Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

2PY 2025 vår LØSNING

2025-05-19T19:05:19Z

Joes:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5013 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54981 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

2PY 2025 vår LØSNING

2025-05-19T18:58:07Z

Joes: Lagt ut linker til løsningsforslag som ligger i privat sky.

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5013 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54981 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

*[https://1drv.ms/b/c/f8ac6221b412e6ea/EUYkslmIxQNFn9PxoHW8R9ABrZPSK2J-4sl-j2a9kfqv2w?e=Dw3StC Del 1, løsningsforslag (pdf)]
*[https://1drv.ms/b/c/f8ac6221b412e6ea/ETwLr2dJQTJHswlN7rxPHvkBLabLEFel7cL_A9oOMgD3TQ?e=xBi7LJ Del 2, løsningsforslag (pdf)]

fra Espen Johanssen, Karmsund vgs. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil eller har tips til korrigeringer i akkurat dette løsningsforslaget, da det ble laget litt raskt. På forhånd, takk :)

Mal:2P-Y Hovedside/Eksamen

2020-12-01T12:49:01Z

Joes: Lagt til oppgave (pdf) for 2PY våren 2020. Oppgaven er ikke lastet opp i matematikk.net, men linket til via google disk.

<onlyinclude>{{#ifeq:{{{transcludesection|TOPP}}}|TOPP|
;Høst 2020
:[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3246 oppgave]
:[[2PY 2020 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2020
:[https://drive.google.com/file/d/1TzEYt_9dOClyeeWJiYfd41SL4hsDK3w0/view?usp=sharing oppgave]
:[[2PY 2020 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2019
:[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2622 oppgave]
:[[2PY 2019 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2019
:[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2412 oppgave]
:[[2PY 2019 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2018
:[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2279 oppgave]
:[[2PY 2018 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2018
:[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2190 oppgave]
:[[2PY 2018 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2017
:[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1796 oppgave]
:[[2PY 2017 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2017
:[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1623 oppgave]
:[[2P-Y 2017 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2016
:[https://drive.google.com/open?id=0B0OGRvQ3kKHzdjljc09GZ3lqYVU oppgave]
:[[2PY 2016 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2016
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V16.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2016 vår LØSNING|løsning]]
}}</onlyinclude><onlyinclude>{{#ifeq:{{{transcludesection|BUNN}}}|BUNN|
;Høst 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H15.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2015 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V15.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2015 vår LØSNING|løsning]]
;Eksempel 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/2P-Y_V15_eksempel.pdf oppgave]
:[[2P-Y eksempeloppgave 2015 vår LØSNING|løsning ]]
;Høst 2014
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H14.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2014 høst LØSNING|løsning ]]
;Vår 2014
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V14.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2014 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2013
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H13.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2013 høst LØSNING|løsning ]]
;Vår 2013
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V13.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2013 vår LØSNING|løsning ]]
;Høst 2012
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H12.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2012 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2012
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V12.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2012 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2011
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H11.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2011 høst LØSNING|løsning]]
;Høst 2010
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H10.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2010 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2010
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V10.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2010 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2009
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H09.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2009 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2009
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V09.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2009 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2008
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H08.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2008 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2008
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V08.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2008 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2007
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H07_eksempel.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2007 høst LØSNING|løsning]]
}}</onlyinclude>

R2 2014 høst LØSNING

2019-11-15T07:37:18Z

Joes:

:[http://matematikk.net/res/eksamen/R2/kort/R2_H14.pdf oppgave på bokmål]
:[http://matematikk.net/res/eksamen/R2/R2_H14.pdf fullstendig eksamensoppgave]
:[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=38718&p=182329 diskusjon av denne oppgaven]

[https://ndla.no/nb/node/152567?fag=98361 Løsningsforslag fra NDLA]

[https://goo.gl/7cFZrD Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes

[http://www.ulven.biz/r2/eksamen/R2_H14_ls.pdf Skisse til løsningsforslag fra H-P Ulven]

R1 2015 høst LØSNING

2019-11-15T01:23:25Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=754 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41291&view=unread#p194087 Løsningsforslag laget av LektorH]

[https://goo.gl/ccLiyV Løsningsforslag (pdf)] fra joes

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41291 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===

$f(x)= 3x^2+5x-2 \\ f´(x)=6x+5$

===b)===

$g(x)=3(x^2-2)^4 \\g´(x)= 3 \cdot 4 \cdot 2x(x^2-2)^3 = 24x(x^2-2)^3$

===c)===

$h(x)= x ln(x^2+3)$

Setter $ u= x^2+3$ som gir $u'= 2x$, og får:

$h'(x)= ln(x^2+3)+ \frac{x \cdot 2x}{x^2+3} \\ h'(x)= ln(x^2+3) + \frac{2x^2}{x^2+3}$

==Oppgave 2==

$f(x)= xe^{-x} \\ f´x) = e^{-x} +x (-1) e^{-x} = e^{-x}(1-x)$

$e^{-x}$ er positiv for alle x. (1-x) er null for x=1, negativ for x > 1 og positiv for x < 1. x = 1 gir et maksimum for funksjonen.

==Oppgave 3==

===a)===

$f(x)=x^3-2x^2-kx+6, \quad D_F = \R$

k slik at $f(x):( x-1)$ går opp:

$1-2-k +6 =0 \\k = 5$

===b)===

$x^3-2x^2-5x+6 :(x-1)= x^2-x-6 \\-(x^3-x^2) \\ \quad \quad -x^2-5x \\ \quad \quad -(-x^2+x) \\ \quad \quad \quad \quad -6x+6 \\ \quad \quad\quad \quad -(-6x+6)$

Vi løser andregradspolynomet (abc - formel el.) og får totalt disse tre lineære faktorer: (x - 1)(x + 2)(x - 3).

===c)===

Tegner fortegnsskjema for hver av de tre lineære faktorene i b, og får fortegnslinjen for f(x):

[[File:r1-h2015-13b.png]]

$f(x) \geq 0 \\ x \in [-2,1] \cup [3, \rightarrow > $

==Oppgave 4==

$lg(a^2b^3)+ lg(\frac{1}{b^2}) - lg ( \frac{b}{a}) = \\ 2 lga + 3 lgb -2lgb - lgb + lga = \\ 3 lg a$

==Oppgave 5==

===a)===

$f(x)=-x^4+4x^3 = x^3(-x+4) \quad x \in <-2, 4>$

Siden funksjonen ikke er definert for x = 4 har den bare ett nullpunkt, i Origo (0, 0).

===b)===

$f´(x) = -4x^3+12x^2 = -4x^2(x-3)$

[[File:r1-h2015-15b.png]]

Grafen har et terrassepunkt for x = 0, dvs. i (0, 0) og et maksimum i (3, f(3)) som gir (3, 27).

===c)===

Vendepunkt:

$f´´(x)= -12x^2 + 24x \\ f´´(x)=0 \\ -12x(x-2) =0 \\ x=0 \vee x = 2$

x= 0 er sammenfallende med nullpunkt og terrassepunkt, vendepunktene er (0, 0) og (2, 16) ( f(2) = 16).

===d)===

[[File:r1-h2015-5d.png]]

==Oppgave 6==

Vinkel u spenner over samme bue som vinkel D. Begge ligger på sirkelperiferien og er derfor like. Vinkel u er 50 grader.

Vinkel C er 90 grader fordi den ligger på pereferien og spenner over diameteren. Da blir vikel v 40 grader.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden det er 60% jenter og 70% av disse har blå øyner, betyr det at 42% av elevmassen er jenter med blå øyner. Tilsvarende tall for gutter er 22%.

{| width="auto"
|
|Blå
|ikke blå
|Total
|-
| Jente
| 42%
|18%
| 60%
|-
|Gutt
|22%
|18%
|40%
|-
|Total
|64%
|36%
|100%
|}

Fra tabellen ser man at sannsynligheten for å trekke en elev med blå øyner er 64%.

===b)===

Det er 36% som ikke har blå øyner. 18% av disse er gutter. Sannsynligheten er 0,5 for gutt.

==Oppgave 8==

===a)===
[[File:r1-h2015-18abcd.png]]

===b)===
Halveringslinjene er blå i figuren over. En vinkelhalveringslinje er et geometrisk sted, like langt fra de to sidene som danner vinkelen. Dersom man befinne seg på den blå linjen som halverer vinkel A betyr det at man er like langt fra linjestykkene AB og AC. Den samme tanken følger vi fra den blå linjen som halverer vinkel B. Punktet S der linjene møtes blir da et punkt som ligger like langt fra alle linjene. Denne avstanden er SD = SE = SF. En sirkel mens sentrum i S og radius SD vil følgelig bli en innskrevet sirkel.

===c)===

Se over.

===d)===

Se over.

==Oppgave 9==

$lg(x+2)^2 = lg x^4 \\ 2 lg (x+2) = lg(x^2)^2 \\ 2 lg (x+2) = 2 lg(x^2) \\ lg(x +2) = lg (x^2) \\ x+2= x^2 \\ -x^2+x+2 =0$

Bruke abc formelen (el.) og får at x = - 1 eller x = 2. Vi kan ikke ta logaritmen til et negativt tall, så vi må sjekke ut svarene. I denne oppgaven er begge svar gyldige.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===
[[File:r1-h2015-21ab.png]]

C = 3 og k = 0,01625

(brukte regresjon)

===b)===

I følge modellen vil dette skje i år 74 etter 1960, dvs. i år 2034, se figur i a.

===c)===

$f(x) = 3 e^{0,01625x} = 3 (e^{0,01625})^x = 3 \cdot 1,01638^x$ Det betyr at økningen per år er på ca 1,64%

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:r1-h2015-22abc.png]]

===b)===

Bruker Geogebra og finner at arealet er 35.

===c)===

Punktet der normalen fra C på AB skjærer x- aksen har koordinatene (x,0).

$\vec{AB} = [8,-1]$

$[8, -1] \cdot [5-x,8] =0 \\40-8x - 8 =0 \\8x= 32 \\ x= 4 $

==Oppgave 3==

===a)===

Arealet til rektangelet er lengde gange bredde:

$G(x) = x \cdot f(x) = x (4-0,125x^3)= 4x - 0,125x^4$

===b)===

[[File:r1-h2015-23bc.png]]

De x verdiene som gir rektangelet et areal på 5,0 er x= 1,36 og x= 2,53.

===c)===

Fra figuren i b ser man at det største arealet får man når x = 2. Arealet av rektangelet er da 6.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:r1-h2015-24ab.png]]

===b)===

Fra figuren i a ser man at det tredje skjæringspunktet er (5,8).

Summen av x-koordinatene er 4.

===c)===
[[File:r1-h2015-24cd.png]]

1. Vi definerer g(x) i CAS.

2. Stignigstallet til en rett linje a, er $ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ som gir $ a = \frac{g(t)-g(s)}{t-s}$. Stigningstallet blir da det du ser i linje to på CAS klippet.

3. Likningen for en rett linje er y= ax + b. b leddet finner man på linje 3.

===d)===

Fra linje 4 i c:

x = s, x = t og x = -a -s - t

SUM: x + x + x = s + t + (-a - s - t ) = -a

R1 2019 høst LØSNING

2019-11-15T01:17:29Z

Joes:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2614 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=50110 Diskusjon av oppgaven på matteprat]

[https://drive.google.com/open?id=14IWzyzURUg1beFWSqELyhiAx2E4WHRes Løsningsforslag (pdf)] fra joes

==DEL EN==
===Oppgave 1===

===a)===
$ f(x)=x^4-2x+ln(x) \\ f'(x)= 4x^3-2+ \frac 1x$

===b)===
$ g(x)= x^7e^x \\ g'(x) = 7x^6e^x + x^7e^x = e^xx^6(7+x) $

===c)===

$h(x)= \frac{ln(2x)}{x^2} \\ h'(x) = \frac{\frac{1}{2x} \cdot 2 \cdot x^2-2 \cdot x \cdot ln(2x)}{x^4} \\ h'(x)= \frac{1- 2 ln(2x)}{x^3}$

===Oppgave 2===

$4(ln(a \cdot b^3))-3(ln(a\cdot b^2))-ln(\frac ab) \\ 4 ln(a) + 12 ln(b) - 3ln(a) - 6 ln(b) - ln (a) + ln(b) = 7 ln (b)$

===Oppgave 3===
===a)===

===b)===

===c)===

===Oppgave 4===

===Oppgave 5===

===Oppgave 6===

===Oppgave 7===

===a)===

CB er like lang som EB fordi begge linjestykker tangerer samme sirkelsektor ( i C og E).

===b)===

Begge trekantene har en felles vinkel i A. Begge trekanten har en vinkel på 90 grader (i C og E). Trekantene er derfor formlike.

Bruker formlikhet:

$\frac{c-a}{r} = \frac{b}{c} \\ r = \frac{a(c-a)}{b} $

===c)===

===d)===

$a \cdot b = (a+c) \cdot r \\ ab =(a+c) \cdot \frac{a(c+a)}{b} \\ ab^2 = (a^2+ac)(c-a) \\ ab^2= a^2c - a^3 + ac^2- a^2c \\ ab^2 = - a^3+ ac^2 \\ a^2 + b^2 = c^2$

==DEL TO==

2P 2018 vår LØSNING

2018-05-23T05:53:46Z

Joes:

*[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2122 Oppgaven]

*[https://goo.gl/6MwZLE Løsningsforslag (pdf)] fra Espen Johanssen, AOF Haugaland. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2127 Løsningsforslag fra Georg Ellila – Wang Toppidrett Tønsberg (docx) ]

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2125 Løsningsforslag nr 3 (pdf)] [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2126 (docx)]

*[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=47568 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

2PY 2018 vår LØSNING

2018-05-23T05:48:59Z

Joes:

*[https://goo.gl/5CpKop Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202PY%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

*[https://drive.google.com/open?id=1b0XhaSX0UOPLJIR51XUHWL9zlDBtxiU0 Løsningsforslag eksamen 2PY V18 (pdf)] laget av Jon Bjarne Bø.

==DEL EN==

===Oppgave 1===

2P 2018 vår LØSNING

2018-05-22T21:14:32Z

Joes:

*[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2122 Oppgaven]

*[https://goo.gl/6MwZLE Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2119 Løsningsforslag nr 2 (docx)]

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2120 Løsningsforslag nr 3 (docx)]

*[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=47568 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

2PY 2018 vår LØSNING

2018-05-22T20:38:15Z

Joes:

*[https://goo.gl/5CpKop Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Dette er foreløpig en rask kladd. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202PY%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

==DEL EN==

===Oppgave 1===

2P 2018 vår LØSNING

2018-05-22T20:35:49Z

Joes:

*[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2122 Oppgaven]

*[https://goo.gl/6MwZLE Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Dette er foreløpig en rask kladd. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2119 Løsningsforslag nr 2 (docx)]

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2120 Løsningsforslag nr 3 (docx)]

*[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=47568 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

2P 2018 vår LØSNING

2018-05-22T20:35:15Z

Joes:

*[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2122 Oppgaven]

*[goo.gl/6MwZLE Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Dette er foreløpig en rask kladd. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2119 Løsningsforslag nr 2 (docx)]

* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2120 Løsningsforslag nr 3 (docx)]

*[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=47568 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

2P 2018 vår LØSNING

2018-05-22T18:34:54Z

Joes:

*[https://drive.google.com/open?id=17ooa89v6P5KmXuz-vFjU8qmkjsFsR7gp Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Dette er foreløpig en rask kladd. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

2P 2018 vår LØSNING

2018-05-22T18:33:46Z

Joes: Ny side: *[https://drive.google.com/open?id=17ooa89v6P5KmXuz-vFjU8qmkjsFsR7gp Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20...

*[https://drive.google.com/open?id=17ooa89v6P5KmXuz-vFjU8qmkjsFsR7gp Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

2P-Y 2017 vår LØSNING

2017-06-03T14:26:28Z

Joes:

*[https://goo.gl/Fv5IeY Løsningsforslag (pdf)] fra joes. (Oppdatert 3.juni 2017) Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202PY%20V15%20fasit melding] hvis du har forslag til forbedring. På forhånd, takk.

2P-Y 2017 vår LØSNING

2017-06-01T22:08:50Z

Joes:

*[https://goo.gl/Fv5IeY Løsningsforslag (pdf)] fra joes. (Oppdatert 2.juni 2017) Dette er kun et foreløpig løsningsforslag laget for mine elever på AOF Haugaland og er laget etter en lang, lang arbeidsdag ;) Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202PY%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

2P-Y 2017 vår LØSNING

2017-06-01T20:59:47Z

Joes: Ny side: *[https://goo.gl/Fv5IeY Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Dette er kun et foreløpig løsningsforslag laget for mine elever på AOF Haugaland og er laget etter en lang, lang arbeidsdag ;...

*[https://goo.gl/Fv5IeY Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Dette er kun et foreløpig løsningsforslag laget for mine elever på AOF Haugaland og er laget etter en lang, lang arbeidsdag ;) Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202PY%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

2P 2016 høst LØSNING

2017-04-18T12:32:29Z

Joes: /* c) */

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a).

Løsningen er rettet 16/4-2017 (av Hege). 
Tablett 1: 0,55*0,905^30 = 0,0275 
Tablett 2: 0,55*0,905^18 = 0,0912 
Tablett 3: 0,55*0,905^6 = 0,3021 
 
Summen av disse blir 0,421 mikrogram.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-04-18T12:24:09Z

Joes: /* c) */

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a.

Løsningen er rettet 16/4-2017 (av Hege). 
Tablett 1: 0,55*0,905^30 = 0,0275 
Tablett 2: 0,55*0.905^18 = 0,0912 
Tablett 3: 0,55*0.905^6 = 0,3021 
 
Summen av disse blir 0,421 mikrogram.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

Mal:2P-Y Hovedside/Eksamen

2017-04-17T09:23:53Z

Joes:

<onlyinclude>{{#ifeq:{{{transcludesection|TOPP}}}|TOPP|
;Høst 2016
:[https://drive.google.com/open?id=0B0OGRvQ3kKHzdjljc09GZ3lqYVU oppgave]
:[[2PY 2016 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2016
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V16.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2016 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H15.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2015 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V15.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2015 vår LØSNING|løsning]]
;Eksempel 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/2P-Y_V15_eksempel.pdf oppgave]
:[[2P-Y eksempeloppgave 2015 vår LØSNING|løsning ]]
;Høst 2014
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H14.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2014 høst LØSNING|løsning ]]
;Vår 2014
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V14.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2014 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2013
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H13.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2013 høst LØSNING|løsning ]]
;Vår 2013
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V13.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2013 vår LØSNING|løsning ]]
;Høst 2012
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H12.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2012 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2012
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V12.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2012 vår LØSNING|løsning]]
}}</onlyinclude><onlyinclude>{{#ifeq:{{{transcludesection|BUNN}}}|BUNN|
;Høst 2011
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H11.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2011 høst LØSNING|løsning]]
;Høst 2010
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H10.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2010 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2010
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V10.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2010 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2009
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H09.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2009 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2009
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V09.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2009 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2008
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H08.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2008 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2008
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V08.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2008 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2007
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H07_eksempel.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2007 høst LØSNING|løsning]]
}}</onlyinclude>

2PY 2016 høst LØSNING

2017-04-17T09:16:58Z

Joes: Ny side: *[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

Mal:2P-Y Hovedside/Eksamen

2017-04-17T09:15:36Z

Joes:

<onlyinclude>{{#ifeq:{{{transcludesection|TOPP}}}|TOPP|
;Høst 2016
:[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1330 oppgave]
:[[2PY 2016 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2016
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V16.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2016 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H15.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2015 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V15.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2015 vår LØSNING|løsning]]
;Eksempel 2015
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/2P-Y_V15_eksempel.pdf oppgave]
:[[2P-Y eksempeloppgave 2015 vår LØSNING|løsning ]]
;Høst 2014
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H14.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2014 høst LØSNING|løsning ]]
;Vår 2014
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V14.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2014 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2013
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H13.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2013 høst LØSNING|løsning ]]
;Vår 2013
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V13.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2013 vår LØSNING|løsning ]]
;Høst 2012
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H12.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2012 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2012
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V12.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2012 vår LØSNING|løsning]]
}}</onlyinclude><onlyinclude>{{#ifeq:{{{transcludesection|BUNN}}}|BUNN|
;Høst 2011
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H11.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2011 høst LØSNING|løsning]]
;Høst 2010
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H10.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2010 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2010
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V10.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2010 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2009
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H09.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2009 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2009
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V09.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2009 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2008
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H08.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2008 høst LØSNING|løsning]]
;Vår 2008
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_V08.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2008 vår LØSNING|løsning]]
;Høst 2007
:[http://matematikk.net/res/eksamen/2PY/kort/2P-Y_H07_eksempel.pdf oppgave]
:[[2P-Y 2007 høst LØSNING|løsning]]
}}</onlyinclude>

2P 2016 høst LØSNING

2017-04-16T19:36:22Z

Joes:

*[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a.
Det forutsettes også at tabletten tas øyeblikkelig opp i kroppen.

Løsningen er rettet på av Joes 16/4-2017. 

Dag 1 kl 8 etter tabletten: 0,55 
Dag 1 kl 20 før tabletten: 0.55*0.905^12 = 0,166 
Dag 1 kl 20 etter tabletten: 0,166 + 0.55 = 0,716 
Dag 2 kl 8 før tabletten: 0,716*0.905^12 = 0,216 
Dag 2 kl 8 etter tabletten: 0,216 + 0,55 = 0,766 
Dag 2 kl 8 og fram til kl 14: 0.766*0.905^6 = 0,421 

30 timer etter første tablett er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet omtrent 0,42 mikrogram per milliliter.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-04-16T19:35:48Z

Joes: /* DEL EN */

[https://goo.gl/32tVw8 Link til løsningsforslag (videoer)] fra Joes.

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a.
Det forutsettes også at tabletten tas øyeblikkelig opp i kroppen.

Løsningen er rettet på av Joes 16/4-2017. 

Dag 1 kl 8 etter tabletten: 0,55 
Dag 1 kl 20 før tabletten: 0.55*0.905^12 = 0,166 
Dag 1 kl 20 etter tabletten: 0,166 + 0.55 = 0,716 
Dag 2 kl 8 før tabletten: 0,716*0.905^12 = 0,216 
Dag 2 kl 8 etter tabletten: 0,216 + 0,55 = 0,766 
Dag 2 kl 8 og fram til kl 14: 0.766*0.905^6 = 0,421 

30 timer etter første tablett er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet omtrent 0,42 mikrogram per milliliter.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-04-16T16:50:37Z

Joes: /* c) */

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a.
Det forutsettes også at tabletten tas øyeblikkelig opp i kroppen.

Løsningen er rettet på av Joes 16/4-2017. 

Dag 1 kl 8 etter tabletten: 0,55 
Dag 1 kl 20 før tabletten: 0.55*0.905^12 = 0,166 
Dag 1 kl 20 etter tabletten: 0,166 + 0.55 = 0,716 
Dag 2 kl 8 før tabletten: 0,716*0.905^12 = 0,216 
Dag 2 kl 8 etter tabletten: 0,216 + 0,55 = 0,766 
Dag 2 kl 8 og fram til kl 14: 0.766*0.905^6 = 0,421 

30 timer etter første tablett er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet omtrent 0,42 mikrogram per milliliter.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

2P 2016 høst LØSNING

2017-04-16T16:49:32Z

Joes: /* c) */

==DEL EN==

==Oppgave 1==

26,3 millioner = 26 300 000 = $2,63 \cdot 10^7$

$16,5 \cdot 10^{-8} = 1,65 \cdot 10^{-7}$

==Oppgave 2==

$ \frac{3,5\cdot 10^8}{7,0 \cdot 10^5 \cdot 0,5 \cdot 10^6} = \frac{3,5}{7 \cdot 0,5} \cdot 10^{8-5-6}= 1,0 \cdot 10^{-3} = 0,001 $

==Oppgave 3==

$\frac{135}{135 + 115} = \frac{135}{250} = \frac{270}{500} = \frac {540}{1000} = \frac{54}{100} = 54$ %.

Det er 54% jenter på skolen.

==Oppgave 4==

Butikk A: $1,1 \cdot 0,9$

Butikk B: $0,9 \cdot 1,1$

Prisen er den samme i begge butikkene ( Rekkefølgen av faktorene har ikke betydning).

==Oppgave 5==

$1024 = 2^{10}$

$ \frac {2^{10}}{2^{7}} = 2^{10-7} = 2^3 =8$

Etter 7 uker har du 8 kroner igjen.

==Oppgave 6==

===a)===

Synker med ca. 2500 dyr på 5 år dvs et stigningstall på -500.

$f(t)= -500t + 8500$

===b)===

$f(8)= -500 \cdot 8 + 8500 = 4500$

I 2018 vil det være ca 4500 dyr igjen, i følge modellen.

===c)===

$f(t)=0 \\ -500t +8500 =0 \\ - 500t= -8500 \\ t= 17$

I følge modellen vil det ikke være flere dyr igjen etter 17 år, dvs i år 2010 + 17 = 2027.

==Oppgave 7==

===a)===

{| width="auto"
| Klasse (ant. kunder)
|Frekvens
|Relativ frekvens
|Kumulativ frekvens
|-
|[0,50>
|1
|0,05
|1
|-
|[50, 100>
|5
|0,25
|6
|-
|[100, 150>
|8
|0,40
|14
|-
|[150, 200>
|6
|0,30
|20
|-
|}

Siden den relative frekvensen i første intervall er 0,05, er det det samme som 1 av 20. Derfor frekvens 1 i første intervall. Kumulativ i andre intervall er 6, da må frekvensen i dette intervallet være 5. 8/20 er 0,40 og kumulativ frekv. i intervall tre blir da 14.

===b)===

Det mangler en verdi i intervallet [ 0, 50>. Dette kan for eksempel være 42.

Det mangler to verdier i intervallet [ 150, 200>, Disse kan begge være 170.

==Oppgave 8==

===a)===

$V(x)= 250000 \cdot 0,9^x$

250000 - kjøpesum bil

0,9 - vekstfaktor som forteller at den taper seg i verdi med 10% per år (1 - 0,1 = 0,9).

===b)===

$V(1) = 250000 \cdot 0,9 = 225000$

Bilen vil i følge modellen ha en verdi på ca. 225 000 kroner.

==Oppgave 9==

===a)===

Forutsetter at datamaterialet fordeler seg jevnt innen hver klasse.

Gjennomsnitt: $ \frac {2,5 \cdot 4 + 7,7 \cdot 12 + 12,5 \cdot 10 + 22,5 \cdot 4}{30} = 10,5$

Gjennomsnittet er 10,5 poeng.

===b)===

Går man etter gjennomsnittet var han i den nedre halvdelen.

Median er nr. 15 og 16. Vi ser at begge disse verdiene befinner seg i mengden [ 5, 10>. Så Per bør holde seg til medianen når han legger fram sin påstand.

==Oppgave 10==

A = 3 Hun går, dvs. fjerner seg sakte fra hjemmet.

B = 2 Løper, gir brattere stigningstall enn A. Venter. Går tilbake. Nærmer seg saktere enn Eline i A som løper tilbake

C = 4 Padling i motvind gir konstant fart. vinden stilner, farten og derved også avstanden til hjemmet øker raskere. Hun kom aldri tilbake....

D = 1 Beveger seg fram og tilbake uten pause.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

[[File:2p-h2016-2-1.png]]

==Oppgave 2==

===a)===

$6500000 \cdot 1,025^8= 7919619$

Eiendommen vil ha en verdi på ca 7,92 millioner.

===b)===

$x \cdot 1,025^8 = 6500000 \\ x = 6500000 \cdot 1,025^{-8} \\ x= 5334852 $

Eiendommen hadde en verdi på ca 5,3 millioner for åtte år siden.

===c)===

[[File:2p-h2016-2-2c.png]]

Fra Figuren ser man at det tar ca 17,5 år før eiendommen har en verdi over 10 000 000 kroner.

==Oppgave 3==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-3a.png]]

Kvadratet av regresjonskoefisienten: $R^2 =0,9996$, altså nesten 1,0 betyr at tilnærmingen er god. Du kan også se at punktene ligger på grafen.

===b)===
[[File:2p-h2016-2-3a2.png]]

===c)===
Dersom prisen er 45 kroner selges det 63 enheter. Se graf i b.

===d)===

Når det selges 100 enheter er prisen 26 kroner. Se graf i b.

===e)===
[[File:2p-h2016-2-3a3.png]]

Dersom man øker prisen fra 20 til maks 45 kroner, vil antall solgte enheter i gjennomsnitt minke med 2,5 enheter for hver krone man øker prisen.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-4a.png]]

Gjennomsnittet er 18,6 og median er 20.

===b)===

1: $\frac{18,6}{20} = 0,93$ Riktig

2: $\frac{20}{18,6} = 1,0753$ Riktig

Begge påstandene er riktige.

===c)===

Standardavviket er 8,5, se figur i a.

===d)===

Gjennomsnittet i 2B er det samme som i 2A, men standardavviket er mindre, det vil si en tettere samling av poeng rundt gjennomsnittet. Det er trolig at man finner de flinkeste eleven og de svakeste elevene i 2A.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-5ab.png]]

Modell: $f(t)= 0,55\cdot 0,9^t$

Det betyr at konsentrasjonen er 0,55 mikrogram per milliliter når du inntar tabletten ( slik er det selvsagt ikke, det tar litt tid, men dette er en matematisk modell...). Virkestoffet nedbrytes med 10% per time.

===b)===

Fra Figuren i a ser man at det er $0,2 \mu g/mL$ etter 10 timer.

===c)===

Her forutsetter vi at kroppen bryter ned 10% per time også med en høyere konsentrasjon enn den i a.
Det forutsettes også at tabletten tas øyeblikkelig opp i kroppen.

Løsningen er rettet på av Joes 16/4-2017.

Dag 1 kl 8 etter tabletten: 0,55
Dag 1 kl 20 før tabletten: 0.55*0.905^12 = 0,166
Dag 1 kl 20 etter tabletten: 0,166 + 0.55 = 0,716
Dag 2 kl 8 før tabletten: 0,716*0.905^12 = 0,216
Dag 2 kl 8 etter tabletten: 0,216 + 0,55 = 0,766
Dag 2 kl 8 og fram til kl 14: 0.766*0.905^6 = 0,421

30 timer etter første tablett er konsentrasjonen av virkestoffet i blodet omtrent 0,42 mikrogram per milliliter.

==Oppgave 6==

[[File:2p-h2016-2-6.png]]

[[File:2p-h2016-2-62.png]]

==Oppgave 7==

===a)===

[[File:2p-h2016-2-7a.png]]

Figur Nummer fire trenger 38 klosser, og figur fem trenger 62 klosser. Se figur.

Dersom du velger å tegne figurene og telle ruter, er det like greit.

===b)===
Figuren består av et "hode" med to "ører". Hodet har høyde n og bredde n+1. Antall klosser i hodet blir da $n(n+1)= n^2+ n$. Ørene er kvadrater med sider (n-1). Vi får da $n^2+n + 2(n-1)^2 = n^2+n +2(n^2-2n+1)= 3n^2-3n+2$.

Dersom du synes at det er vanskelig å finne denne sammenhengen legger du figurnummer og tilhørende antall ruter inn i regnearket på geogebra og utfører regresjon.

===c)===

Man kan løse likningen $3n^2-3n+2 = 1000 \\3n^2-3n - 998 =0$

[[File:2p-h2016-2-7c.png]]

Det betyr at man kan lage figur nr 18. Men spørsmålet var hvor mange av de 1000 klossene som blir igjen.

$3 \cdot 18^2 -3 \cdot 18 +2 = 920$

For Figur nr 18 trengs det 920 klosser. Da blir det 80 igjen.

R2 2016 vår LØSNING

2016-05-23T21:16:39Z

Joes:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1033 Oppgaven som pdf]

[https://goo.gl/GeksvX Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R2%20V16%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42959 Diskusjon av denne oppgaven]

=Del 1=
==Oppgave 1==
===a===
===b===

==Oppgave 2==
===a===
===b===

==Oppgave 3==
===a===
===b===
===c===

==Oppgave 4==

===a===
===b===
===c===

==Oppgave 5==
===a===
===b===
===c===
==Oppgave 6==

==Oppgave 7==
===a===
===b===
===c===
===d===

==Oppgave 8==
=Del 2=

==Oppgave 1==
===a===
===b===

==Oppgave 2==
===a===
===b===
===c===
===d===

==Oppgave 3==
===a===
===b===
===c===
==Oppgave 4==
===a===
===b===

R2 2016 vår LØSNING

2016-05-23T21:16:17Z

Joes:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1033 Oppgaven som pdf]

[https://goo.gl/GeksvX Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R2%20V16%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.
[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42959 Diskusjon av denne oppgaven]

=Del 1=
==Oppgave 1==
===a===
===b===

==Oppgave 2==
===a===
===b===

==Oppgave 3==
===a===
===b===
===c===

==Oppgave 4==

===a===
===b===
===c===

==Oppgave 5==
===a===
===b===
===c===
==Oppgave 6==

==Oppgave 7==
===a===
===b===
===c===
===d===

==Oppgave 8==
=Del 2=

==Oppgave 1==
===a===
===b===

==Oppgave 2==
===a===
===b===
===c===
===d===

==Oppgave 3==
===a===
===b===
===c===
==Oppgave 4==
===a===
===b===

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-22T16:42:49Z

Joes:

[http://matematikk.net/res/eksamen/R1/R1_V16.pdf oppgaven som pdf]

[https://goo.gl/pWzB6q Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V16%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1026 Løsningsforslag (pdf)] fra bruker LektorH.

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42911 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

==b)==
$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

==c)==
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

==Oppgave 2==
==a)==
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

==b)==

$ \quad x^3-7x^2+14x-8 :(x-2)= x^2 - 5x + 4 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad \quad-5x^2 + 14x -8 \\ \quad \quad -(-5x^2 -10x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad (4x -8)$

$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \\ x= 1 \vee x =4 \\ \\ P(x)= (x-1)(x-2)(x-4)$

==c)==

$P(x) \leq 0 $

[[File:r1-v2016-12c.png]]

$x \in < \leftarrow,1] \cup [2,4]$

==Oppgave 3==
==a)==
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

==b)==

==c)==

==d)==

==Oppgave 4==
==a)==
$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

==b)==
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==
==a)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$

==b)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$

==Oppgave 7==
==a)==

==b)==
$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

==c)==
Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-22T16:38:50Z

Joes:

[http://matematikk.net/res/eksamen/R1/R1_V16.pdf oppgaven som pdf]

[https://goo.gl/pWzB6q Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V16%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42911 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

==b)==
$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

==c)==
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

==Oppgave 2==
==a)==
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

==b)==

$ \quad x^3-7x^2+14x-8 :(x-2)= x^2 - 5x + 4 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad \quad-5x^2 + 14x -8 \\ \quad \quad -(-5x^2 -10x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad (4x -8)$

$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \\ x= 1 \vee x =4 \\ \\ P(x)= (x-1)(x-2)(x-4)$

==c)==

$P(x) \leq 0 $

[[File:r1-v2016-12c.png]]

$x \in < \leftarrow,1] \cup [2,4]$

==Oppgave 3==
==a)==
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

==b)==

==c)==

==d)==

==Oppgave 4==
==a)==
$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

==b)==
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==
==a)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$

==b)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$

==Oppgave 7==
==a)==

==b)==
$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

==c)==
Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-21T22:56:32Z

Joes:

[http://matematikk.net/res/eksamen/R1/R1_V16.pdf oppgaven som pdf]

[https://goo.gl/pWzB6q Løsningsforslag del 1(pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V16%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42911 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

==b)==
$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

==c)==
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

==Oppgave 2==
==a)==
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

==b)==

$ \quad x^3-7x^2+14x-8 :(x-2)= x^2 - 5x + 4 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad \quad-5x^2 + 14x -8 \\ \quad \quad -(-5x^2 -10x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad (4x -8)$

$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \\ x= 1 \vee x =4 \\ \\ P(x)= (x-1)(x-2)(x-4)$

==c)==

$P(x) \leq 0 $

==Oppgave 3==
==a)==
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

==b)==

==c)==

==d)==

==Oppgave 4==
==a)==
$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

==b)==
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==
==a)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$

==b)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$

==Oppgave 7==
==a)==

==b)==
$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

==c)==
Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

R1 2015 høst LØSNING

2016-04-27T11:41:59Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=754 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41291&view=unread#p194087 Løsningsforslag laget av LektorH]

[https://goo.gl/ccLiyV Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20H15%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.
 PS! Løsningsforslaget under er IKKE mitt løsningsforslag.

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41291 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===

$f(x)= 3x^2+5x-2 \\ f´(x)=6x+5$

===b)===

$g(x)=3(x^2-2)^4 \\g´(x)= 3 \cdot 4 \cdot 2x(x^2-3)^3 = 24x(x^2-3)^3$

===c)===

$h(x)= x ln(x^2+3)$

Setter $ u= x^2+3$ som gir u´= 2x, og får:

$h´(x)= ln(x^2+3)+ \frac{x \cdot 2x}{x^2+3} \\ h´(x)= ln(x^2+3) + \frac{2x^2}{x^2+3}$

==Oppgave 2==

$f(x)= xe^{-x} \\ f´x) = e^{-x} +x (-1) e^{-x} = e^{-x}(1-x)$

$e^{-x}$ er positiv for alle x. (1-x) er null for x=1, negativ for x > 1 og positiv for x < 1. x = 1 gir et maksimum for funksjonen.

==Oppgave 3==

===a)===

$f(x)=x^3-2x^2-kx+6, \quad D_F = \R$

k slik at $f(x):( x-1)$ går opp:

$1-2-k +6 =0 \\k = 5$

===b)===

$x^3-2x^2-5x+6 :(x-1)= x^2-x-6 \\-(x^3-x^2) \\ \quad \quad -x^2-5x \\ \quad \quad -(-x^2+x) \\ \quad \quad \quad \quad -6x+6 \\ \quad \quad\quad \quad -(-6x+6)$

Vi løser andregradspolynomet (abc - formel el.) og får totalt disse tre lineære faktorer: (x - 1)(x + 2)(x - 3).

===c)===

Tegner fortegnsskjema for hver av de tre lineære faktorene i b, og får fortegnslinjen for f(x):

[[File:r1-h2015-13b.png]]

$f(x) \geq 0 \\ x \in [-2,1] \cup [3, \rightarrow > $

==Oppgave 4==

$lg(a^2b^3)+ lg(\frac{1}{b^2}) - lg ( \frac{b}{a}) = \\ 2 lga + 3 lgb -2lgb - lgb + lga = \\ 3 lg a$

==Oppgave 5==

===a)===

$f(x)=-x^4+4x^3 = x^3(-x+4) \quad x \in <-2, 4>$

Siden funksjonen ikke er definert for x = 4 har den bare ett nullpunkt, i Origo (0, 0).

===b)===

$f´(x) = -4x^3+12x^2 = -4x^2(x-3)$

[[File:r1-h2015-15b.png]]

Grafen har et terrassepunkt for x = 0, dvs. i (0, 0) og et maksimum i (3, f(3)) som gir (3, 27).

===c)===

Vendepunkt:

$f´´(x)= -12x^2 + 24x \\ f´´(x)=0 \\ -12x(x-2) =0 \\ x=0 \vee x = 2$

x= 0 er sammenfallende med nullpunkt og terrassepunkt, vendepunktene er (0, 0) og (2, 16) ( f(2) = 16).

===d)===

[[File:r1-h2015-5d.png]]

==Oppgave 6==

Vinkel u spenner over samme bue som vinkel D. Begge ligger på sirkelperiferien og er derfor like. Vinkel u er 50 grader.

Vinkel C er 90 grader fordi den ligger på pereferien og spenner over diameteren. Da blir vikel v 40 grader.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden det er 60% jenter og 70% av disse har blå øyner, betyr det at 42% av elevmassen er jenter med blå øyner. Tilsvarende tall for gutter er 22%.

{| width="auto"
|
|Blå
|ikke blå
|Total
|-
| Jente
| 42%
|18%
| 60%
|-
|Gutt
|22%
|18%
|40%
|-
|Total
|64%
|36%
|100%
|}

Fra tabellen ser man at sannsynligheten for å trekke en elev med blå øyner er 64%.

===b)===

Det er 36% som ikke har blå øyner. 18% av disse er gutter. Sannsynligheten er 0,5 for gutt.

==Oppgave 8==

===a)===
[[File:r1-h2015-18abcd.png]]

===b)===
Halveringslinjene er blå i figuren over. En vinkelhalveringslinje er et geometrisk sted, like langt fra de to sidene som danner vinkelen. Dersom man befinne seg på den blå linjen som halverer vinkel A betyr det at man er like langt fra linjestykkene AB og AC. Den samme tanken følger vi fra den blå linjen som halverer vinkel B. Punktet S der linjene møtes blir da et punkt som ligger like langt fra alle linjene. Denne avstanden er SD = SE = SF. En sirkel mens sentrum i S og radius SD vil følgelig bli en innskrevet sirkel.

===c)===

Se over.

===d)===

Se over.

==Oppgave 9==

$lg(x+2)^2 = lg x^4 \\ 2 lg (x+2) = lg(x^2)^2 \\ 2 lg (x+2) = 2 lg(x^2) \\ lg(x +2) = lg (x^2) \\ x+2= x^2 \\ -x^2+x+2 =0$

Bruke abc formelen (el.) og får at x = - 1 eller x = 2. Vi kan ikke ta logaritmen til et negativt tall, så vi må sjekke ut svarene. I denne oppgaven er begge svar gyldige.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===
[[File:r1-h2015-21ab.png]]

C = 3 og k = 0,01625

(brukte regresjon)

===b)===

I følge modellen vil dette skje i år 74 etter 1960, dvs. i år 2034, se figur i a.

===c)===

$f(x) = 3 e^{0,01625x} = 3 (e^{0,01625})^x = 3 \cdot 1,01638^x$ Det betyr at økningen per år er på ca 1,64%

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:r1-h2015-22abc.png]]

===b)===

Bruker Geogebra og finner at arealet er 35.

===c)===

Punktet der normalen fra C på AB skjærer x- aksen har koordinatene (x,0).

$\vec{AB} = [8,-1]$

$[8, -1] \cdot [5-x,8] =0 \\40-8x - 8 =0 \\8x= 32 \\ x= 4 $

==Oppgave 3==

===a)===

Arealet til rektangelet er lengde gange bredde:

$G(x) = x \cdot f(x) = x (4-0,125x^3)= 4x - 0,125x^4$

===b)===

[[File:r1-h2015-23bc.png]]

De x verdiene som gir rektangelet et areal på 5,0 er x= 1,36 og x= 2,53.

===c)===

Fra figuren i b ser man at det største arealet får man når x = 2. Arealet av rektangelet er da 6.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:r1-h2015-24ab.png]]

===b)===

Fra figuren i a ser man at det tredje skjæringspunktet er (5,8).

Summen av x-koordinatene er 4.

===c)===
[[File:r1-h2015-24cd.png]]

1. Vi definerer g(x) i CAS.

2. Stignigstallet til en rett linje a, er $ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ som gir $ a = \frac{g(t)-g(s)}{t-s}$. Stigningstallet blir da det du ser i linje to på CAS klippet.

3. Likningen for en rett linje er y= ax + b. b leddet finner man på linje 3.

===d)===

Fra linje 4 i c:

x = s, x = t og x = -a -s - t

SUM: x + x + x = s + t + (-a - s - t ) = -a

R1 2015 høst LØSNING

2016-04-27T11:41:15Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=754 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41291&view=unread#p194087 Løsningsforslag laget av LektorH]

[https://goo.gl/ccLiyV Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20H15%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.
PS! Løsningsforslaget under er IKKE mitt løsningsforslag.

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41291 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===

$f(x)= 3x^2+5x-2 \\ f´(x)=6x+5$

===b)===

$g(x)=3(x^2-2)^4 \\g´(x)= 3 \cdot 4 \cdot 2x(x^2-3)^3 = 24x(x^2-3)^3$

===c)===

$h(x)= x ln(x^2+3)$

Setter $ u= x^2+3$ som gir u´= 2x, og får:

$h´(x)= ln(x^2+3)+ \frac{x \cdot 2x}{x^2+3} \\ h´(x)= ln(x^2+3) + \frac{2x^2}{x^2+3}$

==Oppgave 2==

$f(x)= xe^{-x} \\ f´x) = e^{-x} +x (-1) e^{-x} = e^{-x}(1-x)$

$e^{-x}$ er positiv for alle x. (1-x) er null for x=1, negativ for x > 1 og positiv for x < 1. x = 1 gir et maksimum for funksjonen.

==Oppgave 3==

===a)===

$f(x)=x^3-2x^2-kx+6, \quad D_F = \R$

k slik at $f(x):( x-1)$ går opp:

$1-2-k +6 =0 \\k = 5$

===b)===

$x^3-2x^2-5x+6 :(x-1)= x^2-x-6 \\-(x^3-x^2) \\ \quad \quad -x^2-5x \\ \quad \quad -(-x^2+x) \\ \quad \quad \quad \quad -6x+6 \\ \quad \quad\quad \quad -(-6x+6)$

Vi løser andregradspolynomet (abc - formel el.) og får totalt disse tre lineære faktorer: (x - 1)(x + 2)(x - 3).

===c)===

Tegner fortegnsskjema for hver av de tre lineære faktorene i b, og får fortegnslinjen for f(x):

[[File:r1-h2015-13b.png]]

$f(x) \geq 0 \\ x \in [-2,1] \cup [3, \rightarrow > $

==Oppgave 4==

$lg(a^2b^3)+ lg(\frac{1}{b^2}) - lg ( \frac{b}{a}) = \\ 2 lga + 3 lgb -2lgb - lgb + lga = \\ 3 lg a$

==Oppgave 5==

===a)===

$f(x)=-x^4+4x^3 = x^3(-x+4) \quad x \in <-2, 4>$

Siden funksjonen ikke er definert for x = 4 har den bare ett nullpunkt, i Origo (0, 0).

===b)===

$f´(x) = -4x^3+12x^2 = -4x^2(x-3)$

[[File:r1-h2015-15b.png]]

Grafen har et terrassepunkt for x = 0, dvs. i (0, 0) og et maksimum i (3, f(3)) som gir (3, 27).

===c)===

Vendepunkt:

$f´´(x)= -12x^2 + 24x \\ f´´(x)=0 \\ -12x(x-2) =0 \\ x=0 \vee x = 2$

x= 0 er sammenfallende med nullpunkt og terrassepunkt, vendepunktene er (0, 0) og (2, 16) ( f(2) = 16).

===d)===

[[File:r1-h2015-5d.png]]

==Oppgave 6==

Vinkel u spenner over samme bue som vinkel D. Begge ligger på sirkelperiferien og er derfor like. Vinkel u er 50 grader.

Vinkel C er 90 grader fordi den ligger på pereferien og spenner over diameteren. Da blir vikel v 40 grader.

==Oppgave 7==

===a)===

Siden det er 60% jenter og 70% av disse har blå øyner, betyr det at 42% av elevmassen er jenter med blå øyner. Tilsvarende tall for gutter er 22%.

{| width="auto"
|
|Blå
|ikke blå
|Total
|-
| Jente
| 42%
|18%
| 60%
|-
|Gutt
|22%
|18%
|40%
|-
|Total
|64%
|36%
|100%
|}

Fra tabellen ser man at sannsynligheten for å trekke en elev med blå øyner er 64%.

===b)===

Det er 36% som ikke har blå øyner. 18% av disse er gutter. Sannsynligheten er 0,5 for gutt.

==Oppgave 8==

===a)===
[[File:r1-h2015-18abcd.png]]

===b)===
Halveringslinjene er blå i figuren over. En vinkelhalveringslinje er et geometrisk sted, like langt fra de to sidene som danner vinkelen. Dersom man befinne seg på den blå linjen som halverer vinkel A betyr det at man er like langt fra linjestykkene AB og AC. Den samme tanken følger vi fra den blå linjen som halverer vinkel B. Punktet S der linjene møtes blir da et punkt som ligger like langt fra alle linjene. Denne avstanden er SD = SE = SF. En sirkel mens sentrum i S og radius SD vil følgelig bli en innskrevet sirkel.

===c)===

Se over.

===d)===

Se over.

==Oppgave 9==

$lg(x+2)^2 = lg x^4 \\ 2 lg (x+2) = lg(x^2)^2 \\ 2 lg (x+2) = 2 lg(x^2) \\ lg(x +2) = lg (x^2) \\ x+2= x^2 \\ -x^2+x+2 =0$

Bruke abc formelen (el.) og får at x = - 1 eller x = 2. Vi kan ikke ta logaritmen til et negativt tall, så vi må sjekke ut svarene. I denne oppgaven er begge svar gyldige.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===
[[File:r1-h2015-21ab.png]]

C = 3 og k = 0,01625

(brukte regresjon)

===b)===

I følge modellen vil dette skje i år 74 etter 1960, dvs. i år 2034, se figur i a.

===c)===

$f(x) = 3 e^{0,01625x} = 3 (e^{0,01625})^x = 3 \cdot 1,01638^x$ Det betyr at økningen per år er på ca 1,64%

==Oppgave 2==

===a)===

[[File:r1-h2015-22abc.png]]

===b)===

Bruker Geogebra og finner at arealet er 35.

===c)===

Punktet der normalen fra C på AB skjærer x- aksen har koordinatene (x,0).

$\vec{AB} = [8,-1]$

$[8, -1] \cdot [5-x,8] =0 \\40-8x - 8 =0 \\8x= 32 \\ x= 4 $

==Oppgave 3==

===a)===

Arealet til rektangelet er lengde gange bredde:

$G(x) = x \cdot f(x) = x (4-0,125x^3)= 4x - 0,125x^4$

===b)===

[[File:r1-h2015-23bc.png]]

De x verdiene som gir rektangelet et areal på 5,0 er x= 1,36 og x= 2,53.

===c)===

Fra figuren i b ser man at det største arealet får man når x = 2. Arealet av rektangelet er da 6.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:r1-h2015-24ab.png]]

===b)===

Fra figuren i a ser man at det tredje skjæringspunktet er (5,8).

Summen av x-koordinatene er 4.

===c)===
[[File:r1-h2015-24cd.png]]

1. Vi definerer g(x) i CAS.

2. Stignigstallet til en rett linje a, er $ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ som gir $ a = \frac{g(t)-g(s)}{t-s}$. Stigningstallet blir da det du ser i linje to på CAS klippet.

3. Likningen for en rett linje er y= ax + b. b leddet finner man på linje 3.

===d)===

Fra linje 4 i c:

x = s, x = t og x = -a -s - t

SUM: x + x + x = s + t + (-a - s - t ) = -a

1P 2015 høst LØSNING

2015-12-14T13:11:34Z

Joes:

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41247 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]
*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41245&start=15 mer diskusjon av denne oppgaven på matteprat]
*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41252&view=unread#p194058 Løsningsforslag del 1 av jøgge]

*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=41252&view=unread#p193713 oppgaven (bedre versjon kommer snart)]
*[https://drive.google.com/file/d/0B0OGRvQ3kKHzRlBVRm5hZHI0Z0k/view?usp=sharing oppgaven (bedre versjon)]

[https://goo.gl/1tvZGR Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%201P%20H15%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

R1 2015 høst LØSNING

2015-11-30T19:57:27Z

Joes:

R1 2015 høst LØSNING

2015-11-27T15:34:25Z

Joes:

R1 2015 høst LØSNING

2015-11-27T15:31:44Z

Joes:

R1 2015 vår LØSNING

2015-11-22T13:43:45Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40014 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://goo.gl/RHMv1A Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes.
Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

[http://1drv.ms/1kOzx7M Del 2, oppgave 2 (video)]

[http://1drv.ms/1kOzEjI Del 2, oppgave 5 (video)]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Forhandssensur_REA3022_Matematikk_R1_V15.pdf Forhandssensur]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Vurderingsskjema_REA3022_Matematikk_R1_V15.xlsm Vurderingsskjema]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Sensorveiledning_REA3022_Matematikk_R1_V2015.pdf Sensorveiledning]

R1 2015 vår LØSNING

2015-11-22T13:43:14Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40014 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[https://goo.gl/RHMv1A Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes.
Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

[http://1drv.ms/1kOzx7M Del 2, oppgave 2 (video)]
[http://1drv.ms/1kOzEjI Del 2, oppgave 5 (video)]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Forhandssensur_REA3022_Matematikk_R1_V15.pdf Forhandssensur]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Vurderingsskjema_REA3022_Matematikk_R1_V15.xlsm Vurderingsskjema]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Sensorveiledning_REA3022_Matematikk_R1_V2015.pdf Sensorveiledning]

R1 2015 vår LØSNING

2015-11-22T13:40:33Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40014 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

*[https://goo.gl/RHMv1A Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes.
Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

[http://1drv.ms/1kOzx7M Del 2, oppgave 2 (video)]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Forhandssensur_REA3022_Matematikk_R1_V15.pdf Forhandssensur]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Vurderingsskjema_REA3022_Matematikk_R1_V15.xlsm Vurderingsskjema]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Sensorveiledning_REA3022_Matematikk_R1_V2015.pdf Sensorveiledning]

R1 2014 høst LØSNING

2015-11-16T11:49:00Z

Joes:

*[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=38704 Diskusjon av denne oppgaven]
*[http://goo.gl/dwqM9D Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20H14%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk. 

Feil i løsningsforslag: 
Del 1 2a: Snek seg inn en trykkfeil for det skal stå +2x og ikke -2x i andregradspolynomet. 
Del 2 4b forsvant i farten: Løs likningen T(x)=16/2 som gir x=1 og x=2.
 

==DEL EN==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==

==Oppgave 8==

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==

R1 2015 vår LØSNING

2015-11-14T21:19:30Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40014 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

*[https://goo.gl/RHMv1A Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes.
Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Forhandssensur_REA3022_Matematikk_R1_V15.pdf Forhandssensur]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Vurderingsskjema_REA3022_Matematikk_R1_V15.xlsm Vurderingsskjema]

[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2015V_Sensorveiledning_REA3022_Matematikk_R1_V2015.pdf Sensorveiledning]

1P-Y 2015 vår LØSNING

2015-05-29T07:15:30Z

Joes: Joes flyttet siden 1P-Y 2015 vår LØSNING til 2P-Y 2015 vår LØSNING

#OMDIRIGERING [[2P-Y 2015 vår LØSNING]]

2P-Y 2015 vår LØSNING

2015-05-29T07:15:30Z

Joes: Joes flyttet siden 1P-Y 2015 vår LØSNING til 2P-Y 2015 vår LØSNING

*[https://goo.gl/V804Er Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202PY%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

2P-Y 2015 vår LØSNING

2015-05-29T07:13:12Z

Joes:

2P-Y 2015 vår LØSNING

2015-05-29T07:09:33Z

Joes: Tømmer siden

2P-Y 2015 vår LØSNING

2015-05-29T06:59:12Z

Joes: Ny side: *[https://goo.gl/V804Er Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202PY%20V15%20fasit melding] hvis du opp...

2P 2015 vår LØSNING

2015-05-29T06:58:13Z

Joes:

*[https://goo.gl/orJmBO Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

1P 2015 vår LØSNING

2015-05-28T09:30:56Z

Joes:

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40110 Diskusjon av denne oppgaven]

*[https://goo.gl/z2Tck8 Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%201P%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.

2P 2015 vår LØSNING

2015-05-28T09:30:14Z

Joes: Ny side: [http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40124 Diskusjon av denne oppgaven] *[https://goo.gl/orJmBO Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen...

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40124 Diskusjon av denne oppgaven]

*[https://goo.gl/orJmBO Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V15%20fasit melding] hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.