Vektorregning

Introduksjon til vektorer

Fart er et eksempel på en vektor. Vi skiller vektorer fra skalare størrelser som er reelle tall (uten retning). Vektorer tegnes gjerne som piler (orientert linjestykke) i to og tredimensjonale systemer. Pilens orientering representerer retningen og lengden på pilen representerer størrelsen. Vektorer kan adderes og subtraheres. Vektorer kan også multipliseres med skalare størrelser (reelle tall).

Posisjon, fart, akselerasjon og kraft er eksempler på vektorer. Vektorer opptrer ofte mange sammen, for eksempel som strømning i en elv. Mange vektorer sammen kalles et vektorfelt. I fysikk regner man mye med vektorer.

En vektor er et geometrisk objekt som har både en størrelse og en retning. De avbildes som piler som peker i den aktuelle retningen og har en lengde lik vektorens størrelse.

En vektor er entydig bestemt ved å angi både dens størrelse og retning eller ved å angi dens komponenter.

2D (plan)

Vektorkomponenter

Vektorer i et koordinatsystem. $\vec{e_x}$ er en enhetsvektor. En vektor med lengde en, parallell x -aksen. På samme vis er $\vec{e_y} $ enhetsvektor i y-retning. Ved hjelp av disse to enhetsvektorene kan man uttrykke en hvilken som helst vektor i planet.

Komponentene til en vektor er gitt som vektorens lengde projisert på koordinataksene. For eksempel vil en vektor i planet som går fra (0,0) til (2,1) ha x-komponent 2 og y-komponent 1, som vi skriver som [2,1]. Det betyr egentlig $[2 \cdot \vec{e_x}, 1 \cdot \vec{e_y}]$. I figuren over er $\vec{u} = [2,1], \quad \vec{v}= [2, - 2], \quad \vec{w} = [-2, 0] , \quad \vec{a} = [0,1] $

Vektor mellom to punkter

I to dimensjoner kan en vektor mellom to punkter uttrykkes som $ \vec{v}=[(x_2 - x_1),(y_2-y_1)]$ Vektoren i figuren over blir $\vec{v}=\vec{CD} = [(3-1), (1-3)] = [2,-2]$

I 3D: En vektor mellom punktene <math>A(a_1,a_2,a_3)</math> og <math>B(b_1,b_2,b_3)</math> kalles <math>\overrightarrow{AB}</math> (uttalt AB-vektor) og har komponentene <math>\overrightarrow{AB}=[b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3]</math>.

Vi har følgende regler for vektorer:

Like vektorer

To vektorer er like dersom vektorene har samme retning og samme lengde. En vektor er ikke "stedbundet", så u og v vektor er like så lenge retning og lengde er identiske.

Parallelle vektorer

2.To vektorer er parallelle dersom vektorene har samme retning eller motsatt retning.

Vektorsum

3.Dersom vi skal finne summen av vektoren c og vektoren b tegner vi først vektoren c. I endepunktet for c starter vi å tegne b. c + b vektor blir da vektoren som starter i begynnelsen av c og ender i enden av b, kalt a.

Figuren viser summen av vektorene b, c og d. Summen er vektor e. Vi ser at vi begynner med en vektor b, neste vektor starter der hvor b slutter. Samme så med vektor d. Husk at en vektor kan flyttes rundt i planet eller rommet uten at den forandres, så lenge vi ikke endrer lengde eller retning på den.

Her har man den samme vektorsummen, men nå i et koordinatsystem. Figuren til høyre viser "trapestankegangen". Her utspenner vektor b og c et trapes. Diagonalen i trapeset, j vektor er summen av b vektor pluss c vektor. Vi ser at $\vec{b} = [3,1] \quad \vec{c} = [1,3]$ og $\vec{d} = [1,-1]$

Trapesmetoden kan brukes når man ønsker å finne midtpunktet på en side i en trekant. Vi observerer at j vektor deler linjestykket DN i to like store deler. Vi observere også at skjæring skjer ved $\ \frac 12 \vec{j}$

Eksempel

Vi har en trekant ABC i et koordinatsystem, der A( 1,1), B( 6,2) og C(4,9). Finn midtpunktet på siden BC.

Løsning:

Vi lager først vektorene AB og AC:

$\overrightarrow{AB} = [6-1, 2-1] = [5, 1]$

$\overrightarrow{AC} = [4-1, 9-1] = [3, 8]$

Vi summerer AB og AC vektor, så deler vi på to (ganger med en halv), vi får da en vektor som tar oss til midtpunktet på BC. Vi kaller midtpunktet på BC for D:

$\overrightarrow{AD} = \frac 12 ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac 12( [5,1] + [3,8] ) = \frac 12[8,9] = [4, \frac 92]$

Punktet A ligger i (1,1). Punktet D blir da $(5, \frac {11}{2})$

Nullvektor

4.Nullvektor har lengde null og ingen rettning. Den er parallell med, og normalt på alle andre vektorer.

Lengden av en vektor

5.Lengen av n vektor skrives som

I rommet

La <math>\vec{v}=[a,b,c]=a\vec{e_x}+b\vec{e_y}+c\vec{e_z}</math> være en vektor i rommet.

Da er lengden av vektoren definert som <math>|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>

Enkelte lærebøker skriver lengden av en vektor slik: <math>||\vec{v}||</math>

Eksempel En vektor v har koordinatne : $\vec{v}= [1,2,3]$. Da blir lengden av vektoren $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 +3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

Vektor multiplisert med skalar

6.En vektor multiplisert med en skalar størrelse beholder retningen til den opprinnelige vektoren, men lengen øker med en faktor tilsvarende den skalare størrelsen.

Skalarprodukt

Et skalarprodukt er en regneoperasjon (multiplikasjon) mellom to vektorer. Skalarproduktet er et såkalt indreprodukt. Resultatet av regneoperasjonen er et reelt tall. Tallet bestemmes av lengden på vektorene og vinkelen mellom dem.

Vinkelen v mellom vektorene skal være element i intervallet [0°,180°]. Vi har vektorene <math>\vec{a}</math> og <math>\vec{b}</math>.

Skalarproduktet defineres som:

og leses "a vektor prikk b vektor er lik lengden av a vektor multiplisert lengden av b vektor multiplisert cosinus til vinkelen mellom dem".

Vektorene skrives av og til med fete typer og andre ganger med en liten pil over. Som man ser er det ikke konsekvens, man bør kjenne begge. På samme måte er det med lengden av en vektor, du vil støte på både |<math>\vec{v}</math>| og ||<math>\vec{v}</math>|| som notasjon, men begge betyr altså lengden av vektoren v.

Koordinatform

I planet

I et ortonormert koordinatsystem har vi følgende i planet:

Dersom vektoren <math>\vec{a} = [x_a,y_a]</math> og vektor <math>\vec{b} = [x_b,y_b]</math> har vi at

<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = x_ax_b+y_ay_b</math> Eksempelvis, dersom <math>\vec{a}</math> = [1,5] og <math>\vec{b}</math> = [-2,3] er skalarproduktet:

[1,5] · [-2,3] = -2 + 15 = 13

I rommet

Vektorene <math>\vec{a}= [x_a,y_a,z_a]</math> og <math>\vec{b}= [x_b,y_b,z_b]</math> gir skalarprodukt:

Praktisk bruk

Normale linjer

Skalarproduktet er egnet til å finne ut om to vektorer står vinkelrett på hverandre. Dersom vektorene a og b har lengder forskjellig fra null står vektoren normalt på hverandre hvis og bare hvis skalarproduktet er null.

a · b = 0

Arbeid

I fysikken brukes skalarproduktet i definisjonen av arbeid:

3D (rommet)

Nedenfor finner man en oversikt over de vanligste spørsmål som dukker opp i forbindelse med punkter, linjer og plan.

Objekter i rommet

Punkt

Et punkt i rommet er gitt ved tre koordinater. P (x, y, z).

$\\ \\ \\$

Linje

En linje i rommet kan ikke uttrykkes med en likning, slik en linje i planet kan det. Det er vanlig å uttrykke en linje i rommet med en parameterframmstilling. Dersom man ønsker å uttrykke en linje ved hjelp av likninger, er det mulig ved hjelp av to likninger for to plan som skjærer hverandre, de vil jo danne en rett linje.

En rett linje m som går gjennom punktet <math>p = (x_0 , y_0 , z_0) </math> og har retningsvektor <math> \vec{r} = (a, b, c) </math> har parameterfremstillingen:

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=x_0+at \\ y &= y_0+bt \\ z &= z_0+ct \end{align*}\right]</math>

I planet er det slik at to linjer som ikke er parallelle vil skjære hverandre. I rommet er det nødvendigvis ikke tilfelle. To linjer som ikke er parallelle og som ikke skjærer hverandre sies å være vindskeive.

$\\ \\ \\$

Plan

Et plan er definert ved

(1) tre punkter

(2) ett punkt og en linje

(3) to linjer som krysser hverandre

(4) to parallelle linjer

Disse tilfellene er sider av samme sak, man trenger et punkt i planet og informasjon til å finne normalvektor, kryssproduktet mellom to ikke-parallelle vektorer i planet.

Likningen for et plan er:

<math> a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \\

ax+by+cz+d=0</math>

Der a,b og c er koordinatene til planets normalvektor, og $x_0,y_0,z_0$ er et punkt i planet.

Dersom d=0 skjærer planet origo.

Parameterfremstillingen for et plan er gitt ved

<math>\alpha: \left[ \begin{align*} x &=x_0 + u_xs+v_xt \\ y &=y_0 + u_ys+v_yt \\ z &=z_0 + u_zs+v_zt \end{align*}\right]</math>

Der u og v er vektorer i planet (ikke parallelle).

Xy planet

xy planet utspennes av x og y- aksen og har en normalvektor parallell med z- aksen [0, 0, 1].

Likningen for xy planet er z = 0

Et plan parallellt med xy planet er på formen z + n = 0

Xz planet

Har likningen y = 0 og plan parallelle med xz planet har likningen y + n = 0.

yz planet

Tilsvarende har yz planet likningen x = 0 og plan parallelle med yz planet har likningen x + n = 0

Plan parallell med akse

Et plan som er parallellt med x aksen har likning på formen ny + mz + k = 0. Tilsvarende er nx + my+ k = 0 og nx + mz+ k = 0 parallell med henholdsvis z og y aksen.

$\\ \\ \\ \\$

Kule

Et vilkårlig punkt S med koordinater $(x_0, y_0, z_0)$ er sentrum i kulen. Et tilfeldig punkt på kuleflaten er P, med koordinater (x, y, z). Lengden av SP vektor er radius i kulen.

Likning for kuleflate

$| \vec{SP}| = r \\ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 +(z-z_0)^2} = r \\ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2$

Likningen over er en hensiktsmessig måte å skrive på dersom man har behov for å kjenne radius og koordinatene til sentrum i kulen. Formenlen er imidlertid ofte multiplisert ut, og da må man ty til metoden med å lage "fullstndige kvadrater".

Eks:

Finn radius og sentrum i kulen som har likningen: $x^2+y^2+z^2+4x-6y-12 =0$

$x^2+y^2+z^2+4x-6y-12 =0 \\ (x^2+4x) +(y^2-6y) + z^2 =12 \\ (x^2+4x+2^2)+(y^2-6y+3^2) +z^2 = 12+2^2+3^3 \\ (x+2)^2+(y-3)^2 +z^2 = 5^2 $

Kulen har radius 5, med sentrum i ( -2, 3, 0).

Parameterframstilling for en kule

$x = r \cdot cos u \cdot cos v \\ y = r \cdot cos u \cdot sin v \\ z= r \cdot sin u$

$\\ \\ \\ \\ $

Parallellepiped

"Vindskeivt" prisme som utspennes av tre lineært uavhengige vektorer.

Pyramide

Tetraeder

To lineært uavhengige vektorer i planet utspinner et parallellogram. Diagonalene i parallellogrammet deler flaten i to og danner en grunnflate i tetraederet. en tredje vektor, som ikke ligger i grunnflaten, utspenner høyde og volum i tetraederet, som er en "trekantpyramide".

Avstander i rommet

punkt - punkt

Avstanden d mellom punktene A og B er gitt ved <math>d=|\vec{AB}|= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B -y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} </math>

Altså lik lengden av AB vektor.

Eks:

Gitt er punktene P = (1,2,3) og Q = (4,4,2). Hva er avstanden mellom P og Q?

punkt - linje

A er et vilkårlig punkt på linjen l. P er et punkt som ikke ligger på linjen. Arealformelen med vektorproduktet gir:

<math> T = \frac12 \cdot | \vec{AP} \times \vec{v}| </math>

Der <math>\vec{v}</math> er retningsvektoren til l.

Fra ungdomsskolen har man at arealet av en trekant er: <math>T = \frac12 \cdot g \cdot h = \frac12 \cdot |\vec{v}| \cdot h </math>

h er høyden i trekanten, altså den rette linjen fra punktet P som står normalt på linjen l, altså den avstanden man ønsker å finne. Kombinert gir dette:

<math> \frac12 \cdot |\vec{v}| \cdot h = \frac12 \cdot | \vec{AP} \times \vec{v}|</math>

<math> |\vec{v}| \cdot h = | \vec{AP} \times \vec{v}|</math>

<math> h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}</math>

Eks:

Finn avstanden mellom linjen <math>m: \left[ \begin{align*} x &= -1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -2s \end{align*}\right]</math>

og punktet P =(1, 1, 2)

Punktet A =(-1, 3, 0) ligger på linjen m. Da er $\vec{AP}=[2, -2, 2] \quad og \quad \vec{v} = [-1, 1, -2]$

$ h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{ | [2, -2, 2] \times [-1, 1, -2]|}{|[-1, 1, -2]| } =\frac{2}{\sqrt{3}}$

punkt - plan

Man trenger likningen til planet og koordinatene til punktet.

Dersom planet er gitt ved <math> ax+by+c + d = 0</math> og punktet gitt som <math> P = (x_p, y_p, z_p)</math>

er avstanden s mellom punkt og plan gitt som

Eks

Et plan har likningen <math> 2x-y+z-3=0 </math> og punktet P har koordinatene (2, 2, 3). Finn avstanden fra P til planet

Punkt - kule

Avstanden fra et punkt til en kule: Vi finner avstanden fra punktet til kulens sentrum ved å finne avstanden mellom to punkt. Dersom man ønsker avstanden til kuleflaten finner man avstanden mellom punktet og kulens sentrum, så trekker man fra lengden av radien.

Linje - plan

Plan - plan

Plan - kule

Plan til sentrum av kule Samme som avstand plan punkt, man må kjenne sentrum av kule og likning for plan.

Plan til kuleflate: Samme som over, så trekker man fra radius av kule.

Linje - linje

Avstand mellom to linjer

Først finner man ut om de to linjene er parallelle, eller om de er vindskeive.

Dersom de er parallelle ser man det ved at retningsvektoren til den ene linjen er lik retningsvektoren til den andre multiplisert med en konstant.

PARALLELLE:

Man velger et punkt på hver av linjene (A og P) og setter inn i:

<math> h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}</math>

Eks:

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=-1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -2s\end{align*}\right]</math>

<math>n: \left[ \begin{align*} x &=1+t \\ y &= 1-t \\ z &= 2+2t \end{align*}\right]</math>

er parallelle linjer.

A = (-1, 3, 0) er et punkt på m, og P = (1, 1, 2) er et punkt på n. Retningsvektor for m er [-1, 1, -2]. Vi får da:

<math> h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{ | [2, -2, 2] \times [-1, 1, -2]|}{|[-1, 1, -2]| } =\frac{2}{\sqrt{3}} </math>

VINDSKEIVE:

For å finne avstanden mellom to vindskeive linjer må man finne lengden av den linje som står vinkelrett på begge de to vindskeive linjene.

Eks:

Finn avstanden mellom m og n.

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=-1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -2s\end{align*}\right]</math>

<math>n: \left[ \begin{align*} x &=1+t\\ y &= 1+t \\ z &= 2-t\end{align*}\right]</math>

Retningsvektorene er <math>\vec{v_m}= [-1,1,-2] </math> og <math> \vec{v_n}= [1,1,-1] </math>

Man må så finne punktene på m og n som forbinder de to linjene med et linjestykke som står normalt på både m og n.

<math>P_m = (-1-s, 3+s, -2s) </math> og <math>P_n = (1+t, 1+t, 2-t) </math> som gir <math>\vec{P_mP_n} = [1+t+1+s, 1+t-3-s, 2-t+2s]

= [2+t+s, -2+t-s, 2-t+2s] </math>

Da må

som gir

Innsatt gir det

Avstanden mellom linjene blir da 1,07

Situasjonen ser slik ut:

Korteste avstånd mellom linjene er den tykke røde streken.

Vinkler i rommet

Vinkel mellom to linjer

Vinkelen man søker er A. Man finner vinkelen mellom to linjer ved å finne vinkelen mellom retningsvektorene (skalarprodukt). Den største vinkelen mellom to linjer er 90 grader. Dersom den vinkelen man finner er større enn 90 grader (B), tar man 180 - B = A, som er den man ønsker å finne.

Eks:

Finn vinkelen mellom m og n. <math> m: \left [ x = -1-s\\ y = 3+s \\ z = -2s \right]</math> og <math> n: \left [ x = 1+t\\ y = 1+t \\ z = 2-t \right]</math>

Rettningsvektorene er <math> \vec{v_m} = [-1,1,-2] </math> og <math> \vec{v_n} = [1,1,-1] </math>

<math>cos \alpha = \frac{ \vec{v_m} \cdot \vec{v_n}}{ |\vec{v_m}| \cdot |\vec{v_n}|} = \frac{ [-1,1,-2] \cdot [1,1,-1]}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{ \sqrt{18}} </math>

<math> \alpha = 61,9^{\circ} </math>

Vinkel mellom linje og plan

Vinkelen mellom en linje og en plan finner man ved å benytte skalarproduktet mellom retningsvektoren for linja og normalvektoren for planet.

Vinkelen mellom to plan

Vinkelen mellom to plan er den samme som den minste vinkelen mellom planenes normalvektor.

Eks:

To plan er gitt ved x + y + z + 1 = 0 og 3x - y + z = 0. Normalvektorer blir [1,1,1] og [3, -1, 1]. Vi får:

<math>cos \alpha = \frac{[1,1,1] \cdot [3,-1,1]}{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{11}}= \frac{3}{\sqrt {33}}</math>

<math> \alpha = 58,5^{\circ}</math>

Skjæring mellom objekter

Linje - plan

En rett linje kan ligge i planet. Da er alle punkter på linja også punkter i planet. En rett linje kan ligge parallell med et plan, da har linjen og planet ingen punkter felles. En rett linje kan skjære et plan. Linjen og planet har da et felles punkt.

Eks:

En linje er gitt som <math>m: \left[ \begin{align*} x &=-1-k\\ y &= 3+k\\ z &= -k\end{align*}\right]</math>

og et plan er gitt som <math> \alpha: 2x-y+z-1=0</math>

Ved skjæring vil linjen og planets koordinater være de samme. Det oppnår man ved å setter utrykket for linja i i likningen for planet:

2(-1-k)-(3+k)-k-1=0

-4k-6=0

<math>k=- \frac32</math> gir skjæringspunkt <math>( -\frac52 , \frac 32, \frac 32) </math>

Plan - Plan

Skjæring mellom to plan.

Dersom to plan ikke er parallelle vil de før eller senere skjære hverandre og danne en rett linje. For å finne uttrykket for linjen gjøres følgende: Ta vektorproduktet av planenes normalvektorer, det gir linjens retningsvektor. Sett så inn en vilkårlig x verdi (samme) i begge plans ligninger. Det gir to ligninger med to ukjente. Løs for y og z og man har et punkt på linjen.

Eks:

Vi har planet A: 2x + 3y - z + 3 = 0 og plan B: 4x + 5y + z - 1 = 0

med tilhørende normalvektorer: nA = [2,3,-1] og nB = [4,5,1]

Man finner retningsvektor til skjæringslinjen ved å ta vektorproduktet til normalvektorene:

nA x nB = [(3+5),(-4-2),(10-12)] = [8,-6,-2] = 2[4,-3,-1]

[4,-3,-1] er en retningsvektor for skjæringslinjen.

I ligningene for plan A og B setter vi x=1 og får:

2 -3y - z + 3 = 0 og 4 + 5y + z - 1 = 0

som gir y = -1 og z = 2 det gir punktet P(1,-1,2)

Skjæringslinjen er da bestemt til: [x,y,z] = [1,-1,2] +t[4,-3,-1] som er det samme som parameterframstillingen:

x = 1 + 4t

y = -1 - 3t

z = 2 - t

Plan - Kule

Dersom avstanden fra et plan til en kules sentrum er mindre enn kulens radius vil de to objeltene skjære hverandre. Dersom avstanden fra planet til kulen sentrum er lik radius til kulen tangerer objektene hverandre.

Figuren viser en kule med sentrum i S (1,2,3) og radius 4. Vi observerer at kulen skjærer xy - planet.

Kulen og planet sett inn langs y- aksen. R er kulens radius. r er sirkelens radius og h er avstand fra plan til sentrum i kule.

Kulen sett fra negativ z - akse.. Den dyprøde delen av kulen ligger under xy - planet.

$\\ \\ \\ \\$

Kule - Linje

For å finne skjæringspunktene mellom en linje og en kule setter man parameterfremmstillingen for linjen inn i likningen for kulen. De eller den parameterverdien vi får setter vi inn i parameterframstillingen for linjen og får koordinatene til skjæringspunktene (punktet, dersom vi har tangering).

Linje - Plan

Linje -Linje

Dersom to linjer i rommet skjærer hverandre må det være en parameterverdi for hver av linjene som gir et felles punkt, dvs. samme x-, y-, og z koordinat for begge linjene.

Eks:

Vi har gitt linjene:

<math>m: \left[ \begin{align*} x &= -1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -s \end{align*}\right]</math>

og

<math> n: \left [ \begin{align*} x = 3-2t\\ y = t \\

z = 1+t \end{align*} \right]</math>

Skjærer linjene hverandre?

<math>-1-s = 3-2t \quad \wedge \quad 3+s = t \\ s = -2 \quad \wedge \quad t =1 </math>

Innsatt s = - 2 i linje m gir det punktet (1, 1, 2), og innsatt t = 1 i linje n gir (1, 1, 2).

Konklusjonen er at m og n skjærer hverandre i punktet (1, 1, 2).

Ligger punktet på linja?

Man finner først den parameterverdien som gir planets x verdi lik punktets x verdi. Dersom denne parameterverdien gir tilsvarende verdier for plantes y og z koordinat ligger punktet i planet.

En linje er gitt som

<math>m: \left[ \begin{align*} x &= -1 -s \\ y &= 3 +4s \\ z &= -s \end{align*}\right]</math>

Ligger punktet P =(4,-17,5) på linjen?

4=-1-s gir s = -5 innsatt s=-5 for y gir y = 3 +4(-5) = -17 og z = -(-5)= 5 hvilket betyr at punktet ligger på linjen.

Avstand linje og plan

Dersom en linje er parallell med planet vil den aldri skjære planet. Det kan da være av interesse å finne avstanden mellom linjen og planet. Man finner et punkt på linjen og benytter metoden vist nedenfor.

Ligger punktet eller linja i planet?

PUNKT

Ligger punktet i planet? Dersom koordinatene til punktet passer i likningen for planet ligger punktet i planet, ellers ikke.

Eks:

Et plan er gitt ved: 2x-3y+z-1=0. Ligger punktet S = (2, 1, 2) i planet?

Man setter inn for å se om punktets koordinater passer i likningen for planet. <math> 2 \cdot 2 - 3\cdot 1 +2 -1 =0</math>

LINJE

Dersom en linje ligger i planet er det nok å vise at to punkter på linjen ligger i planet

Eks:

Et plan er gitt ved: 4x+5y+z-1 =0. Ligger linjen

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=1+4t\\ y &= -1-3t \\ z &= 2-t\end{align*}\right]</math>

i planet?

Man velger et punkt på linja, t=0 gir (1, -1,2) som innsatt i likningen for planet gir 4 + 5 + 2 - 1 = 0. Velger t=1 og får 20 - 20 + 1 -1 = 0. Linjen ligger i planet.

Tilbake til hovedside