Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-06-20T06:32:37Z

CFleming: /* c) Finn punkt $M$ */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Nullpunkt: $\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}$

==== b) Derivere $g(x)$====

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet: $$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\frac{1}{2}, 0\right)}}$

* Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)}}$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
\underline{\underline{x = \frac{2}{3}}}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$
$$
\underline{\underline{|\vec{NA}|=\sqrt{ 5 }}}
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:
$$
2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2-2x-3)=2(x-3)(x+1)
$$
$$
x=3 \vee x=-1
$$
Siden $y=2-x$:
$$
M = (-1, 3) \vee M = (3, -1)
$$
Oppgaven spesifisere at Nil flytter til nærmest punkt (til $N(-1,2)$), derfor er $\underline{\underline{M = (-1, 3)}}$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,500\,000$, altså halvparten av $3\,000\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2-3''': Likningen $S(t) = 1\,500\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 102,8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''102 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke <code>NormalLinje</code>-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-06-19T05:32:16Z

CFleming:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Nullpunkt: $\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}$

==== b) Derivere $g(x)$====

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet: $$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\frac{1}{2}, 0\right)}}$

* Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)}}$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
\underline{\underline{x = \frac{2}{3}}}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$
$$
\underline{\underline{|\vec{NA}|=\sqrt{ 5 }}}
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,500\,000$, altså halvparten av $3\,000\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2-3''': Likningen $S(t) = 1\,500\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 102,8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''102 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke <code>NormalLinje</code>-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-06-19T05:31:02Z

CFleming: /* a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

[https://drive.google.com/file/d/1TwiMbwEE4m2Ry7yrTX9Txn6ln-hsQjsJ/view?usp=sharing Løsningsforslag som pdf]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Nullpunkt: $\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}$

==== b) Derivere $g(x)$====

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet: $$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\frac{1}{2}, 0\right)}}$

* Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)}}$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
\underline{\underline{x = \frac{2}{3}}}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$
$$
\underline{\underline{|\vec{NA}|=\sqrt{ 5 }}}
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,500\,000$, altså halvparten av $3\,000\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2-3''': Likningen $S(t) = 1\,500\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 102,8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''102 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke <code>NormalLinje</code>-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

Fil:V25 2-1 a.png

2025-06-19T05:29:27Z

CFleming: CFleming lastet opp en ny versjon av Fil:V25 2-1 a.png

R1 2025 Vår LØSNING

2025-06-19T05:28:22Z

CFleming: /* a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

[https://drive.google.com/file/d/1TwiMbwEE4m2Ry7yrTX9Txn6ln-hsQjsJ/view?usp=sharing Løsningsforslag som pdf]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Nullpunkt: $\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}$

==== b) Derivere $g(x)$====

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet: $$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\frac{1}{2}, 0\right)}}$

* Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)}}$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
\underline{\underline{x = \frac{2}{3}}}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$
$$
\underline{\underline{|\vec{NA}|=\sqrt{ 5 }}}
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,500\,000$, altså halvparten av $3\,000\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,500\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 102.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke <code>NormalLinje</code>-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-26T06:55:34Z

CFleming: Lenke til løsningsforslag

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

[https://drive.google.com/file/d/1TwiMbwEE4m2Ry7yrTX9Txn6ln-hsQjsJ/view?usp=sharing Løsningsforslag som pdf]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Nullpunkt: $\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}$

==== b) Derivere $g(x)$====

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet: $$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\frac{1}{2}, 0\right)}}$

* Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)}}$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
\underline{\underline{x = \frac{2}{3}}}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$
$$
\underline{\underline{|\vec{NA}|=\sqrt{ 5 }}}
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke <code>NormalLinje</code>-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-22T11:31:52Z

CFleming: Justert noen av likningene

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Nullpunkt: $\underline{\underline{x = \frac{1}{2}}}$

==== b) Derivere $g(x)$====

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet: $$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\frac{1}{2}, 0\right)}}$

* Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)}}$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
\underline{\underline{x = \frac{2}{3}}}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$
$$
\underline{\underline{|\vec{NA}|=\sqrt{ 5 }}}
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke <code>NormalLinje</code>-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 Hovedside

2025-05-22T11:03:36Z

CFleming: Endret siden slik at det er eksamensoppgavene fra gjeldende læreplanen som vises øverst. Opplevd stadig at elever som velge R1 fra Fag i menyen øverst fant bare eldre eksamensoppgaver

= LK20 Eksamensoppgaver =

{{R1 Hovedside/EksamenLK20|transcludesection=TOPP}}

= Utgått læreplan LK06 =

{{AlleFag}}

[[Category:R1]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-21T07:28:15Z

CFleming: /* Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke <code>NormalLinje</code>-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-21T07:27:33Z

CFleming: /* Metode 1: Vektorer og skalarprodukt */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk <code>Vektor(A,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk <code>Vektor(B,C)</code> for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-21T07:26:06Z

CFleming: Ekstra forklaring oppgave 5

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

Vi kjenner:
*$A = (0, 0)$
*$B = (e,\ 1)$
*Punkt $C$ ligger på linja $y = x$, og $\angle ACB = 90^\circ$

==== Metode 1: Vektorer og skalarprodukt ====

La $C = (x,\ x)$. Altså et vilkårlig punkt på $y=x$
*Beregn $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$
*Løs $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$ for å sikre rett vinkel i $C$

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

*Linje 2-4: Definer punkt A og B og C
*Linje 5: Bruk `Vektor(A,C)` for å får vektoruttrykket for $\vec{AC}$
*Linje 6: Bruk `Vektor(B,C)` for å får vektoruttrykket for $\vec{BC}$
*Linje 7: Likningen til $\vec{AC}·\vec{BC}=0$
*Linje 8: Løs $\vec{AC}·\vec{BC}=0$ for å finne $x$ slik at $\vec{AC}$ og $\vec{BC}$ står vinkelrett

Vi får:

$$
x = \frac{1}{2}(e + 1) \Rightarrow C = \left(\frac{e + 1}{2},\ \frac{e + 1}{2}\right)
$$

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

*Linje 9: Vi definere et nytt punkt $C_{1}$ som har koordinatene funnet over
*Linje 10: Vi bestemme arealet til trekanten: $\text{Areal}=\frac{AB\,BC}{2}$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

*Finn en linje gjennom $B$ som står normalt på $y = x$
*Finn skjæringspunktet $C$ mellom denne linja og $y = x$
*Bruk avstandsformler og determinanter til å finne areal

Gir samme punkt $C$ og areal:

$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-21T07:18:27Z

CFleming: /* Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

==== '''Svar:''' ====
$$
\underline{\underline{\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}}}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-21T07:14:47Z

CFleming: /* a) Bestem farten til fiskebåten i knop */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|400px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

Fil:V25 2-4b.png

2025-05-21T07:14:11Z

CFleming: CFleming lastet opp en ny versjon av Fil:V25 2-4b.png

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-21T07:13:38Z

CFleming: /* Oppgave 4 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|400px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|400px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|400px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|400px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

Fil:V25 2-4d.png

2025-05-21T07:08:56Z

CFleming: CFleming lastet opp en ny versjon av Fil:V25 2-4d.png

Fil:V25 2-4d-1.png

2025-05-21T07:08:46Z

CFleming: CFleming lastet opp en ny versjon av Fil:V25 2-4d-1.png

Fil:V25 2-4c.png

2025-05-21T07:08:36Z

CFleming: CFleming lastet opp en ny versjon av Fil:V25 2-4c.png

Fil:V25 2-4a.png

2025-05-21T07:08:21Z

CFleming: CFleming lastet opp en ny versjon av Fil:V25 2-4a.png

Fil:V25 2-4a.png

2025-05-21T07:08:11Z

CFleming: CFleming lastet opp en ny versjon av Fil:V25 2-4a.png

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-21T07:07:05Z

CFleming: Endring av tekst i oppgave 4 del 2

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = [1 + 5t,\ 4 + 8t]
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [5, 8]
$$
* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$
* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5{,}09\text{ knop}}}$

---

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $T = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$
CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$
* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:''' Minste avstand er $\underline{\underline{\text{954 meter}}}$

---

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = [4,\ 11]$.
Vi bruker denne informasjonen for å definere en ny parametrisk funksjon $F$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
F(t) = [1,\,-3]+t[4,\,11]=[1 + 4t,\ -3 + 11t]
$$

==== Fremgangsmåte i CAS ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 2''': Definerer $F(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 3''': Forsøker å løse $F(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 3+4''': Løser $F(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:''' Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

---

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

Mens vi vet retning $\vec{u}$, vet vi ikke hvor ''stor'' farten er, så for å uttrykke hvor mye båten beveger seg ''per time'' må vi gange retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $k > 0$.

Tidsvariabelen $t$ representerer antall timer etter start, og multipliseres inn for å uttrykke hvor langt båten har beveget seg langs vektoren $\vec{u}$ etter $t$ timer.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $B$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
B(t) = [-2,0]+k·t·[6,4] = [6·k·t-2,\ 4·k·t]
$$

==== CAS-løsning ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $F(t)$ og $B(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $F(t) = B(t)$ for $t$ og $k$

Resultatet er:
$$
k = \frac{3}{2} , \quad t = \frac{3}{5}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da $k \cdot |\vec{u}|$

[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

'''Farten til fiskebåten blir:'''

$$
k \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10{,}82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:15:00Z

CFleming:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):

[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:13:52Z

CFleming: /* For $x = -2$: */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$
 

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:12:38Z

CFleming: Formattering

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
*Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

*Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
*Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:11:45Z

CFleming: bilde størrelse

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|600px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:11:20Z

CFleming: bilde størrelse

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|200px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:10:40Z

CFleming: /* b) */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) Derivere $g(x)$====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:09:42Z

CFleming: /* Endelig modell: */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:09:10Z

CFleming: /* Alternativ metode */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|600px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:09:01Z

CFleming: /* Alternativ metode */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|500px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:08:49Z

CFleming: /* Trinn 2: Bestem $k$ */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|400px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:08:28Z

CFleming: BIlde størrelse

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|400px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:07:41Z

CFleming: /* a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:05:16Z

CFleming:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

== Oppgave 5 ==

=== a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet B ===

==== Metode 1: Finn ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart ====

Dersom tangenten på B krysser gjennom A(0,0) skal gjennomsnittlig vekstfart i x-intervallet mellom 0 og B være lik momentanvekstfart i B:

* '''Linje 2''': Løs for å finne $f$ da $\text{gvf} = \text{mvf}$

[[File:V25_2-5a.png|300px]]

==== Metode 2: Finne tangent i et vilkårlig punkt $x = a$ ====

Løs $g(0) = 0$ slik at vi finner $a$ der $g$ har ingen konstantledd:

[[File:V25_2-5a-1.png|300px]]

$$
f(e) = 1
$$

Koordinatpunkt = $(e, 1)$

=== b) Bestem det eksakte arealet av trekant ABC ===

[[File:V25_2-5b-3.png|300px]]

[[File:V25_2-5a-2.png|300px]]

Eller:

==== Metode 2: Bruke `normallinje`-kommando ====

[[File:V25_2-5b-2.png|300px]]

'''Svar:'''
$$
\text{Arealet til } \triangle ABC = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T19:02:19Z

CFleming:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

== Oppgave 4 ==

=== a) Bestem farten til fiskebåten i knop ===

[[File:V25_2-4a.png|300px]]

Vi har posisjonsvektoren:

$$
\vec{r}(t) = (1 + 5t,\ 4 + 8t)
$$

* '''Linje 1''': Posisjon uttrykkes som vektor
* '''Linje 2''': Farten finnes som den deriverte:
$$
\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (5, 8)
$$

* '''Linje 3''': Finne farten i km/h, ved å regne ut fartsvektorens lengde:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9.43
$$

* '''Linje 4''': Omregnet til knop ved å dele farten i km/h på $1.852$:
$$
\frac{9.43}{1.852} \approx 5.09
$$

'''Svar:''' Farten til fiskebåten er ca. $\underline{\underline{5,09\text{ knop}}}$

=== b) Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret ===

[[File:V25_2-4b.png|300px]]

Fyret står i punktet $(4, 7)$.

* '''Linje 2''': Punktet defineres i CAS som $F = (4, 7)$
* '''Linje 3''': Avstanden mellom båten og fyret uttrykkes som en funksjon $d(t)$:
$$
d(t) = \sqrt{(5t + 1 - 4)^2 + (8t + 4 - 7)^2}
$$

CAS forenkler dette til:
$$
d(t) = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}
$$

* '''Linje 4''': Ekstremalpunkt for $d(t)$ viser at minste avstand oppstår når:
$$
d_{\text{min}} \approx 0.954 \text{ km} = 954 \text{ meter}
$$

'''Svar:'''
Minste avstand er '''954 meter'''

=== c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen? ===

Fiskestimen er i punktet $(1,\ -3)$ ved tiden $t = 0$ og svømmer med konstant hastighet $\vec{v} = (4,\ 11)$.
Vi bruker denne informasjon for å definere en ny parametrisk funksjon $q$ som beskriver fiskestimens posisjon over tid:

$$
q(t) = (1 + 4t,\ -3 + 11t)
$$

==== Fremgangsmåte i CAS: ====

[[File:V25_2-4c.png|300px]]

* '''Linje 5''': Definerer $q(t)$ som fiskestimens posisjon
* '''Linje 6''': Forsøker å løse $q(t) = r(t)$ – altså om de befinner seg på samme sted samtidig
**Resultat: $\{\}$ ⇒ ingen løsning*
* '''Linje 7''': Løser $q(t) = r(s)$ for to ulike tidspunkter og får:
$$
t = \frac{35}{23}, \quad s = \frac{28}{23}
$$

Dette viser at de '''befinner seg i samme punkt''', men '''på forskjellige tidspunkt'''.

'''Svar:'''
Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen – de er på samme sted til ulike tider.

=== d) Bestem farten fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen ===

Fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og skal holde konstant fart i retning av vektoren $\vec{u} = (6,\ 4)$.

For å beskrive posisjonen til fiskebåten over tid, antar vi at den beveger seg i retning $\vec{u}$ med en '''ukjent skalar faktor''' $v > 0$.

Vi bruker dette for å lage en egendefinert funksjon $p$ som beskriver fiskebåtens posisjon:

$$
p(t) = (-2 + 6vt,\ 4vt)
$$

==== CAS-løsning: ====

[[File:V25_2-4d.png|300px]]

* '''Linje 1–2''': Definerer $q(t)$ og $p(t)$
* '''Linje 3–4''': Løser $q(t) = p(t)$ for $t$ og $v$

Resultatet er:
$$
t = \frac{3}{5}, \quad v = \frac{3}{2}
$$

Farten til fiskebåten (som lengden av fartsvektoren) er da:

$$
|\vec{v}| = v \cdot |\vec{u}|
$$

Ved utregning i CAS ('''linje 5'''):
[[File:V25_2-4d-1.png|300px]]

Farten til fiskebåten blir:

$$
v \cdot |\vec{u}| = 3\sqrt{13} \approx 10.817
$$

'''Svar:'''
Fiskebåten må holde en fart på $\underline{\underline{10,82 \text{ km/h}}}$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:59:15Z

CFleming:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

== Oppgave 3 ==

=== Løsemåte i CAS: ===

[[File:V25_2-3.png|300px]]

=== Forklaring ===

Vi bruker navnene $p(x)$, $q(x)$ og $r(x)$ som egendefinerte betegnelser for de tre delene av funksjonen, for å gjøre beregningene tydeligere der

$$
f(x) =
\begin{cases}
p(x), & x \leq -2 \\
q(x), & -2 < x < 1 \\
r(x), & x \geq 1
\end{cases}
$$

$p(x)$ og $r(x)$ er gitt i oppgave, men siden $q$ er et ubestemt tredjegradspolynom kan vi bruke:

$$
q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$

* '''Linje 1-3''': Definere $p$, $q$ og $r$ i CAS

Vi ønsker å finne uttrykket for $q(x)$ slik at $f$ er '''kontinuerlig og deriverbar i hele $\mathbb{R}$'''. Siden alle $p$, $q$ og $r$ er polynomer, er det bare nødvendig å sjekke i delingspunktene til $f$:

==== For $x = -2$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \Rightarrow p(-2) = q(-2)$
Deriverbar dersom $\lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) \Rightarrow p'(-2) = q'(-2)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 4''': $p(-2) = q(-2)$
**Obs! Selv om $q(-2)$ ikke er definert som funksjonsverdi (siden $q$ bare gjelder for $-2 < x < 1$), kan vi likevel bruke uttrykket $q(-2)$ i CAS for å representere høyre grenseverdi.*

* '''Linje 5''': $p'(-2) = q'(-2)$

==== For $x = 1$: ====

Kontinuerlig dersom $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \Rightarrow q(1) = r(1)$
Deriverbar dersom: $\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \Rightarrow q'(1) = r'(1)$

I CAS skrives det:

* '''Linje 6''': $q(1) = r(1)$
* '''Linje 7''': $q'(1) = r'(1)$

Linjer 4–7 utgjør et likningssystem.

* '''Linje 8''': Løsning til likningssystemet:

$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{13}{27} \\
b &= \frac{7}{9} \\
c &= -\frac{1}{9} \\
d &= -\frac{113}{27}
\end{aligned}
$$

---

=== Svar ===

Det manglende uttrykket i midten av $f(x)$ er:

$$
q(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}, \quad \text{for } -2 < x < 1
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:57:25Z

CFleming:

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen <code>Ekstremalpunkt(f)</code> finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (<code>Tangent</code> kommandoen) og bruk kommandoen <code>Invers</code> for å finne den inverse linjen.

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:53:28Z

CFleming: /* Oppgave 2 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

---

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

---

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

Dette kan vi bestemmer ved å finne ekstremalpunkter i CAS:
[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $f$ er definert.
* '''Linje 2''': Kommandoen `Ekstremalpunkt(f)` finner topp- og bunnpunkt:

$f$ har ekstremalpunkt i $x = 0 \text{ og } x = 4$

Dermed er funksjonen strengt minkende på $[0, 4]$, og dette er det største intervallet som inneholder $x = 2$ og hvor $f$ er én-entydige.

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{I = [0, 4]}}
$$

---

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g$, altså $g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$.

Vi finner $f'(3)$ i CAS:
[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigningstallet til $g$ i dette punktet er den inverse av $f'$ i punktet med samme $x$-verdi som $g$ sitt $y$-verdi:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ metode:'''
Finn tangenten til $f$ i $x = 3$ (`Tangent` kommandoen) og bruk kommandoen `Invers` for å finne den inverse linjen.

---

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker et punkt på grafen til $g$ der tangenten har samme stigning som i (b), altså $g' = -\frac{1}{3}$

Siden $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$, gjelder:

$$
\frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3
$$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Vi løser $f'(x) = -3$ og finner:
$$
x = 1 \quad \text{og} \quad x = 3
$$

Vi kjenner allerede punktet $(3, -10)$.
* '''Linje 5''': Det andre punktet er:
$$
x = 1 \Rightarrow f(1) = -\frac{8}{3}
$$

Dermed er punktet på $f$:
$$
(1,\ -\frac{8}{3})
$$

På grafen til $g$ blir dette punktet:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:51:16Z

CFleming: /* DEL 2 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

---

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

---

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': $f$ defineres
* '''Linje 2''': `Ekstremalpunkt(f)` viser at $f$ har ekstremalpunkter i $x = 0$ og $x = 4$

Dermed er $f$ strengt minkende på $[0, 4]$

'''Svar:'''
$$\underline{\underline{I = [0, 4]}}$$

---

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g \Rightarrow g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigning til $g$ i punktet er den inverse av $f'$ i punktet med $x = 3$:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ:''' Bruk tangentlinje til $f$ i $x = 3$ og `Invers`-kommando.

---

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker $g'$ skal være $-\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Løser $f'(x) = -3$ og får $x = 1$ og $x = 3$
* '''Linje 5''': $f(1) = -\frac{8}{3}$ gir punktet $(1,\ -\frac{8}{3})$ på grafen til $f$

På grafen til $g$:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

---

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:50:55Z

CFleming: /* Oppgave 1 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

= DEL 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:

$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$

* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:

$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

==== Alternativ fremgangsmåte: ====

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Alternativt bekreftes dette ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

---

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:

$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

---

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:

$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

==== Trinn 1: Bestem $a$ ====

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* Opprinnelig definisjon av $F(t)$ på '''linje 5'''
* På '''linje 6''' settes $F(0) = 500$:

$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

==== Trinn 2: Bestem $k$ ====

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* I bildet over var de tidligere linje 6 og 7 slettet, og funksjonen på '''linje 5''' blitt oppdatert med verdien $a = 2999$:

$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* På '''linje 6''', settes $F(60) = 750\,000$ og løses:

$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

==== Alternativ metode ====

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* I bildet over brukes vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$.
* Også her får vi $k \approx 0.133$, som bekrefter riktig valg.

==== Endelig modell: ====

$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': $f$ defineres
* '''Linje 2''': `Ekstremalpunkt(f)` viser at $f$ har ekstremalpunkter i $x = 0$ og $x = 4$

Dermed er $f$ strengt minkende på $[0, 4]$

'''Svar:'''
$$\underline{\underline{I = [0, 4]}}$$

---

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g \Rightarrow g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigning til $g$ i punktet er den inverse av $f'$ i punktet med $x = 3$:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ:''' Bruk tangentlinje til $f$ i $x = 3$ og `Invers`-kommando.

---

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker $g'$ skal være $-\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Løser $f'(x) = -3$ og får $x = 1$ og $x = 3$
* '''Linje 5''': $f(1) = -\frac{8}{3}$ gir punktet $(1,\ -\frac{8}{3})$ på grafen til $f$

På grafen til $g$:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

---

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:38:47Z

CFleming: Kort justering av tekst

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:
$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$
* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:
$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

'''Alternativ fremgangsmåte:'''

[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Bekreftes ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:
$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

---

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:
$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

'''Trinn 1: Bestem $a$'''

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* '''Linje 5''': Opprinnelig definisjon av $F(t)$
* '''Linje 6''': Settes $F(0) = 500$:
$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

'''Trinn 2: Bestem $k$'''

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* Funksjonen oppdateres med verdien $a = 2999$:
$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* Ved å sette $F(60) = 750\,000$ får vi:
$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

'''Alternativ metode:'''

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* Bruker vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$. Også her får vi $k \approx 0.133$

'''Endelig modell:'''
$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

---

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': $f$ defineres
* '''Linje 2''': `Ekstremalpunkt(f)` viser at $f$ har ekstremalpunkter i $x = 0$ og $x = 4$

Dermed er $f$ strengt minkende på $[0, 4]$

'''Svar:'''
$$\underline{\underline{I = [0, 4]}}$$

---

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g \Rightarrow g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigning til $g$ i punktet er den inverse av $f'$ i punktet med $x = 3$:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ:''' Bruk tangentlinje til $f$ i $x = 3$ og `Invers`-kommando.

---

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker $g'$ skal være $-\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Løser $f'(x) = -3$ og får $x = 1$ og $x = 3$
* '''Linje 5''': $f(1) = -\frac{8}{3}$ gir punktet $(1,\ -\frac{8}{3})$ på grafen til $f$

På grafen til $g$:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

---

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:37:31Z

CFleming: /* DEL 2 */

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= Del 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:
$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$
* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:
$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

'''Alternativ fremgangsmåte:'''
[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Bekreftes ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

---

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:
$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

---

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:
$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

'''Trinn 1: Bestem $a$'''

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* '''Linje 5''': Opprinnelig definisjon av $F(t)$
* '''Linje 6''': Settes $F(0) = 500$:
$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

'''Trinn 2: Bestem $k$'''

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* Funksjonen oppdateres med verdien $a = 2999$:
$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* Ved å sette $F(60) = 750\,000$ får vi:
$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

'''Alternativ metode:'''

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* Bruker vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$. Også her får vi $k \approx 0.133$

'''Endelig modell:'''
$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

---

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': $f$ defineres
* '''Linje 2''': `Ekstremalpunkt(f)` viser at $f$ har ekstremalpunkter i $x = 0$ og $x = 4$

Dermed er $f$ strengt minkende på $[0, 4]$

'''Svar:'''
$$\underline{\underline{I = [0, 4]}}$$

---

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g \Rightarrow g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigning til $g$ i punktet er den inverse av $f'$ i punktet med $x = 3$:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ:''' Bruk tangentlinje til $f$ i $x = 3$ og `Invers`-kommando.

---

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker $g'$ skal være $-\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Løser $f'(x) = -3$ og får $x = 1$ og $x = 3$
* '''Linje 5''': $f(1) = -\frac{8}{3}$ gir punktet $(1,\ -\frac{8}{3})$ på grafen til $f$

På grafen til $g$:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

---

R1 2025 Vår LØSNING

2025-05-20T18:37:01Z

CFleming: Løsningsforslag til R1 Vår 25 DEL 2

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=5015 Oppgaven som pdf]

[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=54983 Diskusjon av oppgaven på Matteprat]

== Del 1 ==

=== Oppgave 1 ===

Vi skal derivere funksjonen:

$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$

Deriver ledd for ledd:

* $e^{-2x} \rightarrow -2e^{-2x}$
* $\frac{1}{5}x^5 \rightarrow x^4$
* $-2\pi \rightarrow 0$, siden $\pi$ er konstant.

Svar:
$$
f'(x) = -2e^{-2x} + x^4
$$

=== Oppgave 2 ===

Funksjonen er gitt som:

$$
g(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2
$$

==== a) Nullpunkter ====

Vi setter $g(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 = 0
$$

Siden $e^x \neq 0$, må:

$$
(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
$$

Svar: Nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$

==== b) ====

$$
g'(x) = \frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3)
$$

Løsningsskisse (produktregel):

La:

* $u(x) = \frac{1}{2} e^x$

* $v(x) = (2x - 1)^2$

Da:

$$
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
$$
= \frac{1}{2} e^x (2x - 1)^2 + \frac{1}{2} e^x \cdot 2(2x - 1) \cdot 2
$$

$$
= \frac{1}{2} e^x \left( (2x - 1)^2 + 4(2x - 1) \right)
$$

Utvid og faktoriser uttrykket:

$$
(2x - 1)^2 + 4(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 + 4) = (2x - 1)(2x + 3)
$$

Bekreftet.

==== c) Topp- og bunnpunkter ====

Finn stasjonære punkter ved å løse $g'(x) = 0$:

$$
\frac{1}{2} e^x (2x - 1)(2x + 3) = 0
$$

Løsning: $x = \frac{1}{2}$ og $x = -\frac{3}{2}$

Finn $g(x)$-verdiene:

* $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{1/2} \cdot 0 = 0$

* $g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}$

Svar:

* Bunnpunkt: $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$

* Toppunkt: $\left(-\frac{3}{2}, 8e^{-3/2} \right)$

=== Oppgave 3 ===

==== a) ====

$$
3^{3x + 2} - 5 = 76$$
$$ 3^{3x + 2} = 81 = 3^4 $$
$$ 3x + 2 = 4 $$
$$
x = \frac{2}{3}
$$

==== b) ====

$$
3 \lg x + 2 \lg x^2 + \lg\left(\frac{1}{x^9}\right) = 2
$$

Bruk logaritmeregler:

- $\lg x^2 = 2 \lg x$

- $\lg \left( \frac{1}{x^9} \right) = \lg(1) - \lg(x^9) = -9 \lg x$

Da får vi:

$$
3 \lg x + 4 \lg x - 9 \lg x = 2 $$
$$ -2 \lg x = 2 $$
$$ \lg x = -1 $$
$$ x = 10^{-1} = \underline{\underline{0,1=\frac{1}{10}}}
$$

=== Oppgave 4 ===

==== a) ====

Direkte innsetting gir:

$$
\frac{3(9 - 3)}{0} = \frac{18}{0}
$$

Ikke av typen $\frac{0}{0}$ – som betyr at grenseverdien kan gå mot $+\infty$, $-\infty$ eller være udefinert.

Når $x \to 3^-$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er negativ og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $-\infty$

Når $x \to 3^+$:

* Telleren nærmer seg $18$ og nevneren er positiv og nærmer seg $0$

* $\Rightarrow$ Brøken går mot $+\infty$

Grenseverdien eksistere ikke.

==== b) ====

$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
$$

Bruk konjugatsetning med $x-4$:
$$
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{ x } +
2)}
$$
$$
\lim_{x \to 4} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
$$
$$
=\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}
$$

=== Oppgave 5 ===

Funksjon gitt som:

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2, & x < 0 \\
2e^x, & x \geq 0
\end{cases}
$$

==== a) Kontinuitet ====

Sjekk om grenser fra venstre og høyre i $x = 0$ gir samme verdi:

* Venstre: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2$
* Høyre: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2$

Funksjonen er kontinuerlig i $x = 0$.

==== b) Deriverbarhet ====

Venstrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^- }f'(x)=\lim_{ x \to 0^- }2x = 0
$$

Høyrederivert:

$$
\lim_{ x \to 0^+ }f'(x)=\lim_{ x \to 0^+ }2e^x = 2·e^0=2
$$

Ulike verdier Ikke deriverbar i $x = 0$

=== Oppgave 6 ===

==== a) Avstand mellom Nils og Ahmad ====

$$
\vec{NA}=[1-(-1),1-2]=[2,-1]
$$
$$
|\vec{NA}|=\sqrt{ 2^2+(-1)^2 }
$$

==== b) Punktet $(-1, a)$ ligger på linjen fra Jelena som er parallell med $\vec{NA}$ ====

La $P=(-1,a)$

* $\vec{NA} = (2, -1)$
* $\vec{JP} = (-1, a)$

Siden $\vec{JP} \parallel \vec{NA}$ kan vi skrive $t·\vec{NA}=\vec{JP}$

$$
t[2,1]=[-1,a]
$$
$$
2t=-1 \vee -t=a
$$
$$
t=-\frac{1}{2} \Rightarrow \underline{\underline{a=\frac{1}{2}}}
$$

==== c) Finn punkt $M$ ====

Finn punkt $M$ slik at:
* $|JM| = \sqrt{10}$
* $\angle MAJ = 90^\circ$

Siden $\angle MAJ = 90^\circ$ er $\vec{AM} \cdot \vec{JA} = 0$

La $M = (x, y)$.

Siden $\vec{JM}=[x,y]$ og $|\vec{JM}|=\sqrt{ 10 } \Rightarrow x^2+y^2=10$

* $\vec{AM} = (x - 1, y - 1)$
* $\vec{JA} = (1, 1)$

$$
\vec{AM} \cdot \vec{JA} = x-1+y-1=0
$$
$$
x + y = 2 \Rightarrow y=2-x
$$

Sett $y = 2 - x$ inn $x^2 + y^2 = 10$:

$$
x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0
$$

Løs:

$$
x = 3 \Rightarrow y = -1 \\
x = -1 \Rightarrow y = 3
$$

'''Svar:'''
Mulige punkter: $M = (-1, 3)$ og $M = (3, -1)$

= DEL 2 =

== Oppgave 1 ==

=== a) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene har batteriet? ===

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\,250\,000$, altså halvparten av maksverdien $2\,500\,000$.

[[File:V25_2-1_a.png|300px]]

* '''Linje 1''': Funksjonen $S$ defineres som:
$$
S(t) := \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0.08t}}
$$
* '''Linje 2''': Likningen $S(t) = 1\,250\,000$ løses, og vi får:
$$
t \approx 97.8
$$

Dette betyr at det vil ta omtrent '''97,8 uker''' før halvparten av husstandene har batteriet.

'''Alternativ fremgangsmåte:'''
[[File:V25_2-1a1.png|300px]]

* Bekreftes ved å bruke `Vendepunkt(S)`, som gir punktet $(97.8,\ 1\,250\,000)$ – altså vendepunktet for den logistiske modellen.

---

=== b) Bestem $S'(52)$ og gi en praktisk tolkning ===

[[File:V25_2-1b.png|300px]]

* Bildet viser at den deriverte ved $t = 52$ er:
$$
S'(52) \approx 4872.76
$$

'''Tolkning:'''
Ved uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent '''4873 husstander per uke'''.

---

=== c) Finn en justert logistisk modell ===

Vi skal finne en ny modell på formen:
$$
F(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-kt}}
$$

Gitt:
* $N = 1\,500\,000$, siden $F(t)\to 1\,500\,000$ etter lang tid
* $F(0) = 500$
* Vendepunkt ved $t = 60$, altså $F(60) = 750\,000$

'''Trinn 1: Bestem $a$'''

[[File:V25_2-1c1.png|300px]]

* '''Linje 5''': Opprinnelig definisjon av $F(t)$
* '''Linje 6''': Settes $F(0) = 500$:
$$
\frac{1\,500\,000}{a + 1} = 500 \Rightarrow a = 2999
$$

'''Trinn 2: Bestem $k$'''

[[File:V25_2-1c2.png|300px]]

* Funksjonen oppdateres med verdien $a = 2999$:
$$
F(t) = \frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-kt} + 1}
$$

* Ved å sette $F(60) = 750\,000$ får vi:
$$
\frac{1\,500\,000}{2999 \cdot e^{-60k} + 1} = 750\,000 \Rightarrow
k = \frac{1}{60} \ln(2999) \approx 0.133
$$

'''Alternativ metode:'''

[[File:V25_2-1c3.png|300px]]

* Bruker vendepunktbetingelsen $F''(60) = 0$ for å løse ut $k$. Også her får vi $k \approx 0.133$

'''Endelig modell:'''
$$
\underline{\underline{F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0.133t}}}}
$$

Dette er den justerte logistiske modellen som tar høyde for BA3s konkurranse og gir korrekt vekstmønster med oppgitt startverdi og vendepunkt.

---

== Oppgave 2 ==

=== a) Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har ein omvend funksjon $g$ når $2 \in I$ ===

Vi ønsker at funksjonen $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1$ skal være én-til-én i et intervall som inneholder $x = 2$.
Dette oppnås hvis $f$ er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

[[File:V25_2-2a.png|300px]]

* '''Linje 1''': $f$ defineres
* '''Linje 2''': `Ekstremalpunkt(f)` viser at $f$ har ekstremalpunkter i $x = 0$ og $x = 4$

Dermed er $f$ strengt minkende på $[0, 4]$

'''Svar:'''
$$\underline{\underline{I = [0, 4]}}$$

---

=== b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ ===

Punktet $(-10, 3)$ ligger på grafen til $g \Rightarrow g(-10) = 3 \Rightarrow f(3) = -10$

[[File:V25_2-2b.png|300px]]

Stigning til $g$ i punktet er den inverse av $f'$ i punktet med $x = 3$:

$$
g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3}
$$

'''Svar:'''
Stigningstallet er $-\frac{1}{3}$

'''Alternativ:''' Bruk tangentlinje til $f$ i $x = 3$ og `Invers`-kommando.

---

=== c) Bestem koordinatene til tangeringspunktet, med samme stigning som i (b) ===

Vi ønsker $g'$ skal være $-\frac{1}{3} \Rightarrow f'(x) = -3$

[[File:V25_2-2c.png|300px]]

* '''Linje 3+4''': Løser $f'(x) = -3$ og får $x = 1$ og $x = 3$
* '''Linje 5''': $f(1) = -\frac{8}{3}$ gir punktet $(1,\ -\frac{8}{3})$ på grafen til $f$

På grafen til $g$:
$$
\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)
$$

'''Svar:'''
$$
\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}
$$

---

Fil:V25 2-5b.png

2025-05-20T18:35:43Z

CFleming:

Fil:V25 2-5b-3.png

2025-05-20T18:35:32Z

CFleming:

Fil:V25 2-5b-2.png

2025-05-20T18:35:22Z

CFleming:

Fil:V25 2-5b-1.png

2025-05-20T18:34:56Z

CFleming:

Fil:V25 2-5a.png

2025-05-20T18:34:45Z

CFleming:

Fil:V25 2-5a-2.png

2025-05-20T18:34:33Z

CFleming:

Fil:V25 2-5a-1.png

2025-05-20T18:34:17Z

CFleming: