DEL 1

Oppgave 1 (5 poeng)

a) Deriver funksjonen <math>f</math>

Funksjonen er gitt ved

Vi deriverer ledd for ledd.

<math>\left(\frac13x^3\right)'=x^2</math>
<math>(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}</math>
Konstanten 2 har den deriverte 0.

Dermed blir

<math> \boxed{ f'(x)=x^2+\frac1{2\sqrt{x}} } </math>

b) Bestem <math>g'(2)</math> og <math>g'(3)</math>.

Funksjonen er

Vi deriverer ved produktregelen.

Setter inn de oppgitte verdiene.

For <math>x=2</math>:

For <math>x=3</math>:

Svar:

<math> \boxed{g'(2)=\frac1{e^2}} </math>

<math> \boxed{g'(3)=-\frac1{e^3}} </math>

c) Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til <math>g</math> når <math>x\in[2,3]</math>?

Vi fant at

og

Den deriverte går altså fra positiv til negativ.

Siden <math>g</math> er kontinuerlig og deriverbar, må det finnes minst ett punkt mellom 2 og 3 der

Grafen går derfor fra å være voksende til å være avtagende.

Det betyr at funksjonen har et toppunkt i intervallet.

Faktisk er

så

<math> g'(x)=0 \Longleftrightarrow 5-2x=0 \Longleftrightarrow x=\frac52. </math>

Grafen har altså et toppunkt når

Oppgave 2 (3 poeng)

a) Løs likningen

Sett

Da får vi

eller

Vi faktoriserer:

Dermed er

eller

Setter tilbake

eller

Dette gir

eller

Svar:

<math> \boxed{x=10000 \text{ eller } x=0,01} </math>

b) Bestem <math>a</math> slik at

<math> \log_a\!\left(\frac1{64}\right)=-3. </math>

Vi bruker definisjonen av logaritmen.

<math> \log_a\!\left(\frac1{64}\right)=-3 </math>

betyr at

Dermed

Tar tredje roten:

Svar:

<math> \boxed{a=4} </math>

Oppgave 3 (3 poeng)

a) Bestem grenseverdien dersom den eksisterer

Vi skal bestemme

<math> \lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4x+2}{x^2-2x-8}. </math>

Setter først inn <math>x=2</math>.

Telleren blir

Nevneren blir

Siden nevneren ikke er null, kan vi sette inn direkte.

Dermed får vi

<math> \lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4x+2}{x^2-2x-8} = \frac{-2}{-8} = \frac14. </math>

Svar:

<math> \boxed{\frac14} </math>

b1) Bestem <math>a</math> slik at grenseverdien eksisterer

Vi skal bestemme

<math> \lim\limits_{x\to2}\frac{x^2+ax+2}{x^2-2x-8}. </math>

Nevneren er

Når

er nevneren

Grenseverdien eksisterer derfor for alle verdier av <math>a</math>.

Svar:

<math> \boxed{a\in\mathbb R} </math>

b2) Bestem grenseverdien for denne verdien av <math>a</math>.

Siden grenseverdien eksisterer for alle <math>a</math>, kan vi sette inn <math>x=2</math>.

Telleren blir

Nevneren blir

Dermed

<math> \lim\limits_{x\to2}\frac{x^2+ax+2}{x^2-2x-8} = \frac{6+2a}{-8} = -\frac{a+3}{4}. </math>

Svar:

<math> \boxed{-\frac{a+3}{4}} </math>

Oppgave 4 (6 poeng)

Vi har punktene

og

a) Bestem lengden av linjestykket <math>AB</math>.

Vi bruker avstandsformelen.

Svar:

<math> \boxed{|AB|=\sqrt{26}} </math>

b) Linja gjennom <math>A</math> og <math>B</math> skjærer x-aksen i punktet <math>C</math>. Bestem koordinatene til <math>C</math>.

Først finner vi stigningstallet.

Likningen for linja blir

Vi setter

siden punktet ligger på x-aksen.

Multipliserer med 5:

Dermed er

<math> \boxed{C=(13,0)}. </math>

c) Bestem <math>t</math> slik at <math>\angle ABD</math> blir <math>90^\circ</math>.

Punktet er

Vinkelen er ved punktet <math>B</math>, derfor må vektorene

<math> \overrightarrow{BA} </math>

og

<math> \overrightarrow{BD} </math>

stå vinkelrett.

Vi finner vektorene.

<math> \overrightarrow{BA} =(-2-3,\;3-2) =(-5,1) </math>

<math> \overrightarrow{BD} =(2-3,\;t-2) =(-1,t-2) </math>

Skalarproduktet skal være null.

Svar:

<math> \boxed{t=-3} </math>

Oppgave 5 (4 poeng)

Funksjonen er gitt ved

<math> f(x)=4x^2\ln x, \qquad x>0. </math>

a) Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkt.

Vi deriverer funksjonen.

Vi bruker produktregelen.

La

<math> u=4x^2,\qquad v=\ln x. </math>

Da er

<math> u'=8x, \qquad v'=\frac1x. </math>

Produktregelen gir

Faktoriserer ut <math>4x</math>:

Finn kritiske punkter

Vi setter

Siden

for alle

må

Dermed

Avgjør om punktet er topp- eller bunnpunkt

Vi undersøker fortegnet til den deriverte.

Når

er

så

Funksjonen avtar.

Når

er

så

Funksjonen vokser.

Grafen går altså fra avtagende til voksende.

Punktet er derfor et bunnpunkt.

Finn y-koordinaten

<math> f\!\left(\frac1{\sqrt e}\right) = 4\left(\frac1e\right)\left(-\frac12\right) = -\frac2e. </math>

Svar:

Grafen har ett bunnpunkt

<math> \boxed{\left(\frac1{\sqrt e},-\frac2e\right)}. </math>

Det finnes ingen toppunkt.

b) Programmet

Hva ønsker eleven å finne?

Programmet bruker halveringsmetoden (biseksjonsmetoden).

Det starter med intervallet

og halverer intervallet gjentatte ganger til intervallet er svært lite.

Eleven ønsker derfor å finne nullpunktet til funksjonen

Forklar linje 11–20

Linje 11:

Midtpunktet i intervallet beregnes:

Linje 13:

Løkken fortsetter så lenge intervallet er større enn toleransen.

<syntaxhighlight lang="python"> while abs(f(m)) >= maks_avvik: </syntaxhighlight>

Linje 15–18:

Programmet undersøker om nullpunktet ligger mellom

<math>a</math> og <math>m</math> eller mellom <math> m </math> og <math>b.</math>

Hvis

ligger nullpunktet i venstre halvdel, og

Ellers ligger nullpunktet i høyre halvdel, og

Linje 20:

Et nytt midtpunkt beregnes.

Dette gjentas til

Hvilken verdi skrives ut?

Funksjonen er

Nullpunktene oppfyller

Siden

må

Dermed

Programmet vil derfor skrive ut en verdi svært nær

Siden 1 ligger nøyaktig midt i intervallet

blir første midtpunkt

og etter flere halveringer konvergerer programmet mot

Verdien som skrives ut er derfor tilnærmet

<math> \boxed{1,0}. </math>

Svar

a) Bunnpunkt:

<math> \boxed{\left(\frac1{\sqrt e},-\frac2e\right)} </math>

Ingen toppunkt.

b) Programmet bruker halveringsmetoden for å finne nullpunktet til funksjonen. Verdien som skrives ut er

<math> \boxed{x\approx1}. </math>

Svar

a) <math>\boxed{|AB|=\sqrt{26}}</math>
b) <math>\boxed{C=(13,0)}</math>
c) <math>\boxed{t=-3}</math>

DEL 2

Oppgave 1 (6 poeng)

a)

Oppgaven bruker funksjonsnavn F og variabel t. (ikke g og x som her)

Det har skjedd noe helt spesielt i bygda i denne 20 års perioden. Normalt skulle det ta ca 125 år å femdobble befolkningen, men her har det skjedd på under 20 år. Det blir vanskelig å vurdere modellens gyldighetsområde dels fordi vi ikke kjenner historien, og fordi det er vanskelig å si noen om fremtiden. Men, dersom man legger stabile forhold til grunn, med en vekst på 1,3% ville jeg brukt modeller 5-6 år, altså til 1985 - 86.

b)

Den deriverte gir vekstfarten.

Den dobbelderiverte gir endringen i vekstfart.

I 1972 vokser befolkningen med 114 personer, men veksten avtar med 17 personer.

c)

Vi ser at vekstfarten er større enn 150 fra våren 1963 til høsten 1969.

Oppgave 2 (4 poeng)

Funksjonen er gitt ved

<math> f(x)= \begin{cases} ax+b, & x\le -2\\ 2x^3+2x^2-2x, & -2<x<k\\ c, & x\ge k \end{cases} </math>

der

<math> a,b,c\in\mathbb{R} </math>

og

<math> k\in(-2,\infty). </math>

a) Avgjør om <math>f</math> er kontinuerlig når <math>x=-2</math> dersom <math>a=2</math> og <math>b=-2</math>.

Venstre funksjonsuttrykk er

Verdien i

blir

Grenseverdien fra høyre er

Siden

er ikke funksjonen kontinuerlig.

Svar:

<math> \boxed{\text{Funksjonen er ikke kontinuerlig når }x=-2.} </math>

b) Bestem <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> og <math>k</math> slik at <math>f</math> er kontinuerlig og deriverbar når <math>x=-2</math> og <math>x=k</math>.

Ved <math>x=-2</math>

Kontinuitet krever

Vi får

Deriverer midterste uttrykk:

Ved

er den deriverte

Den venstre delen har derivert

Dermed

Setter inn i kontinuitetslikningen:

Ved <math>x=k</math>

Kontinuitet krever

Deriverbarhet krever

Vi løser andregradslikningen.

Dividerer med 2:

Faktoriserer:

Dermed

eller

Begge ligger i intervallet

<math> (-2,\infty). </math>

For

blir

<math> c = 2\left(\frac13\right)^3 + 2\left(\frac13\right)^2 - 2\left(\frac13\right) </math>

For

blir

Svar:

Det finnes to løsninger:

<math> \boxed{ a=14,\; b=24,\; k=-1,\; c=2 } </math>

eller

<math> \boxed{ a=14,\; b=24,\; k=\frac13,\; c=-\frac{10}{27} } </math>

Oppgave 3 (4 poeng)

Sammenhengen mellom luktverdi <math>C</math> og luktintensitet <math>I</math> er

a) Har beboerne grunnlag for å klage?

Målingene viser

Vi finner luktintensiteten.

For

får vi

<math> \approx 1,4\cdot2,699-0,3 \approx3,48. </math>

For

får vi

<math> \approx 1,4\cdot3,146-0,3 \approx4,10. </math>

Luktintensiteten ligger altså mellom

og

Ifølge tabellen betyr dette

mellom 3 og 4: plagsom lukt, bør begrenses
over 4: plagsomt, tiltak kreves.

Svar:

Ja. Målingene viser plagsom lukt, og ved de høyeste verdiene kreves tiltak.

b) Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Akseptabel lukt betyr

Vi setter

Legger til 0,3:

<math> \lg(C) = \frac{2,3}{1,4} \approx1,643. </math>

Opphøyer med 10:

<math> C = 10^{1,643} \approx44. </math>

Svar:

Luktverdien må være

<math> \boxed{C\le44\text{ OU/m}^3} </math>

for at luktintensiteten skal være akseptabel.

Oppgave 4 (6 poeng)

Hytta ligger i punktet

og utsiktspunktet i

Parametriseringen er

<math> l:\; \begin{cases} x=1200s\\ y=300+100s \end{cases} \qquad s\in[0,1]. </math>

a) Forklar hvorfor parameterframstillingen beskriver den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.

Når

får vi

<math> x=0,\qquad y=300, </math>

altså punktet

Når

får vi

<math> x=1200,\qquad y=400, </math>

altså punktet

Koordinatene endrer seg lineært med parameteren <math>s</math>, og derfor beskriver parameterframstillingen den rette linja mellom de to punktene.

b) Bestem posisjonen til Ina etter 5 minutter.

Hele turen tar <math> 20</math> minutter. Etter <math>5</math> minutter har hun gått <math>\frac5{20}=\frac14</math> av strekningen. Dermed er <math>s=\frac14.</math>

Setter inn:

Svar:

<math> \boxed{(300,325)} </math>

c) Regn ut farten til Ina.

Avstanden mellom hytta og utsiktspunktet er

Dette er omtrent

Turen varer

Farten blir

Numerisk:

<math> v\approx1,00\text{ m/s}. </math>

Svar:

<math> \boxed{\frac{\sqrt{145}}{12}\text{ m/s}\approx1,00\text{ m/s}} </math>

d) Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?

Ina har parameterframstillingen

<math> \begin{cases} x=1200s\\ y=300+100s \end{cases} </math>

og Jonas har parameterframstillingen

<math> \begin{cases} x=520-20t\\ y=310+5t. \end{cases} </math>

Når de møtes, må de ha samme koordinater. Vi setter derfor opp likningssystemet

<math> \begin{cases} 1200s=520-20t\\ 300+100s=310+5t. \end{cases} </math>

Fra den andre likningen får vi

Dividerer vi med 5, får vi

eller

Vi setter dette inn i den første likningen:

Utregning:

<math> \begin{aligned} 1200s &=520-400s+40\\ 1600s &=560\\ s&=\frac{560}{1600}=\frac{7}{20}. \end{aligned} </math>

Møtepunktet er dermed

<math> \begin{aligned} x&=1200\cdot\frac{7}{20}=420,\\ y&=300+100\cdot\frac{7}{20}=335. \end{aligned} </math>

Ina starter i punktet <math>(0,300)</math>. Avstanden hun har gått fram til møtepunktet er derfor

<math> \begin{aligned} d&=\sqrt{(420-0)^2+(335-300)^2}\\ &=\sqrt{420^2+35^2}\\ &=\sqrt{177625}\\ &=35\sqrt{145}\\ &\approx421,5\text{ m}. \end{aligned} </math>

Svar:

<math> \boxed{\text{Ina har gått }35\sqrt{145}\text{ m}\approx421,5\text{ m}.} </math>

Oppgave 5 (4 poeng)

Vi har

<math> |\vec a|=4, \qquad |\vec b|=2\sqrt3, </math>

og vinkelen mellom dem er

Videre er

a) Regn ut den eksakte lengden av <math>\vec p</math>.

Vi bruker formelen

Setter inn:

Dermed

Svar:

<math> \boxed{|\vec p|=2\sqrt{13}} </math>

b) Bestem <math>t</math> slik at <math>\vec p</math> og <math>\vec q</math> er ortogonale.

Vi har

Ortogonalitet betyr

Vi regner ut skalarproduktet.

Først

Videre

Dessuten

Da blir

Setter lik null:

Svar:

<math> \boxed{t=-\frac67} </math>

Oppgave 6

a)

B er funksjonen. C er den dobbelderiverte.

Eks:

F er funksjonen. D er den dobbelderiverte.

Eks:

G er funksjonen. A er den dobbelderiverte.

Eks:

E er funksjonen. H er den dobbelderiverte.

Eks:

b) Hvilke grafer er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon?

En funksjon har en omvendt funksjon dersom enhver horisontal linje skjærer grafen høyst én gang.

Vi vurderer grafene:

Graf A er strengt voksende og har en omvendt funksjon.
Graf B er strengt voksende og har en omvendt funksjon.
Graf C er en rett linje med positiv stigning og har en omvendt funksjon.
Graf G er strengt voksende og har en omvendt funksjon.
Graf D er ikke entydig.
Graf E er ikke entydig.
Graf F er ikke entydig.
Graf H er konstant og har ikke en omvendt funksjon.

Svar:

<math> \boxed{\text{Grafene A, B, C og G har en omvendt funksjon.}} </math>

R1 2025 Høst LØSNING

DEL 1

Oppgave 1 (5 poeng)

a) Deriver funksjonen <math>f</math>

b) Bestem <math>g'(2)</math> og <math>g'(3)</math>.

c) Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til <math>g</math> når <math>x\in[2,3]</math>?

Oppgave 2 (3 poeng)

a) Løs likningen

b) Bestem <math>a</math> slik at

Oppgave 3 (3 poeng)

a) Bestem grenseverdien dersom den eksisterer

b1) Bestem <math>a</math> slik at grenseverdien eksisterer

b2) Bestem grenseverdien for denne verdien av <math>a</math>.

Oppgave 4 (6 poeng)

a) Bestem lengden av linjestykket <math>AB</math>.

b) Linja gjennom <math>A</math> og <math>B</math> skjærer x-aksen i punktet <math>C</math>. Bestem koordinatene til <math>C</math>.

c) Bestem <math>t</math> slik at <math>\angle ABD</math> blir <math>90^\circ</math>.

Oppgave 5 (4 poeng)

a) Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkt.

Finn kritiske punkter

Avgjør om punktet er topp- eller bunnpunkt

Finn y-koordinaten

b) Programmet

Hva ønsker eleven å finne?

Forklar linje 11–20

Hvilken verdi skrives ut?

Svar

Svar

DEL 2

Oppgave 1 (6 poeng)

a)

b)

c)

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Avgjør om <math>f</math> er kontinuerlig når <math>x=-2</math> dersom <math>a=2</math> og <math>b=-2</math>.

b) Bestem <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> og <math>k</math> slik at <math>f</math> er kontinuerlig og deriverbar når <math>x=-2</math> og <math>x=k</math>.

Ved <math>x=-2</math>

Ved <math>x=k</math>

Oppgave 3 (4 poeng)

a) Har beboerne grunnlag for å klage?

b) Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Oppgave 4 (6 poeng)

a) Forklar hvorfor parameterframstillingen beskriver den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.

b) Bestem posisjonen til Ina etter 5 minutter.

c) Regn ut farten til Ina.

d) Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?

Oppgave 5 (4 poeng)

a) Regn ut den eksakte lengden av <math>\vec p</math>.

b) Bestem <math>t</math> slik at <math>\vec p</math> og <math>\vec q</math> er ortogonale.

Oppgave 6

a)

b) Hvilke grafer er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon?