[https://youtu.be/IkSMlCd8RP4 Videoløsning del 1 av Reabel matematikk]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

Siden trekanten er likesidet, er alle vinklene like store. Hver vinkel er $180 : 3 = 60$ grader.

Jeg tegner inn høyden i trekanten, slik at jeg får en rettvinklet trekant, med hypotenus med lengde 2, og hosliggende katet til 60-gradersvinkelen med lengde 1 (se figur).

[[File: 1T_H23_del1_1.png]]

Jeg bruker definisjonen til cosinus av en vinkel i et rettvinklet trekant: cos v = hosliggende katet / hypotenus

Vi har at:

$cos \, 60^o = \frac{1}{2}$

==Oppgave 2==

Vi har $f(x)=x^3+2x^2-5x-6$

Siden f er en tredjegradsfunksjon, forventer jeg å finne opptil 3 nullpunkter. Jeg prøver meg frem med noen x-verdier, og finner at x = 2 er et nullpunkt, her vist ved regning:

$f(2)=2^3+2\cdot 2^2-5\cdot2-6=8+8-10-6=0$

Jeg utfører polynomdivisjonen f(x):(x-2) for å kunne finne de andre nullpunktene.

$\quad(x^3+2x^2-5x-6):(x-2)=x^2+4x+3$

$-(x^3-2x^2)$

$\quad \quad \quad 4x^2-5x-6$

$\quad\quad-(4x^2-8x)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad3x-6$

$\quad\quad\quad\quad\quad-(3x-6)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad0$

Jeg finner nullpunktene til andregradsuttrykket, ved å bruke abc-formelen:

$x^2+4x+3 = 0$

$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot 1}$

$x=\frac{-4\pm2}{2}$

$x_1=-3$ v $x_2=-1$

Nullpunktene til f(x) er x=-3, x=-1 og x=2, og det er i disse punktene grafen til funksjonen skjærer x-aksen.

==Oppgave 3==

$f(x)=x^3-3x^2-x+4$

For å finne likningen til tangenten i punktet $(1,f(1))$, vil jeg bruke ettpunktsformelen, $y-y_1=a(x-x_1)$

$x_1=1$, dette er x-koordinaten i punktet som er oppgitt.

Finner $y_1$:

$y_1=f(1)=1^3-3\cdot1^2-1+4=1$

For å finne a, må jeg finne f'(1).

$f'(x)=3x^2-6x-1$

$a=f'(1)=3-6-1=-4$

Setter inn i ettpunktsformelen:

$y-y_1=a(x-x_1)$

$y-1=-4(x-1)$

$y=-4x+5$

Likningen til tangenten til grafen til f i punktet $(1,f(1))$ er $y=-4x+5$.

==Oppgave 4==

Jeg bruker arealsetningen for å beregne arealet til de to trekantene.

Areal av trekanten til venstre:

$A_1=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot sin\,150^o=18 \cdot sin\,150^o$

Areal av trekanten til høyre:

$A_2=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot sin\,32^o=18 \cdot sin\,32^o$

Det som utgjør forskjellen i areal av de to trekantene, er sinusverdien til vinklene vi bruker i beregningen.

[[File: 1T_H23_del1_oppg4.png|400px]]

Jeg bruker enhetssirkelen, og ser at $sin\,32^o > sin\,150^o$. Derfor har trekanten til høyre størst areal.

==Oppgave 5==

===a)===

$f(x)=\frac{2x-8}{x+2}$

Funksjonen f har lineær teller og nevner, og vil derfor ha en vannrett og en loddrett asymptote. Figur A, B eller C kan passe.

Loddrett (vertikal) asymptote er i den x-verdien som gir null i nevner:

$x+2 = 0\Rightarrow x=-2$

Vannrett (horisontal) asymptote:

\[ y = \lim_{x\to \infty} \frac{2x-8}{x+2} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2x}{x}-\frac{8}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}} = \frac{2-0}{1+0} = 2 \]

Figur C er den eneste figuren med loddrett asymptote på negativ side av x-aksen, og vannrett asymptote på positiv side av y-aksen.

===b)===

$g(x)=\frac{x^2-4}{(x-3)(x+3)}$

Funksjonen g har to loddrette (vertikale) asymptoter, fordi det er to x-verdier som gir null i nevner, nemlig x = -3 og x = 3. De to asymptotene må være symmetriske om y-aksen.

Funksjonen g har to nullpunkter, nemlig x = -2 og x = 2 (som gir null i teller, og derfor hele funksjonsverdien lik null). Disse er like langt fra origo i hver sin retning på x-aksen.

Figur F er den eneste figuren med to loddrette asymptoter som er symmetriske om y-aksen, og to nullpunkter som også er symmetriske om y-aksen.

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Metode 1: finne ekstremalpunktene ved å finne x-verdiene hvor den deriverte er lik 0. Det er kun én verdi innenfor definisjonsområdet. Sjekker om dette er et toppunkt, ved å sjekke at funksjonen vokser like før ekstremalpunktet, og synker like etter ekstremalpunktet.

[[File: 1T_H23_del2_1.png | 400px]]

Metode 2: Grafisk, ved å tegne grafen til F, og finne ekstremalpunktene. Det er da synlig at det er ett toppunkt i definisjonsområdet.

[[File: 1T_H23_del2_2.png]]

Høyeste folketall: 22.5 år etter 1960, altså i 1982.

===b)===

Tegner punktene A=(30,F(30)) og B=(70,F(70)) i Geogebra, tegner linjen som går gjennom punktene, og finner stigningen til linjen.

[[File: 1T_H23_del2_3.png]]

Stigningstallet er -0,147 tusen mennesker/år, som vil si at mellom 1990 og 2030, avtar folketallet gjennomsnittlig med 147 mennesker per år.

===c)===

Tegner grafen til F’(x), og finner bunnpunktet til denne (se punkt C).

[[File: 1T_H23_del2_4.png]]

Vi ser at F’ har lavest verdi for x=71.6, det vil si at folketallet avtar raskest i 2031.

==Oppgave 2==

1. Bruker cosinussetningen for å finne vinkel C.

2. Bruker arealsetningen for å finne arealet til trekant BCD.

3. Bruker sinussetningen for å finne lengden AB. Vinkel BDA er 180-125-35=20 grader.

4. Bruker arealsetningen for å finne arealet til trekan ABD.

5. Legger sammen arealet til trekantene, og finner arealet til ABCD.

[[File: 1T_H23_del2_5.png | 300 px]]

==Oppgave 3==

===a)===

Bruker Excel til å finne lengden på de 8 første linjestykkene, og summerer deretter lengden på disse linjestykkene.

[[File: 1T_H23_del2_6.png|350px]]

Summen av lengden av de 8 første linjestykkene er 569,5 cm.

===b)===

Jeg viser her programmering i Python, hvor jeg kan angi antall linjestykker selv:

[[File: 1T_H23_del2_7.png]]

For å finne hvor mange linjestykker figuren må ha, for at summen av lengdene skal være minst 9 meter (900 cm), kan jeg prøve meg frem med antall linjestykker i programmet. Jeg finner at 22 linjestykker gir en sum på over 900 cm.

[[File: 1T_H23_del2_7b.png]]

En bedre metode, hvor jeg ikke må prøve meg frem, er å bruke en while-løkke i stedet:

[[File: 1T_H23_del2_7c.png]]

===c)===

Bruker det første programmet mitt til å regne ut summen av lengdene til henholdsvis 50 og 100 linjestykker.

[[File: 1T_H23_del2_8.png]]

[[File: 1T_H23_del2_8b.png]]

Regner ut hvor mange prosent forskjell det er for summen av lengdene:

$\frac{999,97 – 994,85}{994,85} \cdot 100 \% = 0,51 \% $

Det er ca. 0,51 % økning i summen av lengdene, dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100.

==Oppgave 4==

===a)===

Utfører en regresjonsanalyse i Geogebra, og velger en eksponentiell modell, fordi den passer til punktene, og er typisk for en avtagende prosentvis vekst.

[[File: 1T_H23_del2_9.png]]

Modellen $F(x)=66360\cdot0.9714^x$

hvor x er antall år etter 1950, kan brukes til å si noe om antall personer som har hatt fiske som hovedyrke i perioden 1952-2022.

===b)===

Bruker "symbolsk utregning" i Geogebra (se oppgave a), hvor x= 100 gir en funksjonsverdi på ca. 3658 fiskere. Ifølge modellen vil det være ca. 3658 fiskere i 2050. Jeg antar at dette kan være et korrekt anslag, men vi kan ikke si det sikkert. Jeg vet lite om utviklingen av antall fiskere i Norge fremover, og det er mange faktorer som kan påvirke fremtidige yrkesvalg.

Modellens gyldighetsområde kan være for eksempel fra x = 0 til x = 100 (frem til 2050). Vi har bare målepunkter frem til 2022, men modellen kan muligens forutsi antall fiskere frem til 2050.

==Oppgave 5==

===a)===

Bruker CAS i Geogebra. Finner f(1) og g(1), og differansen mellom disse to funksjonsverdiene.

[[File: 1T_H23_del2_10.png|250px]]

Avstanden fra P til Q er 6.

===b)===

Lager en egen funksjon d(x) for differansen mellom f og g. Finner deretter ekstremalpunktene til d. Vi husker at a må være et tall mellom 1 og 3. Jeg sjekker grafisk at punktet jeg finner innenfor dette definisjonsområdet, er et toppunkt til d(x) (ikke vist her).

[[File: 1T_H23_del2_11.png|450px]]

Verdien til a som gir den største avstanden mellom R og S er $\frac{\sqrt{19}+1}{3}$

==Oppgave 6==

Bruker CAS i Geogebra.
1. Definerer funksjonen
2. Legger inn opplysning om toppunkt i (-8,0) – da er den deriverte lik 0 når x=-8
3. Legger inn opplysning om punktet (-8,0) – da er funksjonsverdien lik 0 når x=-8
4. Legger inn opplysning om gjennomsnittlig vekstfart – bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart.
5. løser de tre foregående likningene.

[[File: 1T_H23_del2_12.png|300px]]

a, b og c har verdiene som vist i linje 5.

==Oppgave 7==

===a)===

Bruker CAS:

[[File: 1T_H23_del2_13.png|200px]]

Arealet av rektangelet regnes ut ved A=lengde*bredde. Lengden er 5, og bredden er f(5).

Arealet av rektangelet er 8/9.

===b)===

Bruker Excel:

[[File: 1T_H23_del2_14.png|700px]]

Det største arealet er når n=4 og n=5.

===c)===

Bruker CAS:

[[File: 1T_H23_del2_15.png|300px]]

1. definerer funksjonen f(x)
2. definerer en funksjon for arealet av rektangelet, som en funksjon av k
3. finner toppunktet til funksjonen for arealet av rektangelet, altså hvilken k som gir størst areal. Jeg sjekker grafisk at den positive verdien av k gir et toppunkt på A(k). (ikke vist her).

k=4,472 gir størst areal av rektangelet.

Lainz:

Eksamen 26.05.2021 MAT1011 Matematikk 1P. Kunnskapsløftet.

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3645 oppgaven som PDF]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53267 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3654 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://youtu.be/F6VkRdfnjQ8 Videoløsning del 1 av lektor lainz]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

Bruker Pytagoras og finner at avstanden AB er : $AB = \sqrt{300^2+400^2} = 500$ meter.

===b)===

$\frac{700-500}{500} = \frac 25 = 40$%. Sykkelturen er 40% lengre.

===c)===

Målestokk:

$\frac{4,0 cm}{0,8km} = \frac{4}{80000}= \frac{1}{20000}$

Målestokken er 1:20 000 som betyr at 1cm på kartet er 20 000 cm i virkeligheten, altså tilsvarer 1 cm på kartet 200 meter i virkeligheten.

===Oppgave 2===

$\frac{x}{80} = \frac{1200}{100}$

$ x = 12 \cdot 80 = 960$

Varen koster 960 kr, om den følger indeksen.

===Oppgave 3===

===a)===

Det koster 12 000 kroner.

Vi ser at to personer må betale 6000 kroner hver, eller at 4 personer betaler 3000 hver, osv.

===b)===

$x \cdot y = k$

Produktet av to omvendt proporsjonale størrelser er konstant. Nå x blir større, blir y mindre og motsatt. I dette eksempelet er k= 12 000 kr. I praksis betyr det at det blir billigere for den enkelte jo flere som er med på hytteturen.

===c)===

$y = \frac{12000}{x}$ Der y er prisen den enkelte betaler, og x er antall betalende personer.

===Oppgave 4===

Volum av boks: $V \approx 3 \cdot 25 \cdot 10 = 750$

Volumet av boksen er ca. 7,5 dl

Volumet av kaffe: $\frac{250}{35} = \frac{50}{7} = 7 + \frac 17$dl

Siden en syvendedel er mindre enn 0,5 får kaffen plass i boksen.

===Oppgave 5===

===a)===

I dette tilfelle er $x = \frac{40km/t}{10} = 4 $

Bremselengde ved 40 km/t =$ \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 $ m.

===b)===

Når farten øker til 80 km/t blir x = 8

Bruker samme formel og får $ \frac{8^2}{2} = \frac {64}{2} = 32$ som er fire ganger mere enn 8.

===c)===

På sommerføre ville en bil med fart 60 km/t hatt en bremselengde på 18 meter.

$\frac{72-18}{18} = \frac{54}{18} = 3$

Økningen i bremselengde er på 300%

===Oppgave 6===

===a)===

{| width="auto"
|
|Fornøyd
|Ikke Fornøyd
|Sum
|-
|VG 1
| $48$
| $72$
| $120$
|-
|VG 3
|$90$
|$60$
|$150$
|-
|Sum
|$138$
|$132$
|$270$
|}

===b)===

Tilfeldig elev fornøyd. $P(F) = \frac{130}{270} =0,5$

===c)===

VG 3 gitt fornøyd: $P(vg3 | fornøyd) = \frac{90}{138} \approx 0,65$, eller 65%.

===Oppgave 7===

===a)===

Vi sette x verdiene inn i uttrykket for K og får følgende tabell:

[[File:221021-02.png]]

===b)===

[[File:221021-01.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at man må produsere 51 eller flere enheter før man får et overskudd.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:221021-03.png ]]

===b)===

[[File:221021-04.png]]

Stigningstallet er 194,5. Det betyr at antall cruiseturister i perioden 2010-2019 økte i gjennomsnitt med ca. 194 500 per år.

===c)===

[[File:221021-05.png]]

Nedgangen var på nesten 97%.

===Oppgave 2===

===a)===

Når noe endrer seg lineært kan det skrives på formen y = ax + b.

Vi ser at på 5 år har innbyggertallet økt med 200. Det er en økning i snitt på 40 per år. Dersom vi lar x symboliserer år etter 2015 får vi

f(x) = 40x + 4600

Det som står under flekken er altså 40x.

===b)===

$f(15) = 40 \cdot 15 + 4600 = 5200$

Dersom modellen er god vil det være ca. 5200 innbyggere i bydelen i 2030.

===Oppgave 3===

Dersom han trekker uten tilbakelegging:

P(to av samme farge:) = P(to hvite) + P( to røde) =$\frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} + \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{24}{48} =0,5 $ = 50%

Vel dersom det er 50% sannsynlig at man trekker to drops med lik farge, må resten av mulighetene være ulik farge, altså 50% for det også.

Trekning med tilbakeligging:

P(to av samme farge:) = P(to hvite) + P( to røde) =$\frac{6}{16} \cdot \frac{6}{16} + \frac{10}{16} \cdot \frac{10}{16} = \frac{36+100}{256} =0,53 $ = 53%

Med tilbakelegging er ikke sannsynligheten for to like farger den samme som for to ulike farger. Detter er en svakhet med oppgaven og trekningsmetode burde vært presisert.

===Oppgave 4===

===a)===
En tomme = 2,54 cm

En lengde på 12,2 cm er da $\frac{12,2}{2,54} = 4,8$

Diagonalen er 4,8 tommer.

===b)===

Dersom forholdet er 16:9 mellom høyde og bredde, finner vi diagonalen ved Pytagoras, den blir 18,4 når forholdet mellom sidene er 16:9.

Vi vet at diagonalen er 12,2 cm og kan sette opp følgende forhold for å finne bredde og høyde:

$\frac{12,2}{18,4} = \frac{bredde}{9} \Rightarrow Bredde = 6 cm $

For å finne mobilens høyde bruker vi samme tankegang;

$\frac{12,2}{18,4} = \frac{høyde}{16} \Rightarrow Høyde = 10,6 cm $

===c)===
$\frac{(6,1)^2}{(4,8)^2} = \frac{37,21}{23,04}= 1,615$

Den nye telefonen har et areale som er 61,5% større enn den hun har nå.

===Oppgave 5===

===a)===

Rullen har form som en sylinder med radius 10 cm og høyde 80 cm. Vi må huske å trekke fra fra "sylinderen" som dannes av hullet i midten.
$V = \pi r^2h $ som gir oss:
$V_{papir} = \pi \cdot 10^2 \cdot 80 - \pi \cdot 0,7^2 \cdot 80 = 80 \pi(100 - 0,49) = 25,010 $. Vi har regnet i cm hele veien så $25010 cm^3 = 25,01dm^3$

===b)===

Når vi ruller ut papiret tenker vi at det har form som et prisme (boks) med en veldig liten høyde som tilsvarer tykkelsen på papiret.

$V = l \cdot b \cdot h \Rightarrow h = \frac{V}{l \cdot b} = \frac{25dm^3}{2500dm \cdot 8 dm} =0,00125 $ dm, som er 0,125 mm tykt.

===c)===

Papiret på rullen har en flate på $A = l \cdot b = 250 m \cdot 0,8 m = 200 m^2$

Da blir massen av papir $200m^2 \cdot 60 g/m^2 = 12000g = 12 kg$

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:231021-02.png]]

Indeksen var 110,6 i 2019.

===b)===

[[File:231021-01.png]]

Den vil tidligst passere 12 000 kr. i august 2025.

==Oppgave 7==

===a)===

Man kan totalt sette inn 300 000 kr, og maksimum 25 000 kroner per år. Dersom hun setter inn 25 000 kroner årlig blir det 12 år. Det betyr at hun må senest starte når hun er 22 år gammel, i 2024.

===b)===
Det største skattefradraget man kan få er 20% av 300 000 kr, altså 60 000 kroner fordelt over minimum 12 år.

===c)===

[[File:231021-04.png]]

[[File:231021-05.png]]

2021-10-08T07:09:39Z

Lainz:

26.05.2021 MAT1013 Matematikk 1T Kunnskapsløftet K06

[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3646 Oppgaven som pdf]

[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=53270 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3661 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]

[https://www.youtube.com/watch?v=F6VkRdfnjQ8&ab_channel=Lainz Videoløsningsforslag del 1 av Lektor Lainz]

===DEL EN===

===Oppgave 1===

$ \left[ \begin{align*} 2x - y =4 \\ x - 2y = 5 \end{align*}\right] $

$ \left[ \begin{align*} 2x - y =4 \\ x = 2y +5 \end{align*}\right]$

$ \left[ \begin{align*} 2(2y +5) - y =4 \\ x = 2y + 5 \end{align*}\right]$

$ \left[ \begin{align*} 3y = - 6 \\ x = 2y + 5 \end{align*}\right]$

$\left[ \begin{align*} y = -2 \\ x =1 \end{align*}\right] $

===Oppgave 2===

Sin(60)

$ (\frac{3}{4})^{-1}= \frac 43$

$Sin(160^{\circ})= sin(20^{\circ})$

lg(1) = 0

Sinus avleses på y aksen i enhetssirkelen og er positiv i første og andre kvadrant. Sin(60) > Sin(20).

Vi får i stigende rekkefølge

lg (1) , $sin (160^{\circ})$ , $sin ( 60^{\circ})$ , $( \frac{3}{4})^{-1}$

===Oppgave 3===

$\frac{x}{x-3} + \frac{x-6}{x+3} - \frac{18}{x^2-9} = \frac{x(x+3) +(x-6)(x-3)- 18}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2+3x+x^2-9x+18-18}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2-6x}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x}{x+3}$

===Oppgave 4===

$f(x) = (x+4)(x-2) = x^2+2x-8$

En ulikhet som har løsningsmengde $x \in [-4,2] $ er: $f(x) \leq 0$

===Oppgave 5===

Grafen er symmetrisk om y aksen og er -2 når x= 0:

$f(x) = ax^2 - 2$

f(2)= 2 betyr at a = 1. Altså er funksjonsuttrykket $f(x)= x^2-2$

=== Oppgave 6===

$f(x)=-2x+9$

g er parallell med f, dvs den har stigningstall -2.

g(x) = -2x +b

g går gjennom punktet (20, -72):

$-72= -2 \cdot 20 +b\\b = - 32$

g(x) = -2x - 32

=== Oppgave 7 ===

$3^{-2} \frac{a^{\frac 14} \cdot \sqrt{a^3}}{(a^{\frac 34})^3 \cdot a^0} =\frac 19 \cdot a^{ \frac 14 + \frac 32 -\frac 94 - 0} = \frac 19 a^{ - \frac 12}$

===Oppgave 8 ===

===a)===

$3^{2x+2} = 81 \\3^{2x+2} = 9^2 \\ 3^{2x+2}= 3^4 \\ 2x+2 =4 \\ x=1$

==b)==

$lg( \frac{1}{2x+2}) = -2 \\ 10^{lg( \frac{1}{2x+2})} = 10^{-2} \\ \frac{1}{2x+2} = \frac{1}{100} \\ 2x+2 = 100 \\ x = 49$

===Oppgave 9 ===
===a)===

{| width="auto"
|
|Fornøyd
|Ikke Fornøyd
|Sum
|-
|VG 1
| $48$
| $72$
| $120$
|-
|VG 3
|$90$
|$60$
|$150$
|-
|Sum
|$138$
|$132$
|$270$
|}
===b)===

Tilfeldig elev fornøyd. $P(F) = \frac{138}{270} =0,5$

===Oppgave 10===

Bruker arealsetningen: $A = \frac 12 ab \cdot sin(v)$

$15 = \frac 12 \cdot 5 \cdot 15 \cdot sin(v) \\ 30 = 60 \cdot sin(v) \\ sin(v) = \frac 12 \\ v= 30^{\circ}$

===Oppgave 11===

Posen er 1 kg. Vekt sjokolade = x. Vekt marsipan = y.

$x + y = 1$

Det koster 116 kroner å lage en pose ( 166 kr gir 50 kroner i forteneste.:

$100 x + 140 y = 116\\ 100x+ 140( 1 - x) = 116 \\ - 40x = - 24 \\ x = 0,6$

Det er 600 gram marsipan, og 400 gram sjokolade i posen.

===Oppgave 12===

Setter sidekanten i kvadratene lik 1.

Finner cos(v) ved å bruke Pytagoras og definisjon av cosinus: $cos(v) = \frac{3}{\sqrt{10}}$

Finner cos(u) ved å bruke cosinussetningen og Pytagoras:

$a^2 = b^2+c^2-2bc \cdot cos(A) \\ cos(u) = \frac{1-(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{8})^2}{ - 2 \cdot \sqrt{5} \sqrt{8}} = \frac{1-5-8}{-4 \sqrt{5} \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

===Oppgave 13===

Momentan vekst i (3, f(3))

$f(x) =x^3-2x^2 - 4x + 8 \\ f'(x) = 3x^2 -4x-4 \\ f'(3) = 27 - 12-4 =11$

Gjennomsnittlig vekst i [-3, 0]: $\frac{f(0) - f(-3)}{3} = \frac{8 - (-27 -18+ 12+8)}{3} = \frac{33}{3} = 11$

===Oppgave 14===

$f(x) = x^2 + 21$

Høyden i rektangelet er f(x). Bredden av rektangelet er (12 - x).

Arealet av rektangelet er $A(x) = f(x)(12-x) = (x^2+21)(12-x) = 12x^2-x^3 +252 - 21x = -x^3+12x^2-21x+252$

Deriverer:

$(A(x))' = -3x^2+24x-21$

Finner den x verdi hvor A er størst, ved å sette den deriverte lik null:
$-3x^2+24x-21 = 0 \\ -3(x^2-8x+7) = 0 \\ -3x(x-1)(x-7)=0 \\ x=1 \vee x=7$

Den deriverte vender sin hule side ned, maksimumspunktet vil derfor være for x=7.

$A(7) = -(7^3)+ 12 \cdot 7^2 -21 \cdot 7 +252 = 350$

===DEL TO===