Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

R2 2017 høst LØSNING

2017-11-27T16:09:54Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1819 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46535 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1846 Løsningsforslag laget av Dennis Christensen]

Har du et løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!

R2 2017 høst LØSNING

2017-11-27T09:13:40Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1819 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46535 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1837 Løsningsforslag laget av Dennis Christensen]

Har du et løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!

R2 2017 høst LØSNING

2017-11-26T16:57:30Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1819 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46535 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1834 Løsningsforslag laget av Dennis Christensen]

Har du et løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!

R2 2016 høst LØSNING

2017-11-26T16:57:02Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1321 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1335 Løsning laget av Dennis Christensen]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=44287&start=75#p209758 Løsning til del 2 laget av mattepratbruker Kaptein Neseblod]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=44287&start=15 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===

$f(x)= 3 cos 2x \\ f'(x)= -6sin 2x$

===a)===

$g(x) = e^{sinx} \\ g'(x)= cosx \cdot e^{sin x} $

===c)===

$h(x)= \frac{x}{sin x} \\ h'(x)= \frac{sinx - xcosx}{sin^2x } $

==Oppgave 2==

===a)===

$\int(x^2-3x+2)dx = \frac 13 x^3- \frac 32x^2+2x+C$

===b)===

$\int x cos(x)dx = x sin(x) - \int sin(x)dx = x sin(x) - (- cos(x) ) + C = x sin(x) +cos(x)+C$

===c)===

$\int 2x \cdot sin(x) dx \quad \quad u=x^2, \quad \frac{du}{dx} = 2x \Rightarrow du = 2xdx \\= \int sin(u) du \\ = -cos x^2 + C$

==Oppgave 3==

===a)===

Ligningrn for linjen:

Konstantleddet er null siden linjen går gjennom (0, 0). Stigningstallet er endring i y verdi delt på endring i x verdi:

$y= \frac rh x$

===b)===

Dette er en kjegle med radius r og høyde h:

$V = \pi \int\limits_0^h (f(x))^2 dx = \pi \int\limits_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2} [ \frac 13 x^3]_0^h = \frac 13 \pi r^2h $

==Oppgave 4==

===a)===

Perioden til f:

$P= \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$

===b)===

Likevektslinje : y= 5

Amplitude: A = 3

$y_{min} = 5-3 =2 \\ y_{maks} = 5+3 = 8$

===c)===

Vendepunkter:

$f^{(2)}(x)=- \frac{3 \pi^2}{4} sin( \frac{\pi}{2}x) \quad \quad x \in <0, 12> \\ f^{(2)}(x)=0 \\ sin( \frac{\pi}{2}x) =0 \\ x=2k , \quad k=1,...,5$

y verdier:

$f(2k)= 5, \quad k= 1,..., 5$

Vendepunkter (2k, 5), \quad k = 1, ... , 5

===d)===

[[File:r2-h2016-1-4d.png]]

==Oppgave 5==

===a)===

$ \frac{d^2y}{dx}{ -4 \frac{dy}{dx}+5y =0 \\ \frac {d^2}{dx}e^{rx} -4\frac {d}{dx}e^{rx}}-5 e^{rx}=0 \\r^2 e^{rx} -4r e^{rx} -5 e^{rx} =0 \\ (r^2-4r-5)e^{rx} =0 $

$e^{rx}$ er en løsning når $r^2-4r - 5 =0$

===b)===

$r^2-4r-5=0 \\ r = -1 \vee r=5 \\ y=C_1e^{-x} + C_2e^{5x}$

===c)===

Fra initialbetingelsene får vi følgende:

$y(0)=6 \Rightarrow C_1 + C_2 =6 \\ y'(0)=0 \Rightarrow -C_1 + 5C_2=0 \\ C_2=1 \wedge C_1 = 5 \\ y= 5e^{-x} + e^{5x}$

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==

==Oppgave 8==

==Oppgave 9==

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

t = 0 for år 2015

Derfor y(0) = 5200000

Endting er " inn minus ut" :

$y' = 44000 + 0,011y - 0,008y = 0,003y + 44000$

===b)===

[[File:r2-h2016-2-1b.png]]

===c)===

==Oppgave 2==

===a)===

===b)===

===c)===

===d)===

==Oppgave 3==

===a)===
===b)===

===c)===

===d)===

==Oppgave 4==

===a)===

===b)===

R1 2016 høst LØSNING

2017-11-26T16:56:27Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1333 Løsning laget av Dennis Christensen]

[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=44289 Diskusjon av og delvis løsning på denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==

===a)===
$f(x)= 2x^2-5x-6 \\ f'(x) = 4x-5$

===b)===

$g(x)= xlnx\\ g'(x)= lnx + x \cdot \frac 1x = lnx + 1$

===c)===

$h(x)=\frac {e^{2x}}{x-3} \\ h'(x)= \frac{2e^{2x} (x-3)- e^{2x}}{(x-3)^2} = \frac{(2x-7)e^{2x}}{(x-3)^2}$

==Oppgave 2==

===a)===

$f(x)=0 \\ (x+1)^2(x-2) \\ x=-1 \vee x=2$

Nullpunkter: (-1, 0) og (2, 0)

===b)===

$f'(x)=0 \\ f'(x) = 2(x+1)(x-2) + (x+1)^2 = (x+1)(3x-3) \\ x =-1 \vee x= 1$

f'(-2) > 0, f'(0) < 0 og f'(2) > 0 gir toppunkt i ( -1, 0) og minimum for (1,-4 ).

===c)===

[[File:r1-h2016-1-2c.png]]

==Oppgave 3==

===a)===

$\frac{2x + 10}{x^2-25} +\frac{x}{x+5} - \frac {4}{2x - 10}= \\\frac{2x + 10}{(x+5)(x-5)} +\frac{x}{x+5} - \frac {4}{2(x-5)}= \\ \frac{4x+20+2x(x-5) - 4(x+5)}{2(x+5)(x-5) } = \\ \frac{2x(x-5)}{2(x+5)(x-5)} = \\ \frac{x}{x+5}$

===b)===
$\frac{2x+10}{x^2-25} + \frac{x}{x+5} = \frac{4}{2x-10} \\ 2(2x+10) + 2x(x-5) = 4(x+5) \\ 4x+20+2x^2-10x = 4x + 20 \\2x^2-10x=0 \\ x=0 \vee 2x-10=0 \\ x= 0 \vee x= 5$

Må forkaste x = 5, da det gir null i nevner.

L={ 0 }

En mere elegant og tidsbesparende løsning er å løse svaret fra a lik null:

$\frac {x}{x+5} =0$

som gir x=0 direkte.

==Oppgave 4==

===a)===

$2^{3x-2} - 13 = 3 \\ 2^{3x-2} = 2^4 \\ 3x-2 = 4 \\ 3x=6 \\ x=2$

===b)===

$ (lgx)^2 +lgx-2=0 \\ u=lgx\\ u^2+u-2 =0 \\ ABC- formel \\ u= -2 \vee u = 1 \\ lgx = -2 \vee lgx =1 \\ x=0,01 \vee x= 10$

==Oppgave 5==

===a)===

[ 1, 1] er parallell med AB vektor:

<math> \left[ \begin{align*}x = -4 + t\\ y = 5+ t \end{align*}\right] </math>

===b)===

Skjærer x - aksen betyr at y = 0. Da må t være - 5.

Da blir x = -9

D ( -9, 0)

===c)===

$[1, 1] \cdot [-3+4-t, -2-5-t] =0 \\ 1 -t - 7 - t =0 \\ t=-3 \\ x= -7 \wedge y=2$

E ( -7, 2)

==Oppgave 6==

===a)===

$P(D|A)= 0,04 \\ P(D|B)= 0,01 \\ P(A) = \frac 13 \\ P(B)= \frac 23$

Total sannsynlighet for defekt nøkkel

$P(D)= P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) \\ P(D)= \frac 13 \cdot 0,04 + \frac 23 \cdot 0,01 = 0,06 :3 = 0,02 $

Det er 2% sannsynlig at nøkkelen er defekt.

===b)===

$P(D) \cdot P(A|D) = P(A) \cdot P(D|A) \\ P(A|D)= \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)} = \frac 13 \cdot \frac {0,04}{0,02} = \frac 23$

Det er ca. 67% sannsynlig at en defekt nøkkel kommer fra maskin A.

==Oppgave 7==

===a)===

$ \triangle PCB$ er likebeint, derfor er $\angle PCB = v $

$\angle PCE$ er 90 grader fordi toppunktet ligger på periferien og den spenner over 180 grader av sirkelsektoren.

$ \angle ABC$ er også 90 grader, derfor må $\angle ACE = v. $

$ \angle A$ er felles i begge trekantene og $\angle ACE = \angle PCB = v$, derfor er trekantene formlike.

===b)===

$AB= c, \quad EB=a \\ AE = AB - EB = c-a \\ BP = a, \quad AB= c \\ AP = AB + BP = c+a $

===c)===

Forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er likt.

$\frac{AP}{AC} = \frac{AC}{AE} \\ \frac{c+a}{b} = \frac{b}{c-a}$

===d)===

$\frac{c+a}{b} = \frac{b}{c-a} \\ (c+a)= \frac {b^2}{c-a} \\ (c+a)(c-a) =b^2 \\ c^2- ab + ab - a^2 = b^2 \\ a^2 + b^2 = c^2 $

==Oppgave 8==

(ii) er grafen til funksjonen. Den har minimumspunkt for x=0 og vender sin hule side opp hele tiden, dvs. ingen vendepunkter.

(i) er grafen til f'(x). Den er null origo når f(x) har et minimum. (iii) er grafen til den dobbeltderiverte.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

${34\choose7} = _{34}C_7 = 5 379 616 $

===b)===

Hypergeometrisk situasjon:

P (nøyaktig fem rette) $ = \frac{{7\choose5}\cdot {27 \choose 2}}{ {34\choose7} } \approx 0,0014$ , eller 0,14% sannsynlig.

===c)===

Sannsynligheten for at de tre siste tallene går inn er:

$ = \frac{{3\choose3}\cdot {27 \choose 0}}{ {30\choose3} } \approx 0,0002$ , eller 0,02%.

==Oppgave 2==

===a)===

Sirkel $C_1 \quad \quad $ Sentrum: $S_1( -5, 0) \quad $ , Radius: $r_1 = \sqrt{80} = 4 \sqrt 5$

Sirkel $C_2 \quad \quad $ $ \quad x^2-10x+y^2+5=0 \\ x^2 - 10x + 5^2 + y^2 + 5 = 5^2 \\ (x-5)^2+y^2 =20 \\ \\ Sentrum: \quad S_2 (5, 0) \quad \quad Radius: \quad r_2 = \sqrt{20} = 2 \sqrt 5$

===b)===

[[File:r1-h2016-2-2b1.png]][[File:r1-h2016-2-2b2.png]]

Skjæringspunktene er ( 3, 4 ) og ( 3, -4 ).

===c)===

Dersom ortogonale er skalarproduktet mellom vektorene null.

$ \vec{AC} \cdot \vec{CB} = 0 \\ [8,4] \cdot [2, -4] = 16 + ( -16)= 0 $

Sirklene er ortogonale.

==Oppgave 3==

===a)===

Fra ungdomsskolen: $ s = vt \\ t = \frac sv $

x er lengden langs veien og 5 er farten langs veien. Tidsforbruk langs vei: $t_v(x)= \frac x5$ Rotuttrykket i andre ledd er lengden av hypotenusen BH (altså lengden hun beveger seg i terrenget), uttrykt ved katetene i den rettvinklede trekanten BCH. 3 er farten i terrenget. Derav uttrykket.

===b)===

[[File:r1-h2016-2-3b.png]]

Vi ser at hun bruker kortest tid om hun skjærer av vegen etter 3,5 km. Hun bruker da 1,53 timer, eller 1 time 31 minutter og 48 sekunder, for å være nøyaktig.

==Oppgave 4==

===a)===

[[File:r1-h2016-2-4a.png]]

===b)===

$ \vec r(t)= [t^3-3t+3, t-1] \quad \quad -2 \leq x \leq 2 \\ \vec v(t) = \vec r ' (t)= [3t^2-3,1] \\ \vec a(t)= \vec r ' ' (t) = [6t, 0] $

Når t =1

$ Posisjon:\quad \vec r(1)= [1^3-3 \cdot 1+3, 1-1] = [1,0] \\ Banefart: | \vec v(1)| = [3 \cdot 1^2-3,1] = |[0,1]| = 1 \\ Akselerasjon:| \vec a(1)|= =| [6 \cdot 1, 0]| =6 $

Når t = 1 er posisjonen (1,0), banefarten lik 1 og akselerasjonen lik 6.

===c)===

Fartsvektor parallell med y aksen:

$ \vec v(t) || [0, 1] \\ [3t^2-3] = k[0, 1] \\ 3t^2 - 3 =0 \\ t^2 =1 \\ t = \pm 1$

Setter t verdiene inn i posisjonsvektoren:

t = 1 har vi fra b : [1,0]

t = -1 gir oss $[-1 +3+3, -2 ] = [5, -2]$

==Oppgave 5==

[[File:r1-h2016-2-5.png]]

Skjæring mellom parabel og sirkel (sentrum i origo og radius fem) gir de fire punktene vist over.

R1 2017 høst LØSNING

2017-11-26T16:55:52Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1803 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46528 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1816 Løsningsforslag nr 1 laget av Dennis Christensen]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1835 Løsningsforslag nr 2 laget av Ole Henrik Morgenstierne]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1817 Løsningsforslag nr 3 laget av mattepratbruker LektorNilsen]

Har du et alternativt løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!

R2 2017 høst LØSNING

2017-11-26T13:31:55Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1819 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46535 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1834 Løsningsforslag laget av mattepratbruker DennisChristensen]

Har du et løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!

R2 2017 høst LØSNING

2017-11-25T21:28:17Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1819 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46535 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1831 Løsningsforslag laget av mattepratbruker DennisChristensen]

Har du et løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!

R2 2017 høst LØSNING

2017-11-25T21:27:56Z

Dennischristensen95:

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1819 Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=46535 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1831 Løsningsforslag nr 1 laget av mattepratbruker DennisChristensen]

Har du et løsningsforslag du ønsker å dele? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi det ut!