G*h som er 1,25.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:241121-01.png]]

Tegner grafen til funksjonen S i Geogebra. Lager linja y=5000 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til S. Ser at butikken kan selge mer enn 5000 par ski fra uke 5.6 til uke 23.7 (litt over 18 uker), og fra uke 50 til 52 (2 uker). Det vil si at butikken kan selge mer enn 5000 par ski i ca. 20 uker, ifølge modellen.

===b)===

[[File: 241121-02.png]]

Stigningstallet er 594, det betyr at i årets første 12 uker øker skisalget i gjennomsnitt med ca. 600 par i uken.

==Oppgave 2==

===a)===

Energiinnhold i 100 gram kokt egg:

Energi fra fett + energi fra protein + energi fra karbohydrater = $(9 \cdot 10,2 + 4 \cdot 12,4 + 4 \cdot 0,3) kcal = 142,6 kcal$

===b)===

Gram spiselig: $125g \cdot 0,88 = 110g $

Energi: $1,1 \cdot 142,6 = 156 kcal $

Hvilket utgjør ca 5 % av dagsbehovet.

==Oppgave 3==

===a)===

Dersom en bestand bestående av 500 dyr dobler seg lineært på 10 år ser funksjonen slik ut: L(x) = 50 x + 500

===b)===

Dersom bestanden øker eksponentielt får vi:

[[File:271121-02.png]]

$E(x)= 500 \cdot 1,07^x$

===c)===

[[File: 271121-03.png ]]

===d)===

Grafen til f viser forskjellen i estimat mellom den lineære modellen og den eksponentielle, under de gitte forutsetninger. Den største forskjellen er på ca. 50 dyr, etter ca 6 år. Den praktiske tolkningen av y= 12 er ved hvilke tidspunkt den lineære modellen estimerer 12 dyr mer enn den eksponentielle. For x = 12 får vi en funksjonsverdi nær - 26. Det må tolkes som at den eksponentielle funksjonen nå har det høyeste estimatet, og etter 12 år viser den eksponentielle funksjonen ca. 26 dyr mer enn den lineære funksjonen.

Begge funksjonene, L og E skulle doble seg på 10 år. Fra figuren i c ser man at det tar nesten 11 år før E dobler seg. Det skyldes at jeg burde tatt med en desimal til i uttrykket for vekstfaktoren.

==Oppgave 4==

Påstand 1 er riktig: $pris per elev =\frac{totalutgift}{Antallelever}$

Påstand 2 er feil: $x$ og $x^2$ er eksempler på størrelser der dersom x øker så øker kvadratet av x også, men de er ikke propirsjonale.

Påstand 3 er riktig: $y = \frac kx$, om vi dobler x : $y = \frac {k}{2x}$, halveres y.

Påstand 4 er feil: Forholdet mellom areal og omkrets vil være: $\frac A O = \frac{\pi r^2}{s \pi r} = \frac {r}{2}$. Dette forholdet er ikke konstant, men varierer med r. Derfor ikke proporsjonalitet.

==Oppgave 5==

Saftblandingen består av 1 del sukker og ni deler ikke sukker. Dersom mengden sukker økes med 50% betyr det at vi har 1,5 del sukker og 9 deler ikke sukker. Det er totalt 10,5 deler. $\frac{1,5}{10,5} = 14,3$. Den nye blandingen vil inneholde i overkant av 14% sukker.

==Oppgave 6==

===a)===

Ett verdifall på 20 % gir en vekstfaktor på 0,8. Et videre fall på 14 % gir et totalt fall på $0,8 \cdot 0,86 = 0,688.$ 1 - 0.688 = 0,312 = 31%.

===b)===

[[File:291121-01.png]]

[[File:291121-02.png]]

===c)===

Se figur i b.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File: 271121-01.png]]

Finner funksjonsuttrykket ved regresjon i Geogebra. Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Ser at 20 etasjer krever 210 bokser, se punkt A.

===b)===

Skriver y=400 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Marius kan lage maksimalt 27 etasjer med 400 bokser, se punkt B i oppgave a). Til det trenger han 378 bokser, se punkt C i oppgave a).

===c)===

Bruker polynomregresjon av 3. grad:

[[File:021221-01.png]]

Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

20 etasjer krever 1540 bokser. Se figur.

===d)===

Skriver y=4000 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Det er 27 etasjer i det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser, se figuren i c.

==Oppgave 8==

===a)===

Tallene er organisert i et kvadrat med tall fra 1 til 100, ti bortover og ti nedover. Et tilfeldig valgt tall n som ikke ligger på randen av det store kvadratet vil ha naboen n+1 til høyre for seg, og n-1 til venstre. Rett ned ligger n + 10 og rett opp n-10.

differansen en opp og en til høyre blir 11 - 2 = 9 (blått kvadrat) eller 37 - 28 = 9 (rød kvadrat). Den andre diagonalen får verdi 11 og produktet av 11 og 9 er 99, samme for både blått og rødt kvadrat.

===b)===

Uansett valg av 2 x 2 kvadrat blir produktet 99. Årsaken er at det kvadratet du velger har tallene : [[File:241121-03.png]]
Differansen i diagonalen opp mot høyre vil være (n + 10) - (n + 1) = 10- 1 = 9 . Den andre diagonalen får differanse (n + 10 + 1) - n = 11

===c)===

Ett 3 x 3 kvadrat har alltid verdiene [[File:241121-04.png]] Produktet vil alltid være $18 \cdot 22$

1P 2021 høst LK20 LØSNING

2022-12-12T10:59:07Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4506 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas
(nedlastbart dokument)]

[https://youtu.be/e2ZelK7ACzo Videoløsning av lektor lainz]

== DEL EN==

==Oppgave 1==

Det betyr at 5 elever utgjør 20%, Da er 25 elever 100%.

==Oppgave 2==

Grunnlaget man regner prosenten fra forandrer seg hvert år. Du kan sette opp stykket slik:

$x \cdot 0,90^3 = 400 000 $

$x = 400 000 \cdot 0,90^{-3} $

==Oppgave 3==

===a)===

$T = 9t + 7$

$52 = 9 t + 7$

$9t = 45$

$t = 5$

Det tar ca. fem timer.

===b)===

7 er starttemperaturen ved tiden t = 0. 9 er antall grader temperaturen stiger med hver time.

==Oppgave 4==

Han bruker 9 minutter på første delen og 12 minutter på siste halvdel, totalt 21 minutter:

$\frac{12}{80} timer \cdot 60 + \frac {12}{60} timer \cdot 60 = 9 + 12 $ minutter

==Oppgave 5 ==

===a)===
f(x) vi ser at grafen krysser y aksen i 3 og at stigningstallet er -2 (to til høyre og fire ned). Det gir f(x) = -2x + 3

g(x) = 1/2 x - 2 ( stigningstall: to til høyre og en opp (delta y delt på delta x)

===b)===

Høyden i trekanten er 1. Grunnlinjen er : g(x)=0 gir x = 4, og f(x)= 0 gir x = 1,5. Grunnlinjen G= 4 - 1,5 = 2,5. Arealet blir halvparten av G*h som er 1,25.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:241121-01.png]]

Tegner grafen til funksjonen S i Geogebra. Lager linja y=5000 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til S. Ser at butikken kan selge mer enn 5000 par ski fra uke 5.6 til uke 23.7 (litt over 18 uker), og fra uke 50 til 52 (2 uker). Det vil si at butikken kan selge mer enn 5000 par ski i ca. 20 uker, ifølge modellen.

===b)===

[[File: 241121-02.png]]

Stigningstallet er 594, det betyr at i årets første 12 uker øker skisalget i gjennomsnitt med ca. 600 par i uken.

==Oppgave 2==

===a)===

Energiinnhold i 100 gram kokt egg:

Energi fra fett + energi fra protein + energi fra karbohydrater = $(9 \cdot 10,2 + 4 \cdot 12,4 + 4 \cdot 0,3) kcal = 142,6 kcal$

===b)===

Gram spiselig: $125g \cdot 0,88 = 110g $

Energi: $1,1 \cdot 142,6 = 156 kcal $

Hvilket utgjør ca 5 % av dagsbehovet.

==Oppgave 3==

===a)===

Dersom en bestand bestående av 500 dyr dobler seg lineært på 10 år ser funksjonen slik ut: L(x) = 50 x + 500

===b)===

Dersom bestanden øker eksponentielt får vi:

[[File:271121-02.png]]

$E(x)= 500 \cdot 1,07^x$

===c)===

[[File: 271121-03.png ]]

===d)===

Grafen til f viser forskjellen i estimat mellom den lineære modellen og den eksponentielle, under de gitte forutsetninger. Den største forskjellen er på ca. 50 dyr, etter ca 6 år. Den praktiske tolkningen av y= 12 er ved hvilke tidspunkt den lineære modellen estimerer 12 dyr mer enn den eksponentielle. For x = 12 får vi en funksjonsverdi nær - 26. Det må tolkes som at den eksponentielle funksjonen nå har det høyeste estimatet, og etter 12 år viser den eksponentielle funksjonen ca. 26 dyr mer enn den lineære funksjonen.

Begge funksjonene, L og E skulle doble seg på 10 år. Fra figuren i c ser man at det tar nesten 11 år før E dobler seg. Det skyldes at jeg burde tatt med en desimal til i uttrykket for vekstfaktoren.

==Oppgave 4==

Påstand 1 er riktig: $pris per elev =\frac{totalutgift}{Antallelever}$

Påstand 2 er feil: $x$ og $x^2$ er eksempler på størrelser der dersom x øker så øker kvadratet av x også, men de er ikke propirsjonale.

Påstand 3 er riktig: $y = \frac kx$, om vi dobler x : $y = \frac {k}{2x}$, halveres y.

Påstand 4 er feil: Forholdet mellom areal og omkrets vil være: $\frac A O = \frac{\pi r^2}{s \pi r} = \frac {r}{2}$. Dette forholdet er ikke konstant, men varierer med r. Derfor ikke proporsjonalitet.

==Oppgave 5==

Saftblandingen består av 1 del sukker og ni deler ikke sukker. Dersom mengden sukker økes med 50% betyr det at vi har 1,5 del sukker og 9 deler ikke sukker. Det er totalt 10,5 deler. $\frac{1,5}{10,5} = 14,3$. Den nye blandingen vil inneholde i overkant av 14% sukker.

==Oppgave 6==

===a)===

Ett verdifall på 20 % gir en vekstfaktor på 0,8. Et videre fall på 14 % gir et totalt fall på $0,8 \cdot 0,86 = 0,688.$ 1 - 0.688 = 0,312 = 31%.

===b)===

[[File:291121-01.png]]

[[File:291121-02.png]]

===c)===

Se figur i b.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File: 271121-01.png]]

Finner funksjonsuttrykket ved regresjon i Geogebra. Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Ser at 20 etasjer krever 210 bokser, se punkt A.

===b)===

Skriver y=400 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Marius kan lage maksimalt 27 etasjer med 400 bokser, se punkt B i oppgave a). Til det trenger han 378 bokser, se punkt C i oppgave a).

===c)===

Bruker polynomregresjon av 3. grad:

[[File:021221-01.png]]

Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

20 etasjer krever 1540 bokser. Se figur.

===d)===

Skriver y=4000 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Det er 27 etasjer i det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser, se figuren i c.

==Oppgave 8==

===a)===

Tallene er organisert i et kvadrat med tall fra 1 til 100, ti bortover og ti nedover. Et tilfeldig valgt tall n som ikke ligger på randen av det store kvadratet vil ha naboen n+1 til høyre for seg, og n-1 til venstre. Rett ned ligger n + 10 og rett opp n-10.

differansen en opp og en til høyre blir 11 - 2 = 9 (blått kvadrat) eller 37 - 28 = 9 (rød kvadrat). Den andre diagonalen får verdi 11 og produktet av 11 og 9 er 99, samme for både blått og rødt kvadrat.

===b)===

Uansett valg av 2 x 2 kvadrat blir produktet 99. Årsaken er at det kvadratet du velger har tallene : [[File:241121-03.png]]
Differansen i diagonalen opp mot høyre vil være (n + 10) - (n + 1) = 10- 1 = 9 . Den andre diagonalen får differanse (n + 10 + 1) - n = 11

===c)===

Ett 3 x 3 kvadrat har alltid verdiene [[File:241121-04.png]] Produktet vil alltid være $18 \cdot 22$

1P 2021 høst LK20 LØSNING

2022-12-12T10:58:23Z

LektorNilsen:

[[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4506 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]
(nedlastbart dokument)]

[https://youtu.be/e2ZelK7ACzo Videoløsning av lektor lainz]

== DEL EN==

==Oppgave 1==

Det betyr at 5 elever utgjør 20%, Da er 25 elever 100%.

==Oppgave 2==

Grunnlaget man regner prosenten fra forandrer seg hvert år. Du kan sette opp stykket slik:

$x \cdot 0,90^3 = 400 000 $

$x = 400 000 \cdot 0,90^{-3} $

==Oppgave 3==

===a)===

$T = 9t + 7$

$52 = 9 t + 7$

$9t = 45$

$t = 5$

Det tar ca. fem timer.

===b)===

7 er starttemperaturen ved tiden t = 0. 9 er antall grader temperaturen stiger med hver time.

==Oppgave 4==

Han bruker 9 minutter på første delen og 12 minutter på siste halvdel, totalt 21 minutter:

$\frac{12}{80} timer \cdot 60 + \frac {12}{60} timer \cdot 60 = 9 + 12 $ minutter

==Oppgave 5 ==

===a)===
f(x) vi ser at grafen krysser y aksen i 3 og at stigningstallet er -2 (to til høyre og fire ned). Det gir f(x) = -2x + 3

g(x) = 1/2 x - 2 ( stigningstall: to til høyre og en opp (delta y delt på delta x)

===b)===

Høyden i trekanten er 1. Grunnlinjen er : g(x)=0 gir x = 4, og f(x)= 0 gir x = 1,5. Grunnlinjen G= 4 - 1,5 = 2,5. Arealet blir halvparten av G*h som er 1,25.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:241121-01.png]]

Tegner grafen til funksjonen S i Geogebra. Lager linja y=5000 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til S. Ser at butikken kan selge mer enn 5000 par ski fra uke 5.6 til uke 23.7 (litt over 18 uker), og fra uke 50 til 52 (2 uker). Det vil si at butikken kan selge mer enn 5000 par ski i ca. 20 uker, ifølge modellen.

===b)===

[[File: 241121-02.png]]

Stigningstallet er 594, det betyr at i årets første 12 uker øker skisalget i gjennomsnitt med ca. 600 par i uken.

==Oppgave 2==

===a)===

Energiinnhold i 100 gram kokt egg:

Energi fra fett + energi fra protein + energi fra karbohydrater = $(9 \cdot 10,2 + 4 \cdot 12,4 + 4 \cdot 0,3) kcal = 142,6 kcal$

===b)===

Gram spiselig: $125g \cdot 0,88 = 110g $

Energi: $1,1 \cdot 142,6 = 156 kcal $

Hvilket utgjør ca 5 % av dagsbehovet.

==Oppgave 3==

===a)===

Dersom en bestand bestående av 500 dyr dobler seg lineært på 10 år ser funksjonen slik ut: L(x) = 50 x + 500

===b)===

Dersom bestanden øker eksponentielt får vi:

[[File:271121-02.png]]

$E(x)= 500 \cdot 1,07^x$

===c)===

[[File: 271121-03.png ]]

===d)===

Grafen til f viser forskjellen i estimat mellom den lineære modellen og den eksponentielle, under de gitte forutsetninger. Den største forskjellen er på ca. 50 dyr, etter ca 6 år. Den praktiske tolkningen av y= 12 er ved hvilke tidspunkt den lineære modellen estimerer 12 dyr mer enn den eksponentielle. For x = 12 får vi en funksjonsverdi nær - 26. Det må tolkes som at den eksponentielle funksjonen nå har det høyeste estimatet, og etter 12 år viser den eksponentielle funksjonen ca. 26 dyr mer enn den lineære funksjonen.

Begge funksjonene, L og E skulle doble seg på 10 år. Fra figuren i c ser man at det tar nesten 11 år før E dobler seg. Det skyldes at jeg burde tatt med en desimal til i uttrykket for vekstfaktoren.

==Oppgave 4==

Påstand 1 er riktig: $pris per elev =\frac{totalutgift}{Antallelever}$

Påstand 2 er feil: $x$ og $x^2$ er eksempler på størrelser der dersom x øker så øker kvadratet av x også, men de er ikke propirsjonale.

Påstand 3 er riktig: $y = \frac kx$, om vi dobler x : $y = \frac {k}{2x}$, halveres y.

Påstand 4 er feil: Forholdet mellom areal og omkrets vil være: $\frac A O = \frac{\pi r^2}{s \pi r} = \frac {r}{2}$. Dette forholdet er ikke konstant, men varierer med r. Derfor ikke proporsjonalitet.

==Oppgave 5==

Saftblandingen består av 1 del sukker og ni deler ikke sukker. Dersom mengden sukker økes med 50% betyr det at vi har 1,5 del sukker og 9 deler ikke sukker. Det er totalt 10,5 deler. $\frac{1,5}{10,5} = 14,3$. Den nye blandingen vil inneholde i overkant av 14% sukker.

==Oppgave 6==

===a)===

Ett verdifall på 20 % gir en vekstfaktor på 0,8. Et videre fall på 14 % gir et totalt fall på $0,8 \cdot 0,86 = 0,688.$ 1 - 0.688 = 0,312 = 31%.

===b)===

[[File:291121-01.png]]

[[File:291121-02.png]]

===c)===

Se figur i b.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File: 271121-01.png]]

Finner funksjonsuttrykket ved regresjon i Geogebra. Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Ser at 20 etasjer krever 210 bokser, se punkt A.

===b)===

Skriver y=400 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Marius kan lage maksimalt 27 etasjer med 400 bokser, se punkt B i oppgave a). Til det trenger han 378 bokser, se punkt C i oppgave a).

===c)===

Bruker polynomregresjon av 3. grad:

[[File:021221-01.png]]

Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

20 etasjer krever 1540 bokser. Se figur.

===d)===

Skriver y=4000 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Det er 27 etasjer i det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser, se figuren i c.

==Oppgave 8==

===a)===

Tallene er organisert i et kvadrat med tall fra 1 til 100, ti bortover og ti nedover. Et tilfeldig valgt tall n som ikke ligger på randen av det store kvadratet vil ha naboen n+1 til høyre for seg, og n-1 til venstre. Rett ned ligger n + 10 og rett opp n-10.

differansen en opp og en til høyre blir 11 - 2 = 9 (blått kvadrat) eller 37 - 28 = 9 (rød kvadrat). Den andre diagonalen får verdi 11 og produktet av 11 og 9 er 99, samme for både blått og rødt kvadrat.

===b)===

Uansett valg av 2 x 2 kvadrat blir produktet 99. Årsaken er at det kvadratet du velger har tallene : [[File:241121-03.png]]
Differansen i diagonalen opp mot høyre vil være (n + 10) - (n + 1) = 10- 1 = 9 . Den andre diagonalen får differanse (n + 10 + 1) - n = 11

===c)===

Ett 3 x 3 kvadrat har alltid verdiene [[File:241121-04.png]] Produktet vil alltid være $18 \cdot 22$

1P 2022 vår LK20 LØSNING

2022-12-12T10:57:49Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4244 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53912 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://youtu.be/BUsSefCDuS8 Videoløsning del 1 av Lektor Lainz]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

Renten på et lån steg fra 2,0 % til 2,2 %.

===a)===

Renten steg med 0,2 prosentpoeng. Utregning: 2,2 - 2,0 = 0,2

===b)===

Deler endringen i prosentpoeng på opprinnelig rente:

$\frac{0,2}{2,0}=\frac{2}{20}=\frac{10}{100}=10$ %.

Renten steg med 10 prosent.

==Oppgave 2==

Leser av diagrammet og finner antall elever de ulike årene:

2018: 700 elever

2019: 800 elever

2020: 900 elever

2021: 1000 elever

Antall elever øker med 100 hvert år. Det var størst prosentvis økning i antall elever fra 2018 til 2019, fordi 100 er en større andel av 700, enn det er av 800, 900 eller 1000.

==Oppgave 3==

===a)===

To størrelser som er proporsjonale er for eksempel antall hektogram smågodt kjøpt i butikken, og prisen man betaler. For eksempel koster det 10 kr for 1 hg, 20 kr for 2 hg og så videre. Prisen øker altså jevnt (med samme stigningstall). Kjøper man ingenting, koster det heller ingenting (det er ikke noe konstantledd).

===b)===

Siden dette er del 1, må du tegne grafen til din funksjon for hånd.

[[File: 1P_V22_del1_3b.png | 500px]]

==Oppgave 4==

===a)===

$V(x) = 4x^3 −100x^2 +600x \quad, \quad 0<x<10$

$V(5)= 4\cdot5^3 -100\cdot 5^2 +600\cdot 5 = 4\cdot 125 - 100\cdot 25 + 3000 = 500 - 2500 + 3000 = 1000$

Dersom Siri lager esken 5 cm høy, får den et volum på 1000 kubikkcentimeter.

===b)===

Dersom Siri løser likningen $V(x)=500$, finner hun ut hvor høy esken må være (x), for at den skal ha et volum på 500 kubikkcentimeter.

==Oppgave 5==

Eleven ønsker å finne ut hvor mange år det tar før en verdi på 2000 (for eksempel kroner) har økt til 4000 (eller mer), med en årlig økning på 5%.

I linje 1-4 defineres variablene startverdi, verdi, vekstfaktor og år. Variabelen "verdi" settes til samme verdi som "startverdi", altså 2000. I linje 6-8 har vi en while-løkke som gjentar seg så lenge "verdi" er mindre enn det dobbelte av "startverdi", altså 4000. Inni løkken ganger "verdi" med "vekstfaktor" for å få en 5% økning på "verdi", og variabelen "år" økes med én. Etter at løkkes avsluttes, skrives "verdi" og "år" ut på skjermen (linje 10 og 11). "verdi" vil være 4000 eller mer, og "år" forteller oss hvor mange år dette har tatt.

==Oppgave 6==

$A=l\cdot b = 3b\cdot b = 3b^2$

Setter arealet til 432 kvadratcentimeter:

$3b^2=432$

$b^2 =\frac{432}{3}$

$b^2 =144$

$b=\sqrt{144}$

$b=12$

Rektangelet er 12 cm bredt.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

Løser oppgaven i Geogebra.

[[File: 1P_V22_del2_1abcd.png | 1000px]]

===a)===

$V(0)=0$ (se algebrafeltet på skjermbildet). Det vil si at før tappingen starter (ved 0 minutter), så har det ikke blitt tappet ut noe vann av tanken (0 liter).

===b)===

Verdimengden til V er 2000. Jeg fant høyeste punkt på grafen, A=(40,2000), ved å bruke knappen "Ekstremalpunkt". Laveste punkt er (0,0). Verdimengden er da 2000 - 0 = 2000.

===c)===

Lager linjen y = 1000, og bruker knappen "skjæring mellom to objekt" mellom linjen og grafen til V. Får punkt B=(11.7, 1000). Det vil si at det tar 11,7 minutter før halvparten av vannet er tappet ut av tanken. Se punkt B.

===d)===

Lager punkt C=(0,V(0)) og D=(30,V(30)), og lager en linje som gå gjennom disse to punktene med knappen "linje". Finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet er 62,5 (se verdien a1 i algebrafeltet). Svaret forteller oss at fra 0 til 30 minutter etter at tappingen har startet, tappes vannet med en gjennomsnittlig fart på 62,5 liter per minutt.

===e)===

[[File: 1P_V22_del2_1e.png | 1000px]]

Lager en glider b med kommandoen "glider(0,40,1)". Lager et punkt E=(b,V(b)) og tangenten til V i punktet E med knappen "tangenter". Viser stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Flytter på glideren slik at punkt E flytter seg langs hele grafen til V, og ser om stigningstallet noen gang overstiger 105. Jeg finner at det høyeste stigningstallet er 100, når E=(0,0). Se verdien a2 i algebrafeltet.

Det vil altså aldri tappes mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

==Oppgave 2==

===a)===

Grafen starter i 600 på y aksen, altså er konstantleddet b= 600. Vi ser at grafen øker med 100 når x verdien øker med 25, altså er stigningstallet 4 : A(x) = 4x + 600.

===b)===

Vi leser av grafen. 50 km på x aksen gir 1000 kroner på firma B. Det kaster altså 1000 kroner å kjøre 50 km. Det blir 20 kr per km.

Vi legger merke til at i firma B øker prisen med 100 kr per 50 km. 400 km koster da 1600 kroner, som blir 4 kr per kilometer.

I begge tilfeller deler man kostnad på antall kilometer.

===c)===

Det er 97 km. Firma A og C er like dyre dersom man kjører 100 km, så han bør velge ett av disse. Kjører man over 200 km er firma B billigst.

==Oppgave 3==

Vi gjør om til prosent avslag per flaske:

A: $1- \frac{2}{3} = 0,33 = 33 $ % rabatt.

B: 30 % rabatt

C: $1 - \frac{1,25}{2} = 0,375 = 37,5$ % rabatt.

D: $1- \frac 35 = 0,40 = 40$ % rabatt.

D, C, A, B, der D er best.

==Oppgave 4==

===a)===

$\frac{1 \quad liter}{0,9124 \quad kg} = \frac{0,010 \quad liter}{x}$ $x = 0,009124 \quad kg = 9,1 \quad gram$

===b)===

$\frac{0,9124}{1} = \frac{0,5566}{x} $

$x = \frac{05566}{0,9124} = 0,61$

Regnet i liter, det tilsvarer 6,1 dl.

==Oppgave 5==

Det er 3 tyveminutter i en time, altså 36 perioder på 12 timer:

$ A(36)= 1 \cdot 2^{36} = 6,87 \cdot 10^{10}$

Modellen tar ikke hensyn til at bakterier dør.

==Oppgave 6==

[[File:26082022-01.png]] [[File:26082022-02.png]]

Arket viser figurene fra 1 - 25. Figur nummeret kvadres og figuren før legges til.

===a)===

55 klosser

===b)===

1210 klosser

===c)===

Han kan lage 17 figurer og har 1279 klosser igjen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:26082022-03.png]]

a = 1,85 og b = 0,49.

===b)===

Modellen overestimerer allerede ved 120 minutter, men man kan si at den gir et greit bilde av temperaturforløpet de to første timene.

===c)===

Utfører regresjonen i Geogebra og får : $f(x) = -18,09 \cdot 0,98^x$

===d)===

[[File:29082022-01.png]]

f flater ut og får derved et større gyldighetsområde. T vokser hele tiden og vil avvike fra virkeligheten etter ca 120 minutter.

===e)===

$T_2(x)= -18,09 \cdot 0,98^x +20 $

$T_2(240)= -18,09 \cdot 0,98^{240} + 20 = 19,9 $ grader Celsius.

==Oppgave 8==

===a)===
Mellomrommene er 10 cm. En meter vil da ha 10 mellomrom og 11 tråder.

===b)===

Mønsteret er repetisjoner av tre. Tråd 3,6 og 9 har 9 pærer, tråd 10 har 3 og den siste har 6 tråder.

===c)===

Det er 150 mellomrom på 15 meter, altså er det 151 tråder. Det er 50 sekvenser med 3,6,9 lyspærer, altså $50 \cdot 18 + 3 = 903 $ på 15 meter gardin.

===d)===
Hvilke lengder i meter gir 9 pærer til slutt? Vi tester

0,2m

0,5m

0,8m

1,1m

1,4m

1,7m

2 meter.

Vi observere første treff er på 2 meter. Videre ser man at økningen per treersekvens er 0,3 meter hver gang ( bortsett fra første gang) det betyr at mønsteret vil repeteres hver 3 meter, altså på 2m, 5m, 8m, 11m,...... osv. Generelt kan det skive m = 3n -1, der n er treffnr. ( 1,2,3,4,5,6...) og m er lengde av gardin i antall meter.

1P 2022 høst LK20 LØSNING

2022-11-17T22:06:09Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4538 oppgave som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54152 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4547 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

1P 2022 vår LK20 LØSNING

2022-11-14T21:15:01Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4244 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53912 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4506 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://youtu.be/BUsSefCDuS8 Videoløsning del 1 av Lektor Lainz]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

Renten på et lån steg fra 2,0 % til 2,2 %.

===a)===

Renten steg med 0,2 prosentpoeng. Utregning: 2,2 - 2,0 = 0,2

===b)===

Deler endringen i prosentpoeng på opprinnelig rente:

$\frac{0,2}{2,0}=\frac{2}{20}=\frac{10}{100}=10$ %.

Renten steg med 10 prosent.

==Oppgave 2==

Leser av diagrammet og finner antall elever de ulike årene:

2018: 700 elever

2019: 800 elever

2020: 900 elever

2021: 1000 elever

Antall elever øker med 100 hvert år. Det var størst prosentvis økning i antall elever fra 2018 til 2019, fordi 100 er en større andel av 700, enn det er av 800, 900 eller 1000.

==Oppgave 3==

===a)===

To størrelser som er proporsjonale er for eksempel antall hektogram smågodt kjøpt i butikken, og prisen man betaler. For eksempel koster det 10 kr for 1 hg, 20 kr for 2 hg og så videre. Prisen øker altså jevnt (med samme stigningstall). Kjøper man ingenting, koster det heller ingenting (det er ikke noe konstantledd).

===b)===

Siden dette er del 1, må du tegne grafen til din funksjon for hånd.

[[File: 1P_V22_del1_3b.png | 500px]]

==Oppgave 4==

===a)===

$V(x) = 4x^3 −100x^2 +600x \quad, \quad 0<x<10$

$V(5)= 4\cdot5^3 -100\cdot 5^2 +600\cdot 5 = 4\cdot 125 - 100\cdot 25 + 3000 = 500 - 2500 + 3000 = 1000$

Dersom Siri lager esken 5 cm høy, får den et volum på 1000 kubikkcentimeter.

===b)===

Dersom Siri løser likningen $V(x)=500$, finner hun ut hvor høy esken må være (x), for at den skal ha et volum på 500 kubikkcentimeter.

==Oppgave 5==

Eleven ønsker å finne ut hvor mange år det tar før en verdi på 2000 (for eksempel kroner) har økt til 4000 (eller mer), med en årlig økning på 5%.

I linje 1-4 defineres variablene startverdi, verdi, vekstfaktor og år. Variabelen "verdi" settes til samme verdi som "startverdi", altså 2000. I linje 6-8 har vi en while-løkke som gjentar seg så lenge "verdi" er mindre enn det dobbelte av "startverdi", altså 4000. Inni løkken ganger "verdi" med "vekstfaktor" for å få en 5% økning på "verdi", og variabelen "år" økes med én. Etter at løkkes avsluttes, skrives "verdi" og "år" ut på skjermen (linje 10 og 11). "verdi" vil være 4000 eller mer, og "år" forteller oss hvor mange år dette har tatt.

==Oppgave 6==

$A=l\cdot b = 3b\cdot b = 3b^2$

Setter arealet til 432 kvadratcentimeter:

$3b^2=432$

$b^2 =\frac{432}{3}$

$b^2 =144$

$b=\sqrt{144}$

$b=12$

Rektangelet er 12 cm bredt.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

Løser oppgaven i Geogebra.

[[File: 1P_V22_del2_1abcd.png | 1000px]]

===a)===

$V(0)=0$ (se algebrafeltet på skjermbildet). Det vil si at før tappingen starter (ved 0 minutter), så har det ikke blitt tappet ut noe vann av tanken (0 liter).

===b)===

Verdimengden til V er 2000. Jeg fant høyeste punkt på grafen, A=(40,2000), ved å bruke knappen "Ekstremalpunkt". Laveste punkt er (0,0). Verdimengden er da 2000 - 0 = 2000.

===c)===

Lager linjen y = 1000, og bruker knappen "skjæring mellom to objekt" mellom linjen og grafen til V. Får punkt B=(11.7, 1000). Det vil si at det tar 11,7 minutter før halvparten av vannet er tappet ut av tanken. Se punkt B.

===d)===

Lager punkt C=(0,V(0)) og D=(30,V(30)), og lager en linje som gå gjennom disse to punktene med knappen "linje". Finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet er 62,5 (se verdien a1 i algebrafeltet). Svaret forteller oss at fra 0 til 30 minutter etter at tappingen har startet, tappes vannet med en gjennomsnittlig fart på 62,5 liter per minutt.

===e)===

[[File: 1P_V22_del2_1e.png | 1000px]]

Lager en glider b med kommandoen "glider(0,40,1)". Lager et punkt E=(b,V(b)) og tangenten til V i punktet E med knappen "tangenter". Viser stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Flytter på glideren slik at punkt E flytter seg langs hele grafen til V, og ser om stigningstallet noen gang overstiger 105. Jeg finner at det høyeste stigningstallet er 100, når E=(0,0). Se verdien a2 i algebrafeltet.

Det vil altså aldri tappes mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

==Oppgave 2==

===a)===

Grafen starter i 600 på y aksen, altså er konstantleddet b= 600. Vi ser at grafen øker med 100 når x verdien øker med 25, altså er stigningstallet 4 : A(x) = 4x + 600.

===b)===

Vi leser av grafen. 50 km på x aksen gir 1000 kroner på firma B. Det kaster altså 1000 kroner å kjøre 50 km. Det blir 20 kr per km.

Vi legger merke til at i firma B øker prisen med 100 kr per 50 km. 400 km koster da 1600 kroner, som blir 4 kr per kilometer.

I begge tilfeller deler man kostnad på antall kilometer.

===c)===

Det er 97 km. Firma A og C er like dyre dersom man kjører 100 km, så han bør velge ett av disse. Kjører man over 200 km er firma B billigst.

==Oppgave 3==

Vi gjør om til prosent avslag per flaske:

A: $1- \frac{2}{3} = 0,33 = 33 $ % rabatt.

B: 30 % rabatt

C: $1 - \frac{1,25}{2} = 0,375 = 37,5$ % rabatt.

D: $1- \frac 35 = 0,40 = 40$ % rabatt.

D, C, A, B, der D er best.

==Oppgave 4==

===a)===

$\frac{1 \quad liter}{0,9124 \quad kg} = \frac{0,010 \quad liter}{x}$ $x = 0,009124 \quad kg = 9,1 \quad gram$

===b)===

$\frac{0,9124}{1} = \frac{0,5566}{x} $

$x = \frac{05566}{0,9124} = 0,61$

Regnet i liter, det tilsvarer 6,1 dl.

==Oppgave 5==

Det er 3 tyveminutter i en time, altså 36 perioder på 12 timer:

$ A(36)= 1 \cdot 2^{36} = 6,87 \cdot 10^{10}$

Modellen tar ikke hensyn til at bakterier dør.

==Oppgave 6==

[[File:26082022-01.png]] [[File:26082022-02.png]]

Arket viser figurene fra 1 - 25. Figur nummeret kvadres og figuren før legges til.

===a)===

55 klosser

===b)===

1210 klosser

===c)===

Han kan lage 17 figurer og har 1279 klosser igjen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:26082022-03.png]]

a = 1,85 og b = 0,49.

===b)===

Modellen overestimerer allerede ved 120 minutter, men man kan si at den gir et greit bilde av temperaturforløpet de to første timene.

===c)===

Utfører regresjonen i Geogebra og får : $f(x) = -18,09 \cdot 0,98^x$

===d)===

[[File:29082022-01.png]]

f flater ut og får derved et større gyldighetsområde. T vokser hele tiden og vil avvike fra virkeligheten etter ca 120 minutter.

===e)===

$T_2(x)= -18,09 \cdot 0,98^x +20 $

$T_2(240)= -18,09 \cdot 0,98^{240} + 20 = 19,9 $ grader Celsius.

==Oppgave 8==

===a)===
Mellomrommene er 10 cm. En meter vil da ha 10 mellomrom og 11 tråder.

===b)===

Mønsteret er repetisjoner av tre. Tråd 3,6 og 9 har 9 pærer, tråd 10 har 3 og den siste har 6 tråder.

===c)===

Det er 150 mellomrom på 15 meter, altså er det 151 tråder. Det er 50 sekvenser med 3,6,9 lyspærer, altså $50 \cdot 18 + 3 = 903 $ på 15 meter gardin.

===d)===
Hvilke lengder i meter gir 9 pærer til slutt? Vi tester

0,2m

0,5m

0,8m

1,1m

1,4m

1,7m

2 meter.

Vi observere første treff er på 2 meter. Videre ser man at økningen per treersekvens er 0,3 meter hver gang ( bortsett fra første gang) det betyr at mønsteret vil repeteres hver 3 meter, altså på 2m, 5m, 8m, 11m,...... osv. Generelt kan det skive m = 3n -1, der n er treffnr. ( 1,2,3,4,5,6...) og m er lengde av gardin i antall meter.

R1 2022 Høst K06 LØSNING

2022-11-14T15:50:17Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4502 oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54142 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4505 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

S1 2022 høst K06 LØSNING

2022-11-14T08:11:41Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4500 oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=54140 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4504 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

S1 2021 høst LØSNING

2022-11-09T14:15:55Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3851 oppgave K06 som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53556 diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4499 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://youtu.be/gExTsdobLco Videoløsning del 1 av lektor lainz]

[https://youtu.be/oIuig6FCAy8 Videoløsning del 2 av lektor lainz]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===
$2x = 2x^2 - 12$

$x^2 - x -6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3 \vee x = -2$

===b)===

$5^{3x-6} = 25 = 5^2$

$3x-6 = 2$

$x = \frac{8}{3}$

===c)===
$lg(x) + lg(x+1) = lg (12)$

$lg(x \cdot(x + 1)) = lg(12)$

$x^2 +x = 12$

$x= - 4 \vee x = 3$

Fort gjort å stoppe her, men husk at man ikke kan ta logaritmen til et negativt tall, så x = -4 må forkastes i denne sammenheng. Løsning er x = 3.

==Oppgave 2==

===a)===

$(x -y)^2 +2(x+y)y - (x+y)^2 =$

$(x^2- 2xy +y^2) + (2xy + 2y^2) - (x^2+ 2xy + y^2)=$

$x^2 -2xy +y^2 +2xy + 2y^2- x^2- 2xy -y^2 =$

$ 2y^2 - 2xy = 2y(y-x)$

===b)===

$lg(ab^{-5}) -lg( \frac{b}{a^4}) + 3 lg(ab^2)=$

$(lg(a) - 5 lg(b)) - (lg(b) -4lg(a)) +3(lg (a) + 2 lg( b)) =$

$lg(a) +4 lg(a) + 3 lg (a) - 5 lg(b) - lg(b) +6 lg (b) = 8 lg (a)$

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

==Oppgave 5 ==

===a)===

Ringen rundt treet kan lages ved at de seks danner en rekke, så tar siste og første mann hverandre i hendene. Det er 6! = 720 man kan plassere seg på i rekken, som har en definert start og slutt. Sirkelen i oppgaven har ikke noe definert start og slutt slik at sekvensene ABCDEF er lik DEFABC. Siden det er seks elementer har linjen en faktor 6 flere kombinasjoner ann sirkelen. Derfor deler man 720 på 6 og får 120.

===b)===

Man kan tenke at Audun står klar til å danne en sirkel. Det er to plasseringer av fem som er gunstige for Siv, altså 40%.

Alternativt kan man tenke at det er 1/6 sjanse for å velge Audun, så 1/5 for å velge Siv. Siden rekkefølgen på de to er likegyldig multipliserer vi med to. Posisjon i ring er likegyldig så vi multipliserer med 6. Det blir 2/5 som er 40%.

===c)===

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==

==Oppgave 8==

==DEL TO==

S1 2022 vår K06 LØSNING

2022-06-15T22:00:37Z

LektorNilsen:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4212 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53900 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4345 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R2 2022 vår LØSNING

2022-06-14T07:36:01Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4245 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4343 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53913&p=246619#p246619 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

S2 2022 vår LØSNING

2022-06-13T21:06:23Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4246 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4342 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53914 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

R2 2022 vår LØSNING

2022-06-13T11:20:14Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4245 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4341 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53913&p=246619#p246619 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

1P 2022 vår LK20 LØSNING

2022-05-31T09:28:52Z

LektorNilsen:

1T 2022 vår LK20 LØSNING

2022-05-29T19:54:44Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4243 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53910 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4302 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

$(x-2)(x+1) =0 $

$ x-2=0 \vee x+1=0 $

$x=2 \vee x=-1$

===b)===

I området fra -1 til 2 er produktet i a negativt. En mulig ulikhet blir da (x-2)(x-1) > 0. (tegn fortegnsskjema dersom du ikke ser det direkte).

===Oppgave 2===

$9x^2-30x +r = (3x-s)^2 = 9x^2 - 6sx +s^2 $

Ser at s må være 5 og r lik $s^2$

===Oppgave 3===

===Oppgave 4===

===Oppgave 5===

===Oppgave 6===

==a)==

f(3) = 0 derfor er f delelig på (x-3)

==b)==

1T 2022 vår LK20 LØSNING

2022-05-29T19:54:18Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4243 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53910 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4302 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

$(x-2)(x+1) =0 $

$ x-2=0 \vee x+1=0 $

$x=2 \vee x=-1$

===b)===

I området fra -1 til 2 er produktet i a negativt. En mulig ulikhet blir da (x-2)(x-1) > 0. (tegn fortegnsskjema dersom du ikke ser det direkte).

===Oppgave 2===

$9x^2-30x +r = (3x-s)^2 = 9x^2 - 6sx +s^2 $

Ser at s må være 5 og r lik $s^2$

===Oppgave 3===

===Oppgave 4===

===Oppgave 5===

===Oppgave 6===

==a)==

f(3) = 0 derfor er f delelig på (x-3)

==b)==

1P 2022 vår LK20 LØSNING

2022-05-26T22:23:00Z

LektorNilsen:

R1 2022 vår K06 LØSNING

2022-05-26T18:50:14Z

LektorNilsen:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4214 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53902 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4264 Løsningsforslag til eksamen R1 LK06 laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R1 2022 vår K06 LØSNING

2022-05-26T18:49:26Z

LektorNilsen:

S2 2021 høst LØSNING

2022-05-24T18:05:11Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3873 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53574&p=245291 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4235 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R1 2020 vår LØSNING

2022-03-09T13:06:32Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3063 oppgave]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=51506 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=51506&start=45#p238234 Løsningsforslag til del 1 av Kristian Saug]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=51506&start=45#p238262 Løsningsforslag del 2 av Kristian Saug]

[https://udl.no/p/r1-matematikk/r1-eksamen-var-2020 Video-løsninger av UDL.no]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3119 Løsningsforslag av Svein Arneson]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4014 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://www.youtube.com/watch?v=RR3pE4upTOQ&list=PLplkS_rtcCHWcQGvwbL3hrC7W4DCMx1i4 Videoløsninger til del 1 laget av Lektor Håkon Raustøl]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHVthlz3_Jv43ChBpZzzkD8l Videoløsninger til del 2 laget av Lektor Håkon Raustøl]

[https://youtu.be/9LfU3Msvhu0 Løsningsforslag del 1 video av Lektor Lainz]

[https://youtu.be/6mojzWU2tZ4 Løsningsforslag del 2 video av Lektor Lainz]

==Oppgave 1==

===a)===

$f(x)=x^6 + 3x^5 + ln(x) \\ f'(x)= 6x^5+15x^4 + \frac{1}{x}$

===b)===

$g(x)=2x^2 \cdot e^{2x-1}\\ g'(x) = 4x \cdot e^{2x-1} + 2x^2 \cdot 2 \cdot e^{2x-1} = (1+x)4x \cdot e^{2x-1}$

===c)===

$h(x) = \frac{4x-1}{x+2} \\ h'(x) = \frac{4(x+2) - (4x-1)}{(x+2)^2} = \frac{9}{(x+2)^2}$

==Oppgave 2==

===a)===

$ln(x^2) + ln(x) = 12 \\ 2 ln(x) + ln(x) = 12 \\ 3 ln(x) = 12 \\ e^{ln(x)} = e^4 \\ x = e^4 $

===b)===

$e^{2x}-e^x =6 \\(e^x)^2 - e^x - 6 =0 \\ u = e^x \\ u^2-u-6=0 \\ u = 3 \vee u = -2 \\ e^x = 3 \vee e^x = -2 \\ x = ln(3)$

$e^x =-2$ har ingen løsning.

==Oppgave 3==

$\vec{u} \cdot \vec{v } =-2$ og $|\vec u | = 3$ og $ |\vec v | = 2$

$\vec a = 2 \vec u + 3 \vec v$ og $ \vec b = t \cdot \vec u + 5 \vec v$

===a)===

Dersom to vektorer er parallelle:

$ k \vec{a} = \vec{b} \\ k(2 \vec u + 3 \vec v) = t \cdot \vec u + 5 \vec v \\ 2k \vec u = t \cdot u \wedge 3k \cdot \vec v = 5 \vec v \\ t = 2k \wedge k = \frac 53 \\ t = \frac{10}{3}$

===b)===

Når to vektorer står normalt på hverandre er skalarproduktet null:

$ (2 \vec{ u} + 3 \vec {v})(t \cdot \vec u + 5 \vec v )= 0 \\ 2 \cdot t \cdot \vec {u^2} + 10 \cdot \vec{ u} \cdot \vec v + 3 \cdot t \cdot \vec u \cdot \vec v + 15 \vec{ v^2}$

Fra oppgaveteksten vet vi at: $\vec{u^2} = | \vec {u} | \cdot |\vec {u} | =9 \\ \vec{v^2} = | \vec{v} | \cdot | \vec{v}  | = 4 \\ \vec{u} \cdot \vec{v} = -2$

Setter inn og får:

$2 \cdot t \cdot 9 +10 \cdot (-2) + 3 \cdot t \cdot(-2) + 15 \cdot 4 =0 \\ 12t = -40 \\ t = - \frac{10}{3}$

==Oppgave 4==

===a)===

Dersom polynomet går opp i (x-1) må P(1) være lik null:

$P(1) = 6 \cdot 1^3-5 \cdot 1^2-2 \cdot 1 +1 = 6-5 -2+1=0$, altså går divisjonen P(x) : (x-1) opp.

===b)===

[[File: r1-v2020-1-4b.png ]]

Faktoriserer så $6x^2+x-1$:

$x= \frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{12} =\frac{-1 \pm 5}{12} \\ x = - \frac 12 \vee x= \frac 13 $

$6x^2+ x -1 = 6(x + \frac 12)(x - \frac 13) = (2x+1)(3x-1)$

Altså kan man skrive:

$P(x)= (x-1)(2x+1)(3x-1)$

===c)===

$F(x) = \frac{P(x)}{(x^2-1)} = \frac{(2x+1)(3x-1)}{(x+1)}$

Nå må vi huske at nevneren fører til at F(x) ikke er definert for x = -1 eller for x = 1.

Setter inn i et fortegnsskjema, for å drøfte fortegnet til F(x):

[[File: r1-v2020-2-1-4c2.png ]]

Vi får tre områder der F er større eller lik null:

$x \in < -1, - \frac 12] \cup [ \frac 13 , 1> \cup < 1, \rightarrow>$

===d)===

$P(x)= (x-1)(2x+1)(3x-1)$ og $F(x)= \frac{P(x)}{x^2-1} = \frac{(x-1)(2x+1)(3x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{(2x+1)(3x-1)}{(x+1)}$

$\lim\limits_{x \to 1} F(x) = \frac{(2 \cdot 1+1)(3 \cdot 1-1)}{(1+1)} = \frac 62 =3$

$\lim\limits_{x \to -1} F(x) = \frac{(2 \cdot -1+1)(3 \cdot -1-1)}{(-1+1)} = $

Når x går mot -1 går telleren mot 4 og nevneren mot 0. Grensen eksisterer ikke.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi velger 3 av 8 bøker. Rekkefølgen vi trekker i har ikke betydning. Hvor mange kombinasjoner finnes? :

$3C8 = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac {8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$

Det er mulig å velge 56 kombinasjoner av bøker.

===b)===

Dette er en hypergeometrisk situasjon. Vi trekker 4 og 3 skal være riktige:

$\frac{\binom{3}{3} \binom{5}{1}}{ \binom{8}{4}} = \frac{1 \cdot 5 }{70} = \frac {1}{14} $

===c)===

Det "motsatte" av minst to er null og en; dersom drikke får minst to, får du enten null eller en.

Vi finner P (minst to bøker) = 1 - ( P( null bøker) + P( en bok) )

På matematikkspråk er dette sannsynligheten av komplementære hendelser, og ikke "motsatte" som vi skrev over.

$P(x=0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{5}{4}}{ \binom{8}{4}} = \frac{1 \cdot 5 }{70} = \frac {1}{14} $

$P(x=1) = \frac{\binom{3}{1} \binom{5}{3}}{ \binom{8}{4}} = \frac{1 \cdot 5 }{70} = \frac {3}{7} $

Vi får da P( minst to riktige bøker) = $1- \frac {1}{14} - \frac 37 = 0,5$ , altså 50 % sjanse for minst to riktige.

Vi kunne også ha regnet ut sannsynligheten for to riktige og lagt det til sannsynligheten for tre, som vi regnet ut i b, kanskje litt tidsbesparende.

==Oppgave 6==

===a)===

AB har lengden 6 og DC har lengden 2x. Høyden er f(x):

$F(x) = \frac{6+2x}{2} \cdot (9-x^2) = -x^3 - 3x^2 +9x+ 27$

===b)===

$F'(x) = -3x^2-6x+9$

$F'(x) = 0 $ gir x= -3 eller x = 1.

Av uttrykket for den deriverte ser man at den deriverte går fra positv til negativ i nullpunktet x = 1 ( parabelen vender sin hule side ned.)

$F(1)= -1-3 + 9 + 27 = 32$

Størst areal er 32, når x = 1.

==Oppgave 7==

Vinkel D er 65 grader, da er vinkel w = 130 grader. (periferi / sentral vinkel) Av samme grunn er u = 65 grader. I trekanten BCE er vinkelen i E (180-35-65) grader = 80 grader. Det gjør at vinkel v = 100 grader.

==Oppgave 8==

===a)===

Linjen l har parameterfremstilling:

$ l: \left\{ \begin{array}{rcl} x=t \\ y=2t+1 \end{array}\right. $

For en vilkårlig t verdi er D (t, 2t + 1)

$\vec{AD} = [ t - (-1), (2t+1) - 1 ] = [ t+1 , 2t]$, som skulle vises.

===b)===

$\vec{AD} = [t+1, 2t ]$ og $\vec {CD} = [t-7, 2t - 4]$

Lengden av AD og CD vektor skal være like.

$|\vec{AD}|^2 = |\vec{CD}|^2 \\ (t+1)^2+ 4t^2 = (t-7)^2 + (2t-4)^2 \\ t^2+2t+1+4t^2 = t^2-14t+49+4t^2-16t+16 \\32t =64 \\ t=2 $

Som innsatt gir D (2, 5)

Koordinatene til punkt B:

$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OA} - \vec {CD} = [-1, 1] - [-5, 0] = [4, 1]$

Punktet B har koordinatene (4, 1).

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

Situasjonen er i utgangspunktet hypergeometrisk.

For å kunne regne binomisk:

Tellingen av en bil skal ikke påvirke den neste. Dersom hun teller bilene i en "elbil kortesje" blir det feil. Hun må anta at populasjonen av biler er stor i forhold til de 100 hun teller, slik at det ikke endrer sannsynligheten (man kan tenke at å telle en bil er det samme som å trekke ut, uten tilbakelegging. Dersom populasjonen er stor i forhold til utvalget vil ikke sannsynligheten påvirkes i nevneverdig grad.)

===b)===

[[ File:r1-v2020-2-1b1.png]]

[[ File:r1-v2020-2-1b2.png]]

===c)===
[[ File:r1-v2020-2-1c.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[ File:r1-v2020-2-2a.png]]

Begge linjene har stigningstall 5, altså er de parallelle.

===b)===

[[File: r1-v2020-2-2b.png ]]

Som skulle vises.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File: r1-v2020-2-3a.png ]]

===b)===

Vi finner fartsvektorene ved å derivere posisjonsvektorene:

$\vec{v_1 (t)} = (\vec{r_1(t)})' = [2t,3t^2-2 ] \\ \vec{v_2 (t)} = (\vec{r_2(t)})' = [2,4-8t ]$

Banefarten til partikkel 1 blir da: $ | \vec{v_1(-1) }| = \sqrt{4 +1} = \sqrt 5$

Banefart partikkel 2: $ | \vec{v_2(-1) }| = \sqrt{4 +144} = \sqrt{148} = 2 \sqrt{37}$

Banefarten er henholdsvis ca. 2,2 m/s og ca. 12,2 m/s når t = - 1.

===c)===

Dersom begge partiklene skal ha samme fartsrettning må forholdet mellom fartskomponentene i x retning og y- retning være den samme:

[[File: R1-v2020-2-3c.png  ]]

Fartsretningen er den samme ved t = - 0,28 sek og ved t = 0,65 sek.

===d)===

[[File: R1-v2020-2-3d1.png  ]]

[[File: R1-v2020-2-3d2.png  ]]

==Oppgave 4==

===a)===

Trekanten ABC er formlik med ADC og med BCD, fordi alle tre har en vinkel på 90 grader, og en annen vinkel felles. Alle vinklene ti trekantene er derved like.

Trekantene AEB, CBF og ACG er speilinger av de før nevnte, altså har de samme form - formlike. Når man speiler endres ikke vinkler i trekantene, eller lengder, man kan tenke seg at man forandrer betraktningspunjtet, altså fra hvor man ser objektet.

===b)===

Siden de omtalte trekantene er formlike vil forholdet mellom samsvarende sider være konstant, k.

===c)===

Dersom vi bretter inn "flikene" F, G og E i trekanten ABC, ser vi at trekantene BCF og ACG akkurat dekker trekanten ABC, arealene er like store. Det samme gjør trekanten ABE.

Da får man:

$A_{\triangle BCF} + A_{\triangle ACG} = A_{\triangle ABE} \\ $

R2 2021 høst LØSNING

2022-02-08T13:36:02Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3874 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53579 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3987 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

S2 2021 høst LØSNING

2021-12-15T21:29:09Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3873 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53574&p=245291 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3952 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R2 2021 vår LØSNING

2021-12-13T10:30:18Z

LektorNilsen:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3647 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53269 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3948 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHUoPX076gt5FKfu2MHLN-d1 Videoløsning del 1 laget av Lektor Raustøl]

1P 2021 høst LK20 LØSNING

2021-12-10T08:23:46Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3900 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas (nedlastbart dokument)]

== DEL EN==

==Oppgave 1==

Det betyr at 5 elever utgjør 20%, Da er 25 elever 100%.

==Oppgave 2==

Grunnlaget man regner prosenten fra forandrer seg hvert år. Du kan sette opp stykket slik:

$x \cdot 0,90^3 = 400 000 $

$x = 400 000 \cdot 0,90^{-3} $

==Oppgave 3==

===a)===

$T = 9t + 7$

$52 = 9 t + 7$

$9t = 45$

$t = 5$

Det tar ca. fem timer.

===b)===

7 er starttemperaturen ved tiden t = 0. 9 er antall grader temperaturen stiger med hver time.

==Oppgave 4==

Han bruker 9 minutter på første delen og 12 minutter på siste halvdel, totalt 21 minutter:

$\frac{12}{80} timer \cdot 60 + \frac {12}{60} timer \cdot 60 = 9 + 12 $ minutter

==Oppgave 5 ==

===a)===
f(x) vi ser at grafen krysser y aksen i 3 og at stigningstallet er -2 (to til høyre og fire ned). Det gir f(x) = -2x + 3

g(x) = 1/2 x - 2 ( stigningstall: to til høyre og en opp (delta y delt på delta x)

===b)===

Høyden i trekanten er 1. Grunnlinjen er : g(x)=0 gir x = 4, og f(x)= 0 gir x = 1,5. Grunnlinjen G= 4 - 1,5 = 2,5. Arealet blir halvparten av G*h som er 1,25.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:241121-01.png]]

Tegner grafen til funksjonen S i Geogebra. Lager linja y=5000 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til S. Ser at butikken kan selge mer enn 5000 par ski fra uke 5.6 til uke 23.7 (litt over 18 uker), og fra uke 50 til 52 (2 uker). Det vil si at butikken kan selge mer enn 5000 par ski i ca. 20 uker, ifølge modellen.

===b)===

[[File: 241121-02.png]]

Stigningstallet er 594, det betyr at i årets første 12 uker øker skisalget i gjennomsnitt med ca. 600 par i uken.

==Oppgave 2==

===a)===

Energiinnhold i 100 gram kokt egg:

Energi fra fett + energi fra protein + energi fra karbohydrater = $(9 \cdot 10,2 + 4 \cdot 12,4 + 4 \cdot 0,3) kcal = 142,6 kcal$

===b)===

Gram spiselig: $125g \cdot 0,88 = 110g $

Energi: $1,1 \cdot 142,6 = 156 kcal $

Hvilket utgjør ca 5 % av dagsbehovet.

==Oppgave 3==

===a)===

Dersom en bestand bestående av 500 dyr dobler seg lineært på 10 år ser funksjonen slik ut: L(x) = 50 x + 500

===b)===

Dersom bestanden øker eksponentielt får vi:

[[File:271121-02.png]]

$E(x)= 500 \cdot 1,07^x$

===c)===

[[File: 271121-03.png ]]

===d)===

Grafen til f viser forskjellen i estimat mellom den lineære modellen og den eksponentielle, under de gitte forutsetninger. Den største forskjellen er på ca. 50 dyr, etter ca 6 år. Den praktiske tolkningen av y= 12 er ved hvilke tidspunkt den lineære modellen estimerer 12 dyr mer enn den eksponentielle. For x = 12 får vi en funksjonsverdi nær - 26. Det må tolkes som at den eksponentielle funksjonen nå har det høyeste estimatet, og etter 12 år viser den eksponentielle funksjonen ca. 26 dyr mer enn den lineære funksjonen.

Begge funksjonene, L og E skulle doble seg på 10 år. Fra figuren i c ser man at det tar nesten 11 år før E dobler seg. Det skyldes at jeg burde tatt med en desimal til i uttrykket for vekstfaktoren.

==Oppgave 4==

Påstand 1 er riktig: $pris per elev =\frac{totalutgift}{Antallelever}$

Påstand 2 er feil: $x$ og $x^2$ er eksempler på størrelser der dersom x øker så øker kvadratet av x også, men de er ikke propirsjonale.

Påstand 3 er riktig: $y = \frac kx$, om vi dobler x : $y = \frac {k}{2x}$, halveres y.

Påstand 4 er feil: Forholdet mellom areal og omkrets vil være: $\frac A O = \frac{\pi r^2}{s \pi r} = \frac {r}{2}$. Dette forholdet er ikke konstant, men varierer med r. Derfor ikke proporsjonalitet.

==Oppgave 5==

Saftblandingen består av 1 del sukker og ni deler ikke sukker. Dersom mengden sukker økes med 50% betyr det at vi har 1,5 del sukker og 9 deler ikke sukker. Det er totalt 10,5 deler. $\frac{1,5}{10,5} = 14,3$. Den nye blandingen vil inneholde i overkant av 14% sukker.

==Oppgave 6==

===a)===

Ett verdifall på 20 % gir en vekstfaktor på 0,8. Et videre fall på 14 % gir et totalt fall på $0,8 \cdot 0,86 = 0,688.$ 1 - 0.688 = 0,312 = 31%.

===b)===

[[File:291121-01.png]]

[[File:291121-02.png]]

===c)===

Se figur i b.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File: 271121-01.png]]

Finner funksjonsuttrykket ved regresjon i Geogebra. Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Ser at 20 etasjer krever 210 bokser, se punkt A.

===b)===

Skriver y=400 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Marius kan lage maksimalt 27 etasjer med 400 bokser, se punkt B i oppgave a). Til det trenger han 378 bokser, se punkt C i oppgave a).

===c)===

Bruker polynomregresjon av 3. grad:

[[File:021221-01.png]]

Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

20 etasjer krever 1540 bokser. Se figur.

===d)===

Skriver y=4000 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Det er 27 etasjer i det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser, se figuren i c.

==Oppgave 8==

===a)===

Tallene er organisert i et kvadrat med tall fra 1 til 100, ti bortover og ti nedover. Et tilfeldig valgt tall n som ikke ligger på randen av det store kvadratet vil ha naboen n+1 til høyre for seg, og n-1 til venstre. Rett ned ligger n + 10 og rett opp n-10.

differansen en opp og en til høyre blir 11 - 2 = 9 (blått kvadrat) eller 37 - 28 = 9 (rød kvadrat). Den andre diagonalen får verdi 11 og produktet av 11 og 9 er 99, samme for både blått og rødt kvadrat.

===b)===

Uansett valg av 2 x 2 kvadrat blir produktet 99. Årsaken er at det kvadratet du velger har tallene : [[File:241121-03.png]]
Differansen i diagonalen opp mot høyre vil være (n + 10) - (n + 1) = 10- 1 = 9 . Den andre diagonalen får differanse (n + 10 + 1) - n = 11

===c)===

Ett 3 x 3 kvadrat har alltid verdiene [[File:241121-04.png]] Produktet vil alltid være $18 \cdot 22$

1P 2021 høst LK20 LØSNING

2021-12-10T08:21:35Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3900 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

== DEL EN==

==Oppgave 1==

Det betyr at 5 elever utgjør 20%, Da er 25 elever 100%.

==Oppgave 2==

Grunnlaget man regner prosenten fra forandrer seg hvert år. Du kan sette opp stykket slik:

$x \cdot 0,90^3 = 400 000 $

$x = 400 000 \cdot 0,90^{-3} $

==Oppgave 3==

===a)===

$T = 9t + 7$

$52 = 9 t + 7$

$9t = 45$

$t = 5$

Det tar ca. fem timer.

===b)===

7 er starttemperaturen ved tiden t = 0. 9 er antall grader temperaturen stiger med hver time.

==Oppgave 4==

Han bruker 9 minutter på første delen og 12 minutter på siste halvdel, totalt 21 minutter:

$\frac{12}{80} timer \cdot 60 + \frac {12}{60} timer \cdot 60 = 9 + 12 $ minutter

==Oppgave 5 ==

===a)===
f(x) vi ser at grafen krysser y aksen i 3 og at stigningstallet er -2 (to til høyre og fire ned). Det gir f(x) = -2x + 3

g(x) = 1/2 x - 2 ( stigningstall: to til høyre og en opp (delta y delt på delta x)

===b)===

Høyden i trekanten er 1. Grunnlinjen er : g(x)=0 gir x = 4, og f(x)= 0 gir x = 1,5. Grunnlinjen G= 4 - 1,5 = 2,5. Arealet blir halvparten av G*h som er 1,25.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:241121-01.png]]

Tegner grafen til funksjonen S i Geogebra. Lager linja y=5000 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til S. Ser at butikken kan selge mer enn 5000 par ski fra uke 5.6 til uke 23.7 (litt over 18 uker), og fra uke 50 til 52 (2 uker). Det vil si at butikken kan selge mer enn 5000 par ski i ca. 20 uker, ifølge modellen.

===b)===

[[File: 241121-02.png]]

Stigningstallet er 594, det betyr at i årets første 12 uker øker skisalget i gjennomsnitt med ca. 600 par i uken.

==Oppgave 2==

===a)===

Energiinnhold i 100 gram kokt egg:

Energi fra fett + energi fra protein + energi fra karbohydrater = $(9 \cdot 10,2 + 4 \cdot 12,4 + 4 \cdot 0,3) kcal = 142,6 kcal$

===b)===

Gram spiselig: $125g \cdot 0,88 = 110g $

Energi: $1,1 \cdot 142,6 = 156 kcal $

Hvilket utgjør ca 5 % av dagsbehovet.

==Oppgave 3==

===a)===

Dersom en bestand bestående av 500 dyr dobler seg lineært på 10 år ser funksjonen slik ut: L(x) = 50 x + 500

===b)===

Dersom bestanden øker eksponentielt får vi:

[[File:271121-02.png]]

$E(x)= 500 \cdot 1,07^x$

===c)===

[[File: 271121-03.png ]]

===d)===

Grafen til f viser forskjellen i estimat mellom den lineære modellen og den eksponentielle, under de gitte forutsetninger. Den største forskjellen er på ca. 50 dyr, etter ca 6 år. Den praktiske tolkningen av y= 12 er ved hvilke tidspunkt den lineære modellen estimerer 12 dyr mer enn den eksponentielle. For x = 12 får vi en funksjonsverdi nær - 26. Det må tolkes som at den eksponentielle funksjonen nå har det høyeste estimatet, og etter 12 år viser den eksponentielle funksjonen ca. 26 dyr mer enn den lineære funksjonen.

Begge funksjonene, L og E skulle doble seg på 10 år. Fra figuren i c ser man at det tar nesten 11 år før E dobler seg. Det skyldes at jeg burde tatt med en desimal til i uttrykket for vekstfaktoren.

==Oppgave 4==

Påstand 1 er riktig: $pris per elev =\frac{totalutgift}{Antallelever}$

Påstand 2 er feil: $x$ og $x^2$ er eksempler på størrelser der dersom x øker så øker kvadratet av x også, men de er ikke propirsjonale.

Påstand 3 er riktig: $y = \frac kx$, om vi dobler x : $y = \frac {k}{2x}$, halveres y.

Påstand 4 er feil: Forholdet mellom areal og omkrets vil være: $\frac A O = \frac{\pi r^2}{s \pi r} = \frac {r}{2}$. Dette forholdet er ikke konstant, men varierer med r. Derfor ikke proporsjonalitet.

==Oppgave 5==

Saftblandingen består av 1 del sukker og ni deler ikke sukker. Dersom mengden sukker økes med 50% betyr det at vi har 1,5 del sukker og 9 deler ikke sukker. Det er totalt 10,5 deler. $\frac{1,5}{10,5} = 14,3$. Den nye blandingen vil inneholde i overkant av 14% sukker.

==Oppgave 6==

===a)===

Ett verdifall på 20 % gir en vekstfaktor på 0,8. Et videre fall på 14 % gir et totalt fall på $0,8 \cdot 0,86 = 0,688.$ 1 - 0.688 = 0,312 = 31%.

===b)===

[[File:291121-01.png]]

[[File:291121-02.png]]

===c)===

Se figur i b.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File: 271121-01.png]]

Finner funksjonsuttrykket ved regresjon i Geogebra. Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Ser at 20 etasjer krever 210 bokser, se punkt A.

===b)===

Skriver y=400 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Marius kan lage maksimalt 27 etasjer med 400 bokser, se punkt B i oppgave a). Til det trenger han 378 bokser, se punkt C i oppgave a).

===c)===

Bruker polynomregresjon av 3. grad:

[[File:021221-01.png]]

Lager linja x = 20 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

20 etasjer krever 1540 bokser. Se figur.

===d)===

Skriver y=4000 og bruker "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og polynomfunksjonen.

Det er 27 etasjer i det største tårnet Maria kan lage med 4000 bokser, se figuren i c.

==Oppgave 8==

===a)===

Tallene er organisert i et kvadrat med tall fra 1 til 100, ti bortover og ti nedover. Et tilfeldig valgt tall n som ikke ligger på randen av det store kvadratet vil ha naboen n+1 til høyre for seg, og n-1 til venstre. Rett ned ligger n + 10 og rett opp n-10.

differansen en opp og en til høyre blir 11 - 2 = 9 (blått kvadrat) eller 37 - 28 = 9 (rød kvadrat). Den andre diagonalen får verdi 11 og produktet av 11 og 9 er 99, samme for både blått og rødt kvadrat.

===b)===

Uansett valg av 2 x 2 kvadrat blir produktet 99. Årsaken er at det kvadratet du velger har tallene : [[File:241121-03.png]]
Differansen i diagonalen opp mot høyre vil være (n + 10) - (n + 1) = 10- 1 = 9 . Den andre diagonalen får differanse (n + 10 + 1) - n = 11

===c)===

Ett 3 x 3 kvadrat har alltid verdiene [[File:241121-04.png]] Produktet vil alltid være $18 \cdot 22$

R1 2021 høst LØSNING

2021-12-06T21:36:58Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3852 oppgave K06 som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53557&p=245175 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?p=245239#p245239 Løsning del 1 av LektorRaustøl]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?p=245235#p245235 Løsning del 2 av LektorRaustøl]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3926 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

2PY 2021 høst LØSNING

2021-12-05T20:38:26Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3902 oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53594 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3920 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

S2 2021 høst LØSNING

2021-12-04T20:36:57Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3873 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53574&p=245291 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3916 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

S1 2021 høst LØSNING

2021-12-03T09:00:29Z

LektorNilsen:

R2 2021 høst LØSNING

2021-11-30T12:55:34Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3874 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53579 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3909 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

2PY 2021 høst LØSNING

2021-11-28T14:15:19Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3902 oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53594 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3906 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R2 2021 høst LØSNING

2021-11-27T20:32:49Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3874 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53579 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3905 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R2 2021 høst LØSNING

2021-11-22T21:03:07Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3874 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53579 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3897 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

1T 2021 høst K06 LØSNING

2021-11-18T19:21:28Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53577 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3883 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

1T 2021 høst K06 LØSNING

2021-11-17T21:38:15Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53577 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3877 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

2PY 2021 vår LØSNING

2021-11-16T20:43:04Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3588 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53233 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3872 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R2 2020 høst LØSNING

2021-11-02T09:15:51Z

LektorNilsen:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3295 oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=52374 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=52374&start=15#p241718 Løsningsforslag til del 1 av Kristian Saug]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=52374#p241665 Løsningsforslag til del 2 av Kristian Saug]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3835 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://youtu.be/mg2Ikk9l_a4 Videoløsning del 1 laget av Lektor Lainz]

[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHVK2H8MUhpva0pd8oK2J9sl Videoløsninger Del 1 laget av Lektor Håkon Raustøl]

S2 2021 vår LØSNING

2021-06-01T06:45:36Z

LektorNilsen:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3649 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53268 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3680 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

S2 2021 vår LØSNING

2021-05-31T13:24:37Z

LektorNilsen:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3649 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53268 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3667 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

R2 2021 vår LØSNING

2021-05-30T19:32:54Z

LektorNilsen:

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3647 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53269 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://www.matematikk.net/matteprat/memberlist.php?mode=viewprofile&u=21844 Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorRaustøl]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3665 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

1T 2021 vår K06 LØSNING

2021-05-28T10:07:30Z

LektorNilsen:

26.05.2021 MAT1013 Matematikk 1T Kunnskapsløftet K06

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3646 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53270 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3661 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

1P 2021 vår K06 LØSNING

2021-05-27T07:56:19Z

LektorNilsen:

Eksamen 26.05.2021 MAT1011 Matematikk 1P. Kunnskapsløftet.

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3645 oppgaven som PDF]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53267 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3654 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

1P 2021 vår K06 LØSNING

2021-05-26T19:59:29Z

LektorNilsen:

Eksamen 26.05.2021 MAT1011 Matematikk 1P. Kunnskapsløftet.

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3645 oppgaven som PDF]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53267 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3653 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]