Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

2P 2017 høst LØSNING

2018-09-05T18:54:54Z

KristofferUlv: /* c) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1800 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1814 Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorNilsen]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46524#p218927 Fasit laget av mattepratbruker Zain Mushtaq]

Dersom du har en fasit eller et løsningsforslag som du ønsker å dele, så kan du sende det til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut her.

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

Det var 15 elever som fikk en eller to, av totalt 60 elever. Det utgjør:

$\frac{15}{60} \cdot 100$% = 25%

===b)===

Medianelevene er elev nr. 30 og 31. Begge disse ligger i gruppen som fikk karakter 3, derfor er median = 3.

===c)===

Multipliserer respektive karakterer med tilsvarende antall elever, summerer og deler på 60:

$\frac{3+24+75+48+30+12}{60} = \frac{192}{60} = 3,2$

===Oppgave 2===

$3,54 \cdot 10^6 + 60000 = \\ 3540000 + 60000 = \\ 3600000 = 3,6 \cdot 10^6$

===Oppgave 3===

===a)===

Toget drar fra A 13:40 og kommer til B 14:50, altså tar turen 1 time og 10 minutter.

===b)===

Toget stopper i 10 minutter.

===c)===

Fra A til stopp: Toget beveger seg 20 km på 20 minutter. Det vil si 60km på 60 minutter, altså en fart på 60 km/h.

Fra stopp til B: Toget beveger seg 60 km på 40 minutter. Det vil si 90 km på 60 minutter, altså en fart på 90 km/h (på 20 min er forflyttningen 30 km, det gjør det lettere).

===Oppgave 4===

En sirkel er $ 360^{\circ} $. Det er totalt 240 medlemmer.

Gradetall langrenn: $ \frac{60}{240} \cdot 360^{\circ} = 90^{\circ} $

Gradetall hopp: $ \frac{40}{240} \cdot 360^{\circ} = 60^{\circ} $

Gradetall freestyle: $ \frac{80}{240} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ} $

Gradetall alpint er som langrenn.

[[File:2p-h17-1-4.png]]

Siden dette er del 1, trenger du ikke prosentandelene i sektordiagrammet, men det er viktig å få godt fram hvor mange grader hver av sirkelsektorene er.

===Oppgave 5===

120 kroner utgjør 40%. Finner hva 1% er og ganger med 100:

$\frac{120}{40} \cdot 100 = 300$

Biletten kostet 300 kroner uten rabatt.

===Oppgave 6 ===

===a)===

[[File:2p.h17-6a.png]]

Ved å tegne punktene nøyaktig i et koordinatsystem kan det være mulig å komme i nærheten av et resultat, men det er ikke lett. Derfor er det trolig best å gjøre det ved regning.

Likningen for en rett linje er

y = ax + b

$a = \frac{\Delta y}{\Delta y } = \frac{2450 - 1250}{7-3} = \frac{1100}{4} = 275$

Vi kan bruke punktet (3, 1350) og får

$y = ax + b \\ 1350 = 275 \cdot 3 + b \\ b = 1350 - 825 \\ b = 525$

Vi får da y = 275x + 525

Armbåndet koster kr. 525,- og en charms koster kr. 275,-

===b)===

Se a: y = 275x + 525

===c)===

$y= 274x + 525 \\ 3825 = 275x + 525 \\ 275x = 3825- 525 \\ 275x = 3300 \\ x = 12$

Hun har 12 charmes på armbåndet.

===Oppgave 7===

===a)===

Vi ser for oss en dyrekropp som består av hode + forbein + mage + bakbein + hale:

Figur fire: $4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 + 4 \cdot 5 + 4 = 64$

===b)===

$n^2 + n(n+1) + n + n(n+1) + n = 3n^2+ 4n$

(hode + forbein + mage + bakbein + hale)

===c)===

Bruker formelen fra b og setter n = 20:

$3 \cdot 20^2 +4 \cdot 20 = 1200 + 80 = 1280$

==DEL TO==

===Oppgave 1===

===a)===

[[File:2p-h17-2-1abc.png]]

Vi bruker regresjon på Geogebra og ser at tallene passer godt med modellen.

===b)===

1,006 forteller at befolkningsøkningen er på 0,6% per år.

===c)===

Se bilde i a)

===Oppgave 2===

===a)===

[[File:2p-h17-21ab.png]]

Se figur.

===b)===

Ja, dersom man holder seg mellom 40 - 60 meter fra A

===c)===

Det er 50 (75 - 25) meter i luftlinje, horisontalt. Se figur i a.

===Oppgave 3===

===a)===
[[File:2p-h17-2-3a.png]]

[[File:2p-h17-2-3ab.png]]

Standardavviket er 10,25 og gjennomsnittet er 501,7.

===b)===

Mindre standardavvik betyr mindre spredning i målepunktene. Maskin B fyller dermed flaskene mye jevnere enn maskin A.

===Oppgave 4===

===a)===

[[File:2p-h17-2-4abc.png]]

En lineær modell avtar med et gitt antall og i dette tilfellet er den g(x) = -12x + 280

===b)===

Dersom noe avtar med en gitt prosent per periode er endringen eksponentiell, I dette tilfellet $h(x)= 280 \cdot 0,91^x$

===c)===
y-verdien til A og B er henholdsvis 87 og 136. Dersom det etter ett år er 96 individer igjen ligger dette nærmest den eksponentielle modellen.

===Oppgave 5===

===a)===

{| width="auto"
|Ant. minutter
|Ant. elever
|Kumulativ frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ relativ frekvens
|-
| [ 0, 60>
| 3
| 3
| $\frac{3}{30} = 0,1 = 10$ %
| 10%
|-
| [ 60, 180>
|6
| 9
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 30%
|-
|| [ 180, 300>
| 12
| 21
|$\frac{12}{30} = 0,4= 40$ %
| 70%
|-
| [ 300, 420>
| 6
| 27
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 90%
|-
| [ 420, 540>
|3
| 30
|$\frac{3}{30} = 0,1= 10$ %
| 100%
|-
|}

===b)===

[[File:2p-h17-2-5b.png]]

===c)===

Gjennomsnitt:

$\frac {30 \cdot 3 + 120 \cdot 6 + 240 \cdot 12 + 360 \cdot 6 + 480 \cdot 3}{30} = 243$ minutter.

===d)===

Det er 30 elever. Median personene vil være nr. 15 og 16, som begge ligger i intervallet 180 - 300 minutter. Det er totalt 9 elever i de to foregående intervaller, vi er derfor ute etter person 6 og 7 i dette intervallet. Dersom man forutsetter at elevene fordeler seg jevnt over intervallet øker treningsmengden med 10 minutter per elev ( klassebredde delt på antall (120:12)). De personene vi er ute etter trener altså 230 og 240 minutter i uken. Median er da ca 235 minutter per uke.

==Oppgave 6==

===a)===

Terminbeløp = avdrag + renter + gebyrer

$2500 + \frac{90000 \cdot 0,4}{100} + 50 = 2910$ kr.

===b)===

[[File:2p-h17-2-6b1.png]]

[[File:2p-h17-2-6b2.png]]

===c)===

Lånet kostet renter og gebyrer: 6660kr + 1800kr = 8460 kr.

Hun betalte altså 98460 kr tilbake til banken.

===d)===

[[File:2p-h17-2-6d.png]]

Lånet ville kostet henne 8325 kr. Hun ville ha spart 135 kr.

2P 2017 høst LØSNING

2018-09-05T18:50:25Z

KristofferUlv: /* b) */ Omformulering

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1800 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1814 Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorNilsen]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46524#p218927 Fasit laget av mattepratbruker Zain Mushtaq]

Dersom du har en fasit eller et løsningsforslag som du ønsker å dele, så kan du sende det til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut her.

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

Det var 15 elever som fikk en eller to, av totalt 60 elever. Det utgjør:

$\frac{15}{60} \cdot 100$% = 25%

===b)===

Medianelevene er elev nr. 30 og 31. Begge disse ligger i gruppen som fikk karakter 3, derfor er median = 3.

===c)===

Multipliserer respektive karakterer med tilsvarende antall elever, summerer og deler på 60:

$\frac{3+24+75+48+30+12}{60} = \frac{192}{60} = 3,2$

===Oppgave 2===

$3,54 \cdot 10^6 + 60000 = \\ 3540000 + 60000 = \\ 3600000 = 3,6 \cdot 10^6$

===Oppgave 3===

===a)===

Toget drar fra A 13:40 og kommer til B 14:50, altså tar turen 1 time og 10 minutter.

===b)===

Toget stopper i 10 minutter.

===c)===

Fra A til stopp: Toget beveger seg 20 km på 20 minutter. Det vil si 60km på 60 minutter, altså en fart på 60 km/h.

Fra stopp til B: Toget beveger seg 60 km på 40 minutter. Det vil si 90 km på 60 minutter, altså en fart på 90 km/h (på 20 min er forflyttningen 30 km, det gjør det lettere).

===Oppgave 4===

En sirkel er $ 360^{\circ} $. Det er totalt 240 medlemmer.

Gradetall langrenn: $ \frac{60}{240} \cdot 360^{\circ} = 90^{\circ} $

Gradetall hopp: $ \frac{40}{240} \cdot 360^{\circ} = 60^{\circ} $

Gradetall freestyle: $ \frac{80}{240} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ} $

Gradetall alpint er som langrenn.

[[File:2p-h17-1-4.png]]

Siden dette er del 1, trenger du ikke prosentandelene i sektordiagrammet, men det er viktig å få godt fram hvor mange grader hver av sirkelsektorene er.

===Oppgave 5===

120 kroner utgjør 40%. Finner hva 1% er og ganger med 100:

$\frac{120}{40} \cdot 100 = 300$

Biletten kostet 300 kroner uten rabatt.

===Oppgave 6 ===

===a)===

[[File:2p.h17-6a.png]]

Ved å tegne punktene nøyaktig i et koordinatsystem kan det være mulig å komme i nærheten av et resultat, men det er ikke lett. Derfor er det trolig best å gjøre det ved regning.

Likningen for en rett linje er

y = ax + b

$a = \frac{\Delta y}{\Delta y } = \frac{2450 - 1250}{7-3} = \frac{1100}{4} = 275$

Vi kan bruke punktet (3, 1350) og får

$y = ax + b \\ 1350 = 275 \cdot 3 + b \\ b = 1350 - 825 \\ b = 525$

Vi får da y = 275x + 525

Armbåndet koster kr. 525,- og en charms koster kr. 275,-

===b)===

Se a: y = 275x + 525

===c)===

$y= 274x + 525 \\ 3825 = 275x + 525 \\ 275x = 3825- 525 \\ 275x = 3300 \\ x = 12$

Hun har 12 charmes på armbåndet.

===Oppgave 7===

===a)===

Vi ser for oss en dyrekropp som består av hode + forbein + mage + bakbein + hale:

Figur fire: $4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 + 4 \cdot 5 + 4 = 64$

===b)===

$n^2 + n(n+1) + n + n(n+1) + n = 3n^2+ 4n$

(hode + forbein + mage + bakbein + hale)

===c)===

Bruker formelen fra b og setter n = 20:

$3 \cdot 20^2 +4 \cdot 20 = 1200 + 80 = 1280$

==DEL TO==

===Oppgave 1===

===a)===

[[File:2p-h17-2-1abc.png]]

Vi bruker regresjon på Geogebra og ser at tallene passer godt med modellen.

===b)===

1,006 forteller at befolkningsøkningen er på 0,6% per år.

===c)===

Se bilde i a)

===Oppgave 2===

===a)===

[[File:2p-h17-21ab.png]]

Se figur.

===b)===

Ja, dersom man holder seg mellom 40 - 60 meter fra A

===c)===

Det er 50 (75 - 25) meter i luftlinje, horisontalt. Se figur i a.

===Oppgave 3===

===a)===
[[File:2p-h17-2-3a.png]]

[[File:2p-h17-2-3ab.png]]

Standardavviket er 10,25 og gjennomsnittet er 501,7.

===b)===

Mindre standardavvik betyr mindre spredning i målepunktene. Maskin B fyller dermed flaskene mye jevnere enn maskin A.

===Oppgave 4===

===a)===

[[File:2p-h17-2-4abc.png]]

En lineær modell avtar med et gitt antall og i dette tilfellet er den g(x) = -12x + 280

===b)===

Dersom noe avtar med en gitt prosent per periode er endringen eksponentiell, I dette tilfellet $h(x)= 280 \cdot 0,91^x$

===c)===

Y verdien til A og B er henholdsvis 87 og 136. Dersom det etter ett år er 96 individer igjen ligger dette nærmest den eksponentielle modellen.

===Oppgave 5===

===a)===

{| width="auto"
|Ant. minutter
|Ant. elever
|Kumulativ frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ relativ frekvens
|-
| [ 0, 60>
| 3
| 3
| $\frac{3}{30} = 0,1 = 10$ %
| 10%
|-
| [ 60, 180>
|6
| 9
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 30%
|-
|| [ 180, 300>
| 12
| 21
|$\frac{12}{30} = 0,4= 40$ %
| 70%
|-
| [ 300, 420>
| 6
| 27
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 90%
|-
| [ 420, 540>
|3
| 30
|$\frac{3}{30} = 0,1= 10$ %
| 100%
|-
|}

===b)===

[[File:2p-h17-2-5b.png]]

===c)===

Gjennomsnitt:

$\frac {30 \cdot 3 + 120 \cdot 6 + 240 \cdot 12 + 360 \cdot 6 + 480 \cdot 3}{30} = 243$ minutter.

===d)===

Det er 30 elever. Median personene vil være nr. 15 og 16, som begge ligger i intervallet 180 - 300 minutter. Det er totalt 9 elever i de to foregående intervaller, vi er derfor ute etter person 6 og 7 i dette intervallet. Dersom man forutsetter at elevene fordeler seg jevnt over intervallet øker treningsmengden med 10 minutter per elev ( klassebredde delt på antall (120:12)). De personene vi er ute etter trener altså 230 og 240 minutter i uken. Median er da ca 235 minutter per uke.

==Oppgave 6==

===a)===

Terminbeløp = avdrag + renter + gebyrer

$2500 + \frac{90000 \cdot 0,4}{100} + 50 = 2910$ kr.

===b)===

[[File:2p-h17-2-6b1.png]]

[[File:2p-h17-2-6b2.png]]

===c)===

Lånet kostet renter og gebyrer: 6660kr + 1800kr = 8460 kr.

Hun betalte altså 98460 kr tilbake til banken.

===d)===

[[File:2p-h17-2-6d.png]]

Lånet ville kostet henne 8325 kr. Hun ville ha spart 135 kr.

2P 2017 høst LØSNING

2018-09-05T18:42:50Z

KristofferUlv: /* c) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1800 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1814 Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorNilsen]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46524#p218927 Fasit laget av mattepratbruker Zain Mushtaq]

Dersom du har en fasit eller et løsningsforslag som du ønsker å dele, så kan du sende det til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut her.

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

Det var 15 elever som fikk en eller to, av totalt 60 elever. Det utgjør:

$\frac{15}{60} \cdot 100$% = 25%

===b)===

Medianelevene er elev nr. 30 og 31. Begge disse ligger i gruppen som fikk karakter 3, derfor er median = 3.

===c)===

Multipliserer respektive karakterer med tilsvarende antall elever, summerer og deler på 60:

$\frac{3+24+75+48+30+12}{60} = \frac{192}{60} = 3,2$

===Oppgave 2===

$3,54 \cdot 10^6 + 60000 = \\ 3540000 + 60000 = \\ 3600000 = 3,6 \cdot 10^6$

===Oppgave 3===

===a)===

Toget drar fra A 13:40 og kommer til B 14:50, altså tar turen 1 time og 10 minutter.

===b)===

Toget stopper i 10 minutter.

===c)===

Fra A til stopp: Toget beveger seg 20 km på 20 minutter. Det vil si 60km på 60 minutter, altså en fart på 60 km/h.

Fra stopp til B: Toget beveger seg 60 km på 40 minutter. Det vil si 90 km på 60 minutter, altså en fart på 90 km/h (på 20 min er forflyttningen 30 km, det gjør det lettere).

===Oppgave 4===

En sirkel er $ 360^{\circ} $. Det er totalt 240 medlemmer.

Gradetall langrenn: $ \frac{60}{240} \cdot 360^{\circ} = 90^{\circ} $

Gradetall hopp: $ \frac{40}{240} \cdot 360^{\circ} = 60^{\circ} $

Gradetall freestyle: $ \frac{80}{240} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ} $

Gradetall alpint er som langrenn.

[[File:2p-h17-1-4.png]]

Siden dette er del 1, trenger du ikke prosentandelene i sektordiagrammet, men det er viktig å få godt fram hvor mange grader hver av sirkelsektorene er.

===Oppgave 5===

120 kroner utgjør 40%. Finner hva 1% er og ganger med 100:

$\frac{120}{40} \cdot 100 = 300$

Biletten kostet 300 kroner uten rabatt.

===Oppgave 6 ===

===a)===

[[File:2p.h17-6a.png]]

Ved å tegne punktene nøyaktig i et koordinatsystem kan det være mulig å komme i nærheten av et resultat, men det er ikke lett. Derfor er det trolig best å gjøre det ved regning.

Likningen for en rett linje er

y = ax + b

$a = \frac{\Delta y}{\Delta y } = \frac{2450 - 1250}{7-3} = \frac{1100}{4} = 275$

Vi kan bruke punktet (3, 1350) og får

$y = ax + b \\ 1350 = 275 \cdot 3 + b \\ b = 1350 - 825 \\ b = 525$

Vi får da y = 275x + 525

Armbåndet koster kr. 525,- og en charms koster kr. 275,-

===b)===

Se a: y = 275x + 525

===c)===

$y= 274x + 525 \\ 3825 = 275x + 525 \\ 275x = 3825- 525 \\ 275x = 3300 \\ x = 12$

Hun har 12 charmes på armbåndet.

===Oppgave 7===

===a)===

Vi ser for oss en dyrekropp som består av hode + forbein + mage + bakbein + hale:

Figur fire: $4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 + 4 \cdot 5 + 4 = 64$

===b)===

$n^2 + n(n+1) + n + n(n+1) + n = 3n^2+ 4n$

(hode + forbein + mage + bakbein + hale)

===c)===

Bruker formelen fra b og setter n = 20:

$3 \cdot 20^2 +4 \cdot 20 = 1200 + 80 = 1280$

==DEL TO==

===Oppgave 1===

===a)===

[[File:2p-h17-2-1abc.png]]

Vi bruker regresjon på Geogebra og ser at tallene passer godt med modellen.

===b)===

1,006 forteller at befolkningsøkningen er på 0,6% per år.

===c)===

Se bilde i a)

===Oppgave 2===

===a)===

[[File:2p-h17-21ab.png]]

Se figur.

===b)===

Ja, dersom man holder seg mellom 40 - 60 meter fra A

===c)===

Det er 50 (75 - 25) meter i luftlinje, horisontalt. Se figur i a.

===Oppgave 3===

===a)===
[[File:2p-h17-2-3a.png]]

[[File:2p-h17-2-3ab.png]]

Standardavviket er 10,25 og gjennomsnittet er 501,7.

===b)===

Maskin B tapper mye jevnere siden standardavviket er mindre.

===Oppgave 4===

===a)===

[[File:2p-h17-2-4abc.png]]

En lineær modell avtar med et gitt antall og i dette tilfellet er den g(x) = -12x + 280

===b)===

Dersom noe avtar med en gitt prosent per periode er endringen eksponentiell, I dette tilfellet $h(x)= 280 \cdot 0,91^x$

===c)===

Y verdien til A og B er henholdsvis 87 og 136. Dersom det etter ett år er 96 individer igjen ligger dette nærmest den eksponentielle modellen.

===Oppgave 5===

===a)===

{| width="auto"
|Ant. minutter
|Ant. elever
|Kumulativ frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ relativ frekvens
|-
| [ 0, 60>
| 3
| 3
| $\frac{3}{30} = 0,1 = 10$ %
| 10%
|-
| [ 60, 180>
|6
| 9
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 30%
|-
|| [ 180, 300>
| 12
| 21
|$\frac{12}{30} = 0,4= 40$ %
| 70%
|-
| [ 300, 420>
| 6
| 27
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 90%
|-
| [ 420, 540>
|3
| 30
|$\frac{3}{30} = 0,1= 10$ %
| 100%
|-
|}

===b)===

[[File:2p-h17-2-5b.png]]

===c)===

Gjennomsnitt:

$\frac {30 \cdot 3 + 120 \cdot 6 + 240 \cdot 12 + 360 \cdot 6 + 480 \cdot 3}{30} = 243$ minutter.

===d)===

Det er 30 elever. Median personene vil være nr. 15 og 16, som begge ligger i intervallet 180 - 300 minutter. Det er totalt 9 elever i de to foregående intervaller, vi er derfor ute etter person 6 og 7 i dette intervallet. Dersom man forutsetter at elevene fordeler seg jevnt over intervallet øker treningsmengden med 10 minutter per elev ( klassebredde delt på antall (120:12)). De personene vi er ute etter trener altså 230 og 240 minutter i uken. Median er da ca 235 minutter per uke.

==Oppgave 6==

===a)===

Terminbeløp = avdrag + renter + gebyrer

$2500 + \frac{90000 \cdot 0,4}{100} + 50 = 2910$ kr.

===b)===

[[File:2p-h17-2-6b1.png]]

[[File:2p-h17-2-6b2.png]]

===c)===

Lånet kostet renter og gebyrer: 6660kr + 1800kr = 8460 kr.

Hun betalte altså 98460 kr tilbake til banken.

===d)===

[[File:2p-h17-2-6d.png]]

Lånet ville kostet henne 8325 kr. Hun ville ha spart 135 kr.

2P 2017 høst LØSNING

2018-09-05T18:35:18Z

KristofferUlv: /* a) */ Skriveleif

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1800 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1814 Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorNilsen]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46524#p218927 Fasit laget av mattepratbruker Zain Mushtaq]

Dersom du har en fasit eller et løsningsforslag som du ønsker å dele, så kan du sende det til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut her.

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

Det var 15 elever som fikk en eller to, av totalt 60 elever. Det utgjør:

$\frac{15}{60} \cdot 100$% = 25%

===b)===

Medianelevene er elev nr. 30 og 31. Begge disse ligger i gruppen som fikk karakter 3, derfor er median = 3.

===c)===

Multipliserer respektive karakterer med tilsvarende antall elever, summerer og deler på 60:

$\frac{3+24+75+48+30+12}{60} = \frac{192}{60} = 3,2$

===Oppgave 2===

$3,54 \cdot 10^6 + 60000 = \\ 3540000 + 60000 = \\ 3600000 = 3,6 \cdot 10^6$

===Oppgave 3===

===a)===

Toget drar fra A 13:40 og kommer til B 14:50, altså tar turen 1 time og 10 minutter.

===b)===

Toget stopper i 10 minutter.

===c)===

Fra A til stopp: Toget beveger seg 20 km på 20 minutter. Det vil si 60km på 60 minutter, altså en fart på 60 km/h.

Fra stopp til B: Toget beveger seg 60 km på 40 minutter. Det vil si 90 km på 60 minutter, altså en fart på 90 km/h (på 20 min er forflyttningen 30 km, det gjør det lettere).

===Oppgave 4===

En sirkel er $ 360^{\circ} $. Det er totalt 240 medlemmer.

Gradetall langrenn: $ \frac{60}{240} \cdot 360^{\circ} = 90^{\circ} $

Gradetall hopp: $ \frac{40}{240} \cdot 360^{\circ} = 60^{\circ} $

Gradetall freestyle: $ \frac{80}{240} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ} $

Gradetall alpint er som langrenn.

[[File:2p-h17-1-4.png]]

Siden dette er del 1, trenger du ikke prosentandelene i sektordiagrammet, men det er viktig å få godt fram hvor mange grader hver av sirkelsektorene er.

===Oppgave 5===

120 kroner utgjør 40%. Finner hva 1% er og ganger med 100:

$\frac{120}{40} \cdot 100 = 300$

Biletten kostet 300 kroner uten rabatt.

===Oppgave 6 ===

===a)===

[[File:2p.h17-6a.png]]

Ved å tegne punktene nøyaktig i et koordinatsystem kan det være mulig å komme i nærheten av et resultat, men det er ikke lett. Derfor er det trolig best å gjøre det ved regning.

Likningen for en rett linje er

y = ax + b

$a = \frac{\Delta y}{\Delta y } = \frac{2450 - 1250}{7-3} = \frac{1100}{4} = 275$

Vi kan bruke punktet (3, 1350) og får

$y = ax + b \\ 1350 = 275 \cdot 3 + b \\ b = 1350 - 825 \\ b = 525$

Vi får da y = 275x + 525

Armbåndet koster kr. 525,- og en charms koster kr. 275,-

===b)===

Se a: y = 275x + 525

===c)===

$y= 274x + 525 \\ 3825 = 275x + 525 \\ 275x = 3825- 525 \\ 275x = 3300 \\ x = 12$

Hun har 12 charmes på armbåndet.

===Oppgave 7===

===a)===

Vi ser for oss en dyrekropp som består av hode + forbein + mage + bakbein + hale:

Figur fire: $4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 + 4 \cdot 5 + 4 = 64$

===b)===

$n^2 + n(n+1) + n + n(n+1) + n = 3n^2+ 4n$

(hode + forbein + mage + bakbein + hale)

===c)===

Bruker formelen fra b og setter n = 20:

$3 \cdot 20^2 +4 \cdot 20 = 1200 + 80 = 1280$

==DEL TO==

===Oppgave 1===

===a)===

[[File:2p-h17-2-1abc.png]]

Vi bruker regresjon på Geogebra og ser at tallene passer godt med modellen.

===b)===

1,006 forteller at befolkningsøkningen er på 0,6% per år.

===c)===

===Oppgave 2===

===a)===

[[File:2p-h17-21ab.png]]

Se figur.

===b)===

Ja, dersom man holder seg mellom 40 - 60 meter fra A

===c)===

Det er 50 (75 - 25) meter i luftlinje, horisontalt. Se figur i a.

===Oppgave 3===

===a)===
[[File:2p-h17-2-3a.png]]

[[File:2p-h17-2-3ab.png]]

Standardavviket er 10,25 og gjennomsnittet er 501,7.

===b)===

Maskin B tapper mye jevnere siden standardavviket er mindre.

===Oppgave 4===

===a)===

[[File:2p-h17-2-4abc.png]]

En lineær modell avtar med et gitt antall og i dette tilfellet er den g(x) = -12x + 280

===b)===

Dersom noe avtar med en gitt prosent per periode er endringen eksponentiell, I dette tilfellet $h(x)= 280 \cdot 0,91^x$

===c)===

Y verdien til A og B er henholdsvis 87 og 136. Dersom det etter ett år er 96 individer igjen ligger dette nærmest den eksponentielle modellen.

===Oppgave 5===

===a)===

{| width="auto"
|Ant. minutter
|Ant. elever
|Kumulativ frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ relativ frekvens
|-
| [ 0, 60>
| 3
| 3
| $\frac{3}{30} = 0,1 = 10$ %
| 10%
|-
| [ 60, 180>
|6
| 9
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 30%
|-
|| [ 180, 300>
| 12
| 21
|$\frac{12}{30} = 0,4= 40$ %
| 70%
|-
| [ 300, 420>
| 6
| 27
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 90%
|-
| [ 420, 540>
|3
| 30
|$\frac{3}{30} = 0,1= 10$ %
| 100%
|-
|}

===b)===

[[File:2p-h17-2-5b.png]]

===c)===

Gjennomsnitt:

$\frac {30 \cdot 3 + 120 \cdot 6 + 240 \cdot 12 + 360 \cdot 6 + 480 \cdot 3}{30} = 243$ minutter.

===d)===

Det er 30 elever. Median personene vil være nr. 15 og 16, som begge ligger i intervallet 180 - 300 minutter. Det er totalt 9 elever i de to foregående intervaller, vi er derfor ute etter person 6 og 7 i dette intervallet. Dersom man forutsetter at elevene fordeler seg jevnt over intervallet øker treningsmengden med 10 minutter per elev ( klassebredde delt på antall (120:12)). De personene vi er ute etter trener altså 230 og 240 minutter i uken. Median er da ca 235 minutter per uke.

==Oppgave 6==

===a)===

Terminbeløp = avdrag + renter + gebyrer

$2500 + \frac{90000 \cdot 0,4}{100} + 50 = 2910$ kr.

===b)===

[[File:2p-h17-2-6b1.png]]

[[File:2p-h17-2-6b2.png]]

===c)===

Lånet kostet renter og gebyrer: 6660kr + 1800kr = 8460 kr.

Hun betalte altså 98460 kr tilbake til banken.

===d)===

[[File:2p-h17-2-6d.png]]

Lånet ville kostet henne 8325 kr. Hun ville ha spart 135 kr.

2P 2017 høst LØSNING

2018-09-05T18:22:19Z

KristofferUlv: /* Oppgave 4 */ Utdyping

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1800 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1814 Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorNilsen]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46524#p218927 Fasit laget av mattepratbruker Zain Mushtaq]

Dersom du har en fasit eller et løsningsforslag som du ønsker å dele, så kan du sende det til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut her.

==DEL EN==

===Oppgave 1===

===a)===

Det var 15 elever som fikk en eller to, av totalt 60 elever. Det utgjør:

$\frac{15}{60} \cdot 100$% = 25%

===b)===

Medianelevene er elev nr. 30 og 31. Begge disse ligger i gruppen som fikk karakter 3, derfor er median = 3.

===c)===

Multipliserer respektive karakterer med tilsvarende antall elever, summerer og deler på 60:

$\frac{3+24+75+48+30+12}{60} = \frac{192}{60} = 3,2$

===Oppgave 2===

$3,54 \cdot 10^6 + 60000 = \\ 3540000 + 60000 = \\ 3600000 = 3,6 \cdot 10^6$

===Oppgave 3===

===a)===

Toget drar fra A 13:40 og kommer til B 14:50, altså tar turen 1 time og 10 minutter.

===b)===

Toget stopper i 10 minutter.

===c)===

Fra A til stopp: Toget beveger seg 20 km på 20 minutter. Det vil si 60km på 60 minutter, altså en fart på 60 km/h.

Fra stopp til B: Toget beveger seg 60 km på 40 minutter. Det vil si 90 km på 60 minutter, altså en fart på 90 km/h (på 20 min er forflyttningen 30 km, det gjør det lettere).

===Oppgave 4===

En sirkel er $ 360^{\circ} $. Det er totalt 240 medlemmer.

Gradetall langrenn: $ \frac{60}{240} \cdot 360^{\circ} = 90^{\circ} $

Gradetall hopp: $ \frac{40}{240} \cdot 360^{\circ} = 60^{\circ} $

Gradetall freestyle: $ \frac{80}{240} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ} $

Gradetall alpint er som langrenn.

[[File:2p-h17-1-4.png]]

Siden dette er del 1, trenger du ikke prosentandelene i sektordiagrammet, men det er viktig å få godt fram hvor mange grader hver av sirkelsektorene er.

===Oppgave 5===

120 kroner utgjør 40%. Finner hva 1% er og ganger med 100:

$\frac{120}{40} \cdot 100 = 300$

Biletten kostet 300 kroner uten rabatt.

===Oppgave 6 ===

===a)===

[[File:2p.h17-6a.png]]

Ved å tegne punktene nøyaktig i et koordinatsystem kan det være mulig å komme i nærheten av et resultat, men det er ikke lett. Derfor er det trolig best å gjøre det ved regning.

Likningen for en rett linje er

y = ax + b

$a = \frac{\Delta y}{\Delta y } = \frac{2450 - 1250}{7-3} = \frac{1100}{4} = 275$

Vi kan bruke punktet (2, 1350) og får

$y = ax + b \\ 1350 = 275 \cdot 3 + b \\ b = 1350 - 825 \\ b = 525$

Vi får da y = 275x + 525

Armbåndet koster kr. 525,- og en charms koster kr. 275,-

===b)===

Se a: y = 275x + 525

===c)===

$y= 274x + 525 \\ 3825 = 275x + 525 \\ 275x = 3825- 525 \\ 275x = 3300 \\ x = 12$

Hun har 12 charmes på armbåndet.

===Oppgave 7===

===a)===

Vi ser for oss en dyrekropp som består av hode + forbein + mage + bakbein + hale:

Figur fire: $4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 + 4 \cdot 5 + 4 = 64$

===b)===

$n^2 + n(n+1) + n + n(n+1) + n = 3n^2+ 4n$

(hode + forbein + mage + bakbein + hale)

===c)===

Bruker formelen fra b og setter n = 20:

$3 \cdot 20^2 +4 \cdot 20 = 1200 + 80 = 1280$

==DEL TO==

===Oppgave 1===

===a)===

[[File:2p-h17-2-1abc.png]]

Vi bruker regresjon på Geogebra og ser at tallene passer godt med modellen.

===b)===

1,006 forteller at befolkningsøkningen er på 0,6% per år.

===c)===

===Oppgave 2===

===a)===

[[File:2p-h17-21ab.png]]

Se figur.

===b)===

Ja, dersom man holder seg mellom 40 - 60 meter fra A

===c)===

Det er 50 (75 - 25) meter i luftlinje, horisontalt. Se figur i a.

===Oppgave 3===

===a)===
[[File:2p-h17-2-3a.png]]

[[File:2p-h17-2-3ab.png]]

Standardavviket er 10,25 og gjennomsnittet er 501,7.

===b)===

Maskin B tapper mye jevnere siden standardavviket er mindre.

===Oppgave 4===

===a)===

[[File:2p-h17-2-4abc.png]]

En lineær modell avtar med et gitt antall og i dette tilfellet er den g(x) = -12x + 280

===b)===

Dersom noe avtar med en gitt prosent per periode er endringen eksponentiell, I dette tilfellet $h(x)= 280 \cdot 0,91^x$

===c)===

Y verdien til A og B er henholdsvis 87 og 136. Dersom det etter ett år er 96 individer igjen ligger dette nærmest den eksponentielle modellen.

===Oppgave 5===

===a)===

{| width="auto"
|Ant. minutter
|Ant. elever
|Kumulativ frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ relativ frekvens
|-
| [ 0, 60>
| 3
| 3
| $\frac{3}{30} = 0,1 = 10$ %
| 10%
|-
| [ 60, 180>
|6
| 9
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 30%
|-
|| [ 180, 300>
| 12
| 21
|$\frac{12}{30} = 0,4= 40$ %
| 70%
|-
| [ 300, 420>
| 6
| 27
|$\frac{6}{30} = 0,2= 20$ %
| 90%
|-
| [ 420, 540>
|3
| 30
|$\frac{3}{30} = 0,1= 10$ %
| 100%
|-
|}

===b)===

[[File:2p-h17-2-5b.png]]

===c)===

Gjennomsnitt:

$\frac {30 \cdot 3 + 120 \cdot 6 + 240 \cdot 12 + 360 \cdot 6 + 480 \cdot 3}{30} = 243$ minutter.

===d)===

Det er 30 elever. Median personene vil være nr. 15 og 16, som begge ligger i intervallet 180 - 300 minutter. Det er totalt 9 elever i de to foregående intervaller, vi er derfor ute etter person 6 og 7 i dette intervallet. Dersom man forutsetter at elevene fordeler seg jevnt over intervallet øker treningsmengden med 10 minutter per elev ( klassebredde delt på antall (120:12)). De personene vi er ute etter trener altså 230 og 240 minutter i uken. Median er da ca 235 minutter per uke.

==Oppgave 6==

===a)===

Terminbeløp = avdrag + renter + gebyrer

$2500 + \frac{90000 \cdot 0,4}{100} + 50 = 2910$ kr.

===b)===

[[File:2p-h17-2-6b1.png]]

[[File:2p-h17-2-6b2.png]]

===c)===

Lånet kostet renter og gebyrer: 6660kr + 1800kr = 8460 kr.

Hun betalte altså 98460 kr tilbake til banken.

===d)===

[[File:2p-h17-2-6d.png]]

Lånet ville kostet henne 8325 kr. Hun ville ha spart 135 kr.

Løsning del 2 utrinn Vår 18

2018-09-05T17:49:00Z

KristofferUlv: /* b) */ La til kontrollregningen

==Oppgave 1.==

==a)==

[[File:u18-del2-1a.png]]

Brukte Excel til å lage et stolpediagram. Et sektordiagram ville også passet.

==b)==

Bruker Excel til å finne median og gjennomsnitt:

[[File:u18-del2-1b.png]]

Med formler:

[[File:u18-del2-1b2.png]]

Medianen er 21107 besøkende. Gjennomsnittet er 30377,4 besøkende.

==c)==

Det var mange flere besøkende på filmen "Den 12. mann" enn på de andre filmene. Dette besøkstallet drar derfor opp gjennomsnittet. De fire andre filmene hadde ganske like besøkstall, så medianen er derfor mye lavere enn gjennomsnittet.

==Oppgave 2.==

==a)==

Det er 4 km fra roklubben til øya. Dette ser man på y-aksen.

==b)==

Hele turen tok 100 minutter, det vil si 1 timer og 40 minutter (siden 1 time = 60 minutter). Dette ser man på x-aksen.

Klokken var 10.30 da de startet turen og turen varte i 1 time og 40 minutter, så klokken var 12.10 da de som tilbake til roklubben.

==c)==

Avstanden fra øya til roklubben er 4 km (se oppgave a).

Tiden de brukte fra øya til rokluben er 100 min - 60 min = 40 min. Dette ser man på x-aksen.

Gjør om 40 minutter til timer: $\frac{40 min}{60 min/t}=\frac{2}{3} t$

Gjennomsnittsfarten $v$ er strekning delt på tid.

$v=\frac{4 km}{ \frac{2}{3} t } = 6 km/t$

Gjennomsnittsfarten til Eva og Peter fra øya til roklubben er 6 km/t.

==Oppgave 3.==

==a)==

Sum til fullpris er $899 + 298 =1197$ kroner

20% av 1197 er: $\frac{20 \cdot 1197}{100} = 239,40 $ kroner.

Trekker det fra fullpris og får 1197 kr. - 239,40 kr = 957,60 kroner.

Han må betale kr 958 etter rabatten.

Dersom man får 20% rabatt betaler man 80% av prisen. Det er det samme som å gange 0,8 med den fulle prisen:

Rabbatert pris: $0,8( 899 kr + 298 kr) = 957,60 $

==b)==

$P(X=2) = 0,90 \cdot 0,90 = 0,81$

Sannsynligheten for at Adam scorer på to straffekast etter hverandre er 0,81, det vil si 81%.

==c)==

Formel for volum av en kule er: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Formel for omkrets av en sirkel er: $O = 2 \pi r$. Dermed er $r = \frac{O}{2 \pi}$.

Radius til basketballen er: $r = \frac{74,5 cm}{2 \pi} = 11,86 cm$

Volumet av basketballen er: $V = \frac{4}{3} \pi (11,86 cm)^3 = 6987,8 cm^3 \approx 7000 cm^3 = 7 L$

==Oppgave 4==

Bruker Excel.

[[File: U18-del2-4.png]]

Med formler:

[[File: U18-del2-4c.png]]

==Oppgave 5==

==a)==

[[File: U18-del2-5b.png]]

For å tegne grafen i avgrenset område, bruk funksjonen «h(x) = Funksjon(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)», slik: h(x) = Funksjon(-0.2x^2+1.19x+2,0,5)

==b)==

Basketballen er 2 meter over bakken idet den forlater hånden til Christian. Se punkt A på figuren i oppgave a). Kommando: ''Skjæring mellom to objekt'' mellom grafen til $h$ og y-aksen.

==c)==
Basketballen er 3,77 meter over bakken i det høyeste punktet. Se punkt B på figuren i oppgave a). Kommando: ''Ekstremalpunkt[h]''.

==Oppgave 6==

==a)==

Det er 60 sekunder i ett minutt.

$\frac{60 s}{15 s}=4$.

15 sekunder går altså opp 4 ganger i 60 sekunder.

Daniella har derfor $20\cdot 4 = 80$ pulsslag i løpet av 1 minutt.

==b)==

$M=211-0,64\cdot A \\M=211-0,64\cdot25=195$

Makspulsen til Monica er 195 slag i minuttet.

==c)==

$M=211-0,64\cdot A \\ 0,64\cdot A=211-M \\ A=\frac{211-M}{0,64}$

Det er det samme som $A=\frac{M-211}{-0,64}$. Skulle du regne deg frem til det svaret, er det også riktig.

==Oppgave 7==

==a)==

[[file:u18-2-7a1.png]]
[[file:u18-2-7a2.png]]

==b)==

Begge trekantene har en vinkel på 90 grader i D. Vinkel ACD er 60, fordi vinkel A er 30 grader. Siden vinkel ACB er 90 og ACD 60 grader må vinkel DCB være 30 grader.

Trekantene er derfor formlike.

==c)==

For å finne CD kan vi gå veien om arealet av trekanten.

Vet at CB = 5 cm, siden trekanten er en 30-60-90-trekant, og at $AC = \sqrt{100 - 25} =8,66$

Arealet av trekanten ABC blir da $A = \frac{5 \cdot 8,66}{2} = 21,65 cm^2$

CD er høyden i ABC, der grunnlinjen er 10cm: $A = \frac{gh}{2} \Rightarrow h= \frac{2A}{g} \Rightarrow CD = \frac{2 \cdot 21,65}{10} = 4,3$

CD er 4,3 cm.

Alternativt kan man bruke formlikhet. Vi vet at trekant ABC er forlik med trekant BCD. Siden alle sider i BCD er halvparten av sidene i ABC, blir CD halvparten av AC (som er tilsvarende side i trekant ABC), altså 8,66 cm : 2 = 4,3 cm.

==Oppgave 8.==

==a)==
Vi observerer at det er tre sirkelsektorer av $240^{\circ}$ og tre av $120^{\circ}$, alle med radius 1,5 cm. Det gir tre sirkler med radius 1,5 cm. Omkretsen av disse er:

$O = 3 \cdot 2 \pi \cdot 1,5 cm = 9 \pi $ cm.

==b)==

Vi vet at avstanden SB er 3 cm og avstanden SD er 1,5 cm. Finner DB ved Pytagoras og ganger svaret med seks fordi DB er halvparten av en side i en likesidet trekant.

$(DB)^2 = 3^2-1,5^2 \\ DB= 2,6 \\ O_{ABC} = 6 \cdot 2,6 = 15,6 cm $

==Oppgave 9:==

==a)==

Vi observerer at summen av første og siste tall er den samme som summen av andre og nest siste osv. Vi ser også at antall tall er partall.

For n= 1000 blir det 500 par av sum 1001 som gir $S_{1000} = 500 \cdot 1001 = 500500$

==b)==

Fra a ser man om man deler n på 2 og ganger med (1+n) så får vi summen.

$S_n = \frac n2(1+n)$

$S_{100} = \frac{100}{2}(1+100) = 50 (101) = 5050$

Løsning del 2 utrinn Vår 18

2018-09-05T17:40:36Z

KristofferUlv: /* c) */

Løsning del 2 utrinn Vår 18

2018-09-05T17:28:25Z

KristofferUlv: /* a) */ Litt forklaring

==Oppgave 1.==

==a)==

[[File:u18-del2-1a.png]]

Brukte Excel til å lage et stolpediagram. Et sektordiagram ville også passet.

==b)==

Bruker Excel til å finne median og gjennomsnitt:

[[File:u18-del2-1b.png]]

Med formler:

[[File:u18-del2-1b2.png]]

Medianen er 21107 besøkende. Gjennomsnittet er 30377,4 besøkende.

==c)==

Det var mange flere besøkende på filmen "Den 12. mann" enn på de andre filmene. Dette besøkstallet drar derfor opp gjennomsnittet. De fire andre filmene hadde ganske like besøkstall, så medianen er derfor mye lavere enn gjennomsnittet.

==Oppgave 2.==

==a)==

Det er 4 km fra roklubben til øya. Dette ser man på y-aksen.

==b)==

Hele turen tok 100 minutter, det vil si 1 timer og 40 minutter (siden 1 time = 60 minutter). Dette ser man på x-aksen.

Klokken var 10.30 da de startet turen og turen varte i 1 time og 40 minutter, så klokken var 12.10 da de som tilbake til roklubben.

==c)==

Avstanden fra øya til roklubben er 4 km (se oppgave a).

Tiden de brukte fra øya til rokluben er 100 min - 60 min = 40 min. Dette ser man på x-aksen.

Gjør om 40 minutter til timer: $\frac{40 min}{60 min/t}=\frac{2}{3} t$

Gjennomsnittsfarten $v$ er strekning delt på tid.

$v=\frac{4 km}{ \frac{2}{3} t } = 6 km/t$

Gjennomsnittsfarten til Eva og Peter fra øya til roklubben er 6 km/t.

==Oppgave 3.==

==a)==

Sum til fullpris er $899 + 298 =1197$ kroner

20% av 1197 er: $\frac{20 \cdot 1197}{100} = 239,40 $ kroner.

Trekker det fra fullpris og får 1197 kr. - 239,40 kr = 957,60 kroner.

Han må betale kr 958 etter rabatten.

Dersom man får 20% rabatt betaler man 80% av prisen. Det er det samme som å gange 0,8 med den fulle prisen:

Rabbatert pris: $0,8( 899 kr + 298 kr) = 957,60 $

==b)==

$P(X=2) = 0,90 \cdot 0,90 = 0,81$

Sannsynligheten for at Adam scorer på to straffekast etter hverandre er 0,81, det vil si 81%.

==c)==

Formel for volum av en kule er: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Formel for omkrets av en sirkel er: $O = 2 \pi r$. Dermed er $r = \frac{O}{2 \pi}$.

Radius til basketballen er: $r = \frac{74,5 cm}{2 \pi} = 11,86 cm$

Volumet av basketballen er: $V = \frac{4}{3} \pi (11,86 cm)^3 = 6987,8 cm^3 \approx 7000 cm^3 = 7 L$

==Oppgave 4==

Bruker Excel.

[[File: U18-del2-4.png]]

Med formler:

[[File: U18-del2-4c.png]]

==Oppgave 5==

==a)==

[[File: U18-del2-5b.png]]

For å tegne grafen i avgrenset område, bruk funksjonen «h(x) = Funksjon(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)», slik: h(x) = Funksjon(-0.2x^2+1.19x+2,0,5)

==b)==

Basketballen er 2 meter over bakken idet den forlater hånden til Christian. Se punkt A på figuren i oppgave a). Kommando: ''Skjæring mellom to objekt'' mellom grafen til $h$ og y-aksen.

==c)==
Basketballen er 3,77 meter over bakken i det høyeste punktet. Se punkt B på figuren i oppgave a). Kommando: ''Ekstremalpunkt[h]''.

==Oppgave 6==

==a)==

Det er 60 sekunder i ett minutt.

$\frac{60 s}{15 s}=4$.

15 sekunder går altså opp 4 ganger i 60 sekunder.

Daniella har derfor $20\cdot 4 = 80$ pulsslag i løpet av 1 minutt.

==b)==

$M=211-0,64\cdot A \\M=211-0,64\cdot25=195$

Makspulsen til Monica er 195 slag i minuttet.

==c)==

$M=211-0,64\cdot A \\ 0,64\cdot A=211-M \\ A=\frac{211-M}{0,64}$

Det er det samme som $A=\frac{M-211}{-0,64}$. Skulle du regne deg frem til det svaret, er det også riktig.

==Oppgave 7==

==a)==

[[file:u18-2-7a1.png]]
[[file:u18-2-7a2.png]]

==b)==

Begge trekantene har en vinkel på 90 grader i D. Vinkel ACD er 60, fordi vinkel A er 30 grader. Siden vinkel ACB er 90 og ACD 60 grader må vinkel DCB være 30 grader.

Trekantene er derfor formlike.

==c)==

For å finne CD kan vi gå veien om arealet av trekanten.

Vet at CB = 5 cm og at $AC = \sqrt{100 - 25} =8,66$

Arealet av trekanten ABC blir da $A = \frac{5 \cdot 8,66}{2} = 21,65 cm^2$

CD er høyden i ABC, der grunnlinjen er 10cm: $A = \frac{gh}{2} \Rightarrow h= \frac{2A}{g} \Rightarrow CD = \frac{2 \cdot 21,65}{10} = 4,3$

CD er 4,3 cm.

Alternativt kan man bruke formlikhet. Vi vet at trekant ABC er forlik med trekant BCD. Siden alle sider i BCD er halvparten av sidene i ABC, blir CD halvparten av AC (som er tilsvarende side i trekant ABC), altså 8,66 cm : 2 = 4,3 cm.

==Oppgave 8.==

==a)==
Vi observerer at det er tre sirkelsektorer av $240^{\circ}$ og tre av $120^{\circ}$, alle med radius 1,5 cm. Det gir tre sirkler med radius 1,5 cm. Omkretsen av disse er:

$O = 3 \cdot 2 \pi \cdot 1,5 cm = 9 \pi $ cm.

==b)==

Vi vet at avstanden SB er 3 cm og avstanden SD er 1,5 cm. Finner DB ved Pytagoras og ganger svaret med seks fordi DB er halvparten av en side i en likesidet trekant.

$(DB)^2 = 3^2-1,5^2 \\ DB= 2,6 \\ O_{ABC} = 6 \cdot 2,6 = 15,6 cm $

==Oppgave 9:==

==a)==

Vi observerer at summen av første og siste tall er den samme som summen av andre og nest siste osv. Vi ser også at antall tall er partall.

For n= 1000 blir det 500 par av sum 1001 som gir $S_{1000} = 500 \cdot 1001 = 500500$

==b)==

Fra a ser man om man deler n på 2 og ganger med (1+n) så får vi summen.

$S_n = \frac n2(1+n)$

Løsning del 1 utrinn Vår 18

2018-09-05T17:14:02Z

KristofferUlv: /* Oppgave 19 */

Vår 2018

===DEL EN===

==Oppgave 1==

==a)==

500g $\cdot$ 6 = 3000g = 3 kg

==b)==

3 km på 20 minutter. 20 minutter er $ \frac 13$ time: $v = \frac st = \frac{3km}{\frac13 time} = 3 km \cdot \frac 31 time= 9 $ km /t

Gjennomsnittsfarten er 9 km/h.

==Oppgave 2==

==a)==

$2^3 - 2 = 8-2 =6$

==b)==

$\frac{2^2\cdot 2^4}{2+2} = \frac{4 \cdot 16}{4} = 16$

==Oppgave 3==

$ 7,5 \quad \sqrt{64}=8 \quad 3\pi > 9,4 \quad \frac{36}{4} = 9$

Den laveste verdien er 7,5

==Oppgave 4==

==a)==

$1-( \frac 15 + \frac 14) = 1- (\frac{4}{20} + \frac{5}{20}) = 1- \frac{9}{20} = \frac{11}{20} = \frac{55}{100}$

Altså 55%

==b)==

$40 \cdot \frac 15 = 8 $, altså 8 strategispill.

==Oppgave 5==

For fire personer finnes det 4! mulige rekkefølger:

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

==Oppgave 6==

==a)==

Sannsynligheten for gul blir antall gunstige delt på antall mulige, altså: P ( gul) = $ \frac{23}{102}$.

==b)==

Sannsynligheten for ikke å trekke sort kan skrives slik: $P( \overline{sort})$

Tar de Nonstoppene som ikke er sorte og deler på antall mulige:

$P( \overline{sort}) = \frac{82}{102} = \frac{41}{51}$

==Oppgave 7==

$7500 000 000= 7 ,5\cdot 10^9 $

==Oppgave 8==

$48,50 : 13,90 = \\485 : 139 \approx 3,5$

Hun kjøper ca 3,5 hg smågodt.

==Oppgave 9==

$4y = 180^{\circ} \\ y= 45^{\circ}$

Vinkel y er 45 grader.

==Oppgave 10==

==a)==

3(a+2) -2a = 3a+ 6 -2a = a + 6

==b)==

$ \frac{a^2+a}{2a+2} = \frac{a(a+1)}{2(a+1)} = \frac a2$

==Oppgave 11==

==a)==

$6x+3 = 17 - x \\ 7x = 14 \\ x = 2$

==b)==

$x - \frac{x}{3} = \frac{x+1}{2} \quad | \cdot 6 \\ 6x -2x = 3(x+1) \\ 4x = 3x+3 \\ x = 3 $

==Oppgave 12==

Espresso og melk i forholdet 1: 3, altså fire deler til sammen. Dersom blandingen er 6dl utgjør en del $\frac 64$ = 1,5 dl. Tre deler blir da 4,5 dl.

==Oppgave 13==

==a)==

Fastlønn på kr. 50 og 5 kroner per solgt avis gir en lønn y på:

y = 5x + 50 , der x er antall solgte aviser.

==b)==

[[File:2018-UTRINN-13b.png]]

Grafen viser lønn som funksjon av antall solgte aviser i intervallet null til femti aviser.

==Oppgave 14==

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader. En femkant kan deles i tre trekanter så vinkelsummen blir tre ganger så stor, altså $540^{ \circ} $.

==Oppgave 15==

Sirkel A, radius x: $O_A = 2 \pi r = 2 \pi x$

Sirkel B, radius 2x: $O_B = 2 \pi r = 2 \pi (2x) = 4 \pi x$

Omkretsen av sirkel B er dobbelt så lang som omkretsen av sirkel A.

==Oppgave 16==
Vi kan løse denne oppgaven på to måter, addisjonsmetoden og innsettingsmetoden. Uavhengig av metode, setter vi opp likningssystemet først.

Pris ball : x

Pris bukse: y

<math> \left[ \begin{align*}2x+y=2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Addisjonsmetoden:

Ganger den første likningen med minus en og legger likningene sammen.

<math> \left[ \begin{align*}-2x-y=-2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

x= 900

Setter inn i likningen og finner at y= 300.

Buksen koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

Innsettingsmetoden:

Løser for y i første likning:

<math> \left[ \begin{align*}y=2100 -2x \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Setter så inn for y i andre likning:

<math> \left[ \begin{align*}y=2100-2x \\ 3x + (2100-2x) = 3000 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}y=2100-2x \\ x = 3000 - 2100 \end{align*}\right] </math>

x = 900.

Setter inn i første likning og finner at y=300.

Buksen koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

==Oppgave 17==

==a)==

Tre til fire timer: 25% $= \frac{25}{100} = \frac 14$

==b)==

30% av 63600:

$\frac{30 \cdot 63600}{100} =30 \cdot 636 = 19080$

19080 personer bruker mere enn fire timer i snitt foran en skjerm.

==Oppgave 18==

==a)==

Det horisontale kateter har lengden 10m - 4m - 2m = 4m, og det vertikale har lengden 3m.

Pytagoras: $x^2 = (4m)^2 + (3m)^2 = 25m^2 \\ x = \sqrt{25m^2} = 5m$

Lengden av x er 5 meter.

==b)==

Omkrets av sammensatt figur, begynner øverst i trekanten og går mot klokka:

O = 5,0 m + 10,0 m +5,0 m + 4,0 m + 3,0 m + 2,0 m + 5,0 m = 34,0 m

==c)==

Deler opp den sammensatte figuren i en trekant og to rektangler:

$A = \frac{3m \cdot 4m}{2} + 10m \cdot 2 m + 4m \cdot 3 m \\ A = 6m^2 + 20m^2 + 12m^2 \\ A = 38m^2$

==Oppgave 19==

Sylinder: $V_{sylinder} = \pi r^2h =\pi r^2 (2r)= 2 \pi r^3$

Kule: $V_{kule} = \frac 43 \pi r^3$

Kjegle: $V_{kjegle} = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac{\pi r^2 (2r)}{3} = \frac 23 \pi r^3$

$V_{kule} + V_{kjegle} = \frac 43 \pi r^3 + \frac 23 \pi r^3 = \frac 63 \pi r^3 =2 \pi r^3= V_{sylinder}$

Løsning del 1 utrinn Vår 18

2018-09-05T17:10:01Z

KristofferUlv: /* a) */

Vår 2018

===DEL EN===

==Oppgave 1==

==a)==

500g $\cdot$ 6 = 3000g = 3 kg

==b)==

3 km på 20 minutter. 20 minutter er $ \frac 13$ time: $v = \frac st = \frac{3km}{\frac13 time} = 3 km \cdot \frac 31 time= 9 $ km /t

Gjennomsnittsfarten er 9 km/h.

==Oppgave 2==

==a)==

$2^3 - 2 = 8-2 =6$

==b)==

$\frac{2^2\cdot 2^4}{2+2} = \frac{4 \cdot 16}{4} = 16$

==Oppgave 3==

$ 7,5 \quad \sqrt{64}=8 \quad 3\pi > 9,4 \quad \frac{36}{4} = 9$

Den laveste verdien er 7,5

==Oppgave 4==

==a)==

$1-( \frac 15 + \frac 14) = 1- (\frac{4}{20} + \frac{5}{20}) = 1- \frac{9}{20} = \frac{11}{20} = \frac{55}{100}$

Altså 55%

==b)==

$40 \cdot \frac 15 = 8 $, altså 8 strategispill.

==Oppgave 5==

For fire personer finnes det 4! mulige rekkefølger:

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

==Oppgave 6==

==a)==

Sannsynligheten for gul blir antall gunstige delt på antall mulige, altså: P ( gul) = $ \frac{23}{102}$.

==b)==

Sannsynligheten for ikke å trekke sort kan skrives slik: $P( \overline{sort})$

Tar de Nonstoppene som ikke er sorte og deler på antall mulige:

$P( \overline{sort}) = \frac{82}{102} = \frac{41}{51}$

==Oppgave 7==

$7500 000 000= 7 ,5\cdot 10^9 $

==Oppgave 8==

$48,50 : 13,90 = \\485 : 139 \approx 3,5$

Hun kjøper ca 3,5 hg smågodt.

==Oppgave 9==

$4y = 180^{\circ} \\ y= 45^{\circ}$

Vinkel y er 45 grader.

==Oppgave 10==

==a)==

3(a+2) -2a = 3a+ 6 -2a = a + 6

==b)==

$ \frac{a^2+a}{2a+2} = \frac{a(a+1)}{2(a+1)} = \frac a2$

==Oppgave 11==

==a)==

$6x+3 = 17 - x \\ 7x = 14 \\ x = 2$

==b)==

$x - \frac{x}{3} = \frac{x+1}{2} \quad | \cdot 6 \\ 6x -2x = 3(x+1) \\ 4x = 3x+3 \\ x = 3 $

==Oppgave 12==

Espresso og melk i forholdet 1: 3, altså fire deler til sammen. Dersom blandingen er 6dl utgjør en del $\frac 64$ = 1,5 dl. Tre deler blir da 4,5 dl.

==Oppgave 13==

==a)==

Fastlønn på kr. 50 og 5 kroner per solgt avis gir en lønn y på:

y = 5x + 50 , der x er antall solgte aviser.

==b)==

[[File:2018-UTRINN-13b.png]]

Grafen viser lønn som funksjon av antall solgte aviser i intervallet null til femti aviser.

==Oppgave 14==

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader. En femkant kan deles i tre trekanter så vinkelsummen blir tre ganger så stor, altså $540^{ \circ} $.

==Oppgave 15==

Sirkel A, radius x: $O_A = 2 \pi r = 2 \pi x$

Sirkel B, radius 2x: $O_B = 2 \pi r = 2 \pi (2x) = 4 \pi x$

Omkretsen av sirkel B er dobbelt så lang som omkretsen av sirkel A.

==Oppgave 16==
Vi kan løse denne oppgaven på to måter, addisjonsmetoden og innsettingsmetoden. Uavhengig av metode, setter vi opp likningssystemet først.

Pris ball : x

Pris bukse: y

<math> \left[ \begin{align*}2x+y=2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Addisjonsmetoden:

Ganger den første likningen med minus en og legger likningene sammen.

<math> \left[ \begin{align*}-2x-y=-2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

x= 900

Setter inn i likningen og finner at y= 300.

Buksen koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

Innsettingsmetoden:

Løser for y i første likning:

<math> \left[ \begin{align*}y=2100 -2x \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Setter så inn for y i andre likning:

<math> \left[ \begin{align*}y=2100-2x \\ 3x + (2100-2x) = 3000 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}y=2100-2x \\ x = 3000 - 2100 \end{align*}\right] </math>

x = 900.

Setter inn i første likning og finner at y=300.

Buksen koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

==Oppgave 17==

==a)==

Tre til fire timer: 25% $= \frac{25}{100} = \frac 14$

==b)==

30% av 63600:

$\frac{30 \cdot 63600}{100} =30 \cdot 636 = 19080$

19080 personer bruker mere enn fire timer i snitt foran en skjerm.

==Oppgave 18==

==a)==

Det horisontale kateter har lengden 10m - 4m - 2m = 4m, og det vertikale har lengden 3m.

Pytagoras: $x^2 = (4m)^2 + (3m)^2 = 25m^2 \\ x = \sqrt{25m^2} = 5m$

Lengden av x er 5 meter.

==b)==

Omkrets av sammensatt figur, begynner øverst i trekanten og går mot klokka:

O = 5,0 m + 10,0 m +5,0 m + 4,0 m + 3,0 m + 2,0 m + 5,0 m = 34,0 m

==c)==

Deler opp den sammensatte figuren i en trekant og to rektangler:

$A = \frac{3m \cdot 4m}{2} + 10m \cdot 2 m + 4m \cdot 3 m \\ A = 6m^2 + 20m^2 + 12m^2 \\ A = 38m^2$

==Oppgave 19==

Sylinder: $V_{sylinder} = \pi r^2h = 2 \pi r^3$

Kule: $V_{kule} = \frac 43 \pi r^3$

Kjegle: $V_{kjegle} = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac 23 \pi r^3$

$V_{kule} + V_{kjegle} = \frac 43 \pi r^3 + \frac 23 \pi r^3 = \frac 63 \pi r^3 =2 \pi r^3= V_{sylinder}$

Løsning del 1 utrinn Vår 18

2018-09-05T17:06:04Z

KristofferUlv: /* Oppgave 16 */ La til innsettningsmetoden

Vår 2018

===DEL EN===

==Oppgave 1==

==a)==

500g $\cdot$ 6 = 3000g = 3 kg

==b)==

3 km på 20 minutter. 20 minutter er $ \frac 13$ time: $v = \frac st = \frac{3km}{\frac13 time} = 3 km \cdot \frac 31 time= 9 $ km /t

Gjennomsnittsfarten er 9 km/h.

==Oppgave 2==

==a)==

$2^3 - 2 = 8-2 =6$

==b)==

$\frac{2^2\cdot 2^4}{2+2} = \frac{4 \cdot 16}{4} = 16$

==Oppgave 3==

$ 7,5 \quad \sqrt{64}=8 \quad 3\pi > 9,4 \quad \frac{36}{4} = 9$

Den laveste verdien er 7,5

==Oppgave 4==

==a)==

$1-( \frac 15 + \frac 14) = 1- (\frac{4}{20} + \frac{5}{20}) = 1- \frac{9}{20} = \frac{11}{20} = \frac{55}{100}$

Altså 55%

==b)==

$40 \cdot \frac 15 = 8 $, altså 8 strategispill.

==Oppgave 5==

For fire personer finnes det 4! mulige rekkefølger:

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

==Oppgave 6==

==a)==

Sannsynligheten for gul blir antall gunstige delt på antall mulige, altså: P ( gul) = $ \frac{23}{102}$.

==b)==

Sannsynligheten for ikke å trekke sort kan skrives slik: $P( \overline{sort})$

Tar de Nonstoppene som ikke er sorte og deler på antall mulige:

$P( \overline{sort}) = \frac{82}{102} = \frac{41}{51}$

==Oppgave 7==

$7500 000 000= 7 ,5\cdot 10^9 $

==Oppgave 8==

$48,50 : 13,90 = \\485 : 139 \approx 3,5$

Hun kjøper ca 3,5 hg smågodt.

==Oppgave 9==

$4y = 180^{\circ} \\ y= 45^{\circ}$

Vinkel y er 45 grader.

==Oppgave 10==

==a)==

3(a+2) -2a = 3a+ 6 -2a = a + 6

==b)==

$ \frac{a^2+a}{2a+2} = \frac{a(a+1)}{2(a+1)} = \frac a2$

==Oppgave 11==

==a)==

$6x+3 = 17 - x \\ 7x = 14 \\ x = 2$

==b)==

$x - \frac{x}{3} = \frac{x+1}{2} \quad | \cdot 6 \\ 6x -2x = 3(x+1) \\ 4x = 3x+3 \\ x = 3 $

==Oppgave 12==

Espresso og melk i forholdet 1: 3, altså fire deler til sammen. Dersom blandingen er 6dl utgjør en del $\frac 64$ = 1,5 dl. Tre deler blir da 4,5 dl.

==Oppgave 13==

==a)==

Fastlønn på kr. 50 og 5 kroner per solgt avis gir en lønn y på:

y = 5x + 50 , der x er antall solgte aviser.

==b)==

[[File:2018-UTRINN-13b.png]]

Grafen viser lønn som funksjon av antall solgte aviser i intervallet null til femti aviser.

==Oppgave 14==

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader. En femkant kan deles i tre trekanter så vinkelsummen blir tre ganger så stor, altså $540^{ \circ} $.

==Oppgave 15==

Sirkel A, radius x: $O_A = 2 \pi r = 2 \pi x$

Sirkel B, radius 2x: $O_B = 2 \pi r = 2 \pi (2x) = 4 \pi x$

Omkretsen av sirkel B er dobbelt så lang som omkretsen av sirkel A.

==Oppgave 16==
Vi kan løse denne oppgaven på to måter, addisjonsmetoden og innsettingsmetoden. Uavhengig av metode, setter vi opp likningssystemet først.

Pris ball : x

Pris bukse: y

<math> \left[ \begin{align*}2x+y=2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Addisjonsmetoden:

Ganger den første likningen med minus en og legger likningene sammen.

<math> \left[ \begin{align*}-2x-y=-2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

x= 900

Setter inn i likningen og finner at y= 300.

Buksen koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

Innsettingsmetoden:

Løser for y i første likning:

<math> \left[ \begin{align*}y=2100 -2x \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Setter så inn for y i andre likning:

<math> \left[ \begin{align*}y=2100-2x \\ 3x + (2100-2x) = 3000 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}y=2100-2x \\ x = 3000 - 2100 \end{align*}\right] </math>

x = 900.

Setter inn i første likning og finner at y=300.

Buksen koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

==Oppgave 17==

==a)==

Tre til fire timer: 25% $= \frac{25}{100} = \frac 14$

==b)==

30% av 63600:

$\frac{30 \cdot 63600}{100} =30 \cdot 636 = 19080$

19080 personer bruker mere enn fire timer i snitt foran en skjerm.

==Oppgave 18==

==a)==

Det horisontale kateter har lengden 10m - 4m - 2m = 4m, og det vertikale har lengden 3m.

Pytagoras: $x^2 = (4m)^2 + (3m)^2 = 25m^2 \\ x = \sqrt{25m^2} = 5m$

Lengden av x er fem meter.

==b)==

Omkrets av sammensatt figur, begynner øverst i trekanten og går mot klokka:

O = 5,0 m + 10,0 m +5,0 m + 4,0 m + 3,0 m + 2,0 m + 5,0 m = 34,0 m

==c)==

Deler opp den sammensatte figuren i en trekant og to rektangler:

$A = \frac{3m \cdot 4m}{2} + 10m \cdot 2 m + 4m \cdot 3 m \\ A = 6m^2 + 20m^2 + 12m^2 \\ A = 38m^2$

==Oppgave 19==

Sylinder: $V_{sylinder} = \pi r^2h = 2 \pi r^3$

Kule: $V_{kule} = \frac 43 \pi r^3$

Kjegle: $V_{kjegle} = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac 23 \pi r^3$

$V_{kule} + V_{kjegle} = \frac 43 \pi r^3 + \frac 23 \pi r^3 = \frac 63 \pi r^3 =2 \pi r^3= V_{sylinder}$

Løsning del 1 utrinn Vår 18

2018-09-05T16:50:08Z

KristofferUlv: /* Oppgave 8 */

Vår 2018

===DEL EN===

==Oppgave 1==

==a)==

500g $\cdot$ 6 = 3000g = 3 kg

==b)==

3 km på 20 minutter. 20 minutter er $ \frac 13$ time: $v = \frac st = \frac{3km}{\frac13 time} = 3 km \cdot \frac 31 time= 9 $ km /t

Gjennomsnittsfarten er 9 km/h.

==Oppgave 2==

==a)==

$2^3 - 2 = 8-2 =6$

==b)==

$\frac{2^2\cdot 2^4}{2+2} = \frac{4 \cdot 16}{4} = 16$

==Oppgave 3==

$ 7,5 \quad \sqrt{64}=8 \quad 3\pi > 9,4 \quad \frac{36}{4} = 9$

Den laveste verdien er 7,5

==Oppgave 4==

==a)==

$1-( \frac 15 + \frac 14) = 1- (\frac{4}{20} + \frac{5}{20}) = 1- \frac{9}{20} = \frac{11}{20} = \frac{55}{100}$

Altså 55%

==b)==

$40 \cdot \frac 15 = 8 $, altså 8 strategispill.

==Oppgave 5==

For fire personer finnes det 4! mulige rekkefølger:

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

==Oppgave 6==

==a)==

Sannsynligheten for gul blir antall gunstige delt på antall mulige, altså: P ( gul) = $ \frac{23}{102}$.

==b)==

Sannsynligheten for ikke å trekke sort kan skrives slik: $P( \overline{sort})$

Tar de Nonstoppene som ikke er sorte og deler på antall mulige:

$P( \overline{sort}) = \frac{82}{102} = \frac{41}{51}$

==Oppgave 7==

$7500 000 000= 7 ,5\cdot 10^9 $

==Oppgave 8==

$48,50 : 13,90 = \\485 : 139 \approx 3,5$

Hun kjøper ca 3,5 hg smågodt.

==Oppgave 9==

$4y = 180^{\circ} \\ y= 45^{\circ}$

Vinkel y er 45 grader.

==Oppgave 10==

==a)==

3(a+2) -2a = 3a+ 6 -2a = a + 6

==b)==

$ \frac{a^2+a}{2a+2} = \frac{a(a+1)}{2(a+1)} = \frac a2$

==Oppgave 11==

==a)==

$6x+3 = 17 - x \\ 7x = 14 \\ x = 2$

==b)==

$x - \frac{x}{3} = \frac{x+1}{2} \quad | \cdot 6 \\ 6x -2x = 3(x+1) \\ 4x = 3x+3 \\ x = 3 $

==Oppgave 12==

Espresso og melk i forholdet 1: 3, altså fire deler til sammen. Dersom blandingen er 6dl utgjør en del $\frac 64$ = 1,5 dl. Tre deler blir da 4,5 dl.

==Oppgave 13==

==a)==

Fastlønn på kr. 50 og 5 kroner per solgt avis gir en lønn y på:

y = 5x + 50 , der x er antall solgte aviser.

==b)==

[[File:2018-UTRINN-13b.png]]

Grafen viser lønn som funksjon av antall solgte aviser i intervallet null til femti aviser.

==Oppgave 14==

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader. En femkant kan deles i tre trekanter så vinkelsummen blir tre ganger så stor, altså $540^{ \circ} $.

==Oppgave 15==

Sirkel A, radius x: $O_A = 2 \pi r = 2 \pi x$

Sirkel B, radius 2x: $O_B = 2 \pi r = 2 \pi (2x) = 4 \pi x$

Omkretsen av sirkel B er dobbelt så lang som omkretsen av sirkel A.

==Oppgave 16==

Pris ball : x

Pris bukse: y

<math> \left[ \begin{align*}2x+y=2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Ganger den første likningen med minus en og legger likningene sammen.

<math> \left[ \begin{align*}-2x-y=-2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

x= 900

Setter inn i likning en og finner at y= 300.

Buksa koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

==Oppgave 17==

==a)==

Tre til fire timer: 25% $= \frac{25}{100} = \frac 14$

==b)==

30% av 63600:

$\frac{30 \cdot 63600}{100} =30 \cdot 636 = 19080$

19080 personer bruker mere enn fire timer i snitt foran en skjerm.

==Oppgave 18==

==a)==

Det horisontale kateter har lengden 10m - 4m - 2m = 4m, og det vertikale har lengden 3m.

Pytagoras: $x^2 = (4m)^2 + (3m)^2 = 25m^2 \\ x = \sqrt{25m^2} = 5m$

Lengden av x er fem meter.

==b)==

Omkrets av sammensatt figur, begynner øverst i trekanten og går mot klokka:

O = 5,0 m + 10,0 m +5,0 m + 4,0 m + 3,0 m + 2,0 m + 5,0 m = 34,0 m

==c)==

Deler opp den sammensatte figuren i en trekant og to rektangler:

$A = \frac{3m \cdot 4m}{2} + 10m \cdot 2 m + 4m \cdot 3 m \\ A = 6m^2 + 20m^2 + 12m^2 \\ A = 38m^2$

==Oppgave 19==

Sylinder: $V_{sylinder} = \pi r^2h = 2 \pi r^3$

Kule: $V_{kule} = \frac 43 \pi r^3$

Kjegle: $V_{kjegle} = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac 23 \pi r^3$

$V_{kule} + V_{kjegle} = \frac 43 \pi r^3 + \frac 23 \pi r^3 = \frac 63 \pi r^3 =2 \pi r^3= V_{sylinder}$

Løsning del 1 utrinn Vår 18

2018-09-05T16:43:51Z

KristofferUlv: /* b) */ mellomregning

Vår 2018

===DEL EN===

==Oppgave 1==

==a)==

500g $\cdot$ 6 = 3000g = 3 kg

==b)==

3 km på 20 minutter. 20 minutter er $ \frac 13$ time: $v = \frac st = \frac{3km}{\frac13 time} = 3 km \cdot \frac 31 time= 9 $ km /t

Gjennomsnittsfarten er 9 km/h.

==Oppgave 2==

==a)==

$2^3 - 2 = 8-2 =6$

==b)==

$\frac{2^2\cdot 2^4}{2+2} = \frac{4 \cdot 16}{4} = 16$

==Oppgave 3==

$ 7,5 \quad \sqrt{64}=8 \quad 3\pi > 9,4 \quad \frac{36}{4} = 9$

Den laveste verdien er 7,5

==Oppgave 4==

==a)==

$1-( \frac 15 + \frac 14) = 1- (\frac{4}{20} + \frac{5}{20}) = 1- \frac{9}{20} = \frac{11}{20} = \frac{55}{100}$

Altså 55%

==b)==

$40 \cdot \frac 15 = 8 $, altså 8 strategispill.

==Oppgave 5==

For fire personer finnes det 4! mulige rekkefølger:

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

==Oppgave 6==

==a)==

Sannsynligheten for gul blir antall gunstige delt på antall mulige, altså: P ( gul) = $ \frac{23}{102}$.

==b)==

Sannsynligheten for ikke å trekke sort kan skrives slik: $P( \overline{sort})$

Tar de Nonstoppene som ikke er sorte og deler på antall mulige:

$P( \overline{sort}) = \frac{82}{102} = \frac{41}{51}$

==Oppgave 7==

$7500 000 000= 7 ,5\cdot 10^9 $

==Oppgave 8==

$48,50 : 13,90 = \\485 : 139 \approx 3,5$

Hun kjøper ca 3,5 hl smågodt.

==Oppgave 9==

$4y = 180^{\circ} \\ y= 45^{\circ}$

Vinkel y er 45 grader.

==Oppgave 10==

==a)==

3(a+2) -2a = 3a+ 6 -2a = a + 6

==b)==

$ \frac{a^2+a}{2a+2} = \frac{a(a+1)}{2(a+1)} = \frac a2$

==Oppgave 11==

==a)==

$6x+3 = 17 - x \\ 7x = 14 \\ x = 2$

==b)==

$x - \frac{x}{3} = \frac{x+1}{2} \quad | \cdot 6 \\ 6x -2x = 3(x+1) \\ 4x = 3x+3 \\ x = 3 $

==Oppgave 12==

Espresso og melk i forholdet 1: 3, altså fire deler til sammen. Dersom blandingen er 6dl utgjør en del $\frac 64$ = 1,5 dl. Tre deler blir da 4,5 dl.

==Oppgave 13==

==a)==

Fastlønn på kr. 50 og 5 kroner per solgt avis gir en lønn y på:

y = 5x + 50 , der x er antall solgte aviser.

==b)==

[[File:2018-UTRINN-13b.png]]

Grafen viser lønn som funksjon av antall solgte aviser i intervallet null til femti aviser.

==Oppgave 14==

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader. En femkant kan deles i tre trekanter så vinkelsummen blir tre ganger så stor, altså $540^{ \circ} $.

==Oppgave 15==

Sirkel A, radius x: $O_A = 2 \pi r = 2 \pi x$

Sirkel B, radius 2x: $O_B = 2 \pi r = 2 \pi (2x) = 4 \pi x$

Omkretsen av sirkel B er dobbelt så lang som omkretsen av sirkel A.

==Oppgave 16==

Pris ball : x

Pris bukse: y

<math> \left[ \begin{align*}2x+y=2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

Ganger den første likningen med minus en og legger likningene sammen.

<math> \left[ \begin{align*}-2x-y=-2100 \\ 3x + y = 3000 \end{align*}\right] </math>

x= 900

Setter inn i likning en og finner at y= 300.

Buksa koster 300 kroner og ballen koster 900 kroner.

==Oppgave 17==

==a)==

Tre til fire timer: 25% $= \frac{25}{100} = \frac 14$

==b)==

30% av 63600:

$\frac{30 \cdot 63600}{100} =30 \cdot 636 = 19080$

19080 personer bruker mere enn fire timer i snitt foran en skjerm.

==Oppgave 18==

==a)==

Det horisontale kateter har lengden 10m - 4m - 2m = 4m, og det vertikale har lengden 3m.

Pytagoras: $x^2 = (4m)^2 + (3m)^2 = 25m^2 \\ x = \sqrt{25m^2} = 5m$

Lengden av x er fem meter.

==b)==

Omkrets av sammensatt figur, begynner øverst i trekanten og går mot klokka:

O = 5,0 m + 10,0 m +5,0 m + 4,0 m + 3,0 m + 2,0 m + 5,0 m = 34,0 m

==c)==

Deler opp den sammensatte figuren i en trekant og to rektangler:

$A = \frac{3m \cdot 4m}{2} + 10m \cdot 2 m + 4m \cdot 3 m \\ A = 6m^2 + 20m^2 + 12m^2 \\ A = 38m^2$

==Oppgave 19==

Sylinder: $V_{sylinder} = \pi r^2h = 2 \pi r^3$

Kule: $V_{kule} = \frac 43 \pi r^3$

Kjegle: $V_{kjegle} = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac 23 \pi r^3$

$V_{kule} + V_{kjegle} = \frac 43 \pi r^3 + \frac 23 \pi r^3 = \frac 63 \pi r^3 =2 \pi r^3= V_{sylinder}$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T14:04:45Z

KristofferUlv: /* d) */

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{72}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Lager en linje $y = 7,4$ og finner skjæringspunkt mellom linjen og grafene. Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke veldig god, viser litt lave tall for 2011 og 2012, men gir et ganske greit bilde av utviklingen.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mer utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er

$(S(n))^2 - n^4 \\= (3n^2)^2 - n^4 \\=9n^4-n^4\\= 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T14:04:29Z

KristofferUlv: /* d) */ ryddigere

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{72}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Lager en linje $y = 7,4$ og finner skjæringspunkt mellom linjen og grafene. Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke veldig god, viser litt lave tall for 2011 og 2012, men gir et ganske greit bilde av utviklingen.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mer utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er

$S(n))^2 - n^4 \\= (3n^2)^2 - n^4 \\=9n^4-n^4\\= 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:55:25Z

KristofferUlv: /* b) */

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{72}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Lager en linje $y = 7,4$ og finner skjæringspunkt mellom linjen og grafene. Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke veldig god, viser litt lave tall for 2011 og 2012, men gir et ganske greit bilde av utviklingen.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mer utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:50:29Z

KristofferUlv: /* c) */ Omformulering/endret meningen

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{72}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Lager en linje $y = 7,4$ og finner skjæringspunkt mellom linjen og grafene. Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke veldig god, viser litt lave tall for 2011 og 2012, men gir et ganske greit bilde av utviklingen.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:44:20Z

KristofferUlv: /* c) */

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{72}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Lager en linje $y = 7,4$ og finner skjæringspunkt mellom linjen og grafene. Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke god. Den estimerer for lave salgstall i 2011-2013 (se figur i a), og så urealistisk høye salgstall etter 2014.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:31:16Z

KristofferUlv: /* a) */ Skrivefeil

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{72}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke god. Den estimerer for lave salgstall i 2011-2013 (se figur i a), og så urealistisk høye salgstall etter 2014.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:25:10Z

KristofferUlv: /* a) */

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet.

Likningen for en rett linje er gitt som y= ax + b, hvor a er stigningstallet og b er skjæring med y-aksen.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke god. Den estimerer for lave salgstall i 2011-2013 (se figur i a), og så urealistisk høye salgstall etter 2014.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:21:37Z

KristofferUlv: /* b) */ skriveleif

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene (30, 50 og 65) og gange disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca. 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet. Likningen for en rett linje er gitt som

y= ax + b.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke god. Den estimerer for lave salgstall i 2011-2013 (se figur i a), og så urealistisk høye salgstall etter 2014.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:16:26Z

KristofferUlv: /* Oppgave 4 */ omskriving

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= \frac{500138}{1,032^{10}}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene og gande disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet. Likningen for en rett linje er gitt som

y= ax + b.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke god. Den estimerer for lave salgstall i 2011-2013 (se figur i a), og så urealistisk høye salgstall etter 2014.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:15:14Z

KristofferUlv: /* Oppgave 3 */ omskriving

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}} = \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}} \\ = 2^6 \cdot 2^{-6} \cdot 2^2\\= 2^{6-6+2}\\= 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= 500138 \cdot 1,032^{-10}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene og gande disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet. Likningen for en rett linje er gitt som

y= ax + b.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke god. Den estimerer for lave salgstall i 2011-2013 (se figur i a), og så urealistisk høye salgstall etter 2014.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2015 høst LØSNING

2018-02-18T13:10:51Z

KristofferUlv: /* Oppgave 1 */ Mer forklaring

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41274 Diskusjon av denne oppgaven]

*[http://matematikk.net/res/eksamen/2P/2P_H15.pdf Oppgaven som pdf]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41334&view=unread#p194276 Løsningsforslag laget av matteprat-bruker Knutdl]

==DEL EN==

===Oppgave 1===

Prisen er satt ned med 30 %, det vil si at 280 kr er de gjenværende 70 %. Finner ut hvor mye 1 % er:

$\frac{280}{70} = 4$

1% er 4 kr. Da er 100 % (førpris) lik $4 \text{ kr } \cdot 100 = 400$ kr.

===Oppgave 2===

$3,4 \cdot 10^9 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \\ 3,4 \cdot 4 \cdot 10^{9-3}\\ 13,6 \cdot 10^{6} \\ 1,36 \cdot 10^7$

===Oppgave 3===

$\frac{4^3\cdot 2^{-6}}{4^0 \cdot 2^{-2}}= \\ \frac{(2^2)^3 \cdot 2^{-6}}{1 \cdot 2^{-2}}= \\ 2^{6-6-(-2)}= \\ 2^2= 4$

===Oppgave 4===

Beløpet hun vant: x

Vekstfaktor til 3,2%: 1,032

Tid: 10 år

Uttrykk : $x \cdot 1,032^{10} = 500138 \\ x= 500138 \cdot 1,032^{-10}$

===Oppgave 5===

Omkrets av jorden: 40 000km = 40 000 000 meter.

Antall personer: $\frac{40000000}{1,6}= \\ \frac{4\cdot 10^{7}}{1,6} = \\ 2,5 \cdot 10^7$

Altså ca. 25 millioner mennesker (mange av dem må være svømmedyktige).

===Oppgave 6===

===a)===

Når man jobber med klassedelt materiale må man forutsette at observasjonene fordeler seg jevnt utover i klassens intervall. Dette er trolig ikke tilfelle, men det beste vi kan forutsette siden vi ikke har detaljkunnskap inne hver klasse. Feilen fra denne forutsetningen blir ofte liten. Median av hundre verdier er gjennomsnittet av verdi 50 og 51. Vi ser at i bedrift A er begge disse i klassen 20 - 40 år. Dvs medianalderen er under 40 år i bedrift A. I bedrift B ligger den i klassen 40 - 60 år, altså høyere.

===b)===

Gjennomsnittet i klassedelt materiale finnes ved å finne klassemidtpunktene i hver av klassene og gande disse med respektive frekvenser. Summer alt og del på antall observasjoner.

Gjennomsnitt bedrift B:

$ \frac{30 \cdot 35+50 \cdot 45 + 65 \cdot 20 }{100}=\frac{ 1050+2250 +1300}{100} = \frac{4600}{100} = 46$

Gjennomsnittsalderen er ca 46 år i bedrift B.

===Oppgave 7===

===a)===
Vi har to punkter og skal lage en lineær modell, (1,60) og (5,90). På 4 uker øker treningsmengden med 30 minutter.

På en uke øker den med $30: 4= 7,5$ som er det vi kaller stigningstallet. Likningen for en rett linje er gitt som

y= ax + b.

I vårt tilfelle blir det

y= 7,5x + b

Vi bruker første punktet (1, 60) og setter inn for x og y og får

$60 = 7,5 \cdot 1 + b \\ b= 60 - 7,5 \\ b= 52,5$

Modellen blir da

y = 7,5x + 52,5

===b)===

I uke 40 betyr det at x = 40 i uttrykket:

$y = 7,5 \cdot 40 + 52,5 \\ y = 300 + 52,5 \\ y = 352,5 \quad minutter$

Hun må trene 5 timer og 52 minutter og 30 sekunder, eller ca. seks timer i uken.

===Oppgave 8===

Vi leser av figuren i oppgaven og ser at startverdien er 10 000 bakterier. Etter en time er det 9000 bakterier. Det betyr at antall bakterier minker med 10% per time. Det gir en vekstfaktor på 0,90.

Uttrykket blir da: $B(x)= 10000 \cdot 0,90^x$

Der x er tidsenheter, i dette tilfelle timer.

===Oppgave 9===

===a)===

Det er 20 elever i hver klasse!!! (Altså et sted uten stykkprisfinansiering).

1A: Gjennomsnitt: $\frac{5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,4$

1B: Gjennomsnitt: $\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{20} \\ \frac{68}{20} = 3,6$

Gjennomsnittet i 1A er 3,4 , og i 1B er det 3,6.

===b)===

Standardavvik er et mål på spredningen i datamaterialet. Vi er ikke bedt om å regne ut standardavviket, bare begrunne i hvilken klasse det er størst. Dersom mange observasjoner ligger langt fra gjennomsnittet er standardavviket stort. I klasse 1A ser vi at det er mange som har karakter 1 og 2, og 5 og 6. Det er karakterer som ligger langt fra gjennomsnittet på 3,4. Det er faktisk bare tre elever som ligger i det området. I klasse 1B er det 11 elever som ligger rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er derfor størst i 1A.

===c)===

{| width="auto"
| Karakter
|Antall (frekvens) A
|Kumulativ A
|Antall(frekvens) B
|Kumulativ B
|-
| 1
|5
|5
|1
|1
|-
|2
|4
|9
|3
|4
|-
|3
|2
|11
|5
|9
|-
|4
|1
|12
|6
|15
|-
|5
|3
|15
|4
|19
|-

|6
|5
|20
|1
|20
|}

Den kumulative frekvens for 3 i 1A er 11. Det betyr at 11 personer i klassen har 3 eller dårligere. Den kumulative frekvensen i 1B er 9.

===d)===

Den relative frekvensen for 6 i 1A er $ \frac{5}{20} = \frac 14$

Den relative frekvensen for 6 i 1B er $ \frac {1}{20}$

===Oppgave 10===

===a)===

Det er fire markante temperaturfall på vannet, derfor er det fire personer som dusjer, dersom de dusjer en og en.

===b)===

Den lengste dusjperioden er på ca. 12,5 minutter. I den perioden faller temperaturen 4 grader. Den siste som dusjer, bruker 10 minutter, men da er temperaturfallet over 6 grader ( ikke en del av spørsmålet, men en interesant observasjon).

===c)===

Kl. 7:10 er temperaturen 56 grader. Kl 7:30 er den 58 grader. Det betyr at den stiger en grad på 10 min. Den skal opp til 70 grader, det er 12 grader fra hva den var 7:30. Den bruker da 120 minutter på det. Temperaturen er 70 grader to timer etter 7:30, altså 9:30.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2015-21a.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-abc.png]]

===b)===

Geir la på seg: $10,25kg - 3,7 kg = 6,55 kg$

Janne la på seg: $ 9,59kg - 3,7 kg = 5,89 kg$

===c)===

Fra figuren i a ser man at det går ca 4,5 måneder før vekten til Geir er doblet, og ca. 5,5 før det samme skjer med Janne.

===d)===

$\frac{G(12)-G(0)}{12} =\frac{6,55}{12}= 0,55$

Den gjennomsnittlige månedlige veksten er 0,55 kilogram per måned det første året.

$\frac{G(2)-G(0)}{2} =\frac{2,01}{2} =1$

Den gjennomsnittlige veksten de første to månedene er 1 kg per måned.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-eks-h15-3a.png]]

===b)===

Vekstfaktoren er 3,27. Da er den årlige prosentvise økningen 227%

===c)===

Modellen er ikke god. Den estimerer for lave salgstall i 2011-2013 (se figur i a), og så urealistisk høye salgstall etter 2014.

==Oppgave 4==

===a)===
[[File:2p-h2015-23a.png]]

[[File:2p-h2015-23a2.png]]

===b)===

Det blåser sterkere på Vestlandet. Ikke så rart siden det er mere utsatt i forhold til fremherskende vindretninger. Forskjell i gjennomsnitt er på over 5 m/s. Variasjon i vindstyrke er også størst på Vestlandet. Det kan skyldes at målingene her er gjort langs en betydelig lengre kyststripe og svært varierende topografiske forhold, Vi observerer blant annet at de tre målingene på Nord Vestlandet alle ligger godt under gjennomsnittet for området totalt.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2015-24a1.png]]
[[File:2p-h2015-24a2.png]]

===b)===

Samlede renteinntekter er 47 281 kroner.

==Oppgave 6==

===a)===

$T(x)= \frac{L \cdot (v-1)\cdot v^x}{v^x-1} = \frac{1000000 \cdot 0,035 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1} = \frac{35000 \cdot 1,035^x}{1,035^x-1}$

===b)===

[[File:2p-eks-h-2015-6b.png]]

===c)===

Fra figuren i b ser man at 20 terminer gir et terminbeløp i overkant av 70 000 kroner.

===d)===

Fra figuren i b ser man at et terminbeløp på 50 000 kroner, gir 35 terminer.

==Oppgave 7==

===a)===

Man ser at i det første kvadratet er arealet av det sorte kvadratet lik 1. I den andre kvadratet er arealet av et sort kvadrat $2^2$, og antall kvadrater er også $2^2$. Det totale arealet blir da $A(2)= 2^2 \cdot 2^2 = 2^4$. I den tredje figuren er arealet av ett sort kvadrat lik $3^2$ og antallet er $3^2$. Det totale arealet av sorte kvadrater i figur tre er da $A(3)= 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$. Figur n vil da ha et totalt sort areal på $A(n)= n^4$.

Figur fire: $A(4)= 4^4 = 256$

===b)===

Se oppgave a.

===c)===
Figurene er

1, 2, 3.

Kvadratet av disse er:

1, 4, 9.

Antall hvite kvadrater på nederste rad er:

3, 12, 27.

Man observerer at kvadratet av figurnummeret må multipliseres med 3 for å få antall hvite kvadrater på nederste rad: $S(n)= 3n^2$

Løst ved regresjon på Geogebra:

[[File:2p-eks-h-2015-7c.png]]

===d)===

Det totale antall hvite kvadrater er:

Antall kvadrater minus antall svarte kvadrater, som er
$(S(n))^2 - n^4 = \\ (3n^2)^2 - n^4 =\\9n^4-n^4=\\ 8n^4$

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-22T18:57:26Z

KristofferUlv: /* b) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 og 101, når det er rangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

Matematisk kan vi løse det slik:

$370 = 25x + 120 \\ 370 - 120 = 25x \\ 250 = 25x \\ 10 = x $

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode. Det kan sees ved at det vokser mer og mer for større x.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1\ 000\ 000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4\ 600\ 000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten 13,69 timer etter midnatt, altså kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten 7,63 og 19,67 timer etter midnatt, altså kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

Dette kan også løses ved å bruke «linje» og ikke «linjestykke mellom to punkt» og lese av stigningstallet fra funksjonsuttrykket.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

Hvite: her ser vi med en gang fra tabellen og figurene at det er kvadrattall, $n^2$.

Blå: her kan vi regne ut på to måter:

Kun de blå: $4(n+1) = 4n + 4$

Totalt antall rektangler minus hvite rektangler:

$(n+2)^2 - n^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 = 4n + 4$

Alle (som nevnt): $(n+2)^2 = n^2+4n + 4$
===b)===

Legg merke til at $81 = 9^2$. Fra formelen for totalt antall rektangler ser vi at $9 = (n+2)$ som vil si at $n=7$. Vi trenger derfor $n^2 = 7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Skriver inn formelen for totalt antall rektangler som funksjon i Geogebra og finner at det er snakk om figur nr. 34 (ved å skrive y=1296 og finne skjæring med grafen). Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med $20 \: 000 - 8\: 687,77 = 11\: 312,23$ tonn

$\frac{11\: 312,23 \cdot 100}{20\: 000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-22T18:34:51Z

KristofferUlv: /* Oppgave 4 */ Var litt vanskelig forklart

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 og 101, når det er rangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

Matematisk kan vi løse det slik:

$370 = 25x + 120 \\ 370 - 120 = 25x \\ 250 = 25x \\ 10 = x $

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode. Det kan sees ved at det vokser mer og mer for større x.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1\ 000\ 000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4\ 600\ 000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten 13,69 timer etter midnatt, altså kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten 7,63 og 19,67 timer etter midnatt, altså kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

Dette kan også løses ved å bruke «linje» og ikke «linjestykke mellom to punkt» og lese av stigningstallet fra funksjonsuttrykket.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

Hvite: her ser vi med en gang fra tabellen og figurene at det er kvadrattall, $n^2$.

Blå: her kan vi regne ut på to måter:

Kun de blå: $4(n+1) = 4n + 4$

Totalt antall rektangler minus hvite rektangler:

$(n+2)^2 - n^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 = 4n + 4$

Alle (som nevnt): $(n+2)^2 = n^2+4n + 4$
===b)===

Legg merke til at $81 = 9^2$. Fra formelen for totalt antall rektangler ser vi at $9 = (n+2)$ som vil si at $n=7$. Vi trenger derfor $n^2 = 7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Skriver inn formelen for totalt antall rektangler som funksjon i Geogebra og finner at det er snakk om figur nr. 34 (ved å skrive y=1296 og finne skjæring med grafen). Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-22T18:08:35Z

KristofferUlv: /* Oppgave 3 */ Ekstra forklaring

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 og 101, når det er rangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

Matematisk kan vi løse det slik:

$370 = 25x + 120 \\ 370 - 120 = 25x \\ 250 = 25x \\ 10 = x $

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode. Det kan sees ved at det vokser mer og mer for større x.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1\ 000\ 000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4\ 600\ 000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten 13,69 timer etter midnatt, altså kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten 7,63 og 19,67 timer etter midnatt, altså kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

Dette kan også løses ved å bruke «linje» og ikke «linjestykke mellom to punkt» og lese av stigningstallet fra funksjonsuttrykket.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-21T18:44:00Z

KristofferUlv: /* Oppgave 8) */ La inn mellomrom i de store tallene

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 og 101, når det er rangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

Matematisk kan vi løse det slik:

$370 = 25x + 120 \\ 370 - 120 = 25x \\ 250 = 25x \\ 10 = x $

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode. Det kan sees ved at det vokser mer og mer for større x.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1\ 000\ 000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4\ 600\ 000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-21T18:41:03Z

KristofferUlv: /* Oppgave 7) */ Ekstra formulering

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 og 101, når det er rangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

Matematisk kan vi løse det slik:

$370 = 25x + 120 \\ 370 - 120 = 25x \\ 250 = 25x \\ 10 = x $

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode. Det kan sees ved at det vokser mer og mer for større x.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1000000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4600000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-21T18:39:00Z

KristofferUlv: /* Oppgave 6) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 og 101, når det er rangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

Matematisk kan vi løse det slik:

$370 = 25x + 120 \\ 370 - 120 = 25x \\ 250 = 25x \\ 10 = x $

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1000000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4600000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-21T18:34:53Z

KristofferUlv: /* c) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 og 101, når det er rangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1000000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4600000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-21T18:33:29Z

KristofferUlv: /* b) */ Kommafeil + ekstra utregning

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer, som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = \frac{6700}{200}= 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 ig 101, når det er arrangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1000000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4600000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-21T18:27:11Z

KristofferUlv: /* Oppgave 2) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7\:500\: 000\: 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 ig 101, når det er arrangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1000000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4600000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 vår LØSNING

2017-11-21T18:25:48Z

KristofferUlv: /* Oppgave 1) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=43026 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1099 Del 1 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1100 Del 2 Løsningsforslag laget av mattepratbruker jøgge]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1103 Løsningsforslag fra mattepratbruker Oyan]

=DEL EN=

==Oppgave 1)==

Temperaturene i stigende rekkefølge

-6, -4, 0, 2, 2, 6.

Variasjonsbredde: 6 - ( - 6 ) = 12

Variasjonsbredden er 12 grader.

Median: $\frac {0+2}{2} = 1$

Median er 1 grad.

Gjennomsnitt: $\frac{-6 +(-4)+0+2+2+6}{6} = \frac 06 =0$

Gjennomsnittstemperaturen denne perioden er null grader celsius.

==Oppgave 2)==

Forutsetter at en måned er 30 dager.

$7500 000 000 \cdot 2 \cdot 30 = \\ 7,5 \cdot 10^9 \cdot 6,0 \cdot 10 = \\7,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{10} = \\ 45 \cdot 10^{10} = 4,5 \cdot 10^{11}$

==Oppgave 3)==

Pris bukse i butikk A: 150 kr, og i butikk B: 120 kr.
===a)===

$\frac{150-120}{120} = \frac 14 = 25$%

Buksene er 25% dyrere i butikk A, i forhold til i butikk B.

===b)===

$\frac{150-120}{150} = \frac 15 = 20$%

Buksene er 20% billigere i butikk B, i forhold til i butikk A.

==Oppgave 4)==

Pris på jakke uten MVA:

$x \cdot 1,25 = 750 \\ x= \frac{750}{1,25} = 600$

Jakken koster 600 kroner uten MVA, altså er merverdiavgiften 150 kroner.

==Oppgave 5)==

===a)===

For å finn histogramhøyden tar man frekvens delt på klassebredde, for hver enkelt klasse.

[[File:2p-v16-1-5a1.png]]

[[File:2p-v16-1-5a2.png]]

===b)===

Gjennomsnitt i klassedelt materiale: vi antar at elementene i klassen (personer) fordeler seg jevnt utover i klassen. Kan da bruke klassemiddpunkt (alder) og multiplisere med frekvens.

{| width="auto"
| Klasse
|klassemidtpunkt - m
|frekvens - f
| m * f
|-
|[0,10>
|5
|40
|200
|-
|[10, 20>
|15
|20
|300
|-
|[20, 30>
|25
|60
|1500
|-
|[30, 50>
|40
|20
|800
|-
|[50, 60>
|55
|20
|1100
|-
|[60, 80>
|70
|40
|2800
|}

For å finne gjennomsnittet tar man summen av alle produktene m*f og deler på antall personer som er 200.

$\frac{\sum(m \cdot f)}{200} = \frac{200 + 300 +1500 + 800 + 1100 + 2800}{200} = 33,5$

Gjennomsnittsalderen på beboerne i blokka er ca 33,5 år.

===c)===

Medianalderen er gjennomsnittet av person nr. 100 ig 101, når det er arrangert i stigende rekkefølge. Disse personene befinner seg i klassen 20 - 30 år. I denne klassen er det 6 personer på hvert årstrinn hvilket betyr at medianalderen er ca. 27 år. Aurora er ca. fem år eldre enn medianalderen, men kan jo trøste seg med at hun er yngre enn gjennomsnittet.

==Oppgave 6)==

===a)===

[[File:2p-v16-1-6abc.png]]

Vi plotter punktene i et koordinatsystem og trekker en rett linje. Denne linjen skjærer y aksen i 120, og stiger med 25 for hver enhet mot høyre på x-aksen.

y-aksen er timelønn og x-aksen er antall enheter.

===b)===

Den rette linjen i a har uttrykket y = 25x + 120.

Det betyr at fastlønna er 120 kroner og at hun i tillegg tjener 25 kroner for hvert produkt hun selger.

===c)===

Fra grafen i a ser man at hun må selge 10 produkter.

==Oppgave 7)==

===a)===

Dersom noe øker eksponentielt betyr det at det vokser med en fast prosent hver tidsperiode.

===b)===

b er eneste kurve som oppfyller kravet i a. c vokser lineært, altså med en fast størrelse hver tidsperiode. a vokser mindre etter en stund, noe som kan minne om logistisk vekst (ikke pensum i 2P).

==Oppgave 8)==

Skriver alle tallene på standardform:

$ 0,046\cdot 10^{11}= 4,6 \cdot 10^{9} \\ \frac{46}{1000000}= 0,000046 = 4,6 \cdot 10^{-5} \\ 46\cdot 10^{-7} =4,6 \cdot 10^{-6} \\ 4600000 = 4,6 \cdot 10^6 \\ 4,6 \cdot 10^8 \\ 0,46\cdot 10^{-6 } = 4,6 \cdot 10^{-7} $

Faktoren 4,6 går igjen i alle tallene og vi kan sortere etter størrelse ved å se på eksponenten i tierpotensen:

I stigende rekkefølge: $10^{-7}, 10^{-6}, 10^{-5}, 10^6, 10^8, 10^9.$

==Oppgave 9)==

Vi ser at kumulativ frekvens er 20 - altså 20 elever totalt.

Kumulativ frekvens for 6-11 er 15, det betyr at frekvensen må være 10. Relativ frekvens er frekvensen delt på 20. "Nøster" vi opp slik får man følgende tabell:

{| width="auto"
| Antall land
|Frekvens
|Relativ frekvens
| Kumulativ frekvens
|-
|[1,6>
|5
|0,25
|5
|-
|[6, 11>
|10
|0,5
|15
|-
|[11, 16>
|2
|0,1
|17
|-
|[16, 21>
|2
|0,1
|19
|-
|[21, 26>
|1
|0,05
|20
|}

=DEL TO=

==Oppgave 1==

[[File:2p-v16-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

Bruker dataanalyseverktøyet i Geogebra og får:

[[File:2p-v16-2-2a.png]]

gjennomsnittet er 28,7 minutter og standardavviket er 3,6.

===b)===

Grete har et jevnere tempo på turene sine. Et lavt standardavvik forteller at det er liten sprik i måleverdiene.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-v16-2-3a.png]]

===b)===

Den stod 52,2 grader over horisonten kl. 13:41. Se figur i a. (Har regnet om fra desimal tid).

===c)===

Solen stod 20 grader over horisonten kl. 07:38 og klokken 19:40.

===d)===

Solen stiger i gjennomsnitt med ca. 6,5 grader per time i perioden 05:00 til 12:00.

==Oppgave 4==

===a)===

{| width="auto"
| Figur
|Ant. hvite rektangler
|ant. blå rektangler
|Ant. rektangler totalt
|-
| 1
|1
|8
|9
|-
|2
|4
|12
|16
|-
|3
|9
|16
|25
|-
|4
|16
|20
|36
|-
|n
| $n^2$
|$4n + 4$
|$n^2+4n+4$
|}

===b)===

9 ganger 9 er 81, altså blir det figur nr 7 (n + 2) , det betyr at man trenger $7^2 = 49$ hvite rektangler.

===c)===

[[File:2p-v16-2-4c.png]]

Bruker Figuren laget i Geogebra til å finne at det er snakk om figur nr 34.
Antall blå rektangler blir da $4 \cdot 34 + 4= 140$

==Oppgave 5==

===a)===
[[File:2p-v16-2-5a1.png]]

[[File:2p-v16-2-5a2.png]]

===b)===

Bedriften har redusert utslippene med 20.000 - 8687,77 = 11312,23 tonn

$\frac{11312,23 \cdot 100}{20000}$ = 56,7%

Reduksjonen var på 56,7% over 10 år.

===c)===

Løser likningen i CAS:

[[File:2p-v16-2-5c.png]]

En vekstfaktor på 0,87 tilsvarer en reduksjon på 13% per år.

==Oppgave 6==

===a)===

{| width="auto"
| Lengde av hver side
i kvadratene som
klippes bort
|Lengde av eske
|Bredde av eske
|Høyde av eske
|Volum av eske
|-
| 4 cm
|$20cm - 2\cdot 4cm = 12 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 6 cm$
|4cm
| $288cm^3$
|-
| 3 cm
|$20cm - 2\cdot 3cm = 14 cm$
|$14cm - 2 \cdot 4 cm = 8 cm$
|3cm
| $336cm^3$
|-
| 2,5 cm
|$20cm - 2\cdot 2,5cm = 15 cm$
|$14cm - 2 \cdot 2,5 cm = 9 cm$
|2,5 cm
| $337,5cm^3$
|-
| x cm
|$20cm - 2\cdot x $
|$14cm - 2 \cdot x$
|x
| $4x^3-68x^2+280x$
|}

===b)===

[[File:2p-v16-2-6b.png]]

Esken får sitt største volum når sidekantene i kvadratene som klippes bort er 2,7 cm. Volumet er da 339 $cm^3$.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden trykket avtar med en fast prosent per km er dette eksponentiell vekst (om enn negativ) med vekstfaktor 1 - 0,12 = 0,88. Dersom vi i tillegg til sitat 1 inkluderer informasjonen om lufttrykket ved havets overflate kan vi sette opp modellen:

$f(x) = 1000 \cdot 0,88^x$

Der x er kilometer over havets overflate.

[[File:2p-v16-2-7a.png]]

===b)===

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km opp fra havoverflaten

[[File:2p-v16-2-7b.png]]

Vi observerer at den eksponentielle tilpasningen gir en modell praktisk talt lik den i a.

===c)===

Dette er en lineær modell som trolig virker bra til en hvis høyde over havet. Store høyder gir trolig store feil.

For å finne hvor mye trykket avtar per 1000 meter tar vi 1000:8 = 125 (hPa)

h(x)= -125x + 1000

[[File:2p-v16-2-7c.png]]

Som vi antok er denne modellen kun gyldig i et lite begrenset område rett over havflaten.

===d)===

[[File:2p-v16-2-7d.png]]

Modell h er ubrukelig fordi høyden over havet er stor, den gir et negativt trykk??

Modell f og g er i praksis like og gir et rimelig svar, 317 hPa. Dersom sitat 4 skal tolkes som en absolutt sannhet underestimerer begge modellene marginalt. Man burde da fått 333,33 hPa.

2P 2016 høst LØSNING

2017-09-28T15:47:57Z

KristofferUlv: /* c) */

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,5 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

2,5 % økning gir en vekstfart på 1,025.

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = \frac{6500000}{1,025^{8}} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste elevene og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a).

Tablett 1: $0,55 \cdot 0,905^{30} = 0,0275$ 
Tablett 2 : $0,55 \cdot 0,905^{18} = 0,0912$ 
Tablett 3 : $0,55 \cdot 0,905^{6} = 0,03021$

Summen av disse blir 0,421 $\mu g$.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-09-27T15:52:28Z

KristofferUlv: /* d) */

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,5 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

2,5 % økning gir en vekstfart på 1,025.

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = \frac{6500000}{1,025^{8}} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste elevene og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a).

Løsningen er rettet 16/4-2017 (av Hege). 
Tablett 1: 0,55*0,905^30 = 0,0275 
Tablett 2: 0,55*0,905^18 = 0,0912 
Tablett 3: 0,55*0,905^6 = 0,3021 
 
Summen av disse blir 0,421 mikrogram.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-09-27T15:44:24Z

KristofferUlv: /* b) */ Skrev om til brøk

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,5 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

2,5 % økning gir en vekstfart på 1,025.

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = \frac{6500000}{1,025^{8}} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a).

Løsningen er rettet 16/4-2017 (av Hege). 
Tablett 1: 0,55*0,905^30 = 0,0275 
Tablett 2: 0,55*0,905^18 = 0,0912 
Tablett 3: 0,55*0,905^6 = 0,3021 
 
Summen av disse blir 0,421 mikrogram.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-09-27T15:41:57Z

KristofferUlv: /* a) */

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,5 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

2,5 % økning gir en vekstfart på 1,025.

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a).

Løsningen er rettet 16/4-2017 (av Hege). 
Tablett 1: 0,55*0,905^30 = 0,0275 
Tablett 2: 0,55*0,905^18 = 0,0912 
Tablett 3: 0,55*0,905^6 = 0,3021 
 
Summen av disse blir 0,421 mikrogram.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-09-27T15:34:48Z

KristofferUlv: /* a) */

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,5 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a).

Løsningen er rettet 16/4-2017 (av Hege). 
Tablett 1: 0,55*0,905^30 = 0,0275 
Tablett 2: 0,55*0,905^18 = 0,0912 
Tablett 3: 0,55*0,905^6 = 0,3021 
 
Summen av disse blir 0,421 mikrogram.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:48:01Z

KristofferUlv: /* a) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mer enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer resultatene og deler på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca. 28,5 poeng.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Galdhøpiggen ligger 2 469 m - 1 106 m = 1 363 m over Spiterstulen. Temperaturen på Galdhøpiggen er altså 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

Bruker regresjonsanalyse i GeoGebra for å bestemme funksjonen.

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70 000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32 419,28 kr. i renter til sammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:42:05Z

KristofferUlv: /* c) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer resultatene og deler på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca. 28,5 poeng.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Galdhøpiggen ligger 2 469 m - 1 106 m = 1 363 m over Spiterstulen. Temperaturen på Galdhøpiggen er altså 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

Bruker regresjonsanalyse i GeoGebra for å bestemme funksjonen.

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70 000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32 419,28 kr. i renter til sammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:41:18Z

KristofferUlv: /* b) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer resultatene og deler på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca. 28,5 poeng.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Galdhøpiggen ligger 2 469 m - 1 106 m = 1 363 m over Spiterstulen. Temperaturen på Galdhøpiggen er altså 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

Bruker regresjonsanalyse i GeoGebra for å bestemme funksjonen.

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70 000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:31:03Z

KristofferUlv: /* a) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer resultatene og deler på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca. 28,5 poeng.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Galdhøpiggen ligger 2 469 m - 1 106 m = 1 363 m over Spiterstulen. Temperaturen på Galdhøpiggen er altså 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

Bruker regresjonsanalyse i GeoGebra for å bestemme funksjonen.

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:28:34Z

KristofferUlv: /* b) */ La til forklaring

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer resultatene og deler på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca. 28,5 poeng.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Galdhøpiggen ligger 2 469 m - 1 106 m = 1 363 m over Spiterstulen. Temperaturen på Galdhøpiggen er altså 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:24:42Z

KristofferUlv: /* b) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer resultatene og deler på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca. 28,5 poeng.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Teperaturen på Galdhøpiggen er 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:24:16Z

KristofferUlv: /* b) */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer fesultatene og dividerer på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca. 28,5 poeng.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Teperaturen på Galdhøpiggen er 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:20:34Z

KristofferUlv: /* Oppgave 3 */

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 000 kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer fesultatene og dividerer på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca 28,5.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Teperaturen på Galdhøpiggen er 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:17:42Z

KristofferUlv: /* d) */ Litt mer forklaring

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Lager en tangent til grafen ved x=7. Fra den ser vi at den momentane veksten er 26,14cm/time. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på ca. 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 tusen kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer fesultatene og dividerer på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca 28,5.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Teperaturen på Galdhøpiggen er 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:15:49Z

KristofferUlv: /* c) */ Omformulering

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Vi finner største forskjell ved å ta største verdi og trekke fra minste verdi. Fra figuren i a får vi da $59,72 - (-81,51) = 141,23$. Altså er det ca. 141 cm i forskjell mellom høyeste og laveste vannstand.

===d)===

Den momentane veksten er 26,14cm/time kl 07. 00. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 tusen kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer fesultatene og dividerer på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca 28,5.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Teperaturen på Galdhøpiggen er 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.

2P 2017 vår LØSNING

2017-09-26T19:12:39Z

KristofferUlv: /* b) */ Skrivefeil

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1622 Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=45574 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4

Variasjonsbredde: 4 -0 =4 ( største minus minste)

Typetall: 1 (den det er mest av)

Median 1 ( den i midten når materialet er organisert stigende)

Gjennomsnitt; Sum søsken delt påantall elever: $\frac {20}{16}= \frac{5}{4} = 1,25$

==Oppgave 2==

$\frac{25}{125} = \frac{1}{5}= 0,2 =20$%

20% tok bussen den dagen.

==Oppgave 3==

$5^0 \cdot 2^3 \cdot 8^{-2}\cdot (4^{-1})^{-3} \\ = 1 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4^3 \\ =8 $

==Oppgave 4==

I 10 liter vann, som er det samme som 100 dL vann er det ca. $3,0 \cdot 10^{25}$

For å finne antall molekyler i 1,5 dL, deler vi på 100 og ganger med 1,5:

$3,0 \cdot 10^{25} \cdot \frac{1,5}{100} = 3,0 \cdot 1,5 \cdot \frac{10^{25}}{100}= 4,5 \cdot 10^{23}$

==Oppgave 5==

===a)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast størrelse har man en lineær sammenheng:

$f(x)= 80000x + 1200000$

===b)===

Dersom noe vokser periodisk med en fast prosent er veksten eksponentiell. Vekstfaktoren her er 1,08:

$g(x)= 1200000 \cdot 1,08^x$

===c)===

B er rettlinjet og KAN beskrive f.

A later til å være eksponentiell og KAN beskrive g.

Både A og C vokser, men ved eksponentiell positiv vekst vil den momentane veksten øke med tiden. Det er tillfelle i A. I graf C avtar den.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:2p-17 2.6.png]]

===b)===

For å finne gjennomsnitt eller median må vi ANTA at verdiene er jevnt fordelt i hver klasse. Viktig å huske det når man bruker resultatene. De vil bare være sånn halveis gode, men det beste vi har og trolig gode nok.

Gjennomsnitt = $ \frac{15 \cdot 100 + 40 \cdot 100 + 60 \cdot600 + 85 \cdot 200}{1000}= 58,50$

Gjennomsnittet er 58,5.

===c)===

Dersom det er medianeleven er 3525 : 2 = 1762,5, hvilket betyr at median er 1763. Vi ser at de ligger i klassen 50 - 70 poeng.

De to klassene før har 563 + 700 = 1263 elementer. Vi skal altså 500 elementer "inn" i 50- 70 klassen. Forutsatt jevn fordeling i klassen tilsvarer det ca 55 poeng.

Median er ca. 55 poeng.

==Oppgave 7==

===a)===

Vi trenger to pinner mere enn i figur tre, altså 9 pinner.

Omkretsen av figur 4 er summen av lengdene til seks pinner, altså $ 6 \cdot 2,5 cm = 15 cm$

===b)===
Vi setter figurnummer lik n.

Figur 1 har en mer enn det dobbelte av figurnummeret: 1 + 2 $\cdot$ 1.

Figur 2: 1 + 2 $\cdot$ 2.

Figur 5: 1 + 2 $\cdot$ 5.

Figur n: 1 + 2 $\cdot$ n

Uttrykket vil atlså være 2n + 1.

===c)===

Omkretsen er hele tiden to mere enn figurnummeret. Altså n+2.

===d)===

Finner antall pinner i omkretsen ved å dele på 2,5.

$\frac{105}{2,5} = 42$ pinner

Fra oppgave c ser man at det er snakk om figur nr. 40. Fra oppgave b finner man antall pinner totalt til å være 2n+1 = 81 pinner.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

[[File:1pxx.png]]

===b)===

Vi ser ar f(1) er ca. - 40 cm (markert) og at f(12) er ca. 31 cm (ikke markert), fra figuren i a.

===c)===
Fra Figuren i a ser man at den største forskjellen er 59,72+ 81,51 = 141,23 cm. Altså ca. 141 cm i forskjell.

===d)===

Den momentane veksten er 26,14cm/time kl 07. 00. Det betyr at vannet stiger med en hastighet på 26 cm/time kl 07:00.

==Oppgave 2==

$x \cdot 1,15 = 3703000 \\ x = \frac{3703000}{1,15} = 3220000$

Prisantydning var på 3 220 000 kr.

==Oppgave 3==

$x \cdot 1,0425^{20} = 1724180 \\ x = \frac{1724180 }{1,0425^{20}} = 750000$

Hun arvet 750 tusen kroner.

== Oppgave 4==

Et legeme beveger seg med konstant hastighet bort fra utgangspunktet. Etter en stund beveger det seg tilbake til utgangspunktet med en konstant hastighet som er ca. dobbelt så stor som hastigheten bort fra utgangspunktet.

==Oppgave 5==

===a)===

Vi vet at søylehøyde er frekvens delt på klassebredde. Søylehøyden leser vi av i figuren. Vi har tre søyler og får:

$ \frac{x}{10} =1 \Rightarrow x= 10 \\ \frac{x}{30} =6 \Rightarrow x= 180 \\ \frac{x}{20} =2 \Rightarrow x= 40$

Summen blir 230.

===b)===

Vi forutsetter at resultatene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Multipliserer hvert enkelt klassemidtpunkt med respektive frekvens:

$5 \cdot 10 =50 \\ 25 \cdot 180= 4500 \\ 50 \cdot 40 = 2000$

Summerer fesultatene og dividerer på total frekvens (230).

Gjennomsnitt=$ \frac{50+4500+2000}{230} \approx 28,5$

Gjennomsnittet er ca 28,5.

==Oppgave 6==

===a)===

[[File:1p1xx.png]]

Da er man ca. 1077 meter over Spiterstulen (A).

===b)===

Teperaturen på Galdhøpiggen er 3,14 grader. (Pi grader ;-) ).Se figur i a.

===c)===

Endring per 100 meter stigning kan finnes fra figren over, eller ved regning:

$T(100) - T(0) = (-0,0065 \cdot 100 +12) - 12 = - 0,65$ grader.

Temperaturen faller med 0,65 grader per 100 meter stigning, i følge modellen.

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p17-7a2.png]]

===b)===

[[File:2p-17-7b2.png]]

Den gjennomsnittlige veksten er 5,8 cm per år, i tidsrommet 7 - 12 år.

===c)===

Modellen gir en momentan vekst på ca 12 cm ved tolv år. Etter det øker vekstem betydelig. Modellen er derfor ikke egnet til å vise Espens høyde etter fylte 12 år.

==Oppgave 8==

===a)===

Vi bruker 2P kalkulatoren til matematikk.net, se under Ressurser.

Liverpool FC:

[[File:2p-17-81.png]]
[[File:2p-17-82.png]]

Newcastle FC:

[[File:2p-17-813.png]]

[[File:2p-17-812.png]]

===b)===

Liverpool FC

[[File:2p-17-83.png]]

Newcastle FC

[[File:2p-17-822.png]]

Et lavt standardavvik betyr liten spredning rundt gjennomsnittet. Liverpool har et høyere standardavvik fordi de har flere kamper hvor de skårer mange mål.

==Oppgave 9==

===a)===

[[File:2p-17-2-9abc.png]]

[[File:2p-17-2-9abc-2.png]]

===b)===

I desember 2033 passerer de 70.000 kroner i banken. Det er det 17 ende året. (se tab i a).

===c)===

De vil få 32.419,28 kr. i renter tilsammen. Se tabell i a.