Tensorregning

Introduksjon

Tensoregning er et viktig verktøy i matematikk og fysikk, og brukes blant annet i relativitetsteori, differensialgeometri og maskinlæring. I denne artikkelen vil vi forklare tensorkonseptet fra bunnen av, gi eksempler, og gå gjennom de viktigste regneregler og anvendelser.

Hva er en tensor?

En tensor kan forstås som en generalisering av skalarer, vektorer og matriser. Formelt sett er en tensor et objekt som transformerer på en bestemt måte under koordinatendringer. En tensor av rang \( n \) kan sees på som et objekt med \( n \) indekser, hvor hver indeks kan variere over en gitt mengde verdier.

Eksempel 1:

Et bilde som en tensor Tenk deg et fargebilde på en skjerm. Bildet er egentlig en tredimensjonal tensor fordi det har:

Høyde (antall piksler vertikalt) Bredde (antall piksler horisontalt) Fargekanaler (rød, grønn, blå – RGB) Hvis bildet er 1000 piksler bredt, 800 piksler høyt, og har 3 fargekanaler, kan vi si at det er en (800 × 1000 × 3) tensor.

Skalarer

En skalar er en tensor av rang 0. Eksempler inkluderer reelle tall \( a \in \mathbb{R} \).

Vektorer

En vektor er en tensor av rang 1. En kolonnevektor \( v^i \) har én indeks som varierer fra \( 1 \) til \( n \), der \( n \) er dimensjonen til rommet.

Matriser

En matrise er en tensor av rang 2, representert ved \( A^{ij} \), hvor \( i \) og \( j \) er indekser som varierer over de respektive dimensjonene.

Tensorer i forskjellige rom

Kontravariant og kovariant notasjon

Tensorer kan være kontravariante (øvre indekser) eller kovariante (nedre indekser). En kontravariant vektor skrives som \( v^i \), mens en kovariant vektor skrives som \( v_i \). Disse to representasjonene er knyttet til hvordan vektorer transformeres under koordinatendringer.

Kronecker-deltaet og metrisk tensor

Kronecker-deltaet, \( \delta^i_j \), fungerer som enhetsmatrise og brukes til å heve og senke indekser. Den metriske tensoren \( g_{ij} \) og dens inverse \( g^{ij} \) spiller en viktig rolle i geometriske anvendelser.

Tensoroperasjoner

Tensorprodukt

Tensorproduktet av to tensorer \( A^{i} \) og \( B^{j} \) gir en ny tensor \( C^{ij} = A^i B^j \) med høyere rang.

Kontraksjon

Kontraksjon innebærer å summere over en gjentatt indeks, for eksempel \( A^i_i \), som gir en skalar.

Differensiering av tensorer

Den kovariante deriverte av en tensor tar hensyn til kurvaturen i rommet og bruker Christoffel-symboler \( \Gamma^i_{jk} \).

Anvendelser av tensorer

Relativitetsteori

I den generelle relativitetsteorien beskrives gravitasjon av Einstein-tensoren \( G_{\mu\nu} \), som er en funksjon av Ricci-tensoren \( R_{\mu\nu} \) og metrisk tensor.

Maskinlæring

I maskinlæring brukes tensorer i nevrale nettverk, spesielt i dyp læring der rammeverk som TensorFlow behandler store datastrukturer som tensorer.

Konklusjon

Tensoregning er et kraftig verktøy med brede anvendelser i matematikk, fysikk og teknologi. Forståelse av grunnleggende konsepter som tensortransformasjoner, operasjoner og anvendelser kan hjelpe til med å mestre mer avanserte emner.